FORMARE COMPETENZE CON LA MATEMATICA

FORMARE COMPETENZE
CON LA MATEMATICA
marcata esigenza di promuovere nella
formazione scolastica vere e proprie
competenze e non solo conoscenze e abilità.
Sembrerebbe che il valore educativo della
matematica consista solo nella sua
applicazione a situazioni di vita pratica /o
professionale. Che non si diano, cioè,
competenze disciplinari.
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Competenza: capacità di attivare e coordinare
le proprie risorse interne e valorizzare quelle
esterne disponibili al fine di portare a termine
in maniera valida ed efficace un compito, o
una classe di compiti, socialmente rilevante.
• esistenza di competenze matematiche vere e
proprie ai vari livelli della scolarità.
• uso delle conoscenze e abilità matematiche
per leggere e interpretare contesti non
direttamente matematici come la tecnologia,
l’arte e la natura.
Sul concetto di competenza
1) Una competenza è definibile a partire dalla tipologia
di compiti o attività che si devono svolgere
validamente ed efficacemente. Essa, in base ai compiti
per i quali è richiesta, può essere più specificatamente
legate a una disciplina o materia di insegnamento,
oppure avere carattere trasversale. In questo secondo
caso i compiti che sollecitano hanno caratteristiche
comuni quanto a conoscenze, abilità e disposizioni
interne che devono essere attivate e coordinate.
2) La complessità e novità del compito o della attività
da sviluppare caratterizzano anche la qualità e il
livello della competenza implicata. Tali caratteristiche
dipendono dall’età e dall’esperienza dello studente.
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3) Una competenza si manifesta perché si riesce a
mettere in moto e a coordinare un insieme di
conoscenze, abilità e altre disposizioni interne al fine
di svolgere positivamente il compito o l’attività
prescelta. Queste risorse interne debbono essere quindi
possedute a un grado di significatività, stabilità e
fruibilità adeguato, tale cioè da poter essere individuate e
messe in moto quando esse siano necessarie per
affrontare il compito richiesto.
4) Tra le risorse che occorre saper individuare,
utilizzare e coordinare molto spesso occorre
considerare non solo risorse interne, ma anche risorse
esterne. Non si tratta solo di risorse di natura fisica o
materiale come libri, strumenti di calcolo, computer, ma
anche umana come il docente stesso, i compagni, altre
persone che è possibile coinvolgere nella propria attività.
Sulla competenza matematica
PROBLEMA: “Trasformate la figura seguente
disegnata su un quadrettato e avente la
forma di croce in un quadrato che abbia la
stessa area”.
Impossibile v isualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere
insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine potrebbe essere
danneggiata. Riav v iare il computer e aprire di nuov o il file. Se v iene v isualizzata
di nuov o la x rossa, potrebbe essere necessario eliminare l'immagine e inserirla
di nuov o.
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si tratta di costruire una figura a forma di quadrato che
abbia la stessa superficie di quella data a forma di
croce.
Procediamo nell’esame della situazione, ricordando che si
parla di competenza quando si è in grado di affrontare
una situazione di sfida non banale in maniera positiva.
Nel nostro caso è una competenza di tipo non ripetitivo
abbastanza complessa per quella età, che implica una
certa fluidità mentale e il possesso di alcune
conoscenze previe in maniera significativa e non
ripetitiva e rigida.
La prima è la conoscenza della figura geometrica del
quadrato: una conoscenza che raggiunge un livello
sufficientemente sofisticato, come vedremo subito.
La seconda riguarda il concetto di equivalenza tra
due figure geometriche, cioè l’uguaglianza delle
loro aree, e la maniera di verificare tale
equivalenza. A esempio, esiste una modalità di
verifica dell’equivalenza che viene definita per
somma e un’altra per sottrazione. Una terza
conoscenza riguarda la capacità di scomporre
figure geometriche e ricomporle.
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I ragazzi sono abituati a lavorare nei vari gruppi in maniera
autonoma.
Se non riescono ad andare avanti possono chiedere aiuti
specifici a un altro gruppo.
L’insegnante è l’ultima risorsa.
Le discussioni sono state animate. Varie proposte di
soluzione cominciano a emergere, ma vengono
facilmente falsificate dai compagni proprio sulla base
dei principi di equivalenza.
In questo caso si tratta di usare il principio di equivalenza
per somma. Un ragazzo, Michele, intuisce dopo un po’
di riflessione la possibile soluzione, ma deve verificare
mediante uno dei principi di equivalenza la sua
correttezza. Ci riesce. Deve, ora, convincere i compagni
del gruppo che è la soluzione buona. Supera anche
questa prova. Chiama l’insegnante e le comunica la
Un ragazzo, Michele, intuisce dopo un po’ di
riflessione la possibile soluzione, ma deve
verificare mediante uno dei principi di
equivalenza la sua correttezza. Ci riesce. Deve,
ora, convincere i compagni del gruppo che è la
soluzione buona. Supera anche questa prova.
Chiama l’insegnante e le comunica la soluzione
a bassa voce, per non influenzare gli altri gruppi,
che ancora stanno lavorando. La cooperazione è
associata alla competizione tra gruppi.
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Impossibile v isualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine
potrebbe essere danneggiata. Riav v iare il computer e aprire di nuov o il file. Se v iene v isualizzata di nuov o la x rossa, potrebbe essere
necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuov o.
Impossibile v isualizzare l'immagine. La memoria del computer potrebbe essere insufficiente per aprire l'immagine oppure l'immagine
potrebbe essere danneggiata. Riav v iare il computer e aprire di nuov o il file. Se v iene v isualizzata di nuov o la x rossa, potrebbe essere
necessario eliminare l'immagine e inserirla di nuov o.
Analisi delle competenze
Ha una chiara e fluida conoscenza della figura geometrica
del quadrato. Questa è derivata da un insegnamento
dinamico, che permette di muovere e spostare figure
rigide sul piano. Un quadrato rimane se stesso anche se
assume visivamente posizioni diverse. Molti ragazzi
sviluppano invece una fissità o rigidità figurativa.
E’ in grado di verificare che sia la figura originaria, sia
quella trasformata, sono composte dallo stesso numero di
figure rispettivamente uguali.
Egli sa usare questo principio in maniera operativa per
giustificare epistemologicamente il risultato ottenuto;
non solo, anche dal punto di vista retorico riesce a
persuadere i suoi compagni di gruppo.
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I compagni del gruppo costituiscono come una risorsa
esterna che consente una verifica sociale non
pericolosa. Essi possono valutare la validità della
soluzione al loro livello.
C’è anche un’altra risorsa esterna assai importante in casi
come questo: la lavagna sulla quale è possibile
disegnare, cancellare. E’ meglio di un foglio di carta,
perché libera da suggestioni negative, anche se può
rendere più difficile all’insegnante avere traccia del
percorso di ricerca dell’alunno o degli alunni.
Come ha intuito la soluzione? Qui gli psicologi della
forma suggerirebbero un ruolo abbastanza preciso della
percezione: quello che è in più qua va a compensare
quello che è di meno là, ecc., alla ricerca di una buona
forma
Ci sono altre risorse interne che sono messe in
moto e combinate tra loro in modo da portare
effettivamente alla soluzione?
• l’interesse per il problema, sollecitato anche
dal contesto sociale e da un atteggiamento
generale di disponibilità a impegnarsi
nell’attività di ricerca in classe;
• la capacità di concentrarsi su un compito
per un tempo sufficientemente prolungato;
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risorse esterne:
• la stessa classe e il gruppo nel quale ci si trova
inseriti
• La comunità formata dalla classe e dalla sua
modalità di lavoro ha permesso una integrazione
positiva tra risorse interne di ciascuno studente e
quelle esterne costituite da tutti gli altri studenti
• l’insegnante stesso: una risorsa motivazionale e
di sostegno, che ha lasciato spazio all’attività
costruttiva e creativa degli studenti.
La competenza nell’utilizzare conoscenze e
abilità matematiche oltre la matematica
a) Il formato della carta
• Una esplorazione interessante può essere sviluppata valorizzando
le conoscenze e le abilità acquisite riguardanti i rapporti e le
proporzioni: essa riguarda il formato della carta, in particolare di
quella che si usa nelle fotocopiatrici e nelle stampanti dei
computer. Spesso si usano pacchi di carta, in termini tecnici si
chiamano risme di carta, contenenti 500 fogli in formato A4. Se
si prende una di queste risme e se ne legge l’etichetta, si trova la
seguente scritta.
•
•
•
•
500 fogli
80 gr/mq
21 x 29,7 cm
2,5 kg
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• Conoscenze di base necessarie per esplorare la
situazione: concetto di rapporto; concetto di
proporzione e proporzionalità; dimensioni del
“folio” di carta; valore di radice quadrata di 2.
• Abilità di base per esplorare la situazione: saper
approssimare; saper calcolare il valore di un
rapporto; saper risolvere un proporzione.
• Una risma contiene 500 fogli di carta di formato
A4. Le dimensioni di un singolo foglio di carta in
cm sono 21 e 29,7. La cosiddetta grammatura
della carta, cioè il peso in grammi di un metro
quadrato di essa, è 80 grammi.
• Perché sono state scelte queste particolari misure per un
foglio di carta e perché il suo formato viene denominato
A4? Tutto deriva dal bisogno di avere a disposizione
formati standard per produrre carta già predisposta per
la stampa, sia di libri, sia di altre opere.
• Si è partiti dalla considerazione di un foglio di carta che
ha la misura di un metro quadrato, ma di forma
rettangolare. Si è scelto quello che nella tradizione
tipografica si chiamava “folio”, da cui l’espressione
“stampato in folio”. Si tratta di un rettangolo che ha per
lati 841 mm e 1189 mm. Il prodotto delle due
dimensioni è 841 mm x 1189 mm = 999949 mm2, cioè
1 m2. approssimato a meno di un cm2.
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• Il rapporto tra il lato più lungo e quello più corto
è dato da
•
• b : a = 1189 : 841 = 1,4137
circa il valore di
radice di 2 (√2 =1,4142)
•
• Ottieni un numero che è il valore approssimato
di √2. Si hanno dunque i seguenti rapporti tra i
lati a e b della figura che rappresenta il
rettangolo “in folio”.
b / a = √2
b = a √2
a / b = 1/√2
Gli altri formati della carta si ottengono piegando il
foglio in due parti in modo da far coincidere i lati. Si
ottengono rettangoli più piccoli le cui dimensioni sono
ancora nello stesso rapporto.
• Continuando nella piegatura della carta si ottengono
via via formati sempre più piccoli che sono tutti
proporzionali tra loro secondo la proporzione
•
1 : √2 = √2 : 2
•
•
•
•
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• I vari formati di carta che si ottengono hanno le
seguenti denominazioni con le misure in mm.
•
• A0 = 841 x 1189 A1 = 594 x 841 A2 = 420 x
594
A3 = 297 x 420
• A4 = 210 x 297
A5 = 148 x 210 A6 = 105 x
148
A7 = 74 x 105
• Ecco un esempio di utilizzo dei vari formati
della carta secondo la classificazione sopra
descritta.
• A0, A1 disegno tecnico, poster
• A2, A3 disegno, diagrammi, tabelle
• A4
lettere, riviste, cataloghi, carta per
stampanti e fotocopiatrici
• A5
blocchi per appunti
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• Se si prende ora un foglio di carta di formato A4
(quello che si usa comunemente nelle
fotocopiatrici) e si piega in due dal taglio
secondo la linea di piegatura si ottiene un foglio
in A5. Ripetendo l’operazione più volte si
ottengono fogli di formato A6 e A7. Se si
collocano i fogli ottenuti in modo che si
sovrappongano in basso a destra i loro angoli
come in figura, si nota che i vertici degli angoli
opposti sono allineati. In effetti essi
appartengono alla retta y = a/b x.
Un esempio di situazione-problema può essere facilmente
evocato. A studenti che hanno inizialmente affrontato il
concetto di proporzionalità si può presentare un
insieme di figure geometriche concrete (triangoli,
trapezi o quadrati), di cartone o di altro materiale
rigido, che messe insieme come in un puzzle formano
un rettangolo (a es. di 8 cm per 5 cm). Si chiede allora
agli studenti di ingrandire il puzzle di partenza, e
quindi tutti i pezzi che lo compongono, in maniera che
il lato di 8 cm diventi di 12 cm. E’ facile che sulla base
delle loro preconfezioni essi pensino che, poiché
occorre aggiungere 4 cm al lato di 8, basti aggiungere
la stessa lunghezza a tutti i lati del puzzle. Tentando di
costruire il nuovo puzzle secondo questo principio, si
rendono conto da soli del carattere erroneo dell’idea.
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Anche se nessuno riesce a risolvere la
situazione-problema, tuttavia si crea un
bisogno di sapere e si è sollecitati a cercare
una soluzione. Quando, magari sotto la guida
dell’insegnante, essi troveranno il principio
risolutivo, il concetto di proporzionalità avrà
acquisito non solo maggiore significatività,
ma sarà agganciato a una sua competenza
pratico-applicativa.
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