Soluzioni - Facoltà di Economia

Statistica - Esercitazione 1
Dott. Danilo Alunni Fegatelli
[email protected]
Distribuzioni di frequenza
Esercizio 1:
(a) Religione
(b) Reddito familiare
(c) Salario in Euro
(d) Classe di reddito (I, II, ecc.)
(e) Ore di studio al giorno
(f) Tempo dedicato allo studio al giorno
(g) Livello di inquadramento lavorativo
(h) Attività lavorativa
(i) Grado di soddisfazione di un cliente
(j) Colore degli occhi
(k) Titolo di studio
(l) Genere
(m) Altezza
(n) Stadio della malattia
(o) Voto all’esame di statistica
(p) Marca di caffè preferita
(q) Consumo giornaliero di calorie
(r) Regione di provenienza
(s) Debito pubblico (di un paese)
(t) Numero di componenti della famiglia
(u) Tasso d’interesse annuale
(v) Numero di scarpa
(w) Sistema operativo (di un computer)
(x) Numero di dipendenti di un’azienda
(y) Peso
(z) Velocità in Km/h
(1) Stabilire la tipologia dei seguenti caratteri (Qualitativo Nominale, Qualitativo Ordinale, Quantitativo Discreto, Quantitativo continuo)
(2) Stabilire la tipologia di grafico più indicato per la rappresentazione dei seguenti caratteri (Grafico a Barre, Grafico a Torta, Diagramma a Bastoncini,
Istogramma)
SOLUZIONE
(1) Qualitativo nominale: Religione, Marca di caffè preferita, Regione di provenienza, Attività lavorativa, Colore degli occhi, Genere, Sistema operativo (di un computer).
Qualitativo Ordinale: Classe di reddito (I, II, ecc.), Livello di inquadramento lavorativo, Grado di soddisfazione di un cliente, Titolo di studio,
Stadio della malattia.
Quantitativo Discreto: Voto all’esame di statistica, Numero di componenti della famiglia, Numero di scarpa, Numero di dipendenti di un’azienda.
Quantitativo Continuo: Reddito familiare, Salario in Euro, Consumo
giornaliero di calorie, Tempo dedicato allo studio al giorno, Ore di studio
al giorno, Altezza, Debito pubblico (di un paese), Peso, Tasso d’interesse
annuale, Velocità in Km/h.
1
2
(2) Grafico a Barre/Torta: Religione, Marca di caffè preferita, Regione di provenienza, Attività lavorativa, Colore degli occhi, Genere, Sistema operativo (di un computer).
Grafico a Barre: Classe di reddito (I, II, ecc.), Livello di inquadramento
lavorativo, Grado di soddisfazione di un cliente, Titolo di studio, Stadio
della malattia.
Diagramma a Bastoncini: Voto all’esame di statistica, Numero di componenti della famiglia, Numero di scarpa, Numero di dipendenti di un’azienda, Ore di studio al giorno.
Istogramma: Reddito familiare, Salario in Euro, Consumo giornaliero
di calorie, Tempo dedicato allo studio al giorno, Altezza, Debito pubblico
(di un paese), Peso, Tasso d’interesse annuale, Velocità in Km/h.
3
Esercizio 2: Data la seguente distribuzione unitaria del carattere “numero di
figli”
2
1
2
1
3
2
0
2
0
1
2
2
(1) indicare la natura della variabile;
(2) determinare il numero di unità e di modalità osservate;
(3) costruire la distribuzione di frequenze assolute, relative e percentuali.
SOLUZIONE
(1) Il carattere è quantitativo discreto;
(2) Le unità sono 12, le modalità (distinte) 4;
X nj
fj
pj
0 2 2/12=0.17 0.17· 100% = 17%
1 3
0.25
25%
(3)
2 6
0.50
50%
3 1
0.08
8%
12
1
100
Esercizio 3: Data la seguente distribuzione unitaria del carattere X
4
2
4
2
6
4
0
4
0
2
4
4
(1) calcolare la media aritmetica utilizzando la distribuzione di frequenza;
(2) verificare che la somma degli scarti dalla media è zero;
(3) verificare che la somma dei quadrati degli scarti dalla media è più piccola dell’analoga somma per gli scarti dal valore 2 (ciò vale per qualunque
numero diverso dalla media aritmetica).
SOLUZIONE
xj nj xj nj
0 2
0
2 3
6
4 6
24
6 1
6
12 36
(1)
xj − 3
-3
-1
1
3
( x j − 3) n j
-6
-3
6
3
0
x̄ =
1
n
k
( x j − 3)2 n j
18
3
6
9
36
( x j − 2) ( x j − 2)2 n j
-2
8
0
0
2
24
4
16
48
36
∑ x j n j = 12 = 3
j =1
(2) Si verifica che
4
∑ (x j − x̄)n j = −6 − 3 + 6 + 3 = 0
j =1
4
(3) La somma dei quadrati degli scarti dalla media vale
4
∑ (x j − x̄)2 n j = 36
j =1
mentre la somma dei quadrati degli scarti dal valore 2 vale
4
∑ (x j − 2)2 n j = 48
j =1
quindi è verificata la proprietà della media aritmetica.
Esercizio 4: Nel comune A il reddito medio annuo procapite è di 10 mila Euro,
mentre nel comune B è di 15 mila. Calcolare il reddito medio dei due comuni sapendo che i residenti nel comune A sono 200, mentre quelli nel comune B sono 100.
SOLUZIONE
Per risolvere il quesito si ricorre alla proprietà associativa della media aritmetica. Data una distribuzione unitaria x1 , x2 , . . . xn , ed una sua partizione in due (o
più) distribuzioni parziali x1 , x2 , . . . xm e xm+1 , xm+2 , . . . xn , rispettivamente di n e
n − m unità, la media è associativa se, indicata con x̄ la media aritmetica calcolata sulle n modalità, x̄m la media aritmetica calcolata sulle m modalità, e x̄n−m la
media aritmetica calcolata sulle n − m modalità, risulta
m · x̄m + (n − m) · x̄n−m
x̄ =
.
n
Per la media aritmetica si ha infatti
"
!
!
#
n
1
1 m
1
1 n
xi =
xi · m +
xi · ( n − m )
x̄ =
n i∑
n
m i∑
n − m i=∑
=1
=1
m +1
1
· [m · x̄m + (n − m) · x̄n−m ]
n
Intuitivamente, si è sostituita alla distribuzione non nota con n modalità una distribuzione nota con m modalità pari a x̄m e n − m modalità pari a x̄n−m :
=
x̄ =
1
n
k
∑ xi ni → x̄ =
i =1
10 · 200 + 15 · 100
= 11.667.
200 + 100
Il reddito medio è pari a circa 11.667 Euro.
5
Esercizio 5: Un negozio nella mattina ha avuto 100 clienti, che hanno speso
mediamente (media aritmetica) 50 Euro. Nel pomeriggio i clienti sono stati 200 e
hanno speso mediamente 25 Euro. Qual è la spesa media dei 300 clienti dell’intera
giornata?
SOLUZIONE
Possiamo calcolare la spesa media in modo analogo rispetto all’ esercizio precedente:
50 · 100 + 25 · 200
1 k
= 33.3.
x̄ = ∑ xi ni → x̄ =
n i =1
100 + 200
La spesa media è stata di 33.3 Euro.
Esercizio 6: In una stanza ci sono 12 persone con peso medio pari a 75 Kg. Se
arriva un’altra persona che pesa 60 kg, quale sarà il peso medio delle 13 persone?
SOLUZIONE
Per risolvere l’esercizio si sfrutta di nuovo la proprietà associativa della media:
x̄n
=
1
n
n
∑ xi
i =1
12x̄12 + x13
∑13
∑12 x + x13
i =1 x i
x̄13 =
= i =1 i
=
13
13
13
12 · 75 + 60
900 + 60
=
=
= 73.846.
13
13
Il peso medio è di circa 74 kg.
Esercizio 7: L’altezza media dei bambini di una classe di 4a elementare di 25
alunni è di 145 cm. Purtroppo ci si è accorti che lo strumento usato per la misurazione era stato posizionato male, cosicché ciascun bambino è risultato 7 cm più
alto della sua statura reale. Qual è la vera altezza media dei 25 bambini?
SOLUZIONE
x̄ errata
25
= 145 →
∑ xierrata = x̄errata · 25
i =1
25
∑ xiesatta
= x̄ errata · 25 − 7 · 25 → x̄ esatta =
i =1
x̄ errata · 25 − 7 · 25
25
= 145 − 7 = 138.
La soluzione si sarebbe potuta trovare in modo immediato applicando la Proprietà
1 della media cioè se Y = a + bX, allora ȳ = a + b x̄. Quindi, nel nostro caso si ha
X esatta = X errata − 7 → x̄ esatta = x̄ errata − 7.
6
Esercizio 8: Il prezzo di un paio di jeans varia da negozio a negozio. Girando 5
negozi si sono trovati i seguenti prezzi
Negozio
Prezzo in $
Diesel
60
Teichner
80
Gap
50
Zita Fabiani
70
Cosco
60
Trovare il prezzo medio di un paio di jeans espresso in dollari e poi convertirlo in
euro, sapendo che 1¤= 1.54 $.
SOLUZIONE
x̄ $ =
1
n
n
∑ xi$
→
x̄ $ =
i =1
60 + 80 + 50 + 70 + 60
320
=
= 64$.
5
5
Per calcolare il valor medio in euro si applichi la proprietà di linearità della media
per cui se Y = a + bX, allora ȳ = a + b x̄.
Sapendo che il tasso di cambio è di 1.54$ per ogni euro, si ha a = 0 e b = 1/1.54.
Pertanto il prezzo medio in euro sarà
x̄¤ =
x̄ $
= 41.558¤
1.54
Esercizio 9: Con riferimento alla seguente distribuzione di un gruppo di 120
donne secondo il numero di figli
Numero Figli Donne
0
20
1
50
2
20
3
10
4
20
Totale
120
(1) calcolare media, mediana e moda;
(2) calcolare i quartili;
(3) disegnare la funzione di ripartizione empirica;
(4) verificare che la somma degli scarti in valore assoluto dalla mediana è
minore della somma degli scarti in valore assoluto dalla media aritmetica.
SOLUZIONE
(1)
•
x̄ =
1
n
k
∑ xi ni → x̄ =
i =1
0 · 20 + 1 · 50 + 2 · 20 + 3 · 10 + 4 · 20
200
=
= 1.667.
120
120
• La mediana è il valore centrale di una distribuzione, ossia la modalità
del carattere che occupa il posto centrale nella sequenza ordinata delle
osservazioni. La mediana divide i dati ordinati in due parti uguali di
numerosià n2 . Essa coincide con il secondo quartile Q2 ed individua
7
xi
ni
0
20
1
50
2
20
3
10
4
20
Totale 120
Ni
20
70
90
100
120
fi
0.167
0.416
0.167
0.083
0.167
Fi
0.167
0.583
0.750
0.833
1
quel valore del carattere tale per cui almeno metà delle unità presentano una modalità inferiore o uguale ad esso. Il suo calcolo richiede
che il carattere sia almeno ordinale.
Data la distribuzione unitaria di un carattere quantitativo, il primo
passo per determinare la mediana consiste nel calcolare la sua profondità ovvero la sua posizione nel campione ordinato. Se il collettivo ha
1
numerosità n dispari, la posizione centrale è unica, data da n+
2 , e la
mediana sarà ottenuta come
xmed = x( n+1 ) .
2
Se n è pari, si hanno due posizioni centrali in corrispondenza dei posti n2 e n2 + 1 e la mediana è ottenuta come la semisomma delle due
modalità centrali, ovvero
xmed =
x ( n ) + x ( n +1)
2
2
2
.
Se il carattere è qualitativo ordinale non ha senso considerare operazioni aritmetiche tra le modalità, pertanto in caso di n pari si avranno
due modalità mediane.
Se i dati sono raggruppati in distribuzioni di frequenze, è conveniente
costruire le frequenze cumulate assolute Ni e relative Fi . Se n è dispari,
la mediana coincide con il primo valore del carattere a cui è associata
una frequenza relativa cumulata maggiore o uguale a 0.50. Se n è pari
dobbiamo valutare se le due modalità che occupano i posti centrali
coincidono o meno. Se la prima frequenza relativa cumulata maggiore o uguale a 0.50 risulta strettamente maggiore di 0.50, si ha l’identità
tra le due modalità centrali e la mediana è univocamente determinata
con il valore associato a tale frequenza; se la prima frequenza relativa cumulata maggiore o uguale a 0.50 è esattamente 0.50, vuol dire
che i valori centrali differiscono e la mediana si ottiene come semisomma delle prime due modalità a cui competono frequenze relative
cumulate non inferiori a 0.50.
Nel caso in cui il carattere quantitativo sia suddiviso in classi, la mediana è solo approssimabile. Per individuare la classe mediana si
procede come descritto sopra per i caratteri qualitativi ordinali.
Dalla distribuzione data si evince facilmente che n è pari, pertanto ci
sono due posizioni che si lasciano a sinistra e a destra almeno n2 dati
8
e cioè la 60 e la 61. Ad entrambe queste posizioni corrisponde il valore 1, come si legge dalla colonna delle frequenze cumulate assolute
(20 = N1 < 60 < 61 < N2 = 70). Ad analoga conclusione si può
giungere guardando alle frequenze cumulate relative. Dal momento
che la mediana è quel valore tale che almeno il 50% dei dati ha un valore minore o uguale (e almeno il 50% maggiore o uguale), nell’ultima
colonna della tabella in alto leggiamo che
F1 < 0.5 < F2 → xmed = 1.
(2)
• La moda di un carattere X che assume k valori con diverse frequenze è il valore x al quale corrisponde la massima frequenza (assoluta,
relativa o percentuale). Se ci sono più modalità a cui è associata la
frequenza più elevata, esse sono tutte considerate mode e la distribuzione si dirà plurimodale. (IMPORTANTE: non confondere la moda,
che è una delle modalità osservate del carattere, con il valore della frequenza massima!). In questo caso specifico il valore modale è unico e
pari a 1, quindi moda e mediana coincidono.
• Il primo quartile Q1 è il valore che divide i dati ordinati in due parti di
numerosità n 41 e n 34 . In sintesi la determinazione del primo quartile è
analoga al procedimento descritto per la mediana fatta eccezione per
la proporzione di riferimento che in questo caso è 1/4 = 0.25 anziché
1/2 = 0.50.
Dal momento che n è pari, ci sono due posizioni che si lasciano a
sinistra almeno n 41 dati e a destra almeno n 34 e cioè la n4 = 30 e
la n4 + 1 = 31. Ad entrambe queste posizioni corrisponde il valore 1, come si deduce dalla colonna delle frequenze cumulate assolute
(20 = N1 < 30 < 31 < N2 = 70). Con riferimento alle frequenze
relative il primo quartile è quel valore tale che almeno il 25% dei dati
ha un valore minore o uguale (e almeno il 75% maggiore o uguale).
Dalle frequenze relative cumulate segue che
F1 < 0.25 < F2 → Q1 = 1.
• Il secondo quartile coincide con la mediana.
• Il terzo quartile Q3 è il valore che divide i dati ordinati in due parti
di numerosità n 43 e n 41 . Per il suo calcolo valgono i discorsi fatti in
precedenza per i primi due quartili con opportuna sostituzione della
proporzione di riferimento con 3/4 = 0.75.
In questo caso ci sono due posizioni che si lasciano a sinistra almeno
3n
n 34 dati e a destra almeno n 14 e cioè la 3n
4 = 90 e la 4 + 1 = 91. Le
modalità che occupano tali posizioni non coincidono: alla posizione
90 corrisponde il valore 2, mentre alla posizione 91 il valore 3 (si veda
la colonna delle frequenze cumulate assolute 90 = N3 < 91 < N4 =
100). I valori da prendere in considerazione sono pertanto due e il terzo quartile è dato dalla loro semisomma: Q3 = 2.5. Con riferimento
alle frequenze relative il terzo quartile è quel valore tale che almeno il
75% dei dati ha un valore minore o uguale (e almeno 25% maggiore o
uguale). Dato che la frequenza relativa cumulata è proprio 0.75 ed n è
9
pari, si ha
F3 = 0.75 < F4 → Q3 = (2 + 3)/2 = 2.5.
1.0
(3) La funzione di ripartizione empirica fornisce un riassunto delle informazioni desunte dalla distribuzione di frequenza. Più specificamente è la
trasposizione grafica della distribuzione delle frequenze relative cumulate
( Fi ). Data la tabella sopra la funzione di ripartizione sarà la seguente
●
0.8
●
0.6
●
0.2
0.4
F
●
0.0
●
−1
0
1
2
3
4
5
x
Fn ( x ) =

0.000







0.167





0.583


0.750






0.833





1.000
x<0
0≤x<1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
x≥4
(4)
5
∑ |xi − 1| · ni = 1 · 20 + 0 · 50 + 1 · 20 + 2 · 10 + 3 · 20 = 120
i =1
5
∑ |xi − 1.667| · ni = 1.667 · 20 + 0.667 · 50 + 0.333 · 20 + 1.333 · 10 + 2.333 · 20 = 133.34
i =1
Da notare che la funzione di ripartizione empirica assume valore 0 per valori della
x strettamente inferiori al valore minimo e vale 1 per x maggiore o uguale al valore massimo osservato. I salti si hanno in corrispondenza delle modalità diverse
osservate nel collettivo e la loro altezza corrisponde alla differenza tra frequenze relative cumulate contigue, ovvero è pari alla frequenza relativa di ciascuna
modalità osservata.
Esercizio 10: I seguenti valori si riferiscono ai valori di un titolo rilevati mensilmente:
1.4
1.7
2.3
2.5
3.2
3.8.
Se il valore 3.8 fosse erroneamente trascritto come 38, quale sarebbe l’effetto sulle
misure di posizione calcolate a partire da questi dati?
10
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Un incremento della mediana;
Un incremento della moda;
Un incremento della media aritmetica;
Un incremento sia della mediana, sia della moda;
Un incremento della mediana, della moda e della media aritmetica.
SOLUZIONE
La risposta corretta è la 3). La mediana non è sensibile ai valori estremi, quindi
non subirebbe una modifica in seguito ad un incremento del valore più alto. Il
carattere è continuo e le modalità si manifestano con frequenza unitaria, pertanto
non ha senso calcolare la moda come sintesi di tale distribuzione. L’unica misura
di posizione a risultare modificata sarà la media che, a differenza della mediana, è
un indice poco robusto e dunque fortemente influenzato dalla presenza di valori
anomali.
Esercizio 11: Data la seguente distribuzione di un collettivo di 15 studenti
secondo il voto ottenuto all’esame di Statistica
voto 18 20 23 24 26 27 28 30
ni
1
1 1 2 3 4 2 1
(1) calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana;
(2) costruire la distribuzione di frequenze assolute per il carattere suddiviso
nelle classi [18-20], [21-23], [24-26], [27-30] e calcolare la classe modale e la
media aritmetica. Confrontare i risultati con quelli del punto precedente e
commentare.
SOLUZIONE
(1)
∑ik=1 ni xi
= (18 · 1 + · · · + 30 · 1)/15 = 25.4
n
moda = 27
n+1
prof(med) =
= 8 → med = x(8) = 26
2
• la distribuzione di frequenze assolute e relative risulta
voto [18-20] [21-23] [24-26] [27-30]
18|−21 21|−24 24|−27 27|−31
ni
2
1
5
7
x̃i
19.5
22.5
25.5
29
fi
0.133
0.067
0.333
0.467
Ai
3
3
3
4
hi
0.044
0.022
0.111
0.117
x̄
(2)
=
La seconda riga deriva dal fatto che la classe chiusa [18-20] è equivalente alla classe 18|−21, chiusa nell’estremo sinistro e aperta nell’estremo destro. Utilizzando la seconda notazione è più facile calcolare
11
l’ampiezza della classe Ai come differenza tra l’estremo superiore e
l’estremo inferiore. Le x̃i rappresentano i valori centrali di ciascuna
classe mentre le hi sono le densità ottenute col rapporto hi = f i /Ai . In
modo equivalente si può considerare anche hi = ni /Ai .
• approssimazione della media ottenuta sostituendo alle osservazioni
xi il valore centrale della classe x̃i
x̄
'
∑ik=1 ni x̃i
= (19.5 · 2 + · · · + 29 · 7)/15 = 26.13
n
• Se la distribuzione del carattere è divisa in classi della stessa ampiezza, possiamo determinare la classe modale come quella con frequenza
più elevata. Se le classi sono di diversa ampiezza, occorre calcolare la
densità di frequenza hi . La classe modale sarà quella con densità di
frequenza maggiore. In questo caso la classe modale è [27-30] perché
presenta densità di frequenza più elevata.
I risultati dopo la divisione in classi variano a causa dell’approssimazione nel calcolo, legata alla non conoscenza della distribuzione
all’interno delle classi.
Esercizio 12: Data la seguente distribuzione del numero di esami sostenuti alla
fine del primo semestre da 3 gruppi di studenti, determinare in quale gruppo gli
studenti hanno avuto un miglior rendimento, sia in termini di numero medio di
esami sostenuti che in termini di numero mediano di esami sostenuti.
xi
0
1
2
3
ni
1
4
3
2
xi
0
1
2
3
ni
2
3
6
1
xi
0
1
2
3
ni
2
5
6
2
SOLUZIONE
Determiniamo la mediana delle tre distribuzioni ricorrendo sia alle frequenze
cumulate assolute Ni che relative Fi .
Gruppo 1: N pari, due posizioni mediane (5 e 6, 10/2 e 10/2 + 1), due mediane (1
esame sostenuto e 2 esami sostenuti, (1+2)/2=1.5).
xi
0
1
2
3
ni
1
4
3
2
10
Ni
1
5
8
10
fi
Fi
0.1 0.10
0.4 0.50
0.3 0.80
0.2 1.00
1
xi ni
0
4
6
6
16
Gruppo 2: N pari, due posizioni mediane (6 e 7, 12/2 e 12/2 + 1), una mediana (2
esami sostenuti).
12
xi
0
1
2
3
ni
2
3
6
1
12
Ni
2
5
11
12
fi
Fi
0.17 0.17
0.25 0.42
0.50 0.92
0.08 1.00
1
xi ni
0
3
12
3
18
Gruppo 3: N dispari, una posizionie mediana (8,(15 + 1)/2), una mediana (2 esami
sostenuti).
xi
0
1
2
3
ni
2
5
6
2
15
Ni
2
7
13
15
fi
Fi
0.13 0.13
0.34 0.47
0.40 0.87
0.13 1.00
1
xi ni
0
5
12
6
23
Gli studenti che hanno avuto un migliore rendimento sono gli studenti dei gruppi
2 e 3. In tali gruppi almeno la metà degli studenti ha superato al più 2 esami
alla fine del primo semestre. Inoltre le medie aritmetiche delle tre distribuzioni
risultano
16
18
23
x̄1 =
= 1.60
x̄2 =
= 1.50
x̄3 =
= 1.53.
10
12
15
Esercizio 13: Nell’ultima settimana una banca ha erogato i seguenti importi (in
migliaia di euro) per prestiti a imprese:
Azienda Prestito
4M
35
AGZ
400
Bartoletti
15
Breda
200
Geonovia
10
(1) Si calcoli l’indice di concentrazione della ripartizione dei prestiti tra le
varie aziende.
SOLUZIONE
Avendo ordinato in senso crescente gli importi dei prestiti si ha
Prestiti Fi
10
0.2
15
0.4
35
0.6
200
0.8
400
660
2
Ai
Qi
Fi - Qi
10 0.015 0.185
25 0.038 0.362
60 0.091 0.509
260 0.394 0.406
660
0.538 1.462
ed possibile calcolare il rapporto di concentrazione dei Gini come segue
13
R=
∑in=−11 ( Fi − Qi )
∑in=−11 Fi
= 1.462/2 = 0.731
o analogamente
R = 1−
∑in=−11 Qi
∑in=−11 Fi
= 1 − 0.538/2 = 0.731
Esercizio 14: Dalla distribuzione del reddito di un collettivo di 500 individui
stata calcolata la seguente spezzata di concentrazione. Qual la percentuale di
reddito detenuto dai 350 individui pi poveri?
SOLUZIONE
I 350 individui pi poveri rappresentano il 70% della popolazione, infatti 350 /
500 = 0.7. Dal grafico si evince che il 70% degli individui pi poveri detiene circa il
20% del reddito.
Esercizio 15: Con riferimento alla seguente distribuzione del numero di cellulari posseduti da 4 famiglie
Famiglia # Cellulari
Rossi
2
Bianchi
2
Verdi
2
Neri
2
(1) disegnare la curva di concentrazione, calcolare il rapporto di concentrazione e commentare il risultato.
14
SOLUZIONE
Il carattere equidistribuito tra le unit, quindi la curva di concentrazione corrisponder con la retta di equidistribuzione e il rapporto di concentrazione sar pari a
0.