calcolo del margine di profitto

1° Prova in itinere del Corso di FONDAMENTI DI AUTOMATICA
INGEGNERIA ELETTRONICA N-Z - INGEGNERIA DELL’AUTOMAZIONE
2 Novembre 2002
COMPITO A
1) Dato il seguente sistema
R +
−
e
K
s
1
s + s +1
Y
2
-
Calcolare per quali valori di K il sistema è stabile.
-
Posto K=0.5 calcolare il valore a regime dell’errore e per un ingresso a rampa unitaria posto sull’ingresso di
riferimento R.
Calcoliamo la funzione di trasferimento a ciclo chiuso
W(s)=
K
s +s +s+K
3
2
Applichiamo il metodo di Routh al fine di trovare il segno dei poli della funzione di trasferimento W(s).
S3
1
1
2
1
K
S
1-K
0
S0
K
S
1
Per cui - se − ∞ < K < 0 si ha una variazione di segno => Il sistema è una volta instabile
- se
- se
0 < K < 1 non si ha alcuna variazione di segno => Il sistema è stabile
1 < K < +∞ si hanno due variazioni di segno => Il sistema è due volte instabile
Consideriamo ora la funzione di trasferimento ad anello aperto
P(s)=
K
s ( s + s + 1)
2
Poniamo K=0,5 dopo aver osservato che per tale valore di K il sistema a ciclo chiuso è stabile
P(s)=
1
2s ( s + s + 1)
2
poiché il sistema ha un solo polo nell’origine è di tipo 1,quindi
e∞ =
dove
1
Kv
K v è la costante di velocità. Essa è uguale a
K v = lim s P(s)= lim
s →0
s →0
=> e∞ =
s
=1/2
2 s ( s + s + 1)
2
1
=2
Kv
2) Sia M una massa pari a M=1kg; ⇓uno smorzatore viscoso di costante ⇓=1 N/m/s, F una forza esterna
applicata alla massa e x la posizione di un punto della massa.
X
β
F
M
Data una legge di controllo F=K(R - x) calcolare la relazione esistente tra K e la sovraelongazione dell’uscita x
per un ingresso a gradino unitario applicato al riferimento R.
Calcoliamo la funzione di trasferimento del sistema:
dalla seconda legge della dinamica segue che
Trasformando secondo Laplace
F − βx& = M&x&
[
F − sx( s ) = s 2 Mx( s ) ⇒ F = x( s ) s 2 M + sβ
Assegnati i valori M=1Kg, ⇓=1 N/m/s otteniamo
[
]
F = x( s) s 2 + s
⇒
x( s)
1
P(s)=
=
F
s ( s + 1)
Per ottenere la legge di controllo F=K(R- x) basta porre in retroazione il sistema
R
+
−
K
F
1
s ( s + 1)
x
]
⇒
calcoliamo la funzione a ciclo chiuso
W ( s) =
KP ( s )
K
1
= 2
= 2
1 + KP ( s ) s + s + K s
s
+ +1
K K
otteniamo un sistema del secondo ordine del tipo
W ( s) =
ricaviamo il valore di
1
s
ξ
+2
s +1
2
ωn
ωn
2
ξ in funzione di K
ω
2ξ
1
= ⇒ξ = n
ωn K
2k
poiché
ω n2 = K ⇒ ξ =
K
2K
la sovraelongazione risulterà allora uguale a
Sˆ = e
−
ξπ
1−ξ 2
=e
−
K
π
2K
1−
1
4K
3)Analizzare, utilizzando il criterio di Nyquist, la stabilità del seguente sistema, posto in retroazione unitaria al
variare del guadagno K:
P( s) = K
s+2
s ( s + 1)
2
Consideriamo la funzione di trasferimento
P (s) =
s+2
s ( s + 1)
2
osserviamo che essa ha un polo semplice a parte reale negativa e un polo doppio sull’origine. Scegliamo pertanto il
seguente cammino di Nyquist
Calcoliamo
P ( jω ) =
jω + 2
( jω + 2)(1 − jω ) (ω 2 + 2) − jω
=
=
− ω 2 ( jω + 1)
− ω 2 (ω 2 + 1)
− ω 2 (ω 2 + 1)
ω2 + 2
Re(P ( jω )) =
− ω 2 (ω 2 + 1)
Im( P ( jω )) =
1
ω (ω 2 + 1)
2
(ω 2 + 2) 2 + (ω 2 )
ω 2 (ω 2 + 1)
P ( jω ) =
∠P ( jω ) = arctg
ω
− π − arctg ω
2
Costruiamo le tabelle
Re( P ( jω ))
------------
Im( P ( jω ))
+++++++++
ω
ω
0
+∞
Re( P ( jω ))
Im( P ( jω ))
P ( jω )
∠P ( jω )
−∞
1
+∞
−π
0
0
0
−π
Otteniamo il seguente diagramma
Cerchiamo il numero dei circondamenti in senso orario intorno al punto
−
1
K
.
Poichè il sistema ha due poli nell’origine ed ogni polo nell’origine determina un semicircondamento in senso orario ⇒
Per
0 < K < +∞ ⇒ p = 0, n = 2 ⇒
il sistema è due volte instabile
Per
− ∞ < K < 0 ⇒ p = 0, n = 1 ⇒
il sistema è una volta instabile
Verifichiamo i risultati ottenuti con il metodo di Routh.
Calcoliamo la funzione a ciclo chiuso
W ( s) =
s3
s2
s1
s0
1
K
1
2K
-K
0
P( s)
K ( s + 2)
= 3
1 + P( s ) s + s 2 + k ( s + 2)
2K
Per cui - se − ∞ < K < 0 si ha una variazione di segno => Il sistema è una volta instabile
- se
0 < K < +∞ si hanno due variazioni di segno => Il sistema è due volte instabile
4) Calcolare il margine di fase e di guadagno del sistema:
P( s) =
Tracciamo i diagrammi di Bode.
s +1
s2
Osserviamo che il margine di guadagno
M ϕ = +∞ poiché nel diagramma delle fasi non abbiamo alcuna intersezione
con l’asse –180°. Per il calcolo del margine di fase procediamo analiticamente in quanto è difficile determinare
attraverso il grafico il valore della pulsazione di attraversamento.
Calcoliamo la pulsazione di attraversamento:
ω t2 + 1
P ( jω t ) = 1 ⇒
ωt
2
= 1 ⇒ ω t = 1,27rad / s
da cui ricaviamo il margine di fase
M ϕ = 180° + ∠P ( jω t ) = 180° + arctg ω t − 180° = 52°.
Agli stessi risultati si poteva giungere attraverso il diagramma di Nyquist.
Osserviamo che la funzione di trasferimento ha un polo doppio sull’origine. Scegliamo pertanto il seguente cammino di
Nyquist
Calcoliamo
P ( jω ) =
jω + 1
−ω 2
Re( P( jω )) = −
1
ω2
Im( P( jω )) = −
1
ω
P ( jω ) =
1+ω 2
ω2
∠( P( jω )) = arctg ω − π
Costruiamo le tabelle
Re( P( jω ))
-----------
Im( P( jω ))
-----------
ω
ω
0
+∞
Re( P( jω ))
−∞
0
Im( P( jω ))
P ( jω )
∠P( jω )
−∞
+∞
−π
0
0
−
π
2
Otteniamo il seguente diagramma
Il sistema ha due poli nell’origine che determinano due semicircondamenti in senso orario.
Possiamo subito concludere che il margine di guadagno è infinito poiché non abbiamo alcuna intersezione con l’asse
reale negativo, per il calcolo del margine di fase bisogna comunque procedere col metodo analitico.