σ` = σ` = σ`

’1
Compressione sferica
’1 = ’2= ’3
(compressibilità)
’3
’1
Compressione edometrica
’2= ’3≠ 0 ; ε2 = ε3 = 0
(compressibilità)
’1
Compressione triassiale drenata
’2= ’3 = cost.
(deformabilità e resistenza)
’3
Geotecnica
Fascicolo 7/1
Mezzo elastico lineare
’1
compressione sferica
compressione edometrica
compressione triassiale
Eed
E’
3K’
ε1
Comportamento rilevato sperimentalmente
’1
compressione sferica
compressione edometrica
rottura
compressione triassiale
ε1
Il comportamento di un terreno non è lineare, inoltre dipende
fortemente dal tipo di sollecitazione:
- K’ e Eed aumentano al crescere di ε1
- E’ diminuisce al crescere di ε1
Geotecnica
Fascicolo 7/2
Compressione edometrica

N
'
a = N/A
εa = δ/H0
'

H0
r = 0
t
effetto del generico
passo di carico
-H
log t
cv
-H
Geotecnica
c
Fascicolo 7/3
’a (kPa)
0
2000
4000
6000
8000
0
20
40
εa (%)
60

H H0
Hs
e 1.6
e
Vv Hv H  Hs H0    Hs



Vs Hs
Hs
Hs
Cc
1.2
Cs
0.8
0.4
0
10
100
1000
10000
log ’a (kPa)
Geotecnica
Fascicolo 7/4
Le deformazioni assiali sono funzione univoca delle variazioni di indice dei vuoti:
a 
Vs
V
V V
V

V
e

 v  v  s  v 

H0
V0
V0
Vs V0
Vs Vv,0  Vs
1  e0
Il modulo edometrico si definisce come modulo tangente:
Eed
4000
6000
’a (kPa)
 'a
a
8000
Eed 
60
40
20
0
0
2000
Eed
εa (%)
Geotecnica
Fascicolo 7/5
e
Ad esempio, lungo la retta vergine:
e  e0  Cc log
Eed 
Cc
 'a
 '0
d 'a
d 'a

 (1  e0 )
d a
de
Dlog x 
1
1
d  'a
 de  Cc
x  ln10
 'a  2.302
Eed  2.302
 'a
(1  e0 )
Cc
log ’a (kPa)
Nel caso di terreni molto deformabili si è soliti calcolare il modulo edometrico
rapportando le variazioni di altezza del provino alla sua altezza corrente
Eed 
 'a
H / H0
Eed 
 'a
H / H
Se si utilizza questa espressione, lungo la retta vergine si ha:
Eed 
d 'a
d  'a

 (1  e)
d a
de
Eed  2.302
Geotecnica
 1  e0
 'a
' 
(1  e)  2.302   'a  
 log a 
Cc
 '0 
 Cc
Fascicolo 7/6
Terreno
Eed (kg/cm2)
Torba
1 - 20
Argilla
5 – 200
Limo
30 – 300
Sabbia
100 – 800
Ghiaia
300 - 2000
Roccia
Eed (kg/cm2)
Tufo piroclastico
10’000 -30’000
Arenaria
200’000 – 300’000
Basalto
400’000 – 500’000
Granito
500’000 – 800’000
aumenta con la
consistenza
aumenta con la
densità relativa
Conglomerato cementizio: E = 200’000 kg/cm2
Acciaio: E = 2’000’000 kg/cm2
Geotecnica
Fascicolo 7/7
Minerali argillosi
Cc
Montmorillonite
1.6 – 2.6
Illite
0.5 – 1.1
Caolinite
0.19 – 0.28
Per materiali ricostituiti esiste una forte correlazione tra Cc
e l’indice dei vuoti al limite liquido
1,5
Ponza bentonite
Bisaccia - distilled water
Bisaccia clay
Marino clay
kaolin
1
Cc*
data reported by Burland, 1990
Bisaccia - ethanol
0,5
C c * = 0.256e L - 0.04
Bisaccia - cyclohexane
0
0
Geotecnica
1
2
3
void ratio at liquid limit e L
4
5
Fascicolo 7/8
Nel caso delle prove sui materiali naturali, è altamente probabile
che i primi valori delle tensioni verticali applicate durante le
prove edometriche (qualche frazione di kg/cm2) siano minori
della tensione litostatica alla profondità di prelievo del campione.
Pertanto, qualsiasi terreno, sia esso in sito normal-consolidato o
sovraconsolidato, ripercorrerà un ramo di ricarico del legame
tensione-deformazione.
RICORDANDO CHE LUNGO TALI RAMI LA vc
CORRISPONDE AL “GINOCCHIO” DELLA CURVA e:v,
SI PUÒ QUINDI AFFERMARE CHE ESSA È
RAPPRESENTATA DALLL’ASCISSA DI UN PUNTO NELLA
ZONA EVIDENZIATA IN FIGURA.
Indice di porosità, e
1.5
1.3
1.1
0.9
0.7
0.5
0.1
1
10
2
100
Tensione verticale, 'v (kg/cm2)
Geotecnica
Fascicolo 7/9
SI DEFINISCE UN INTERVALLO DI POSSIBILI VALORI,
MEDIANTE LA COSTRUZIONE INDICATA IN FIGURA
orizzontale per C
Indice di porosità, e
indice di porosità iniziale
1.5
1.3
bisettrice dello
angolo in C
A
C
1.1
tangente alla curva nel
punto C (di max curvatura)
B
0.9
0.7
0.5
0.1
vc,min
vc,max
1
10
2
100
Tensione verticale, 'v (kg/cm2)
• SE LA TENSIONE LITOSTATICA ALLA PROFONDITÀ DI
PRELIEVO DEL CAMPIONE (v) RICADE NELL’INTERVALLO TROVATO (OCR=1) IL TERRENO IN SITO È
NORMALMENTE CONSOLIDATO (la minor compressibilità
mostrata nel ramo AB è quindi dovuta ai ridotti valori di carico
inizialmente imposti nella prova);
• SE LA v RICADE A SINISTRA DELL’INTERVALLO
(OCR>1) , IL MATERIALE È SOVRACONSOLIDATO (la
minor compressibilità nel ramo AB è dovuta sia ai ridotti valori
di carico inizialmente imposti nella prova, sia allo stato di
sovraconsolidazione in sito).
Geotecnica
Fascicolo 7/10
Compressione isotropa di una sabbia con
due diversi valori di densità relativa iniziale
1+e
sabbia
(inizialmente) sciolta
sabbia densa
p' (kPa)
Per una sabbia, nel campo di tensioni che interessa l’ingegneria
geotecnica :
• la compressibilità è di norma molto bassa;
• il punto che nel piano (p', e) rappresenta lo stato corrente
giace su un tratto di curva che, per un’argilla,
corrisponderebbe a condizioni di sovraconsolidazione.
Dal punto di vista qualitativo, comunque, il comportamento
osservato non differisce da quello di un’argilla.
Geotecnica
Fascicolo 7/11
Teoria della consolidazione
monodimensionale di Terzaghi
Ipotesi:
- Terreno saturo
- Particelle solide e acqua incompressibili;
- Regime di piccole deformazioni;
- Validità della legge di Darcy;
- Modulo edometrico e permeabilità costanti;
- Assenza di deformazioni viscose.
q
v, ’v
z
H
dz

’H
wH
satH
v   'v  u   sat  z  q
 v  'v u
 'v
u


0

[1]
t
t
t
t
t
NB: La [1] vale anche per gli incrementi di stato tensionale ’ e u
indotti dal carico applicato. Per semplicità, da qui in poi si indicano con
, ’ ed u gli incrementi di stato tensionale.
Geotecnica
Fascicolo 7/12
q
z
dz

Variazione di volume dell’elemento di terreno
nell’intervallo di tempo dt:
1  'v
1 u
 dt  dz  
 dt  dz
Eed t
Eed t
t=0
u/w
q
t>0
u +  ’v =  v
u0 = v
z
u
 ’v
dz

Variazione del volume dell’acqua di porosità dell’elemento
di terreno nell’intervallo di tempo dt:

div q  dz  dt

Geotecnica
Fascicolo 7/13
/ /

qx qy qz


div q 
x
y
z
k u
h
qz  k


z
 w z

Quindi si ottiene [∆V = ∆Vw]:
1 u
k  2u

 dt  dz  

 dz  dt
Eed t
 w z 2
da cui, ponendo cv=kEed/w:
u
 2u
 cv  2
t
z
(equazione della consolidazione monodimensionale di Terzaghi)
Geotecnica
Fascicolo 7/14
t=0
u0/w
q
v
u0 = v
z
dz

u/w
t>0
q
v
z
u + ’v = v
’v
u
dz

t=∞
q
’v = v
u=0
z
’v
dz

Geotecnica
Fascicolo 7/15
H
strato impermeabile
2H
strato drenante
Nel caso di isocrona iniziale rettangolare e con drenaggio alla base e in
sommità, esiste una soluzione analitica (che si estende banalmente al
caso di drenaggio solo in sommità).
Ponendo Z = z/H e T = cvt/H2, ossia adimensionalizzando le variabili
spaziale e temporale, l’equazione della consolidazione diviene :
u  2u
 2
T Z
con soluzione:

2
2u0
 sen(M  Z)  eM T
m 0 M
u(Z,T)  



M
(2m
1)




2


Geotecnica
Fascicolo 7/16
Si definisce grado di consolidazione medio U il rapporto tra l’area
delle tensioni efficaci ’ e l’area delle tensioni totali .
Il grado di consolidazione medio è quindi pari al rapporto tra l’area
tratteggiata del diagramma e l’area totale.
2H
U
 (  u)dz
0
2 H 
2H
 1
 udz
0
2 H 
 f(T)
Sostituendo u con la soluzione indicata si ha:
 (2n  1)2 2 
8
 exp  
T
U  1 
2 2


(2n
1)
4
n 0



È risolto anche il problema dell’andamento dei cedimenti nel tempo:
2H
2H
1
1
w(t) 
   ' dz 
 (  u)dz
Eed 0
Eed 0
2H
2H
1
1
2 H 
w t= =
   't  dz 
  dz 
Eed 0
Eed 0
Eed
Geotecnica

w(t)
 U(t)
w t 
Fascicolo 7/17
Soluzione per isocrona iniziale rettangolare e contorno drenante in
sommità ed impermeabile alla base : ad ogni istante T è
associata una isocrona.
Soluzioni per contorno drenante in sommità ed impermeabile alla base:
sono risolti anche i casi di isocrona iniziale triangolare.
Geotecnica
Fascicolo 7/18
q
2H
q
1
2

2H
w
1
2

w
2H
Contorno drenante in sommità ed alla base: si può dimostrare che
in termini di U(T) la soluzione di questi tre casi è identica.
Geotecnica
Fascicolo 7/19
Valori tipici del coefficiente di
consolidazione cv (cm2/s)
Limite liquido (%)
Ricompressione
30
3.510-2
Compressione
vergine
(indisturbato)
5.010-3
Compressione
vergine
(rimaneggiato)
1.210-3
60
3.510-3
1.010-3
3.010-4
100
4.010-4
2.010-4
1.010-4
Esempio
Valutare i tempi di consolidazione di un limo argilloso (cv=110-3 cm2/s)
T  1  U  93%
H (m)
Tempo (giorni)
1
115  4 mesi
2
463  15 mesi
3
1035  3 anni
4
1840  5 anni
Geotecnica
q
H
Fascicolo 7/20
Si considerino nuovamente, alla luce della teoria della
consolidazione, i risultati di una prova edometrica.
Nonostante le condizioni di flusso e deformazione monodimensionali imposte, per la presenza di deformazioni a tensioni efficaci
costanti i terreni hanno comportamento più articolato
rispetto a ciò che prevede la teoria della consolidazione.
cedimento, H
(mm)
(mm)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
CONSOLIDAZIONE
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
CEDIMENTO SECONDARIO (CREEP)
2.20
0.1
1
10
100
defo
r
com mazioni
ples
si di viscose
d
adso
rbim ei
ento
1000
Tempo, t (min)
[qui, si sta indicando con H la variazione di altezza del provino in valore assoluto]
Geotecnica
Fascicolo 7/21
Determinazione di cv
dai risultati di una prova edometrica
Per determinare cv si sfrutta la relazione teorica tra il fattore di
tempo T ed il tempo fisico t, ossia: T=cvt/H2
Ricordando che U=H(t)/Hc, si “sovrappone” la curva sperimentale
H:t con quella teorica U:T, dopo avere corretto la prima per:
• eliminare gli errori sub-sperimentali che portano ad avere un
H (t=0)>0 nella prova (p.e., contatto scabro tra provino e
piastra porosa, deformazioni delle parti meccaniche, ...);
• eliminare il cedimento secondario.
Per U60% la curva (a) di Terzaghi è ben interpolata dalla
relazione U = (4T/): se t quadruplica H raddoppia
t*
*
0.20
0.40
*
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
prolungamento del tratto di
deformazione secondaria
U= 0100%
(mm)
cedimento, H
(mm)
0.00
H=0
4t*
1.60
1.80
2.00
H=100%
2.20
0.1
Costruzione di
Casagrande
Geotecnica
1
10
Tempo, t (min)
100
1000
tangente nel punto di flesso
Fascicolo 7/22
Depurata la curva sperimentale :t dagli errori sub-sperimentali e
dal cedimento secondario, è possibile individuare il tempo t50, in
corrispondenza del quale è stato raggiunto il 50% di consolidazione
nel passo della prova edometrica preso in considerazione:
(mm)
cedimento, H(mm)
0.00
t=t50
H=0
0.20
0.40
T50=0.197
(a)
U=50%
0.60
0.80
1.00
H=50%
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
 H=100%
2.20
0.1
1
10
100
1000
Tempo, t (min)
È quindi possibile imporre la condizione:
c t
T50  v * 50
(H )2
T50  (H* )2
 cv 
t 50
dove T50 (=0.197) è il valore teorico corrispondente ad U=50%
sulla curva (a) ed H* è il percorso di drenaggio nella prova
sperimentale (in un edometro doppiamente drenato pari a metà
spessore del provino).
Geotecnica
Fascicolo 7/23