x - Informatica

Andrea Scozzari
a.a. 2012-2013
Analisi di sensibilità
1
Problema di Massimo in forma generale
max 130 xc  100 x p
1,5 xc 
x p  27
xc 
x p  21
xp
0,3xc  0,5 x p  9
xc  15
x p  16
xc , x p  0
regione
ammissibile
xc
2
Problema di Massimo in forma generale
xp
max 130 xc  100 x p
1,5 xc 
x p  27
xc 
x p  21
0,3xc  0,5 x p  9
ottimo finito unico
regione
ammissibile
xc  15
x p  16
xc , x p  0
xc
3
Analisi di sensibilità
L’analisi di sensibilità serve per analizzare se e come cambia la
soluzione ottima di un modello di PL quando si ipotizzano cambiamenti
nei dati iniziali che definiscono il problema.
L’elemento cruciale dell’analisi di sensibilità è il prezzo ombra che
rappresenta uno strumento fondamentale nell’analisi e nella soluzione
dei modelli di ottimizzazione. Esso è particolarmente utile per capire
quali importanti implicazioni una decisione possa avere nell’ambito
della risoluzione di problemi complessi.
4
Analisi di sensibilità
Problema di produzione
max 130 xc  100 x p
1,5 xc 
x p  27
xc 
x p  21
0,3xc  0,5 x p  9
xc  15
x p  16
xc , x p  0
vincoli di limitazione delle risorse
in corrispondenza dell’ottimo
1,5  12 
9  27
12 
9  21
0,3  12  0,5  9  8,1  9
soluzione ottima del modello
xc
 12
xp

9
guadagno totale giornaliero
2460 $
Implementando questa soluzione ottima, le risorse relative ai primi due
vincoli del problema sono completamente utilizzate.
Se fosse possibile disporre di una unità in più della prima risorsa,
potremmo trovare una soluzione migliore?
5
Analisi di sensibilità
Problema di produzione con 1 unità in
più della prima risorsa
max 130 xc  100 x p
1,5 xc  x p  28
xc 
x p  21
0,3xc  0,5 x p  9
xc  15
x p  16
xc , x p  0
vincoli di limitazione delle risorse
in corrispondenza dell’ottimo
1,5  14 
7  28
14 
7  21
0,3  14  0,5  7  7,7  9
soluzione ottima del modello
xc
 14
xp

7
guadagno totale giornaliero
2520 $
incremento della f.o.
2520-2460 = 60 $
Sulla base di questo risultato, si può valutare il prezzo ombra associato al
vincolo di disponibilità della prima risorsa. Considerando che
acquistando 1 unità in più si guadagna 60 $, il prezzo ombra è proprio
pari a $ 60.
6
Analisi di sensibilità
Il prezzo ombra associato ad un vincolo è pari alla variazione della
funzione obiettivo che si osserva in corrispondenza della variazione
unitaria del termine noto di quel vincolo, tenuti fissati tutti gli altri dati
del problema.
vincoli di limitazione delle risorse
Problema di produzione
con 1 unità in più della seconda risorsa
in corrispondenza dell’ottimo
max 130 xc  100 x p
1,5 xc  x p  27
xc 
x p  22
0,3xc  0,5 x p  9
xc  15
x p  16
xc , x p  0
1,5  10 
12  27
10 
12  22
0,3  10  0,5  12  9
soluzione ottima del modello
xc
 10
xp
 12
guadagno totale giornaliero
2500 $
incremento della f.o.
2500-2460 = 40 $
prezzo ombra associato al secondo vincolo $ 40
7
Analisi di sensibilità
Il prezzo ombra rappresenta in questo modo il prezzo che una azienda
sarebbe disposta a pagare per una unità in più di risorsa. Può essere
dunque interpretato come il valore che ha una unità di risorsa in più
secondo l’azienda.
Se sul mercato il prezzo della prima risorsa è inferiore a $
60, l’azienda sarà propensa ad acquistare risorsa
aggiuntiva, altrimenti, se il prezzo è superiore a $ 60 non
si acquisterà altra risorsa.
Ragionando in maniera analoga per il secondo vincolo, il prezzo
ombra risulta pari a 0.
Infatti, dal momento che nella soluzione ottima del modello questa risorsa non
viene usata a pieno (vincolo non attivo), un aumento di questa risorsa non
cambia la soluzione ottima e il prezzo ombra risulta 0.
8
Analisi di sensibilità
Una volta calcolata la soluzione ottima del modello di PL, per tutti i
vincoli attivi in corrispondenza di tale soluzione si avranno prezzi ombra
positivi.
Per tutti i vincoli non attivi in corrispondenza di tale soluzione si
avranno prezzi ombra nulli.
La variazione del valore ottimo e del valore della funzione obiettivo
possono essere visualizzate graficamente.
9
Analisi di sensibilità
xp
27
21
16
9
regione
ammissibile
12
15
18
21
xc
10
Analisi di sensibilità
xp
27
16
Se il termine noto del vincolo
aumenta il vertice “si sposta”.
Non è più un vertice
Il vertice si sposta a destra
9
7
regione
ammissibile
12 14 15
18
xc
11
Analisi di sensibilità
Il valore della funzione
obiettivo aumenta.
xp
16
Il valore della f.o. è 2460
Il valore della f.o. è 2520
9
7
regione
ammissibile
12 14 15
xc
12
Analisi di sensibilità: incremento marginale del RHS
Il valore della funzione
obiettivo aumenta.
xp
16
Il valore della f.o. è 2460
Il valore della f.o. è 2520
9
7
regione
ammissibile
La soluzione ottima
cambia, e corrisponde
alla nuova posizione del
vertice ottimo.
12 14 15
xc
13
Analisi di sensibilità: decremento marginale del RHS
xp
Simmetricamente, se il termine noto
del vincolo diminuisce, il vertice
ottimo si sposta e il valore della
funzione obiettivo diminuisce.
Il vertice ottimo si sposta a sinistra
16
Non è più un vertice
9
La soluzione ottima
cambia, e di nuovo
corrisponde alla nuova
posizione del vertice
ottimo.
regione
ammissibile
12
15
xc
14
Analisi di sensibilità: incremento non marginale del RHS
xp
27
Se, però, il termine noto del vincolo
aumenta “troppo”, il prezzo ombra
non può essere più calcolato.
16
Non è più un vertice
Non è più un vertice
regione
ammissibile
15
18
xc
15
Analisi di sensibilità
L’interpretazione del prezzo ombra appena vista può essere valida per
incrementi o decrementi dei termini noti dei vincoli anche di più di
una unità.
Tuttavia, possiamo utilizzare il prezzo ombra associato a un vincolo solo
per valutare la variazione “marginale” della funzione obiettivo. In
corrispondenza di una variazione molto grande del termine noto non
siamo in grado di conoscere automaticamente l’incremento della f.o.
In genere, dunque, i software di risoluzione di modelli di PL, oltre i
prezzi ombra associati a ciascun vincolo, forniscono per ciascun
termine noto l’intervallo di valori entro il quale il prezzo ombra ha
validità (Range).
16
Analisi di sensibilità
Esempio: foglio
dell’analisi di
sensibilità in excel
In un problema di massimo, per il termine noto
di un vincolo di tipo “ ≤ ” con prezzo ombra
nullo, l’estremo superiore del Range è + ∞.
17
Prezzi ombra
Il prezzo ombra associato a un vincolo è pari alla variazione del valore ottimo
che si osserva per effetto di un incremento di una unità del termine noto di quel
vincolo, tenuti fissati tutti gli altri dati del problema.
• In corrispondenza di un vincolo non attivo tale variazione è nulla.
• In corrispondenza di un vincolo attivo tale variazione può essere
positiva o negativa in base al tipo di problema (MAX o MIN) ed al
tipo di vincolo (≤ o ≥) come indicato nella tabella:
PROBLEMA/VINCOLO
≤
≥
MAX
+
-
MIN
-
+
18
Prezzi ombra
Il prezzo ombra associato a un vincolo è pari alla variazione del valore ottimo
che si osserva per effetto di un incremento di una unità del termine noto di quel
vincolo, tenuti fissati tutti gli altri dati del problema.
• In corrispondenza di un vincolo non attivo tale variazione è nulla.
• In corrispondenza di un vincolo attivo tale variazione può essere
positiva o negativa in base al tipo di problema (MAX o MIN) ed al
tipo di vincolo (≤ o ≥) come indicato nella tabella:
PROBLEMA/VINCOLO
≤
≥
MAX
+
-
MIN
-
+
Nel caso di vincoli di uguaglianza il prezzo ombra può risultare
sia positivo che negativo.
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Prezzi ombra
max 2y - x
f.o. di tipo max
vincoli di tipo “ ≥ ”
5y + 9x ≥ 45
regione
ammissibile
20
Prezzi ombra
max 2y - x
vertice ottimo
f.o. di tipo max
vincoli di tipo “ ≥ ”
5y + 9x ≥ 45
regione
ammissibile
21
Prezzi ombra
max 2y - x
f.o. di tipo max
vincoli di tipo “ ≥ ”
5y + 9x ≥ 45
regione
ammissibile
5y + 9x ≥ 46
Il valore ottimo diminuisce
22
Range di validità del prezzo ombra
Prezzo ombra di un
vincolo attivo di
tipo “ ≤ ”
Il prezzo ombra è diverso da 0 e il
range è un intervallo del tipo [a, b].
Prezzo ombra di un
vincolo non attivo
di tipo “ ≤ ”
Il prezzo ombra è pari a 0 e il range
è un intervallo del tipo [a, + ∞).
Prezzo ombra di un
vincolo attivo di
tipo “ ≥ ”
Il prezzo ombra è diverso da 0 e il
range è un intervallo del tipo [a, b].
Prezzo ombra di un
vincolo non attivo
di tipo “ ≥ ”
Il prezzo ombra è pari a 0 e il range
è un intervallo del tipo (- ∞, b].
23
Costi ridotti
I costi ridotti sono valori associati alle variabili e sono diversi da 0
solo in corrispondenza di variabili con valore nullo nella soluzione
ottima. Essi possono essere interpretati nei due modi seguenti:
• variazione della funzione obiettivo per effetto di ogni unità di incremento
della variabile corrispondente;
• valore massimo di cui si può modificare il coefficiente della variabile
nella funzione obiettivo senza che cambi la soluzione ottima.
Anche per questi valori
viene fornito un range
di validità
L’incremento/decremento ammissibile dei coefficienti della funzione
obiettivo (range di validità) indica di quanto può essere variato ogni
singolo coefficiente, tenendo fissi gli altri, senza che cambi la soluzione
ottima del problema (cambia però il valore della soluzione ottima)
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Analisi di sensibilità
Il rapporto sull’analisi di sensibilità dei problemi di PL fornisce
utili informazioni sulle conseguenze di eventuali cambiamenti dei
coefficienti della funzione obiettivo.
Questo è utile sia per un’analisi di tipo “what if”, sia perché i dati
che vengono utilizzati nei modelli sono spesso incerti ed
approssimati ed è quindi importante sapere cosa accadrebbe se
essi venissero modificati.
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