Calcolo Vettoriale I - Dipartimento di ingegneria elettrica ed elettronica

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Calcolo Vettoriale I - Dipartimento di ingegneria elettrica ed elettronica
Ingegneria dei Sistemi Elettrici_2°a
(ultima modifica 08/03/2010)
Prima di definire le grandezze di base e le costanti universali del
modello elettromagnetico per poter sviluppare i vari temi
dell’elettromagnetismo, si intende richiamare le regole
fondamentali delle operazioni dell’algebra e calcolo vettoriale.
M. Usai
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1
Alcune grandezze elettromagnetiche sono:
• scalari: cariche, corrente e energia, altre sono
• vettoriali: come l’intensità del campo elettrico e magnetico.
Entrambe possono essere funzioni del tempo e della posizione
spaziale (o punto).
Per un tempo e un punto dati:
• una grandezza scalare è completamente definita dalla sua
ampiezza, espressa da un numero positivo o negativo nella
unità di misura relativa.
• una grandezza vettoriale richiede la definizione della sua
ampiezza , direzione e verso.
M. Usai
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Per specificare la direzione di un vettore nello spazio
tridimensionale sono necessari tre valori numerici che
dipendono dalla scelta del sistema di coordinate :
•sistema di coordinate cartesiane
•sistema di coordinate cilindriche
•sistema di coordinate sferiche.
La scelta del sistema di coordinate è legato alle
caratteristiche geometriche del problema che si sta
esaminando.
Le espressioni generali delle leggi e teoremi riguardanti
l’elettromagnetismo sono indipendenti dal sistema di
coordinate adottato.
M. Usai
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Algebra vettoriale
Una grandezza vettoriale A può essere scritta come:
A=a A
dove
A
•
è il vettore di dimensioni unitarie avente la
A
stessa direzione e verso di A e
a=
• A è l’ampiezza o modulo di A
Graficamente:
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A
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Somma di due vettori
A e B:
B
A
C = A+ B
Può essere ottenuta:
• con la regola del parallelogramma
(parallelogram rule)
C
B
A
• con la regola del testa-coda
(head-to-tail rule)
Per la somma valgono:
• la proprietà commutativa:
• la proprietà assocciativa:
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C
B
A
A+ B = B + A e
A + (B + C ) = ( A + B ) + C
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La differenza di due vettori può essere definita come la
somma del primo vettore più il vettore opposto del
secondo:
A − B = A + (− B )
B
B
−B
A
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A
A− B
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Prodotto di Vettori
Prodotto di un vettore per uno scalare positivo:
k A = a (kA )
L’ampiezza di A cambia di k volte, mentre la direzione e il
verso rimangono invariate.
Il prodotto tra due vettori può essere di due tipi:
• prodotto scalare o
• prodotto vettoriale.
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Il prodotto scalare ( scalar or dot product) tra due vettori:
A ⋅ B = A B cosθ AB
è uno scalare pari al prodotto delle ampiezze di A e di B
per il coseno dell’angolo più piccolo tra A e B che risulta minore
di 180°.
B
θ AB
Esso è
• positivo per θ AB < 90°
(B cosθ AB )
A
• negativo per θ AB > 90°
• nullo per θ AB = 90° (vettori perpendicolari)
ed è uguale al prodotto della ampiezza di un vettore per la
proiezione dell’altro vettore nella direzione del primo.
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Evidentemente si ha che:
A ⋅ A = A2 e A = A ⋅ A
Per il prodotto valgono:
• la proprietà commutativa: A ⋅ B = B ⋅ A e
• la proprietà distributiva: A ⋅ (B + C ) = (A ⋅ B) + (A ⋅ C )
Inoltre risulta non definibile il prodotto scalare:
A ⋅B⋅C
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Il prodotto vettoriale ( vector or cross product) tra due vettori:
A × B = a n A B sinθ AB
è un vettore perpendicolare al piano contente i vettori A e B
La cui ampiezza è pari a A B sinθ AB numericamente uguale
all’area del parallelogramma formato dai vettori A e B
Il verso e la direzione sono deducibili con la regola della mano
destra
(B sinθ AB )
A×B
B
an
θ AB
A
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Per il prodotto vettoriale
• non è valida la proprietà commutativa:
A × B = −B × A
• vale la proprietà distributiva: A × (B + C ) = (A × B) + (A × C )
• non è valida la proprietà associativa: A × (B × C ) ≠ (A × B)× C
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Si possono definire due tipi di prodotti di tre vettori:
•Prodotto triplo scalare:
A ⋅ (B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B )
A ⋅ (B × C ) = − A ⋅ (C × B )
= − B ⋅ (A × C )
= −C ⋅ (B × A)
•Prodotto triplo vettoriale:
A × (B × C ) = B ( A ⋅ C ) − C ( A ⋅ B )
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Sistemi di coordinate
Nello spazio tridimensionale un punto è localizzato dalla
intersezione di tre piani.
Quando le tre superfici sono perpendicolari tra di loro il sistema
è chiamato sistema a coordinate ortogonali e i vettori unitari
nelle tre direzioni delle coordinate sono chiamati vettori base.
Tra i diversi sistemi di coordinate ortogonali, i più comuni
sono:
• sistema di coordinate cartesiane o rettangolari
•sistema di coordinate cilindriche
•sistema di coordinate sferiche
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Sistema di coordinate cartesiane o rettangolari
Un punto P(x1, y1, z1) in coordinate cartesiane è l’intersezione di
tre piani specificati da: x = x1 , y = y1 e z = z1,
z
az
P(x, y, z)
ay
ax
z1
y1
x1
y
x
I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni:
ax × ay = az
ay × az = ax
az × ax = ay
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Un vettore A in coordinate cartesiane può essere scritto come:
A = a x Ax + a y A y + a z Az
Il prodotto scalare di due vettori A e B è:
A ⋅ B = A x B x + A y B y + A z Bz
l prodotto vettoriale di due vettori A e B è:
A × B = a x (A y Bz − Az B y ) + a y (Az B x − Ax Bz ) + a z (Ax B y − A y B x )
ax
= Ax
Bx
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ay
Ay
By
az
Az
Bz
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In coordinate cartesiane una lunghezza differenziale è espressa
da:
d l = a x dx + a y dy + a z dz
una area differenziale è espressa da:
ds x = dy dz
ds y = dx dz ,
ds z = dx dy
e un volume differenziale è espresso da:
dv = dx dy dz
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Sistema di coordinate cilindriche
In coordinate cilindriche un punto P(r1, φ1, z1) è l’intersezione di
una superficie cilindrica r = r1 con un semipiano contenente
l’asse z, che forma un angolo φ = φ1 con il piano xz e un piano
parallelo al piano xy per z = z1.
z
az
z1
x
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aΦ
ar
P(r1, φ1, z1)
r1
y
φ1
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I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni:
a r × aΦ = a z
aφ × a z = ar
a z × ar = aφ
Un vettore A in coordinate cilindriche può essere scritto come
A = a r Ar + a φ Aφ + a z Az
In coordinate cilindriche una lunghezza differenziale è espressa
da:
d l = a r dr + a φ r dφ + a z dz
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In coordinate cilindriche una area differenziale è espressa da:
ds x = r dφ dz
ds φ = dr dz,
ds z = r dr dφ
e un volume differenziale è espresso da:
dv = r dr dφ dz
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Le relazioni tra le componenti di un vettore A in coordinate
cilindriche a coordinate cartesiane:
⎡ Ax ⎤ ⎡cos φ
⎢ A ⎥ = ⎢ sin φ
⎢ y⎥ ⎢
⎢⎣ Az ⎥⎦ ⎢⎣ 0
− sin φ
cos φ
0
0 ⎤ ⎡ Ar ⎤
0 ⎥ ⎢ Aφ ⎥
⎥⎢ ⎥
1⎥⎦ ⎣⎢ Az ⎥⎦
Le formule di conversione dalle coordinate cilindriche alle
coordinate cartesiane e inverse sono:
⎧ x = r cosφ
⎪
⎨ y = r sinφ
⎪z = z
⎩
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⎧ r = x2 + y2
⎪
⎪
-1 y
⎨φ = tan
x
⎪
⎪⎩ z = z
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Sistema di coordinate sferiche
In cord. c. un punto P(R1, φ1, θ1) è definito dalla intersezione di:
• una superficie sferica centrata nell’origine di raggio R = R1
• con un cono circolare con il vertice nell’origine degli assi e l’asse
coincidente con l’asse z e un semiangolo pari a θ=θ1, e
• un semipiano contenente l’asse z con un semipiano contenente l’asse
z, che forma con il piano xz un angolo φ = φ1.
z
θ1
a
R
aθ
aΦ
P(R1, φ1,
θ 1)
R1
x
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φ1
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y
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I versori degli assi soddisfano le seguenti relazioni:
a R × aθ = a φ
aθ × a φ = a R
a φ × a R = aθ
Un vettore A in coordinate sferiche può essere scritto come
A = a R AR + aθ Aθ + a φ Aφ
In coordinate sferiche una lunghezza differenziale è
espressa da:
d l = a R dR + a θ R dθ + a φ R sinθ dφ
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In coordinate sferiche una area differenziale è espressa da:
ds R = R 2 dθ dφ
dsθ = R sinθ dR dφ
dsφ = R dR dθ
e un volume differenziale è espresso da:
dv = R 2 sinθ dR dθ dφ
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Le formule di conversione dalle coordinate sferiche alle
coordinate cartesiane e inverse sono:
⎧ x = R sinθ cosφ
⎪
⎨ y = r sinθ sinφ
⎪ z = R cosθ
⎩
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⎧
⎪ R = x2 + y2 + z2
⎪
⎪
-1 y
⎨φ = tan
x
⎪
⎪
x2 + y2
−1
⎪θ = tan
z
⎩
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Integrali contenenti funzioni vettoriali
Nell’elettromagnetismo sono utilizzati integrali che contengono
funzioni vettoriali del tipo:
∫ F dv
che si risolve scomponendo da prima la
grandezza vettoriale nelle sue tre componenti relative al sistema
di coordinate adottato e facendo la somma dei tre integrali
scalari.
v
∫ V dl
dove V è una funzione scalare e dl è un
c
incremento differenziale di lunghezza e C è il percorso di
integrazione.
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In coordinate cartesiane:
∫ V dl = ∫ V(x,y,z) ⎡⎣ a x dx + a y dy + a z dz ⎤⎦ oppure
C
C
∫ V dl = a x ∫ V(x,y,z) dx + a y ∫ V(x,y,z) dy + a z ∫ V(x,y,z) dz
C
C
C
C
∫ F ⋅dl
è un integrale lineare nel quale l’integrando
rappresenta la componente del vettore F nella direzione del
percorso di integrazione.
C
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