Modelli matematici per il trasporto di cariche in dispositivi quantistici

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Modelli matematici per il trasporto
di cariche in dispositivi quantistici
risultati e prospettive
Luigi Barletti
Università di Firenze
Dipartimento di Matematica “Ulisse Dini”
Assemblea Scientifica GNFM, 28-30 ottobre 2004, Montecatini Terme
Trasporto di cariche in dispositivi quantistici – p.1/27
Frédéric Poupaud, 1961-2004
Approssimazione di massa efficace
La maggior parte dei modelli di trasporto quantistico in
semiconduttori utilizza la cosiddetta approssimazione di
massa efficace.
massa efficace.
Questa consiste nel sostituire l’Hamiltoniana periodica
massa efficace.
Questa consiste nel sostituire l’Hamiltoniana periodica
con la seguente:
E (p)
c
" !
Il tensore di massa
nasce da
efficace
un’approssimazione
parabolica della banda
di conduzione:
Energy
p
0
Momentum
E (p)
c
" !
Il tensore di massa
nasce da
efficace
un’approssimazione
parabolica della banda
di conduzione:
Energy
#
p
0
Momentum
In questa approssimazione l’elettrone/lacuna “vede”
soltanto la banda di conduzione/valenza.
Dispositivi “interbanda”
L’approssimazione di massa efficace è incapace di
descrivere il tunneling interbanda, effetto che è alla base
del funzionamento di dispositivi di ultima generazione.
Diodo interbanda realizzato da P. Berger’s (Ohio
State University, USA)
Modelli multi-banda
Dobbiamo perciò andare oltre l’approssimazione di massa
efficace e considerare modelli in cui gli elettroni vedono la
disponibilità di almeno due bande di energia.
Modelli multi-banda
/ .
0
)*
+ - )*
,+
+
/ .
0
)*
(
'&%
$
,+
)*
1 - Modello di Kane a 2 bande:
E. Kane, J. Phys. Chem. Solids, 1959
Modelli multi-banda
9
+
6 5
0
- / .
0
3 2
4
1
,+
)*
)*
2 - Modello M-M di ordine 1 a 2 bande:
* 2
8
,+
6 5
7
+
/ .
0
)*
)*
M-M
O. Morandi & M. Modugno, 2004 (to appear).
Modelli multi-banda
Energy
Modelli di questo tipo forniscono un’approssimazione della
vera relazione di dispersione:
E (p)
c
E (p)
v
p
0
Momentum
Modelli multi-banda
Ecco ad esempio la relazione di dispersione per il GaAs
calcolata con l’Hamiltoniana di Kane:
60
50
Energy (eV)
40
30
20
E
c
10
Ev
0
−10
−3
−2
−1
0
1
−24
Momentum (10
Kg m/s)
2
3
Vogliamo ora introdurre un
formalismo cinetico (di Wigner)
per i modelli a due bande
K
?
;
@
<
= <
>
;
:
in sé
K
RQ)
L
ONM
HI
?
B
B
GF
?
<
J
D
A
CB
P
E
K
È una trasformazione unitaria di
Trasformazione di Wigner
D
Q
B
D Q
?
A
BC
D HX
?
Y
CB
J
V U
W
GTS
che permette una formulazione quasi-cinetica della
mecanica quantistica:
E. Wigner, Phys. Rev., 1932
A
A
A
Introduciamo una matrice di Wigner:
A
Funzioni di Wigner a 2 bande
K
RQ)
L
ONM
HI
B
B
?
GF
?
<
ZL J
D
ZL A
CB
P
E
K
K
con
A
A
A
Introduciamo una matrice di Wigner:
A
K
RQ)
L
ONM
D CB
?
D
CB
?
D fissati, la matrice di Wigner è hermitiana:
[
?
Per
CB
HI
?
B
B
GF
?
<
ZL J
D
ZL A
CB
P
E
K
K
con
`
_
a b
`
_
a
`
?
<
\
`
b
?
`
_
?
\
_
`
_
\
`
_
]^\
`
Ricordiamo che le matrici di Pauli
LZ c
\Z
L\
GTS
=
;
sono una base ortogonale dello spazio vettoriale delle
su :
matrici hermitiane
Am
?
Am
D dove le quattro funzioni
CB
l
kh
gke
jh
gje
ih
gie
fh
gfe
d
Perciò possiamo decomporre la matrice di Wigner secondo
questa base e scrivere
sono reali.
D Q
? D
?
CB
A
o
o
CB
A
n
Posto
o
o
?
<
A
n
o
n
A
A]
A
o
n
p
o
n
?
<
A
n
A
n
o
A
n
o
A]
n
risulta che
per uno stato puro,
per uno stato misto,
D Q
? D
?
CB
A
o
o
CB
A
n
Posto
o
o
?
<
A
n
o
n
A
A]
A
o
n
p
o
n
?
<
A
n
A
n
o
A
n
o
A]
n
risulta che
per uno stato puro,
per uno stato misto,
analogamente a quanto accade con i parametri di Stokes
usati per descrivere un fascio di luce polarizzata!
Interpretazione
? D
Q
B
D Q
,
r
Q
D
B
D Q
valore atteso dell’indice
di spin nella direzione
HX
q
?
LA
B E
?
q
si ha, per
? E
HX
?
CB
^mA
L\
J
GTS
Am
Se usiamo questo formalismo per descrivere una particella
hanno un significato fisico chiaro.
con spin, le funzioni
Poiché, infatti, risulta
Interpretazione
E per le Hamiltoniane a due bande?
Hamiltoniana di Kane
/ .
s
t
).
-
e
s
E
(dove si è posto
s
/ .
Consideriamo il caso dell’Hamiltoniana di Kane:
/ .
s
t
).
-
e
s
E
(dove si è posto
s
/ .
Consideriamo il caso dell’Hamiltoniana di Kane:
<
s
\
\
\]
q
/ .
0
v
u
Usando le matrici di Pauli si può scrivere:
, in trasformata di Fourier si ha
\
<
s
\
D
/ .
0
^]\
D
D
x
w
Se
, in trasformata di Fourier si ha
\
<
s
\
D
/ .
0
D
^]\
D
x
w
Se
D s
D s
/ .
/ .
0
D
y
D
D
D
da cui si ricava la relazione di dispersione
Proiezioni sulle bande
ed
y
Scrivendo esplicitamente gli autovettori relativi a
possono ricavare:
si
y
ed
si
;
D z
e
y
D z
le proiezioni sulle due bande,
#
possono ricavare:
y
si
;
D z
y
y
z
e
ed
;
D D z
z
D l’operatore“indice di banda”
#
#
possono ricavare:
y
si
;
D z
y
y
z
e
ed
;
D D z
z
D l’operatore“indice di banda”
#
#
possono ricavare:
{mA
e si possono esprimere i loro valori attesi e densità in
termini delle funzioni di Wigner .
Indice di banda
s
? D
/ .
0
? w

e
} |
D \
<
\
?
?
\
\ |
dove
} |
D /
\ |
D
y
z
D z
}~|
D In particolare, l’operatore indice di banda ha la seguente
espressione:
Indice di banda
s
? D
/ .
0
? w

e
} |
D \
<
\
?
?
\
\ |
dove
} |
D /
\ |
D
y
z
D z
}~|
D In particolare, l’operatore indice di banda ha la seguente
espressione:
? E
se l’elettrone è in banda di valenza.
se l’elettrone è in banda di conduzione,
? E
I suoi autovalori sono:
Indice di banda

l
ke
l
je
l
d
ie
e

In termini delle funzioni di Wigner, posto
Q
?
} |
D /
HX

D
B
D Q
A |
B E
} |
D si ha
valore atteso
dell’indice di banda

C~

D } |
D fissati, la “densità di banda” è data dalla
sulla direzione di
:
_
?
A |
CB
B
Dunque, per e
proiezione di
D
Indice di banda

v
v
B u
q
B u
q
L
L
A
D
/ .
<
A
/ .
A]
A
s
A

/D
/D
v
v
OOOO
u
u

s
<
A
D
/0 .
A
A

/D
v
/ .
A
A]

4

/D
v
OOO
u
u
^mA
La dinamica delle funzioni
di equazioni:
dove

Dinamica
è data dal seguente sistema
Dinamica
)
?
w
w
? D

CB
A
<
w
? D
¢
CB
w
A
?
?
? D
¢
CB
p
A
(con
GF
¡
w
? D

?
A]
B D
B
E
w
Seguiamo l’evoluzione di un pacchetto d’onde gaussiano
che inizialmente si trova in uno stato misto in cui il valore
atteso dell’indice di banda è :

w
Dinamica

£
Dinamica

¤
Dinamica
w

E
Dinamica

E
£
Dinamica
Dinamica
B
D Q
CB
A
D ?
?
B
D Q
CB
A
B

¥
La spiegazione di questo comportamento risiede nel fatto
che la posizione media dell’elettrone in banda di
conduzione soddisfa
¦ B
?
y
y
?
D Q
CB
A
D B
D Q
CB
A
y
B

¥
e quella in banda di valenza
D
Pertanto la velocità del pacchetto, per fissato, è
proporzionale alla derivata delle bande di energia.
Dinamica
, definiamo le medie locali
D
CB
D Q
D
D Q
D
B D
CB
D
D Q
CB
?
^mA
D
«
mª
?
Am
m ©
CB
?
^mA
¨m
CB
r
?
? E
? w
Per
§
Equazioni dei momenti
©
/ .
-
¨]
¨
.
/ -
©
©
/ / <
¨
¨
¨
<
©
<
©
/0 .
¨
/ ¬ O
OOO
¨
.
/ ] ©
/ ¨]

w
¨
.
] ©
/ ¨]

Equazione di continuità per la densità totale:
L ±

¯
²
L¨
«

L¨
°
¯
¯
µ
® ´³
µ
´³
)*

dove
,
(termine Bohmiano)
= “temperatura”
Equazioni di tipo Madelung
A
¦ r
?
? E
? w
§
<
A
? ? w
¶
? m ±
?
A]
A
Teorema. Se
sono le funzioni di Wigner di
uno stato puro, allora la temperatura si annulla:
Equazioni di tipo Madelung
A
¦ r
?
? E
? w
§
<
A
? ? w
¶
? m ±
?
A]
A
Teorema. Se
sono le funzioni di Wigner di
uno stato puro, allora la temperatura si annulla:
Perciò le equazioni dei momenti di ordine 0 e 1 sono un
sistema chiuso e rappresentano equazioni di un fluido di
Madelung a due bande.
E. Madelung, Zeitschr. f. Phys., 1926
#
Conclusioni
Abbiamo introdotto un formalisimo “spinoriale” per
studiare le Hamiltoniane a due bande;
le funzioni di Wigner
che ne risultano hanno un ben
preciso significato fisico;
Am
#
#
Conclusioni
le equazioni di evoluzione per le
particolarmente semplice;
Am
#
Am
#
#
Conclusioni
hanno una forma
#
Am
#
Am
#
#
Conclusioni
hanno una forma
si ricavano facilmente le equazioni di tipo Madelung per
il sistema.
#
#
Am
#
Am
#
#
Conclusioni
hanno una forma
si ricavano facilmente le equazioni di tipo Madelung per
il sistema.
Scopo finale: dedurre equazioni QDD, QET, QHD.
Ringraziamento
Questa ricerca è svolta nell’ambito del progetto
Modelli Matematici per la Microelettronica
finanziato dal GNFM