1.2 Esempi di giochi

Transcript

Cooperazione di Agenti Informatici
Corso di Laurea Specialistica in “Informatica”
A.A. 2008/09
Prof. Alberto Postiglione
UD 1.2: Esempi di Giochi
Prof Alberto Postiglione
Cooperazione di Agenti Informatici (08/09)
UD 1.2
06/04/2009
Dia 2
Bibliografia e Sitografia

Lucchetti, Roberto “Di duelli, scacchi e dilemmi. La teoria
matematica dei giochi”. Bruno Modadori Editore, 2001
• Pagine 1– 25

Lucchetti, Roberto “TEORIA DEI GIOCHI: una scienza
bambina”. (http://193.205.23.11/archivio/teoriagiochi.htm)
• Da Matematica, rivista online del gruppo di ricerca PRISTEM
- Eleusi dell’Università Bocconi di Milano.
http://matematica.unibocconi.it/

M. Guidotti Teoria dei giochi breve introduzione
(http://www.galenotech.org/strategie.htm)
1
UD 1.2
06/04/2009
Dia 3
Bibliografia e Sitografia

F. Belotti e G. Gambarelli Sistemi elettorali e Teoria dei
Giochi (http://matematica.unibocconi.it/archivio/sistemielettorali.htm# )
• Da Matematica, rivista online del gruppo di ricerca PRISTEM
- Eleusi dell’Università Bocconi di Milano.
http://matematica.unibocconi.it/
UD 1.2
06/04/2009
Dia 4
GIOCHI NON COOPERATIVI

Vediamo adesso alcuni esempi di Giochi NON
COOPERATIVI

I giocatori non cooperano tra di loro (semplicemente perché
non sono interessati a farlo)

La teoria dei giochi è nata descrivendo giochi in cui si
formano coalizioni (giochi cooperativi)

Nash ha poi dato sviluppo al ramo dei Giochi Non
Cooperativi
2
UD 1.2
06/04/2009
Dia 5
Esempio 1: Test scolastico

In Italia la valutazione di un compito è “assoluta”

Negli USA è “relativa”: il professore assegna
• Il voto massimo (m) al compito migliore
• Il voto minimo (p) al compito peggiore
• Divide poi l’intervallo (p,m) in varie parti e assegna ad ogni
studente un voto in base a questa scala di valutazione
UD 1.2
06/04/2009
Dia 6
Esempio 1: Test scolastico

Il sistema adottato negli USA tende a scoraggiare gli accordi
tra studenti

E se gli studenti si accordassero nel rispondere tutti allo
stesso numero di domande?
• Il professore potrebbe assegnare a tutti il voto minimo
• Senza considerare la presenza di studenti “carogna”!

Aiutare un collega può significare che il mio compito verrà
valutato peggio del suo
3
UD 1.2
06/04/2009
Dia 7
Esempio 1: Test scolastico (metodo italiano)


Il professore propone un test di 30 domande a una classe di
5 allievi
Il suo criterio di valutazione è il seguente:
Risposte esatte
Voto
0-3
1
4-6
2
7-9
3
10-12
4
13-15
5
16-18
6
19-21
7
22-24
8
25-27
9
28-30
10
UD 1.2
06/04/2009
Dia 8

Ogni studente può studiare
• Molto (M)
• Abbastanza (A)
• Poco (P)


Quanto si è disposti a perdere sul voto studiando di meno?
Per calcolare il suo grado di soddisfazione sul risultato del
test, ogni studente decide di applicare al suo voto un
coefficiente k, riportato nella seguente tabella
Livello di studio Coefficiente
Molto
1/2
Abbastanza
2/3
Poco
1
4
UD 1.2
06/04/2009
Dia 9

Si consideri infine il numero di risposte (e il voto relativo)
alle quali ogni studente è in grado di rispondere in base al
suo livello di impegno nello studio:
Livello di studio
Studente
Molto
Abbastanza
Poco
Domande Voto Domande Voto Domande Voto
Marta
30
10
26
9
24
8
Franco
26
9
23
8
18
6
Luigi
24
8
20
7
15
5
Maria
19
7
11
4
15
2
Roberto
16
6
5
2
3
1
UD 1.2
06/04/2009
Dia 10

Marta deve cercare il massimo tra (1/2*10, 2/3*9, 1*8), cioè
il massimo tra (5, 6, 8)
• Per Marta studiare poco è più favorevole

Maria deve cercare il massimo tra (1/2*7, 2/3*4, 1*2), cioè il
massimo tra (3.5, 2.66, 2)
• Per Maria studiare molto è più favorevole
5
UD 1.2
06/04/2009
Dia 11
Esempio 1: Test scolastico (metodo USA)

Siano p ed m i risultati peggiori e migliori (cioè il numero
minimo e massimo di risposte corrette). La valutazione del
compito viene così stabilita (prova con m=10 e p=0):
Risposte esatte
Voto
1/10(9m+p) ≤ risposte esatte ≤ m
10
1/10(8m+2p) ≤ risposte esatte < 1/10(9m+p)
9
1/10(7m+3p) ≤ risposte esatte < 1/10(8m+2p)
8
7
6
5
4
3
2
p ≤ risposte esatte < 1/10(m+9p)
1
UD 1.2
06/04/2009
Dia 12

Il professore ha diviso l’intervallo (p,m) in 10 parti uguali,
assegnando 10 al risultato che cade nell’intervallo più a destra
e 1 a quello che cade nell’intervallo più a sinistra
Studente

Livello di studio
Molto Abbastanza
Poco
Marta
30
26
24
Franco
26
23
18
Luigi
24
20
15
Maria
19
11
15
Roberto
16
5
3
Marta sa che impegnandosi Abbastanza riuscirebbe
comunque ad ottenere il massimo (26 domande) che può
essere ottenuto solo da Franco se si impegnasse Molto.
6
UD 1.2
06/04/2009
Dia 13


E se Marta si impegnasse Poco? In quali condizioni
riuscirebbe a raggiungere comunque il massimo?
Sarebbe sufficiente che
• Franco non si impegnasse Molto
• Oppure che il peggiore studente non rispondesse a più di 5
domande. Infatti in questo case il numero di domande a cui
risponderebbe Marta in caso di Poco studio (24) cadrebbe
sempre nel primo intervallo (in cui può al più esserci 26). Per
calcolare matematicamente il valore di p basta impostare la
diseguaglianza
1/10(9m+p) < 24
Con m=26. Quindi 1/10(234+p)<24.
Per cui p<240-234
UD 1.2
06/04/2009
Dia 14
Esempio 2: il gioco dei fiammiferi




Stato iniziale: 2 mucchietti di 2 fiammiferi ciascuno
Evoluzione: 2 giocatori, a turno, levano 1 o 2 fiammiferi da
un solo mucchietto
Stato finale: Nessun fiammifero rimanente
Risultato: chi toglie l’ultimo perde.
7
UD 1.2
06/04/2009
Dia 15

GIOCO FINITO
• Ogni giocatore ha a disposizione un numero finito di mosse
• Il gioco si conclude dopo un numero finito di mosse

INFORMAZIONE PERFETTA. Infatti entrambi i
giocatori conoscono
• tutta la storia passata,
• le possibili evoluzioni future e
• nessuna mossa è segreta per alcuno
UD 1.2
06/04/2009
Dia 16

<<INSERIRE ALBERO DEL GIOCO>>
8
UD 1.2
06/04/2009
Dia 17
Esempio 3: Roulette Russa


Stato iniziale: 2 giocatori e una rivoltella a sei colpi, con un
colpo solo nel tamburo.
Evoluzione:
• ogni giocatore mette 10.000 euro nel piatto.
• Se il 1° giocatore “passa”, mette 20.000 euro nel piatto,
•

altrimenti ne aggiunge 10.000 e preme il grilletto.
Se sopravvive allo sparo, rigira il tamburo e passa la pistola al
secondo.
Risultato:
• se entrambi sono vivi, si dividono il piatto;
• se sono morti il piatto è perso;
• se (solo) uno sopravvive, il piatto è suo.
UD 1.2
06/04/2009
Dia 18

La struttura ad albero del gioco è descritta nella figura
seguente, dove in ogni situazione finale è riportato il
corrispondente guadagno del primo giocatore.
Mossa del primo giocatore
Mossa del secondo giocatore



Si noti che in questo gioco ogni giocatore fa una sola mossa.
Il grafo sarebbe molto più complesso per giochi con un
grande numero di mosse
Per curiosità: converrebbe sparare ad entrambi
9
UD 1.2
06/04/2009
Dia 19

In questo caso oltre alla vincita del gioco sono presenti anche
delle vincite in danaro.

Il gioco è detto a SOMMA ZERO, in quanto ciò che perde
uno lo vince l’altro.
UD 1.2
06/04/2009
Dia 20
Esempio 4: La Morra Cinese

I giocatori operano una scelta simultanea tra 3 oggetti:
• CARTA
• SASSO
• FORBICI

Carta vince con Sasso ma perde con Forbici

Sasso vince con Forbici ma perde con Carta

Forbici vince con Carta ma perde con Sasso
10
UD 1.2
06/04/2009
Dia 21

Il gioco lo si rappresenta utilizzando un formato matriciale,
la “matrice dei pagamenti” nella quale
• 1 corrisponde a Vincita dell’attore che gioca sulle righe,
• 0 corrisponde Pareggio,
• -1 corrisponde a perdita dell’attore che gioca sulle righe

La mossa del giocatore 1 corrisponde alla scelta di una riga e
quella del giocatore 2 corrisponde alla scelta di una colonna
Giocatore 2
Carta Sasso Forbici
Giocatore 1
Carta
0
1
-1
Sasso
-1
0
1
Forbici
1
-1
0
UD 1.2
06/04/2009
Dia 22


Non esiste una scelta a-priori razionale che garantisca la
vincita a un qualsiasi giocatore (come avveniva invece per il
gioco dei fiammiferi)
Non è possibile prevedere, cioè, una scelta razionale da parte
dei due giocatori
11
UD 1.2
06/04/2009
Dia 23


In questo caso spesso intervengono altri fattori a guidare le
mosse dei giocatori
Ad esempio,
• se il primo giocatore non gioca mai Sasso,
• il secondo potrebbe accorgersene e non giocare mai Carta

e quindi garantirsi maggiori possibilità di vittoria (avrebbe a
disposizione 2 casi favorevoli e 1 solo sfavorevole su 4)
Giocatore 2
Carta Sasso Forbici
Giocatore 1
Carta
0
1
-1
Sasso
-1
0
1
Forbici
1
-1
0
UD 1.2
06/04/2009
Dia 24
Esempio 5: La battaglia dei Sessi



Laura e Luigi decidono di passare la serata fuori casa
Laura preferisce lo Stadio e Luigi preferisce il Cinema
La matrice che rappresenta le preferenze potrebbe essere:
Laura
Cinema Stadio
Luigi


Cinema
(5, 0)
(-1, -1)
Stadio
(-1, -1)
(0, 5)
In questo caso esistono 2 soluzioni possibili che, per i
giocatori, non sono equivalenti (come sarebbe per un
generico problema di ottimo)
Nella teoria dei giochi la presenza di più equilibri costituisce
una difficoltà maggiore.
12
UD 1.2
06/04/2009
Dia 25
Esempio 6: Una votazione


3 uomini politici devono decidere come aumentare le entrate
Le possibilità sono 3
• Diminuire le spese (provvedimento A)
• Aumentare le tasse (provvedimento B)
• Indebitare lo stato (provvedimento C)
Preferenze (in ordine decrescente)

Paperone
A
B
C
Politico Paperino
C
A
B
Topolino
B
C
A
Nel caso in cui non si trovi un accordo di maggioranza il
provvedimento adottato sarà quello del presidente
(Paperone)
UD 1.2
06/04/2009
Dia 26


Per analizzare il gioco bisognerebbe costruire una matrice
tridimensionale.
Noi costruiremo 3 matrici bidimensionali
Paperino
Topolino
sceglie A
Paperone
A
B
C
A
A
A
A
B
A
B
B
C
A
C
C
Paperino
Topolino
sceglie B
Paperone
A
B
C
A
A
B
A
B
B
B
B
C
C
B
C
Paperino
Topolino
sceglie C
Paperone
A
B
C
A
A
A
C
B
B
B
C
C
C
C
C
13
UD 1.2
06/04/2009
Dia 27

Considerazione numero 1: L’assioma della razionalità
impone a Paperone di votare per il provvedimento A (quello
di suo maggior gradimento), perché
• Se Paperino e Topolino votano entrambi per lo stesso
•

provvedimento (A, B o C), il voto di Paperone è ininfluente
Se Paperino e Topolino non votano entrambi per lo stesso
provvedimento (A, B o C), il voto di Paperone è determinante
Ipotizzando quindi che Paperone voti sempre per A, ci
siamo ricondotti ad una sola matrice
Topolino
Paperone
sceglie A
Paperino
A
B
C
A
A
A
A
B
A
B
A
C
A
A
C
UD 1.2
06/04/2009
Dia 28

Considerazione numero 2: (eliminazione di strategie
dominate) Paperino e Topolino non voteranno per il
provvedimento a loro più sgradito (B per Paperino e A per
Topolino), quindi la matrice si riduce ulteriormente alla
seguente:
Topolino
Paperone
sceglie A
Paperino

B
C
A
A
A
C
A
C
Chiaramente i due uomini politici si accorderanno su C che
entrambi preferiscono ad A
14
UD 1.2
06/04/2009
Dia 29
GIOCHI COOPERATIVI

Vediamo adesso alcuni esempi di Giochi COOPERATIVI
UD 1.2
06/04/2009
Dia 30
Esempio 7: La suddivisione di una somma

3 fratelli (Aldo, Giovanni e Giacomo) devono dividersi
300.000 Euro, a condizione che si mettano d’accordo (a
maggioranza)

Ogni possibile coppia di fratelli sarebbe vincente
(rappresentando la maggioranza)
15
UD 1.2
06/04/2009
Dia 31


Aldo e Giovanni decidono inizialmente di dividersi a metà.
Prima di concludere, Giacomo va da Aldo e gli propone:
• 160.000 ad Aldo (che incasserebbe di più rispetto a 1)
• 140.000 a Giacomo

Aldo torna da Giovanni e gli propone:
• 170.000 ad Aldo (che incasserebbe di più rispetto a 1 e 2)
• 130.000 a Giovanni (meno rispetto a 1, ma di più rispetto a 2)

Giovanni accetta perché altrimenti perderebbe tutto. Ma
prima di procedere va da Giacomo e gli propone:
• 150.000 a Giacomo
• 150.000 a Giovanni

E così via, all’infinito …
UD 1.2
06/04/2009
Dia 32

(Approccio NON Cooperativo) L’unica soluzione possibile è
che il padre si tenga la somma di danaro, perché i figli non
hanno trovato l’accordo.

(Approccio Cooperativo) In alternativa, il buon senso
propone di suddividere la somma in 3 parti uguali.
16
UD 1.2
06/04/2009
Dia 33
Esempio 8: La suddivisione degli utili

L’ esempio che segue spiega perché in alcune condizioni i
piccoli partiti presenti in una coalizione ottengano molto di
più di quanto la loro forza farebbe ipotizzare, mentre altri
possono anche non ottenere nulla.

Supponiamo che, all’interno di una coalizione omogenea (es
centrosinistra o centrodestra), i rapporti di forza siano i
seguenti:
Partito Percentuale
A
10%
B
21%
C
30%
D
39%
UD 1.2
06/04/2009
Dia 34

In questi casi si applica una tecnica (detta indice di Shapley)
che porta alla seguente suddivisione delle “poltrone”
ministeriali:
Partito Ministeri
A
0
B
1/3
C
1/3
D
1/3
17
UD 1.2
06/04/2009
Dia 35

Perché questa soluzione è accettata (ci sono partiti che non
ottengono nulla, altri che ottengono meno della loro forza e
altri che ottengono di più)?
• Nella coalizione la presenza di A non è mai determinante nel
•

prendere le decisioni a maggioranza
Ogni altro componente è invece determinante quando si
associa ad un altro componente (purchè non sia A)
La ripartizione non è “moralmente” equa, ma riflette il fatto
che la presenza di A nel prendere decisioni è superflua.
UD 1.2
06/04/2009
Dia 36
Esempio 9: Sistemi Elettorali e Teoria dei Giochi
18

1.2 Esempi di giochi

Transcript

Documenti analoghi

lettera x attivita` commerciali

Elenco Responsabile per il trattamento dei dati personali

Richiesta di occupazione suolo pubblico – bar e ristoranti

Recensione di Emma Dovano - Associazione Cascina Archi

Il Gruppo 2003 contro nuove promozioni universitarie ope legis E` in

La pubblica amministrazione a confronto sul mondo virtuale

Fascetta / Cover per DVD Box

Gli agenti di commercio o un hturo europeo

La Città della Salute e della Scienza e i suoi effetti economici e

Addetto/tecnico sistemi informatici e telematici