MODULAZIONE FM - W2000 - 2012_12_29

Appunti di Telecomunicazioni – Prof. Azzimonti Edoardo – A.S. 2012 - 2013
MODULAZIONE DI FREQUENZA (FM - Frequency Modulation)
Il campo delle frequenze commerciali delle portanti è compreso fra 88 e 108 Mhz, mentre quello
delle modulanti coincide con la gamma delle frequenze audio (voce+musica - da 20Hz a 20kHz).
Modulazione di frequenza con modulante sinusoidale
v m (t ) = Am cos(ω m t )
v FM (t ) = A p cos ϕ (t )
v p (t ) = A p cos(ω p t )
Se la frequenza ω FM (t ) del segnale modulato fosse costante, potrei scrivere ϕ (t ) = ω FM t = angolo
istantaneo.
Ma nella modulazione di frequenza, ω FM (t ) varia istante per istante, in funzione dell’ampiezza
della modulante, e l’espressione del segnale modulato vale:
[
v FM (t ) = A cos ∫ ω FM (t )dt
]
Il valore della pulsazione istantanea ω FM (t ) , oscillerà attorno al valore della portante ω p (t ) di una
quantità che sarà proporzionale (attraverso un coefficiente K - sensibilità del modulatore),
all’ampiezza istantanea del segnale modulante che risulta pari a Am cos(ω m t ) . Possiamo quindi
scrivere, ricordando che ω p (t ) =costante:
ω FM (t ) = ω p (t ) + Kv m (t ) = ω p (t ) + KAm cos(ω m t )
Sarà quindi:
[
]


KAm
v FM (t ) = A p cos ∫ (ω p (t ) + KAm cos(ω m t ))dt = Ap cos ω p t +
sen(ω m t )
ωm


Figura 1: segnale modulato in frequenza, con modulante sinusoidale
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Anche nella modulazione FM, si può esprimere l’andamento nel tempo, del segnale modulato, in
funzione di un indice di modulazione, definito questa volta come:
m=
e quindi
KAm
ωm
[
v FM (t ) = A p cos ω p t + msen(ω m t )
]
Osservando la figura, si nota che la frequenza del segnale modulato raggiunge il massimo valore
dove la distanza dei punti di zero è minima (istante t1) e raggiunge il minimo valore nel punto in cui
la distanza dei punti di zero diventa massima (istante t3).
Definiamo massima deviazione di frequenza max ∆f FM del segnale modulato, la differenza fra la
massima frequenza assunta dal segnale modulato e la frequenza della portante:
max ∆f FM = f FM max − f p
Con modulante sinusoidale, avremo anche:
max ∆f FM = f p − f FM min
ed anche
max ∆f FM =
1
( f FM max − f FM min )
2
Poichè la deviazione di frequenza dipende dall’ampiezza del segnale modulante (in BF), si può dire
che ad una piccola ampiezza del segnale modulante (volume debole), corrisponde una piccola
deviazione di frequenza, mentre ad una grande ampiezza del segnale modulante (volume elevato),
corrisponde una elevata deviazione di frequenza.
Dalle definizioni date, risultava:
ω FM (t ) = ω p (t ) + KAm cos(ω m t )
e quindi
f FM (t ) = f p (t ) +
KAm
cos(ω m t )
2π
I valori massimi e minimi di frequenza del segnale FM, varranno quindi:
f FM max = f p (t ) +
KAm
2π
f FM min = f p (t ) −
e
KAm
2π
Da queste relazioni possiamo ricavare:
max ∆f FM = ±
KAm
2π
Nei trasmettitori radio, la massima deviazione di frequenza dal valore nominale della portante è
normalizzata a ±75 kHz .
Anche da questa formula, risulta chiaro come la massima deviazione di frequenza del segnale
modulato, dipenda solo dall’ampiezza del segnale modulante (volume) e non dalla sua frequenza
(tono).
L’indice di modulazione si può esprimere anche in funzione della massima deviazione di frequenza:
m=
max ∆f FM
fm
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Spettro del segnale modulato
Consideriamo l’espressione generale del segnale modulato
[
v FM (t ) = A p cos ω p t + msen(ω m t )
]
e la sviluppiamo con la formula di addizione del coseno




v FM (t ) = A p cos(ω p t )cos[msen(ω m t )] − sen(ω p t )sen[msen(ω m t )] Equazione 1
1442443
1442443


*
*
I termini indicati con (*), rappresentano delle funzioni di funzione che, in serie di Bessel1, si
possono sviluppare come:
[
]
sen[ m sen(ω t )] = 2 J ( m) sen(ω t ) + 2 J ( m) sen( 3ω t ) + 2 J ( m) sen(5ω t )+........
cos m sen(ω m t ) = J 0 ( m) + 2 J 2 ( m) cos( 2ω m t ) + 2 J 4 ( m) cos(4ω m t ) + 2 J 6 ( m) cos(6ω m t ) +........
m
1
m
3
m
5
m
Come si può osservare, le funzioni di Bessel2 che definiscono lo sviluppo in serie, sono funzione
dell’indice di modulazione m.
Sostituendo queste espressioni nella (1), otteniamo:
v FM (t ) = A p {cos(ω p t )[J 0 (m ) + 2 J 2 (m ) cos(2ω m t ) + 2 J 4 (m ) cos(4ω m t ) + 2 J 6 (m ) cos(6ω m t ) + ........] +
− sen(ω p t )[2 J 1 (m )sen(ω m t ) + 2 J 3 (m )sen(3ω m t ) + 2 J 5 (m )sen(5ω m t ) + ........]}
Svolgendo i prodotti
[
]
v FM (t ) = A p { J 0 (m ) cos(ω p t ) + 2 J 2 (m ) cos(ω p t )cos(2ω m t ) + 2 J 4 (m ) cos(ω p t )cos(4ω m t ) + ........ +
[
]
e
− 2 J 1 (m )sen(ω p t )sen(ω m t ) + 2 J 3 (m )sen(ω p t )sen(3ω m t ) + 2 J 5 (m )sen(ω p t )sen(5ω m t ) + ........ }
quindi, utilizzando le formule di addizione e sottrazione del coseno
v FM (t ) = A p {J 0 (m ) cos(ω p t ) +
[
(m ) cos[(ω
(m ) cos[(ω
]
[
)t ] + J (m )cos[(ω
)t ] + J (m)cos[(ω
]
− J 1 (m ) cos (ω p − ω m )t + J 1 (m ) cos (ω p + ω m )t +
+ J2
− J3
p
− 2ω m
p
− 3ω m
]
)t ] + K
2
p
+ 2ω m )t +
3
p
+ 3ω m
x 2 y ' '+ xy '+ ( x 2 − n 2 ) y = 0 (con n=1,2,3...), le soluzioni sono rappresentate
dalla famiglia di funzioni y ( x ) = C1 J n ( x ) + C2 Yn ( x ) , dove con J n ( x ) ed Yn ( x ) , si intendono rispettivamente le
1
Data l’equazione differenziale del tipo
funzioni di Bessel e le funzioni di Neumann di ordine n.
Il cui andamento è riportato alla pagina seguente.
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Jn
m
Figura 2: funzioni di Bessel
Questa espressione permette di determinare la forma dello spettro di un segnale modulato in
frequenza; il primo termine rappresenta la portante, mentre gli altri termini indicano le componenti
delle bande laterali, composte teoricamente da un numero infinito di righe simmetriche rispetto alla
frequenza della portante (bande laterali).
Ciascuna riga dello spettro dista dalla precedente del valore f m e la loro ampiezza sarà
proporzionale alle funzioni di Bessel, che a loro volta dipendono dall’indice di modulazione m.
Il diagramma di Bessel può quindi essere utilizzato per determinare il numero delle righe
significative dello spettro (si trascurano quelle con ampiezza inferiore all’1%), una volta noto
l’indice di modulazione m.
Figura 3: spettro di un segnale FM, con modulante sinusoidale
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Esempio
Per leggere il diagramma delle funzioni di Bessel, si deve procedere così:
1. individuare il valore del coefficiente di modulazione m sulle ascisse;
2. l’intersezione della verticale con ciascuna curva individua sulle ordinate il valore della funzione
dei Bessel (Jn) che moltiplicata per l’ampiezza Ap della portante determina l’ampiezza della riga
spettrale.
Il numero di intersezioni indica il numero delle righe contenute in una banda laterale, comprensivo
della riga relativa alla portante.
Come si può verificare, per m=5 abbiamo 9 intersezioni (8+1) e quindi lo spettro completo sarà
formato da 17 righe.
Va sottolineato il fatto che le ampiezze delle righe spettrali possono risultare negative, a causa del
segno delle fasi; tuttavia, nella rappresentazione ampiezza-frequenza, è abitudine considerarle tutte
positive.
Bassi valori dell’indice di modulazione
Se supponiamo che l’indice di modulazione sia molto piccolo (minore di 0,2) possiamo, nella eq. 1,
fare le seguenti approssimazioni:
[
]
sen[m sen(ω t )] ≅ m sen(ω t )
cos m sen(ω m t ) ≅ 1
m
m
ottenendo così un’espressione della modulazione di frequenza definita a ‘banda stretta’ (NBFM:
Narrow Band FM)
[
v FM (t ) = A p cos(ω p t ) − msen(ω p t )sen(ω m t )]
Sviluppando questa espressione con le note regole trigonometriche otteniamo:
[
]
1


v FM (t ) = A p cos(ω p t ) + m cos(ω p + ω m )t − cos(ω p − ω m )t 
2


ottenendo così uno spettro costituito dalla portante accompagnata da due sole bande laterali.
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Osservazioni
1. La funzione di Bessel J 0 ( m) è periodica e si annulla in corrispondenza di particolari valori
dell’indice di modulazione m; per questi particolari valori quindi, la riga relativa alla portante è
assente dallo spettro.
In particolare, in corrispondenza del primo passaggio dallo zero della funzione portante J 0 ( m) ,
l’indice di modulazione assumerà il valore m=2,405.
Per ottenere tale condizione è sufficiente variare l’ampiezza della modulante ed individuare
l’ampiezza minima che raggiunge la riga centrale; a questo punto si può determinare la
deviazione di frequenza.
Supponendo infatti che la frequenza del segnale modulante (sinusoidale) sia pari a 10kHz,
avremo:
max ∆f FM = m ⋅ f m = 2,405 ⋅ 10 ⋅ 10 3 = 24,05 kHz
Poichè la massima deviazione è a sua volta definita come:
max ∆f FM =
KAm
2π
si può determinare, nota l’ampiezza Am del segnale modulante, il valore della costante K
[kHz/V], che rappresenta la caratteristica del modulatore (sensibilità).
Per assicurarsi che si tratti del primo passaggio per lo zero, si consiglia di aumentare l’ampiezza
della modulante partendo da un’ampiezza nulla (Am=0).
2. Osservando il segnale FM sullo schermo di un analizzatore di spettro si possono fare alcune
considerazioni.
Per far variare l’indice di modulazione m, abbiamo due possibilità:
a. mantenere costante la frequenza f m e far variare l’ampiezza Am del segnale modulante; in
questo caso, l’indice di modulazione m varia in modo direttamente proporzionale a Am (così
come la deviazione di frequenza). In questo caso, poichè la frequenza della modulante è
costante avremo, all’aumentare di Am, un aumento dell’indice di modulazione, con
conseguente aumento del numero di intersezioni con le funzioni di Bessel e quindi un
aumento del numero di righe dello spettro. La distanza fra tali righe resterà tuttavia costante,
poichè f m è costante.
b. mantenere costante l’ampiezza Am del segnale modulante e far variare la sua ampiezza f m ; in
questo caso, l’indice di modulazione m varia in modo inversamente proporzionale ad f m .
All’aumentare di f m , l’indice di modulazione diminuisce, quindi diminuisce il numero di
righe dello spettro (poichè diminuisce il numero di intersezioni con le funzioni di Bessel), ma
la loro distanza aumenta (poichè aumenta f m ).
KAm
Questa volta, la deviazione di frequenza max ∆f FM = ±
resta costante, poichè Am è
2π
costante.
3. Con la modulazione FM, a differenza di quella AM, si vengono a generare delle armoniche a
multipli interi, su entrambe i lati della frequenza portante, per ogni frequenza modulante (o come
vedremo, per ogni componente armonica del segnale modulante); nella modulazione AM, si
venivano a formare invece soltanto due armoniche laterali per ogni frequenza (o componente in
frequenza) del segnale modulante.
Lo spettro che si viene a generare, è quindi molto più ampio di quello che si otteneva, a parità di
frequenza del segnale modulante, con la modulazione AM.
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Figura 4: variazione dello spettro di un segnale FM, al variare di “Am” e di “fm”
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Esempio
Supponiamo di avere:
- segnale modulante con f m = 500 Hz
- segnale portante con f p = 1 MHz
- massima deviazione di frequenza della portante max ∆f FM = 20 Hz
Sotto queste ipotesi risulta:
- valore massimo di frequenza della portante modulata max f FM = 1000020 Hz
- valore minimo di frequenza della portante modulata max f FM = 999980 Hz
Grazie al processo di modulazione di frequenza, la frequenza del segnale portante varierà fra
questi due valori estremi (dipendenti ovviamente dai valori massimo e minimo dell’ampiezza del
segnale modulante) con un ritmo di 500 volte al secondo.
In questo caso, l’indice di modulazione risulta:
m=
max ∆f FM
20
=
= 0,04
500
fm
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Banda passante
La larghezza di banda di frequenza del segnale FM dipende dal numero delle righe e in teoria lo
spettro del segnale modulato presenta una banda infinita. In realtà però la larghezza può essere
considerata limitata, perché possono essere trascurate le ampiezze di certe componenti che non
presentano valori significativi.
Per poter determinare in modo accettabile la banda occupata dal segnale modulato in frequenza, si
fa uso della relazione (di Carson):
BW = 2( max ∆f FM + f m ) = 2( m ⋅ f m + f m ) = 2 f m (1 + m)
Pur essendo valida in tutti i casi, si possono fare delle approssimazioni:
a. per m<<1 (piccola deviazione di frequenza) ottengo
BW = 2 f m
b. per m>>1 (elevata deviazione di frequenza) ottengo
BW = 2m ⋅ f m = 2 max ∆f FM
Potenza del segnale modulato
Il segnale FM, per definizione, è variabile in frequenza, ma non in ampiezza; ciò significa che
l’ampiezza del segnale modulato, pari a quella della portante, è costante sia prima che dopo la
modulazione.
In altri termini la potenza complessiva associata al segnale FM è uguale a quella della portante,
indipendentemente dall’esistenza delle bande laterali, al contrario di quanto accade nell’AM in cui
l’esistenza delle bande laterali implica l’aumento della potenza complessiva richiesta per la
trasmissione del segnale modulato, dovuta alla variazione di ampiezza della portante.
Si può quindi affermare che nel processo di modulazione di frequenza, la potenza complessiva
rimane invariata, distribuendosi sulle componenti spettrali laterali: all’aumentare del numero delle
righe spettrali laterali, diminuisce la potenza associata alla portante, ma la potenza complessiva
dell’intero spettro rimane costante di valore pari a quello della potenza associata alla portante non
modulata.
Indicando quindi con R il valore della resistenza di carico, con Pt la potenza complessiva e con Pp
la potenza associata alla portante non modulata, avremo:
Pt = Pp =
Ap
2
2R
La potenza complessiva Pt risulta quindi indipendente dall’indice di modulazione m.
Anche la somma delle potenze associate alle singole componenti spettrali determina la potenza
complessiva Pt:
Pt =
(J
⋅ Ap )
2
0
2R
2∑ (J n ⋅ A p )
2
+
2R
=
(J
⋅ Ap )
2
0
2R
∑ (J
+
⋅ Ap )
2
n
R
≅
Ap
2
2R
Nel caso particolare in cui l’indice di modulazione assume valori tali da far scomparire la portante
dallo spettro FM (m=2,4; 5,52 .....etc.), la potenza complessiva viene trasferita completamente sulle
bande laterali (frequenze che si originano simmetricamente nell’intorno della frequenza portante, in
seguito all’operazione di modulazione).
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Modulazione di frequenza con modulante non sinusoidale
Se si considera il processo di modulazione FM con segnale della modulante non armonico, si
possono fare considerazioni analoghe fatte per l’AM.
Infatti sviluppando la modulante in serie di Fourier:
v m (t ) = Am 1 cos(ω m1t ) + Am 2 cos(ω m 2 t ) + Am 3 cos(ω m3 t ) + K + Am n cos(ω mn t )
Considerando ancora una volta l’espressione della pulsazione istantanea
ω FM (t ) = ω p (t ) + Kv m (t ) da cui
ω FM (t ) = ω p (t ) + K [Am1 cos(ω m1t ) + Am 2 cos(ω m 2 t ) + Am 3 cos(ω m3t ) + K + Am n cos(ω mn t )]
e quella dell’angolo istantaneo ϕ (t )
ϕ (t ) = ∫ ω FM (t )dt
ricaviamo
v FM (t ) = A p cos ∫ {ω p (t ) + K [Am1 cos(ω m1t ) + Am 2 cos(ω m 2 t ) + Am 3 cos(ω m3t ) + K + Am n cos(ω mn t )]}dt =
[
]

sen(ω m1t )
sen(ω m 2 t )
sen(ω mn t ) 
= A p cos ω p ⋅ t + KAm1
+ KAm 2
+ K + KAm n

ω m1
ωm2
ω mn 

In questo caso, per ciascuna componente si deve considerare il rispettivo indice di modulazione,
cioè:
m1 =
KAm 1
ω m1
;m2 =
KAm 2
ωm2
;K
e quindi:
[
]
v FM (t ) = A p cos ω p ⋅ t + m1 sen(ω m1t ) + m 2 sen(ω m 2 t ) + K + mn sen(ω mn t )
Poichè nella FM viene modificata la frequenza del segnale della portante in funzione dell’ampiezza
della modulante, in questo caso a più componenti sinusoidali, lo spettro diventa complesso; infatti
ogni singola componente che costituisce la modulante (armonica), considerata isolata dalle altre,
produce normalmente 2n righe spettrali (somma e differenza fra frequenza della portante e
dell’armonica considarata: f p ± f mn ), che si combinano anche con le 2n righe spettrali prodotte
dalle altre armoniche.
Nel caso quindi di modulazione FM con modulante non sinusoidale, lo spettro si allarga
enormemente anche se, in pratica, l’aumento delle righe laterali si può ritenere limitato impostando
la massima deviazione di frequenza a 75kHz.
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Conclusioni sulla modulazione FM
Anche con questo sistema è possibile attuare la cosiddetta traslazione del segnale modulante,
usando frequenze portanti di valore diverso e opportuno.
In linea generale valgono dunque le stesse considerazioni conclusive viste per la modulazione di
ampiezza, salvo l’introduzione di alcuni pregi che ne giustificano la maggior complessità
costruttiva, e quindi il maggior costo.
Pregi - questo sistema presenta il grosso pregio di risultare praticamente immune al rumore;
infatti, il rumore è un segnale elettrico indesiderato che tende a modificare in ampiezza il nostro
segnale modulato, deformandone l’inviluppo (questo nel caso in cui il rumore si aggiunga al
segnale dopo il processo di modulazione).
In questo caso, dato che l’informazione non è più contenuta nell’ampiezza, ma nella frequenza
della portante, è possibile eliminarlo molto più facilmente operando una semplice ‘tosatura’
sull’ampiezza del segnale modulato, senza nulla togliere all’informazione stessa (che rimane
pressoché inalterata).
Difetti - la larghezza di banda Bw , essendo molto più ampia di quella AM, comporta la necessità
di operare una maggiore spaziatura tra i diversi segnali modulati (sempre allo scopo di evitare la
nascita di fastidiose interferenze).
Questo sistema di modulazione comporta inoltre una maggiore complessità circuitale sia nel
trasmettitore che nel ricevitore.
Come difetto ulteriore di questa tecnica, occorre precisare che anche con questo sistema
intervengono, lungo il percorso nel mezzo trasmissivo, le distorsioni sul segnale causate
dall’imperfezione del mezzo stesso (presenza dei parametri parassiti); fenomeno questo non
trascurabile in quanto anche per questa modulazione, essendo ancora del tipo analogico, risulta
molto importante la conservazione della forma d’onda (anche se il segnale informazione questa
volta risulta in realtà più protetto dal punto di vista del rumore).
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