classificazione_funzioni

A. s. 2011/2012
classe 4^Ap
G. Zambon
Appunti sulle funzioni lineari, esponenziali, logaritmiche e potenze.
Da integrare con gli appunti presi in classe
Tutte queste funzioni possono essere definite in termini di progressioni, aritmetiche e geometriche.
Progressioni aritmetiche:
es. contare per tre partendo da cinque.
Ogni termine si ottiene dal precedente sommando sempre lo stesso numero. O meglio, la differenza
tra un termine e il precedente è costante. (Tranne eventualmente il primo)
...esempi di progressioni aritmetiche (anche senza un “primo termine”)
Una progressione aritmetica può avere un numero finito di termini oppure un numero infinito.
Può avere un primo termine e un ultimo termine oppure avere solo il primo o solo l'ultimo oppure
né il primo né l'ultimo. Una progressione aritmetica può sempre essere prolungata a piacere. Basta
conoscere due termini consecutivi per conoscere completamente una progressione aritmetica.
Progressioni geometriche:
Ogni numero si ottiene dal precedente moltiplicandolo sempre per lo stesso numero. O meglio, il
rapporto tra un numero e il precedente è costante. (Tranne eventualmente il primo)
La costante si chiama RAGIONE
Una progressione geometrica può avere un numero finito di termini oppure un numero infinito.
Può avere un primo termine e un ultimo termine oppure avere solo il primo o solo l'ultimo oppure
né il primo né l'ultimo. Una progressione geometrica può sempre essere prolungata a piacere. Basta
conoscere due termini consecutivi per conoscere completamente una progressione geometrica. Per
ragioni che saranno chiare più avanti considereremo solo progressioni geometriche costituite da
termini positivi. (e quindi con ragione positiva)
Importante:
Quando i termini di una progressione aritmetica crescono e quando decrescono?..........
Quando i termini di una progressione geometrica crescono e quando decrescono?...........
La progressione aritmetica è crescente se la ragione è positiva e decrescente se la ragione è
negativa. (esempi...) Se la ragione è uguale a 0..............
La progressione geometrica è crescente se la ragione è maggiore di 1 e decrescente se la ragione è
minore di 1. (esempi...) Se la ragione è uguale a 1.........
Esempi di progressioni aritmetiche e geometriche.....
Segno dei termini di una progressione........
Funzioni lineari:
Una funzione lineare è una funzione che manda progressioni aritmetiche in progressioni
aritmetiche.
Esempio pratico: il moto uniforme. (vedi appunti)
Basta conoscere l'immagine di due termini di una qualunque progressione per conoscere tutta la
funzione. Esempi...
Inserire un medio: cioè se una funzione lineare f manda la successione 2 6 10 14 …. in
6 14 22 … allora questa funzione manda 4 in 10.
Cioè manda la media tra 2 e 6 nella media tra 6 e 14. Se ciò non accadesse, l'immagine di una
progressione aritmetica non sarebbe una progressione aritmetica. (Spiega perché)
f(
x 1+ x 2
f ( x 1)+ f ( x 2)
)=
2
2
L'inserimento dei medi ci permette di trovare un valore approssimato (bene quanto si vuole) di
qualunque valore della funzione.
Esercizio: data la funzione f descritta sopra, calcola il suo valore (approssimato) nel punto 6,18.
Importante:
Una funzione (di qualsiasi tipo) è crescente se manda progressioni crescenti in progressioni
crescenti e progressioni decrescenti in progressioni decrescenti.
Una funzione è decrescente se manda progressioni crescenti in progressioni decrescenti e
progressioni decrescenti in progressioni crescenti. (…...esempi.....)
Funzioni esponenziali
Una funzione esponenziale è una funzione che manda progressioni aritmetiche in progressioni
geometriche.
Siccome le progressioni geometriche contengono solo termini positivi, una funzione esponenziale
va dai reali ai reali positivi.
Esempio: il decadimento radioattivo.
Il carbonio 14 ha un tempo di dimezzamento o emivita (…) di 5730 anni. Significa che la metà dei
nuclei è disintegrata dopo tale periodo.
0
100
5730 11460 17190 22920 …......
50
25
12,5 6,25 …......
tempo
percentuale di nuclei integri
La funzione che associa ad ogni istante di tempo la percentuale di carbonio 14 presente è una
funzione che manda una successione aritmetica di ragione 5730 in una successione geometrica di
ragione ½. Si tratta quindi di una funzione esponenziale.
Anche qui si può giocare con l'inserimento dei medi per ottenere il valore della funzione su un
qualsiasi valore in ingresso.
Attenzione! Il medio inserito in una progressione aritmetica è la media aritmetica, deve essere così
se vogliamo che la successione continui a essere una successione aritmetica, ma come si inserisce
un medio in una successione geometrica?
Per es. se voglio inserire nella progressione geometrica 2 8 32 128 …. un medio tra 2 e 8 devo
trovare un numero x in modo che 2, x e 8 formino una progressione geometrica. Quindi x=4.
Risolviamo il problema in generale: inserire un medio geometrico tra a e b, bisogna che a, x e b
formino una progressione geometrica, quindi x/a=b/x da cui x2=ab e x= √ ( ab)
f(
x 1+ x 2
)=√ f ( x 1) f (x 2 )
2
Esercizio: data la funzione esponenziale dell'emivita del carbonio 14, trova quanti nuclei sono
ancora integri dopo 1000 anni.
Funzioni logaritmiche
Una funzione logaritmica è una funzione che manda progressioni geometriche in progressioni
aritmetiche.
Siccome le progressioni geometriche sono costituite solo da termini positivi, una funzione
logaritmica va dai reali positivi ai reali.
Osservazione: Se in una funzione inverto l'ingresso con l'uscita ottengo la sua funzione inversa.
Dalle definizioni date abbiamo che: l'inversa di una funzione lineare è una funzione lineare ;
l'inversa di una funzione esponenziale è una funzione logaritmica e l'inversa di una funzione
logaritmica è una funzione esponenziale.
Un esempio di funzione logaritmica quindi è quello, sempre in riferimento al decadimento
radioattivo, di chiedersi quanto tempo è passato quando la radioattività si è ridotta di una quantità
nota. (Prima ci chiedevamo quanto diminuisce la radioattività dopo un certo tempo)
Per esempio, se il carbonio 14 si è ridotto del 23%, quanto tempo è passato? Questo è quello che
uno scienziato fa quando deve datare un reperto usando la prova del carbonio14.
Esercizio......(vedi appunti)
Altro esercizio: una lastra semitrasparente lascia passare il 90% della luce che la colpisce ogni
10cm di spessore. Quale spessore lascia passare il 99% della luce?
(approssimare inserendo medi)
Funzioni potenze cioè funzioni che mandano progressioni geometriche in progressioni
geometriche.
Esempio: Il pianeta Venere ha un periodo sinodico di 0,615 anni e un'orbita con semiasse maggiore
di 0,723 U.A. (unità astronomiche, una unità astronomica è, circa, la misura del semiasse maggiore
dell'orbita terrestre) Il pianeta Giove ha un periodo sinodico di 11,863 anni e un semiasse maggiore
di 5,203 U.A.
Verifichiamo ora che la funzione che lega il periodo al semiasse maggiore dei pianeti è una funzione
potenza.
Abbiamo quindi che f(0,615)=0,723 e che f(11.863)=5,203. Supponiamo quindi che f sia una
funzione potenza, cioè che manda successioni geometriche in successioni geometriche.
Il periodo di Marte è di 1,881 anni, qual è il suo semiasse? Procediamo come al solito con
l'inserimento dei medi, questa volta abbiamo progrssioni geometriche sia in ingresso che in uscita,
quindi: f ( √ x 1 x 2)= √ f ( x 1) f ( x 2)
Eseguendo le ormai consuete approssimazioni si ha f(1,881)=1,524.
L'orbita di Marte ha un semiasse maggiore di 1,524 U.A. (verificare su Wikipedia)
E' una funzione potenza.
Altra verifica: applicando questa funzione alla terra deve venire f(1)=1
Cerchiamo ora di trovare un'espressione per le quattro classi di funzioni.
Funzioni lineari.
Cominciamo da un caso semplificato. Cerchiamo l'espressione che manda la successione
x:
0
1
2
3
4
…... nella successione
y:
0
D
2D
3D
4D
….... cioè facciamo due ipotesi semplificative (che poi
toglieremo)
1) prendiamo come successione in ingresso la successione dei numeri naturali
2) supponiamo che l'immagine di 0 sia 0.
E' evidente che la relazione tra x e y è: y=Dx.
Togliamo l'ipotesi 1):
Cerchiamo l'espressione che manda la successione
x:
0
d
2d
3d
4d
…... nella successione
y:
0
D
2D
3D
4D
basta dividere la successione x per d e ci si riconduce al caso precedente. (…...)
D
La relazione diventa quindi y= x .
d
Togliamo l'ipotesi 2):
Cerchiamo l'espressione che manda la successione
x:
a
a+d a+2d a+3d a+4d …... nella successione
y:
b
b+D b+2D b+3D b+4D
Sottraggo a dai termini della prima progressione e ottengo la successione
0
d
2d
…....
D
ora moltiplico per
e ottengo la successione
d
0
D
2D
3D
…..
basta ora sommare b a tutti i termini della progressione per ottenere
y:
b
b+D b+2D b+3D b+4D ….....
come si voleva.
Le operazioni applicate sono state nell'ordine:
1. sottraggo a
D
2. moltiplico per
d
3. sommo b
l'espressione che lega le successioni
x:
a
a+d a+2d a+3d a+4d e
y:
b
b+D b+2D b+3D b+4D
è quindi
D
y=( x−a ) + b
1)
d
Esempio importante:
Se considero la funzione lineare che manda la successione
x:
x0
x1
x2
x3
x4
x5
….......
(dove ∆x è la ragione della successione x, cioè ∆x= x1 - x0) nella successione
y:
y0
y1
y2
y3
y4
y5
….......
(dove ∆y è la ragione della successione, cioè ∆y= y1 - y0)
La relazione 1) diventa (con semplici sostituzioni)
y 1− y 0
y=
( x−x 0 )+ y 0
x 1−x 0
y− y 0=m(x− x 0) .
o anche
Composizione di funzioni.
Comporre due funzioni, f e g, significa usare l'output (immagine) di una funzione come input di
un'altra funzione.
g◦f
X
X
f
Y
Y
g
Z
Z
La funzione z =( g ∘ f )( x) è la funzione che manda x in y= f ( x ) e che poi manda y in
z =g ( y ) cioè
z =g ( f ( x )) .
E' facile dimostrare che la composizione di due funzioni lineari è ancora una funzione lineare.
(vedi appunti)
E' facile dimostrare che la crescenza o la decrescenza della composizione di due funzioni lineari
dipende dalla crescenza o dalla decrescenza delle due funzioni componenti in modo analogo alla
regola dei segni nella moltiplicazione.
(vedi appunti)
Una funzione lineare è sempre invertibile, la sua inversa, come abbiamo visto è ancora una funzione
lineare e se y=a+ bx (questa è la forma di tutte le funzioni lineari) la sua inversa è (fare i
1
a
calcoli...) x= y− che ha sempre la stessa forma.
b
b
Forma di una funzione esponenziale
Per trovare la forma più generale di una funzione esponenziale, dovremo trovare, come abbiamo
fatto per le lineari, la forma di una funzione che manda una generica progressione aritmetica:
…..., c-2d, c-d, c,
c+d, c+2d, …........
in una generica progressione geometrica:
…., CQ-2, CQ-1, C,
CQ, CQ2, ….......
Anche in questo caso partiremo da un caso più semplice, assumeremo come progressione in
ingresso quella dei numeri interi e assumeremo che lo 0 vada in 1 ( cioè f (0)=1 ...appunti...).
Quindi:
x
…., -2,
-1,
0,
1,
2,
…....
y
…..., b-2,
b-1,
1,
b,
b2,
…....
E' evidente che si tratta della funzione
y=b x oppure y = expb(x) (funzione esponenziale in base b)
Quindi per ogni intero x la funzione esponenziale (in base b) manda x in b x . Ma come sappiamo
una funzione esponenziale è definita per qualunque valore di x e il suo valore può essere calcolato,
per es., con l'algoritmo dell'inserimento dei medi.
1
Qual è quindi il valore di questa funzione per x= ? Applicando il metodo dell'inserimento dei
2
1
m
medi viene b 2 =√ b . Sempre con lo stesso sistema si vede facilmente che b n =√n bm …..(vedi
appunti)
Possiamo dare così significato alla scrittura b x (oppure expb(x) ) non solo quando x è un numero
intero ma anche per x razionale.
Utilissimo esercizio: verificare che anche per le potenze ad esponente razionale valgono le usuali
proprietà delle potenze.
b0 =1
expb 0=1
b1=b
expb 1=b
b−1=
1
b
b−x =
1
x
b
b x+ y =b x b y
b x− y =
bx
by
(b x ) y =b xy
expb (−1)=
expb (−x)=
1
b
1
exp b x
expb ( x+ y )=expb x expb y
expb ( x− y )=
expb x
expb y
exp exp x y=expb ( xy)
b
Per esempio verificare che la nota proprietà delle potenze a x a y =a x+ y vale anche quando x e y
sono numeri razionali. La verifica si svolge così: prima svolgo il calcolo applicando le proprietà
delle potenze e poi lo svolgo applicando le proprietà dei radicali (abbiamo visto che una potenza a
esponente razionale è un radicale!) se il risultato ottenuto sarà lo stesso vorrà dire che la verifica si
è svolta con successo.
(vedi appunti)
Se x è un numero irrazionale il valore di a x (approssimato quanto si vuole) può essere calcolato
con l'algoritmo dell'inserimento dei medi, (o con la calcolatrice, che fa pressapoco la stessa cosa) e
così la funzione y=a x è definita per ogni valore di x appartenente all'insieme dei numeri reali.
(Riflettere sul percorso che è stato necessario fare per definire la funzione y=a x cioè perché sia
ben definito il significato di una potenza quando all'esponente c'è un qualunque numero reale.)
La funzione esponenziale che manda 0 in 1, cioè la funzione y=b x si chiama funzione
esponenziale pura, così come le funzioni lineari che mandano 0 in 0 (passano per l'origine) si
chiamano funzioni lineari pure.
Cerchiamo ora la forma di una generica funzione esponenziale, che manda quindi una data
progressione aritmetica in una data progressione geometrica e supponiamo che a sia l'immagine di 0
(cioè f (0)=a ). Sappiamo che una funzione esponenziale pura ha sempre la forma y=b x ,
osserviamo che dividendo tutti i termini di una progressione geometrica per uno stesso numero, si
f (x)
ottiene ancora una progressione geometrica, quindi la funzione g ( x)=
è ancora una
a
funzione esponenziale ed è una funzione esponenziale pura. Se g ( x) è una funzione
esponenziale pura allora può essere scritta nella forma y=b x , si ha quindi:
f ( x) x
=b
g ( x)=b x
f ( x )=a b x
a
Questo significa che tutte le funzioni esponenziali possono essere scritte come prodotto di una
costante per una funzione esponenziale pura, cioè nella forma nella forma
y=ab x
Vediamo ora la forma di una funzione esponenziale che manda la generica progressione aritmetica
nella generica progressione geometrica.
…..., c-2d, c-d, c,
c+d, c+2d, …........
…., CQ-2, CQ-1, C,
CQ, CQ2, ….......
Il metodo è lo stesso usato per le funzioni lineari:
applico la funzione “-c” e ottengo la progressione aritmetica
…,
-2d, -d,
0,
d,
2d,
…......
applico la funzione “/d” e ottengo la progressione
…., -2,
-1,
0,
1,
2,
…....
ora applico la funzione esponenziale in base Q e arrivo a
…., Q-2,
Q-1,
1,
Q,
Q2,
….......
infine applico la funzione “xC” (per C)
e ottengo finalmente la progressione geometrica voluta
…., CQ-2, CQ-1, C,
CQ, CQ2, ….......
Dato un numero reale x quindi applichiamo nell'ordine le seguenti funzioni: “meno c, fratto d, expQ,
per C” e otteniamo
x−c
f (x )=C Q d
Vediamo un esempio. Torniamo al problema del decadimento radioattivo. Se T è il tempo di
dimezzamento e R0 è la quantità di elemento presente all'istante t0, allora quando il tempo t varia in
progressione aritmetica con ragione T
t0,
t0+T, t0+2T, t0+3T, …....
1
la quantità corrispondente di R(t) di elemento varia in progressione geometrica di ragione
.
2
1
1 2
1 3
R0,
R0 ( ) ,
R0 ( ) ,
R0 ( ) ,
…....
2
2
2
1
Quindi abbiamo c=t0, C=R0, d=T e Q=
, la funzione cercata è quindi
2
1 t−t
R(t )=R0 ( ) T
2
1
−x
Se poi poniamo t0=0 e usiamo la proprietà b = x , possiamo riscrivere questa funzione nella
b
0
forma
−
t
T
R(t )=R0 2
Avevamo calcolato (con molta fatica) la percentuale di carbonio che rimane dopo 1000 anni.
Rifacciamo il calcolo usando l'espressione trovata............
Esercizio: lastra semitrasparente...............
Esercizio: trova l'espressione della funzione esponenziale f con f(x1)=y1 e f(x2)=y2.
Grafici delle funzioni esponenziali.
La media geometrica tra due numeri è sempre minore o uguale della loro media aritmetica e
l'uguaglianza vale solo se i due numeri sono uguali.
Siano a e b due numeri positivi, costruiamo la
semicirconferenza di diametro a+b, come in
figura. Il diametro AB è la somma dei due
segmenti a e b, rispettivamente uguali ad AF e a
FB. Essendo il diametro a+b, ovviamente il
a+ b
raggio è
cioè la media aritmetica tra a e
2
b, quindi il segmento CD è uguale alla media
a+ b
aritmetica
. Applicando invece il
2
secondo teorema di Euclide al triangolo
rettangolo ABE, risulta FE=√ ab (vedi appunti) che è la media geometrica tra a e b. Al variare di
a e di b cambia la posizione di E sulla circonferenza ma ovviamente sarà sempre CD>FE, cioè la
media aritmetica tra a e b sarà sempre maggiore della loro media geometrica. Veniamo ora ai
grafici.
Supponiamo di avere
una funzione f tale che
f(2)=1 e f(6)=3 (come
in figura). Se f è una
funzione lineare deve
mandare la media
aritmetica tra 2 e 6 nella
media aritmetica tra 1 e
3, cioè deve mandare 4
in 2. (come in figura) Il
grafico è una retta.
Se supponiamo invece che f sia una funzione esponenziale, essa deve mandare la media aritmetica
tra 2 e 6 nella media geometrica tra 1 e 3, cioè deve mandare 4 in 1,73 (circa). Il grafico assume il
seguente andamento.
Poiché la media
geometrica tra 1 e 3 è
minore della media
aritmetica tra 1 e 3, la
curva risulta avere la
concavità rivolta verso
l'alto.
Generalizzando questo
ragionamento possiamo
concludere che siccome
la media aritmetica tra
due numeri è sempre
maggiore o uguale della
loro media geometrica, il grafico di una funzione esponenziale, indipendentemente dalla base, ha
sempre la concavità rivolta verso l'alto.
Esercizi:
1
1
1
a=
a=
a=1
a=2
traccia il grafico della funzione y=a x per a=
3
2
3
1
1
1
a=
a=
a=1
a=2
traccia il grafico della funzione y=a−x per a=
3
2
3
Forma di una funzione logaritmica
Abbiamo già visto che una funzione logaritmica manda una progressione geometrica in una
progressione aritmetica. Abbiamo anche visto che una funzione logaritmica è l'inversa di una
funzione esponenziale. Per capire come lavora una funzione logaritmica e quale può essere la sua
forma, come al solito mettiamoci in una situazione comoda, semplificata. Consideriamo cioè la
funzione logaritmica che manda la progressione geometrica ....... b−2 , b−1 ,1, b , b2 ,....... nella
progressione aritmetica più semplice, quella dei numeri interi e che manda 1 in 0.
x
y
…..., b-2,
…., -2,
b-1,
-1,
1,
0,
b,
1,
b2,
2,
…....
…....
e la chiamiamo funzione logaritmica in base b, (notate che è l'inversa della funzione esponenziale in
base b cioè di y=b x vedi pag. 5) la funzione logaritmica in base b quindi è una funzione tale che
f (1)=0 e f (b)=1 . Se poi f ( x )= y diremo che y è il logaritmo in base b di x e scriveremo
y=log b x
che vuol dire che y è l'esponente da dare a b per avere come risultato x.
Esempi:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
log b 1=0
log b b=1
1
log b =−1
b
1
log b =−log b x
x
log b xy=log b x+ log b y
x
log b =log b x −log b y
y
y
log b x = y log b x
La motivazione di queste uguaglianze (proprietà dei logaritmi) è un utile esrercizio (vedi appunti).
Facciamo qualche esempio.
La n. 1 è ovvia, log b 1=0 perché 0 è l'esponente che devo dare a b per avere come risultato 1.
Idem per la n. 2. Per la n. 3 basta ricordare il significato di potenza ad esponente negativo. Dalla n.
4 in poi conviene, rifacendosi al significato di logaritmo, applicare le proprietà delle potenze.
1 1
= =b−u e
Vediamo la n. 4. Se u=log b x (chiamo u il log b x ) allora x=b u ma allora
x bu
1
1
quindi log b =−u cioè log b =−log b x .
x
x
1
=.... (vedi appunti)
Esempio log
1000
Con la stessa tecnica si dimostrano le altre (vedi appunti)
Cambiamenti di base.
Vediamo le formule per il cambiamento di base sia per le funzioni esponenziali che per le funzioni
logaritmiche.
Innanzitutto, basta una piccola riflessione sul significato del logaritmo per capire che valgono le
seguenti relazioni
1. log a a x =x (x è l'esponente che devo dare ad a per avere a x )
2. a log x =x (se elevo a all'esponente che devo dare ad a per avere x ottengo x)
(Pur essendo semplici le due precedenti uguaglianze meritano un'attenta riflessione e una completa
comprensione)
Al posto delle due spiegazioni tra parentesi si può sostituire la seguente: se a x applico prima una
funzione e poi al risultato applico la sua inversa, ottengo sempre come risultato x. Bisogna
naturalmente avere ben chiaro cosa vuol dite funzione inversa.
Torniamo ai cambi di base. Supponiamo di voler esprimere la funzione esponenziale in base B in
termini della funzione esponenziale in base b. Ecco i passaggi:
Come abbiamo visto B=blog B e quindi B x =b log B x =b x log B ecco quindi che
B x =b x log B
Notate che questa uguaglianza ci permette di esprimere la funzione esponenziale in base B mediante
la funzione esponenziale in base b, ma facendo uso anche della funzione logaritmica in base b.
log x
Passiamo ai ligaritmi. Usando la proprietà 2. posso scrivere: log b x=log b B
. Usando una
a
b
b
b
b
B
proprietà dei logaritmi (quale??) scrivo allora che log b x=log B x log b B da cui si ricava subito che
log b x
log B x=
log b B
Esempi...vedi appunti.
Ricaviamo ora, come abbiamo fatto per le funzioni lineari ed esponenziali, l'espressione della
funzione logaritmica che manda una data progressione geometrica in una data progressione
aritmetica.
x:
y:
….., cq-2,
…., C-2D,
cq-1,
C-D,
c,
C,
cq,
cq2, ….....
C+D, C+2D, …....
Seguiamo l'ormai consueto procedimento, vediamo quali funzioni dobbiamo applicare, e in che
ordine, per trasformare la prima progressione nella seconda. Dunque si parte da
….., cq-2,
cq-1,
c,
cq,
cq2, …....
divido per c e ottengo
….., q-2,
q-1,
1,
q,
q2, …....
applico la funzione logaritmica in base q e ottengo
….. -2,
-1,
0,
1,
2, …....
la progressione degli interi. Adesso moltiplico per D
….. -2D,
-D,
0,
D,
2D, …....
e infine sommo C
….. C-2D,
C-D,
C,
C+D,
C+2D, …....
Dunque la funzione logaritmica cercata è la composizione delle funzioni “/c”, “logq”, “xD” e “+C”.
Si tratta quindi della funzione:
x
f  x =D log q C
c
in cui le lettere hanno il solito significato: c e q sono il primo termine e la ragione della
progressione in ingresso, C e D sono il primo termine e la ragione della progressione in uscita.
Ancora una volta otteniamo facilmente l'espressione della funzione logaritmica che manda x1 in y1 e
x2 in y2, ciuè tale che f  x 1 = y1 e f  x 2= y 2 (la progressione in ingresso ha primo termine c=x1 e
x2
ragione q=
, la progressione in uscita ha primo termine C=y1 e ragione D= y 2− y 1 , basta
x1
quindi sostituire per ottenere
x
f  x = y 2 − y1  log x
 y1
(1)
x
1
x
2
1
Vediamo com'è la forma della più generale funzione logaritmica. Supponiamo che f sia una
qualsiasi funzione logaritmica. Essa manda quindi una certa progressione geometrica in una certa
progressione aritmetica. Poniamo a= f 1 . Poiché sottraendo uno stesso numero a tutti itermini
di una progressione aritmetica si ottiene ancora una progressione aritmetica, la funzione
g  x= f  x−a è ancora una funzione logaritmica. Essendo g 1= f 1−a=a−a=0 , si
tratta di una funzione logaritmica pura e quindi si può scrivere g  x=log b x . Ne segue che
f  x −a=log b x da cui f  x =alog b x . Una qualunque funzione logaritmica è quindi
sempre esprimibile come la somma di una costante più una funzione logaritmica pura.
Esercizi (importanti!)
Disegnare il grafico di qualche funzione logaritmica, con base minore di 1 con base maggiore di 1,
per punti ma anche considerando che i grafici di due funzioni, una l'inversa dell'altra, sono
simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, y=x. (Il logaritmo in base b è l'inversa
dell'esponenziale in base b)
Una delle numerose applicazioni della funzione logaritmica è la legge psicofisica di Fechner e
Weber: “Perchè l'intensità di una sensazione cresca in progressione aritmetica, lo stimolo deve
accrescersi in progressione geometrica”. E' ovvio che in base a questa legge la relazione tra lo
stimolo e la sensazione è data da una funzione logaritmica:
S=c∗logR
dove S è il valore della sensazione, R quello dello stimolo e c una costante che dipende dal tipo di
stimolo e dalla sua unità di misura. Per esempio un'onda di pressione che colpisce il timpano del
nostro orecchio è uno stimolo fisico (R) che produce in noi una sensazione uditiva (S). Se voglio
che la mia sensazione cresca in progressione aritmetica (per es. 1, 2, 3, 4, 5, ….) bisogna che lo
stimolo cresca in progressione geometrica (per es. 1, 2, 4, 8, 16, 32, ….).
Oppure, immaginate di avere diverse lampadine tutte alla stessa distanza da voi. Supponete che la
prima lampadina abbia una luminosità di 10 candele e la seconda di 20 candele. (la candela è l'unità
di misura dell'intensità luminosa) Bene, per avere la sensazione che ogni lampadina abbia la stessa
differenza di luminosità rispetto alla precedente, la terza lampadina dovrà avere una luminosità di
40 candele e la quarta di 80.
Un esempio notevole è quello delle magnitudini apparenti delle stelle. Se guardiamo il cielo stellato
a occhio nudo vediamo forse una decina di stelle decisamente più luminose delle altre, alcune
centinaia di stelle di media luminosità e alcune migliaia dl stelle di debole luminosità. Gli astronomi
dell'antichità, seguendo l'illusione data dai sensi, credevano che le stelle fossero situate tutte alla
stessa distanza da noi, sulla superficie interna dl una enorme sfera. Spiegavano Il fatto che ci
fossero poche stelle luminose e molte stelle di debole luminosità con una analogia col genere
umano. Ci sono pochi uomini di grande valore e una moltitudine di uomini mediocri! Oggi noi
diamo una spiegazione molto più semplice di questo fatto. La luminosità di una stella, così come ci
appare osservata dalla terra, detta appunto luminosità apparente, dipende sostanzialmente da due
fattori: dalla sua luminosità intrinseca, cioè da quanta luce emette, e dalla sua distanza. Il fattore
predominante è pero di gran lunga la distanza. Ecco allora che, essendoci molto più spazio lontano
che vicino, diventa ovvio il fatto che le stelle poco luminose siano molto più numerose di quelle
luminose. Nel II secolo a.C. l'astronomo Ipparco compilò il primo catalogo stellare di cui abbiamo
notizia. In quel catalogo comparivano poco più di mille stelle, suddivise in sei classi di grandezze:
di prima grandezza le più luminose e di sesta grandezza le meno luminose. Questo modo di
classificare la luminosità delle stelle è rimasto in vigore per secoli. Solo a metà dell'800, grazie alla
fotometria, si poté definire una scala più rigorosa per la luminosità apparente delle stelle. Ci si
accorse che le stelle di prima grandezza erano circa 100 volte più luminose delle stelle dl sesta
grandezza e si decise di porre esattamente uguale a 100 questo rapporto. Si decise poi anche di non
discostarsi dall‘antica classificazione di Ipparco e di continuare a usare un numero crescente per la
grandezza per indicare una luminosità apparente decrescente delle stelle. Si uso poi il termine
magnitudine, che ha lo stesso significato di grandezza. Seguendo la legge dl Fechner e Weber si
decise poi di usare una funzione logaritmica per ottenere la magnitudine a partire dalla luminosità
apparente. In questo modo oggi le stelle possono avere una magnitudine apparente non intera e,
addirittura, magnitudini molto grandi per le stelle debolissime e visibili solo al telescopio e
magnitudine 0 o addirittura negativa per gli oggetti luminosi come il sole o la luna!
Vediamo di costruire questa funzione logaritmica. Abbiamo detto che le stelle di magnitudine 1
sono 100 volte più luminose di quelle di magnitudine 6. Quindi questa funzione manda 1 in 6 e 100
in 1.
…..,1, 100, …....
.., 6, 1, …..
Deve essere una funzione logaritmica, quindi la prima è una progressione geometrica e la seconda è
una progressione aritmetica, se volessimo prolungare le due progressioni avremmo quindi
.....10-2,1, 102, 10 4, ....
..11, 6, 1, -4, ...
Usando la formula (1) della pagina precedente possiamo calcolare la magnitudine di qualunque
astro di cui si conosca la luminosità. Per esempio sapendo che la luminosità di Vega è 0, e che la
luminosità del sole è 54 miliardi e mezzo di volte quella di Vega, calcolare la magnitudine del sole.
(Risp. -26,8 vedi appunti)
Altri esempi...vedi appunti.