Il modello di Stiglitz-Weiss - Dipartimento di Economia, Statistica e

Il Modello di Stiglitz e Weiss: il Credit
Rationing e la politica monetaria
Prof. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London)
Modelli Macroeconomici
a.a. 2011- 2012
1
Introduzione
Come è stato studiato nel corso di macroeconomia, la politica monetaria può
nel breve periodo avere degli e¤etti reali. Tali e¤etti sono descrivibili secondo
il processo "tasso di interesse-investimenti-produzione". In questa sede cercheremo di studiare un altro possibile meccanismo attraverso il quale la politica
monetaria può in‡uenzare il livello di produzione di un’economia. Tale meccanismo può sorgere in presenza di asimmetrie informative sulla rischiosità di
progetti di investimento che devono essere …nanziati dalle banche. Come vedremo, infatti, qualora le banche non possono osservare l’e¤ettiva rischiosità di
un progetto di investimento, chiederanno un tasso di interesse unico per tutti
i progetti. Tale tasso di interesse non necessariamente mette in equilibrio domanda ed o¤erta di credito neanche qualora le banche operini in concorrenza
perfetta. In questa situazione il credito potrebbe essere razionato ed il livello di
produzione dipenderà dall’entità di tale razionamento. In questo contesto, una
politica monetaria che porta ad un aumento della base monetaria, può, nel breve
periodo, ridurre l’entità del razionamento del credito ed in‡uenzare il livello di
produzione dell’economia.
2
Il Modello
Si consideri un’economia dove opera una singola banca. Tale economia è caratterizzata da un certo numero di imprenditori. Ogni singolo imprenditore i
(i = 1; 2; ::::) possiede un progetto di investimento. Ogni progetto ha un costo
di realizzazione K. Ogni imprenditore è dotato di una ricchezza W < K, per
cui se vuole realizzare il progetto deve chiedere un prestito alla banca pari a
B = K W . I progetti sono eterogenei rispetto alla loro probabilità di successo. Si indichi con pi 2 (0; 1) la probabilità di successo del progetto i: La
U niversità della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica; E-mail:
[email protected]; Homepage: www.ecostat.unical.it/Rose.
1
rischiosità di ogni singolo progetto è nota solo all’imprenditore. La banca non
può distinguere quali progetti sono più rischiosi e quali meno. Essa conosce
solo la funzione di distribuzione di pi ovvero g(pi ): In altre parole la banca può
valutare la rischiosità media di ogni singolo progetto:
E[pi ] =
Z1
pi g(pi )dpi :
(1)
0
Si indichi con:
Ris il rendimento netto del progetto i in caso di successo;
Rif il rendimento netto del progetto i in caso di fallimento.
Il rendimento atteso del progetto i, indicato da Ri , è quindi pari a:
Ri = pi Ris + (1
pi )Rif
(2)
Si supponga che tutti i progetti abbiano lo stesso rendimento atteso, ovvero
Ri = R: Si supponga inoltre che se i progetti falliscono generano tutti lo stesso
valore, ovvero Rif = Rf : Il rendimento atteso di ogni progetto è ora dato da:
R = pi Ris + (1
pi )Rf :
(3)
La relazione (3) ci dice due cose importanti:
1. in media tutti i progetti hanno lo stesso rendimento atteso (per ipotesi);
2. i progetti piu rischiosi (pi piccolo) hanno un rendimento netto in caso
di successo (Ris ) più grande dei progetti meno rischiosi (relazione rischiorendimento). Intuitivamente, poichè i progetti hanno tutti lo stesso rendimento atteso, al diminuire della probabilità di successo deve aumentare il
rendimento in caso di successo.
Si supponga che imprenditori e banche siano neutrali al rischio. Si supponga
inoltre che il contratto stipulato tra l’imprenditore e la banca preveda che:
in caso di fallimento del progetto, la banca ottiene Rf e l’imprenditore
prende zero;
in caso di successo del progetto, la banca ottiene B(1 + r) dove r è il tasso
di interesse sul prestito.
In …ne, si consideri soddisfatta la seguente relazione:
Ris > B(1 + r) > Rf :
(4)
La prima parte della relazione (4) ci dice che un progetto che ha successo è
sempre in grado di ripagare il debito più gli interessi. La seconda parte indica
2
cha la banca preferisce avere indietro il prestito più gli interessi piuttosto che
ottenere ciò che genera un progetto fallito.
A questo punto, data la situazione sopra descritta, bisogna individuare
l’equilibrio del modello. Si noti che la banca deve decidere il tasso di interesse
sul prestito (r) mentre gli imprenditori devono decidere se richiedere il prestito
dato il tasso di interesse e data la probabilità di successo del loro progetto i:
3
L’equilibrio
Il modello sopra descritto non è un modello di interazione simultanea (come i
modelli di Cournot e di Bertrand dove due imprese simultaneamente decidono
rispettivamente quantità o prezzi), ma è un modello di interazione sequenziale
dove, prima la banca …ssa il tasso di interesse e poi gli imprenditori decidono
se chiedere il prestito. Tale processo di interazione è concettualmente simile
al modello di Stackelberg dove, come ricorderete (?), due imprese decidono la
quantità da produrre non simultaneamente, bensì in maniera sequenziale. Tali
modelli si risolvono applicando la così detta backward induction. In altre parole
si parte da chi decide per ultimo cosa fare e poi si procede all’indietro.1 Nel
nostro caso, quindi, si trova prima la scelta dell’imprenditore (chiedere o non
chiedere il prestito data la probabilità di successo del suo progetto) in funzione
di r: Successivamente si studia la decisione della banca riguardo al tasso di
interesse. La banca sceglierà in tasso di interesse che massimizza i suoi pro…tti
includendo nei suoi calcoli la funzione di reazione degli imprenditori rispetto ad
r:
Cominciamo quindi ad analizzare la decisione dell’imprenditore i dato r:
Successivamente analizzeremo la decisione della banca dato il comportamento
degli imprenditori.
3.1
La scelta degli imprenditori
Il pro…tto atteso dell’i-esimo imprenditore (E[ i ]) è dato da:
E[ i ] = pi [Ris
E[ i ] = pi [Ris
B(1 + r)] + (1
B(1 + r)]:
pi ) 0
(5)
Ricavando Ris dalla (3) otteniamo:
(1 pi ) f
R
R
pi
pi
Sostituendo la (6) nella (5) otteniamo:
Ris =
E[ i ] = pi
R
pi
(1
pi )
pi
Rf
B(1 + r)
(6)
(7)
1 La backward induction porta all’identi…cazione dei sub game perfect Nash equilibria (roba
terribile studiata nel corso di teoria dei giochi).
3
ovvero:
E[ i ] = R
Rf
pi [B(1 + r)
|
{z
Rf ]:
}
(8)
>0 p er l’ip otesi (4)
Dalla (8) si può vedere come al crescere di pi il pro…tto atteso dell’imprenditore
diminuisce. Analiticamente:
@E[ i ]
< 0:
@pi
(9)
Si supponga adesso che le banche o¤rano un tasso di interesse > 0 privo di
rischio sui depositi. Un imprenditore che decide di non fare l’investimento può
depositare in banca la sua ricchezza W ed ottenere alla …ne una ricchezza pari
a W (1 + ). In questo contesto, a¢ nchè gli imprenditori decidano di realizzare
il progetto e chiedere il prestito è neccessario che valga la seguente relazione:
E[ i ]
W (1 + ):
(10)
Si consideri la posizione al margine ovvero la posizione in cui un imprenditore
è indi¤erente tra la realizzazione del progetto e il deposito della ricchezza in
banca:
E[ i ] = W (1 + ):
i
(11)
Come abbiamo visto, E[ ] dipende da pi : Quindi, i progetti che hanno una
probabilità di successo p tale da soddisfare la relazione (10) come un’uguaglianza
saranno indi¤erenti tra fare il progetto e depositare i soldi in banca. Ma questo
signi…ca che tutti gli imprenditori che hanno progetti con una probabilità di
successo pi > p, non chiederanno il prestito e depositeranno la loro ricchezza
in banca (ricorda che se p " E[ i ] #). Esiste quindi un livello di probabilità p
che separa i progetti che chiederanno il prestito da quelli che non domandano
…nanziamenti. Questi ultimi infatti, trovano più conveniente depositare i soldi
ad un tasso di interesse privo di rischio. I progetti con probabilità di successo
molto elevata generano un basso pro…tto atteso per l’imprenditore per cui egli
preferirà depositare la sua ricchezza ed ottenere un interesse : Ma quale è il
livello di probabilità p che separa i progetti che chiedono di essere …nanziati da
quelli che invece non vengono realizzati? Si può facilmente intuire che tale livello di probabilità p dipenderà dal tasso di interesse …ssato dalla banca. Infatti,
si consideri la relazione (11). Dato un certo tasso di interesse r tale relazione
è soddisfatta per un livello di probabilità di successo pari a p: Se r aumenta,
il lato sinistro della (11) diminuisce (vedi relazione (8)), per cui gli individui
con progetti con probabilità di successo pari a p non sono più indi¤erenti ma
preferiranno strettamente depositare i soldi ad un tasso di interesse sicuro. Di
conseguenza la posizione al margine sarà rappresentata da progetti ancora più
rischiosi ovvero da progetti caratterizzati da una più bassa probabilità di successo. In altre parole, il livello di probabilità p che separa i progetti che chiedono
4
il …nanziamento da quelli che non lo chiedono è funzione inversa del tasso di interesse …ssato dalla banca:
p
@p
@r
= p(r)
con
(12)
< 0:
Il problema è un caso particolare della così detta selezione avversa. Più è
alto il tasso di interesse chiesto dalla banca, minore è la probabilità di successo
dei progetti che chiedono di essere …nanziati.
3.2
La scelta della banca
La banca ha come scopo quello di …ssare il tasso di interesse r che massimizza
il suo pro…tto atteso. Essa, come vedremo, prenderà in considerazione il fatto
che la sua decisione su r in‡uenza la qualità dei progetti che chiedono di essere
…nanziati. Se la banca conoscesse la probabilità di successo di ogni singolo
progetto, il suo pro…tto atteso sarebbe dato da:
E[
b
] = B(1 + r)pi + (1
pi )Rf :
(13)
Il problema è che la banca non conosce pi ma formula aspettative su tale
valore per cui:
E[
b
] = B(1 + r)E[pi ] + E[1
pi ]Rf :
(14)
Nella relazione (1) abbiamo supposto che:
E[pi ] =
Z1
pi g(pi )dpi :
0
Ma adesso noi sappiamo che la banca non valuterà il valore atteso di pi
sull’intero supporto della distribuzione (0; 1) in quanto essa sa che al variare del
tasso di interesse che sarà …ssato varierà l’estremo superiore di integrazione. In
altre parole, la media della probabilità di successo di un progetto viene valutata
dalla banca all’interno dei progetti che fanno domanda per essere …nanziati e
non tra tutti i progetti. Cosi facendo la banca ingloba nella sua decisione la
funzione di reazione degli imprenditori. Quindi:
E[pi ] =
Zp
pi g(pi )dpi :
(15)
0
E’utile ricordare che l’estremo superiore di integrazione è funzione di r: Più
è alto il tasso di interesse chiesto dalla banca minore sarà l’aspettativa formulata
dalla banca sulla probabilità di successo del progetto i.
5
Sostituendo quest’ultimo risultato nel pro…tto atteso della banca (14) otteniamo:
E[
b
] = B(1 + r)
Zp
pi g(pi )dpi +
Zp
(1
pi )g(pi )dpi Rf :
(16)
0
0
La banca deve sceglire r che massimizza il suo pro…tto atteso:
maxE[
r
b
]
(17)
ovvero:
8
p(r)
p(r)
>
Z
Z
<
max B(1 + r)
pi g(pi )dpi +
(1
r >
:
0
pi )g(pi )dpi Rf
(18)
0
Dobbiamo fare la derivata prima della (18) rispetto ad r e porla uguale a zero.
Prima di fare ciò è importante notare che l’estremo superiore di entrambi gli
integrali della (18) è funzione della variabile rispetto alla quale stiamo derivando
(vedi la relazione (12)). La derivata di un integrale che contiene all’estremo di
integrazione una funzione della variabile rispetto alla quale stiamo derivando
si e¤ettua utilizzando la regola di Leibniz, ovvero: la derivata dell’estremo di
integrazione che moltiplica l’argomento dell’integrale valutato nell’estremo di
integrazione.
Nel nostro caso avremo la seguente condizione del primo ordine:
@E[ b ]
=B
@r
Zp
pi g(pi )dpi + B(1 + r)
@p
@p
pg(p) +
(1
@r
@r
p)g(p)Rf = 0:
(19)
0
Riordinando avremo:
B
|
Zp
0
pi g(pi )dpi +
{z
+
}
@p
[B(1 + r)pg(p) + (1
{z
@r |
|{z}
+
{z
|
p)g(p)Rf ] = 0:
}
}
(20)
Il primo elemento della (20) rappresenta l’elemento che contiene l’aumento
di pro…tto (il ricavo marginale) che l’impresa fa quando aumenta il tasso di
interesse (incassa più interessi). Questo è sempre positivo. Il secondo membro
rappresenta il costo marginale dell’aumento del tasso di interesse, ovvero un
maggiore tasso di interesse attrae progetti più rischiosi e questo riduce il pro…tto
atteso della banca. Il tasso di interesse ottimale r …ssato dalla banca è il tasso
che uguaglia il costo ed il ricavo maginale.2
2 Ovviamente
la soluzione analitica di r dipende da g(pi ).
6
Figure 1: Relazione tra pro…tto atteso e tasso di interesse per la banca
L’andamendo del pro…tto atteso in funzione di r può essere rappresentato
gra…camente come illustrato nella Figura 1. Il tasso di interesse r è il tasso in
corrispondenza del quale il pro…tto atteso è massimo.
In quanto segue, spiegheremo che la curva disegnata nella Figura 1 che mette
in relazione il tasso di interesse con il pro…tto atteso della banca, altro non è
che la curva di o¤erta di prestiti in funzione del tasso di interesse.
Si ricorda che, in generale, il tasso di rendimento di un investimento è dato
dal pro…tto generato dell’investimento diviso la somma investita. Considerando
l’operazione di prestito fatta dalla banca, il tasso di rendimento atteso per la
banca su ogni prestito (che è l’investimento dal punto di vista bancario) è dato
dal rapporto tra il pro…tto atteso e la somma data a prestito (la somma investita
dalla banca):
E[ b ]
:
(21)
B
Si noti che l’andamento del tasso di rendimento atteso rispetto al tasso di
interesse r, rappresentato nella Figura 2 è esattamente pari alla relazione che
esiste tra il pro…tto atteso ed r descritta nella Figura 1 (stiamo solo dividendo
per una costante). Si può dimostrare che sotto l’ipotesi di concorrenza perfetta del settore bancario, il tasso di rendimento atteso per una singola banca è
esattamente pari al tasso di interesse che la banca paga sui depositi, ovvero:3
Tasso di rendimento atteso =
3 Tale condizione è simile a quella classica da voi studiata in microeconomia che ci dice che
in concorrenza perfetta il prezzo di un bene deve essere pari al costo marginale che l’impresa
deve sostenere per produrre tale bene.
7
Figure 2: Relazione tra rendimento atteso e tasso di interesse per la banca
E[ b ]
:
(22)
B
Abbiamo quindi una relazione tra il tasso di interesse sui depositi ed il
tasso di interesse sui prestiti r: Disegnamo tale relazione, per una ragione di
comodità che sarà chiara tra un attimo, nel Quadrante A di un sistema di assi
cartesiani, come indicato nella Figura 3. Questo quadrante rappresenta il nostro
punto di partenza nell’analisi complessiva del gra…co che verrà e¤ettuata tra un
attimo.4
Disegnamo ora, nel Quadrante B la relazione che esiste tra il tasso di interesse
e la domanda di depositi (D) da parte degli imprenditori. Questa relazione
è chiaramente crescente (non è necessario dare ad essa una forma particolare,
disegnamo solo una generica curva crescente D). Si noti che la banca può dare a
prestito solo i depositi che riceve, quindi i depositi non sono altro che la possibile
o¤erta di prestiti (che indicheremo con Ls ) che può essere e¤ettuata dalla banca.
Con una retta a 45 possiamo trasferire i depositi nel Quadrante C e considerarli
come l’o¤erta dei prestiti Ls che puo essere fatta dalla banca. Abbiamo quindi
nel Quadrante C la relazione che intercorre tra l’o¤erta di prestiti ed il tasso
di interesse chiesto dalla banca. Ricavando tale curva per diversi livelli di r
partendo dal Quadrante A si può vedere che essa è l’immagine ri‡essa della
curva sottostante. In altre parole la curva di o¤erta di prestiti della banca è
pressochè la stessa che unisce il rendimento atteso all’andamento del tasso di
=
4 Si noti che sia il Quadrante A che il Quadrante B sono composti da assi cartesiani con
valori positivi. Sono disegnati rovesciati ma ciò non cambia la relazione tra le variabili.
8
interesse (quella nel Quadrante A).5
Rimaniamo adesso nel Quadrante C dove abbiamo disegnato la curva di
o¤erta di prestiti. A questo punto, possiamo disegnare, nello stesso quadrante
la curva di domanda di prestiti Ld in funzione di r: Come abbiamo visto in
precedenza, maggiore è il tasso di interesse e minore sarà la domanda di prestiti.
Avremo quindi una curva decrescente.
Possiamo adesso vedere come il Quadrante C rappresenta un gra…co di domanda e o¤erta di prestiti, dove però la curva di o¤erta non è una funzione
strettamente crescente nel prezzo (il tasso di interesse) in virtù della selezione
avversa. In questo gra…co, domanda ed o¤erta sono in equilibrio nel punto E:
Ma è tale punto raggiunto nella nostra economia? La risposta è no. Infatti
in corrispondenza del punto E la banca dovrebbe …ssare un tasso di interesse
diverso da r e cioè dovrebbe …ssare un tasso che non massimizza i suoi pro…tti.
La banca preferirà sempre …ssare un tasso pari ad r : In corrispondenza di r
domanda ed o¤erta di moneta non sono in equilibrio. Infatti siamo in presenza
di un eccesso di domanda di prestiti. Tale eccesso di domanda non porterà ad un
aumento di r poichè ciò ridurrebbe i pro…tti per la banca. In equilibrio siamo
in presenza di un mercato del credito razionato (credit rationing) in quanto in
corrispondenza di un tasso di interesse r sono molti di più i progetti che vorrebbero essere …nanziati rispetto a quelli che trovano un e¤ettivo …nanziamento.
Il segmento E 0 E 00 rappresenta l’entità del credit rationing.
4
La politica monetaria nel breve periodo
Data questa situazione dove l’accesso al credito è limitato, si consideri l’e¤etto
di breve periodo di un aumento della base monetaria. Per de…nizione di breve
periodo si supponga che gli agenti non modi…cano le loro abitudini ed i loro comportamenti di consumo. Se è aumentata la moneta in circolazione nell’economia
ed i comportamenti di consumo degli agenti non sono mutati, gli agenti non
fanno altro che aumentare la quantità di depositi a parità di (depositano
questo eccesso di moneta). Nella Figura 4, un aumento nella base monetaria
si traduce in un abbassamento della curva dei depositi (da D a D0 ). Tale aumento dei depositi non fa altro che alzare la curva dell’o¤erta dei prestiti nel
0
breve periodo (da Ls ad Ls ) riducendo la quantità di progetti che non trovano
…nanziamento. Ovviamente, questo signi…ca che la politica monetaria può in‡uenzare il livello di produzione di un’economia anche attraverso un canale che
non passa attraverso il processo "tasso di interesse-investimenti-produzione".
Il ruolo che la politica monetaria può avere in aree dove l’accesso al credito è
limitato può passare attraverso l’aumento dell’o¤erta di credito che porta alla
realizzazione di un maggior numero di investimenti e ad un maggior livello di
produzione.
5 La curva Ls nel Quadrante C sarebbe esattamente uguale alla …gura nel Quadrante A se
la curva D fosse una retta a 45 . In realtà l’immagine nel Quadrante C è deformata rispetto
a quella del Quadrante A a seconda della pendenza della curva D: Tra un attimo vedremo
l’e¤etto di una variazione di pendenza di tale della curva D sulla forma della curva Ls :
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Figure 3: Il sorgere del razionamento del credito
10
Figure 4: E¤etto di un’espansione monetaria sul razionamento del credito.
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