3-GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE
IL BARICENTRO
GENERALITA'
Un corpo può essere immaginato come se fosse costituito da tante piccole
particelle dotate di massa (masse puntiformi); a causa della forza di gravità
queste masse sono soggette ad una forza diretta "verso il basso".
La retta d'azione della risultante (per una determinata posizione del corpo) di
tutte queste forze è detta retta (o asse) baricentrica.
Il punto di incontro delle rette baricentriche si chiama baricentro, in tale
punto possiamo immaginare di concentrare tutta la massa del corpo.
Praticamente per un corpo l'individuazione del baricentro può essere effettuata
in questo modo:
a) si appende per un punto il corpo, quando questo cesserà di oscillare la
verticale passante per quel punto determinerà un asse baricentrico;
b) ruotando il corpo e appendendolo per un altro punto otteniamo un'altro
asse baricentrico;
c) l'intersezione di dette rette determinerà la posizione del baricentro.
METODO GRAFICO
Per individuare le coordinate del baricentro per via grafica si sfruttano i principi
e le leggi studiate esaminando le forze e le risultanti. Soltanto che, invece di
ruotare il corpo per individuare la retta baricentrica facciamo "ruotare" la terra
immaginando quindi di posizionare la gravità prima in posizione verticale poi in
quella
orizzontale
(bastano
due
rette
baricentriche
per
individuare
il
baricentro). Di conseguenza otterremo due sistemi di forze fra di loro
ortogonali, individuandone le rispettive risultanti con il poligono funicolare
ricaveremo il baricentro.
METODO ANALITICO
Se abbiamo n masse puntiformi il momento complessivo rispetto all'asse y
sarà:
Σmi*xi
XG*Σmi
ma per il Teorema di Varignon avremo che detto momento sarà uguale a
XG*Σmi da cui:
analogamente facendo il momento rispetto all'asse x:
Ovviamente se gli assi x e y, o uno di essi, sono baricentrici il risultato relativo
sarà uguale a zero.
E' da notare che se il corpo à omogeneo (cioè ha densità uguale in tutti i punti)
non è necessario prendere in considerazione le masse ma basta lavorare con le
aree.
BARICENTRO DI FIGURE GEOMETRICHE
Proprietà: se la figura possiede un asse di simmetria questo è anche
asse baricentrico.
Dimostrazione: possiamo dividere la figura in tante aree, a questo punto è
possibile calcolare la coordinata del baricentro rispetto all'asse di simmetria,
ma per ogni area che apporta un contributo positivo ve ne sarà un'altra che
darà un contributo negativo e quindi il:
essendo il termine
,
quindi il baricentro è un punto dell'asse di
simmetria cioè l'asse di simmetria è asse baricentrico. Ovviamente se la figura
possiede due o più assi di simmetria il baricentro coinciderà con la loro
intersezione.
BARICENTRO DI FIGURE PIANE
TRIANGOLO: il baricentro è l'intersezione delle mediane in quanto esse
sono assi di simmetria obliqua. Inoltre rispetto ad un lato il baricentro è
distante 1/3 della sua altezza perché la mediana viene divisa dal baricentro in
due parti di cui la più vicina al lato è 1/3 della lunghezza totale.
RETTANGOLO: l'incontro dei due assi di simmetria definisce la posizione
del baricentro.
G
QUADRILATERO IRREGOLARE: dividiamo la figura in due triangoli ABC (di area
A1) e ADC (di area A2) con G1 e G2 rispettivi baricentri,
poniamo AC=b; il baricentro G complessivo giacerà lungo la congiungente tra
G1 e G2. Allora chiamando con x la distanza tra G1 e G2 e facendo il momento
rispetto a G avremo:
Cioè la distanza tra G2 e G è pari alla distanza tra G1 e la base AC.
TRAPEZIO
a) Metodo Analitico: analogamente al caso precedente avremo:
b) Metodo Grafico: si riporta la base maggiore b a partire da un estremo delle
base minore a e viceversa, si traccia la mediana relativa alle basi, il punto
di incontro tra il segmento congiungente il prolungamento delle basi e la
mediana risulta il baricentro.
FIGURE COMPOSTE: se abbiamo una sezione scomponibile in figure note è
possibile sostituire a quest'ultime i rispettivi baricentri lavorando poi come se
avessimo delle masse puntiformi; è utile, per procedere ordinatamente,
impostare la sottostante tabella dove con i intendiamo la numerazione delle
figure (1,2,3,ecc.), con Ai la superficie di ogni figura, con Xi e Yi le
coordinate del baricentro di ogni figura rispetto ad un sistema di assi
prestabilito, con ATOT a superficie della figura nel suo complesso.
i
Ai
Xi
Yi
Ai*Xi
Ai*Yi
1
2
ATOT:
ΣAi*Xi=
ΣAi*Y=
Le coordinate del baricentro si otterranno con le seguenti formule
Calcolare il baricentro della sezione a L rappresentata in figura
(misure espresse in centimetri).
Calcolare il baricentro di una figura complessa vuol dire calcolare le coordinate
del baricentro rispetto ad un sistema di riferimento scelto arbitrariamente.
Si sceglie arbitrariamente il sistema di riferimento segnato in figura.
Si suddivide la figura nei due rettangoli (30 x 5) e (10 x 5) e si calcolano le aree
e le coordinate dei loro baricentri rispetto al sistemadi riferimento scelto.
A1 = 30 x 5 = 150 cm2
G1 ≡ (2,5 ; 15)
A2 = 10 x 5 = 50 cm2
G2 ≡ (10 ; 2,5)
Si riportano i dati nella tabella:
i
Ai
Xi
Yi
Ai*Xi
Ai*Yi
A1
150
2.5
15
375
2250
A2
50
10
2.5
500
125
ΣAi*Xi=875
ΣAi*Y=2375
ATOT: 200
E si ricavano le coordinate del baricentro applicando le relative formule:
MOMENTO STATICO
Si definisce momento statico di un' area elementare a, rispetto ad un asse, il
prodotto tra a e la sua distanza dall'asse SY=a⋅⋅x
Si definisce momento statico di una figura, rispetto ad un asse, la somma
algebrica dei momenti statici delle singole aree elementari; quindi per Varignon
il risultato è pari al prodotto dell'area della figura per la distanza del baricentro
dall'asse SX= Σai⋅yi=ATOT⋅YG
Il momento statico può essere positivo o negativo secondo la posizione
dell'area e ha come dimensione una lunghezza elevata al cubo (in genere cm3).
Proprietà: il momento statico rispetto ad un asse baricentrico è uguale a
zero.
Infatti SX= ATOT⋅YG ma se l'asse x è baricentrico la YG risulta uguale a zero
per cui . SX=0.
Le equazioni per determinare le coordinate del baricentro, introducendo il
concetto di momento statico, si possono scrivere nel modo seguente:
Lo stesso esercizio di prima risolto con il momento statico.