RAPPORTO TRA DISEGNO E MODELLO DINAMICO NELLA

RAPPORTO TRA DISEGNO E MODELLO DINAMICO NELLA COSTRUZIONE DI
IMMAGINI MENTALI
Anna Maria Facenda, Paola Fulgenzi, Janna Nardi, Floriana Paternoster
Sez. Mathesis Pesaro – NRD Università di Parma
Il lavoro che proponiamo prende l’avvio dai risultati di precedenti esperienze condotte in classe dai
componenti del gruppo, 1 utilizzando modelli geometrici (ma anche aritmetici) di tipo dinamico,
cioè con uno o più elementi mobili.
Questo tipo di materiale didattico è, a nostro avviso, un registro di rappresentazione autonomo
rispetto al disegno; quest’ultimo è frequentemente utilizzato in geometria con scopi sia euristici sia
puramente descrittivi, ma è -ovviamente- statico. Il modello dinamico introduce nell’esperienza
dell’alunno la dimensione temporale e permette di accedere, anche solo ad un primo livello
percettivo/intuitivo, a concetti “forti” quali quello di funzione, di infinito, di infinitamente denso.
Riteniamo pertanto che questo approccio metodologico, arricchendo il patrimonio esperienziale
degli alunni, contribuisca alla formazione di immagini mentali più ricche, e porti in primo piano le
idee centrali dei concetti matematici che l’allievo sta affrontando.
L’alunno che, nelle nostre esperienze, manipola ed osserva modelli dinamici è invitato poi dal
docente a verbalizzare le sue intuizioni e le sue congetture, e ciò è una premessa all’argomentazione
ed alla successiva, eventuale, dimostrazione; deve inoltre rappresentare graficamente le tappe più
significative di quanto ha percepito.
Dall’analisi dei protocolli relativi a precedenti lavori da noi condotti, risulta che la rappresentazione
grafica, rispetto alla situazione realmente osservata, veicola immagini mentali preesistenti, non
sempre coerenti con quanto l’alunno ha effettivamente “visto” durante l’esperienza.
Con questa ricerca prevedevamo di poter ricavare dai disegni anche indicazioni sulle proprietà
geometriche che i modelli esaltano preferenzialmente, come arricchimento del nostro percorso
personale di ricerca sulle valenze didattiche di questi materiali di lavoro.
Il nostro scopo pertanto era di osservare come gli alunni usano il disegno, registro di
rappresentazione statico, nel corso dell'analisi di un modello dinamico, registro di rappresentazione
dinamico, con una forte componente spazio/temporale.
In particolare, ci interessava raccogliere informazioni su:
- le scelte che l’allievo compie nel momento in cui disegna quelle che sono, a suo avviso, le fasi
più significative del movimento (come rappresenta lo stato iniziale e finale; quante e quali
“tappe” decide di rappresentare; ....);
- quanto le sue raffigurazioni spontanee sono fedeli a ciò che ha effettivamente osservato;
- le modalità con cui immagini mentali preesistenti condizionano la produzione grafica degli
alunni (e la relativa giustificazione), considerando che il disegno assume una posizione
intermedia tra i dati del mondo reale (in questo caso l’oggetto “modello dinamico”) e la
geometria (astratta), di cui il modello “concretizza” alcuni concetti e relazioni.
Riteniamo che questo tipo di indagine possa chiarire alcuni aspetti del processo con cui le immagini
mentali si formano e si consolidano, con particolare attenzione alla individuazione di misconcetti e
quindi alla definizione di strategie didattiche utili per la loro rimozione.
Dal materiale raccolto si possono trarre informazioni su molti aspetti e questioni quali:
1. immagini mentali preesistenti;
2. come viene utilizzato il disegno;
3. cosa viene scelto di disegnare;
4. coerenza del disegno con quanto osservato;
1
Vedi in bibliografia lavori Mathesis Pesaro
5. condizionamento delle immagini mentali preesistenti;
6. come le immagini mentali si formano e si consolidano;
7. come e quali misconcetti emergono.
Tra tutti questi aspetti ne sono stati approfonditi solo alcuni, per non rendere l'analisi troppo
complessa e quindi poco leggibile. Ci proponiamo di rinviare ad un tempo successivo lo studio di
quanto è stato tralasciato.
Indagheremo principalmente: cosa disegnano, come disegnano e l'emersione dei misconcetti.
I risultati quantitativi della ricerca sono riportati in appendice.
CLASSI COINVOLTE
La ricerca è stata condotta in sei classi: due quarte elementari, una quinta elementare, una prima
media, due seconde medie, una terza media. Le quarte elementari, una seconda media (II D) e la
terza media sono classi che hanno lavorato, in modo continuativo, con modelli dinamici e con
materiali.
Le due classi quarte al momento della ricerca non avevano ancora affrontato il tema della
classificazione dei triangoli. Inoltre non è stato ritenuto opportuno assegnare, alle stesse classi, le
domande A e B che seguono l'analisi dei modelli, e la scheda finale, perché ritenute di difficile
comprensione e trattamento, per alunni con delle conoscenze ancora semplici, con una padronanza
del linguaggio tecnico ancora limitato e con una capacità di astrazione ancora da costruire e
conquistare.
PROVE ASSEGNATE
Costruzione di due modelli dinamici relativi ai triangoli.
modello 1
modello 2
Analisi dei modelli con l'ausilio della seguente scheda guida:
“Fai scorrere (trasla) il vertice mobile lungo l'incisione. Si ottengono delle figure.
1. Disegna le figure che ti sembrano più significative, dà loro un nome e indicane le caratteristiche.
2. Di ogni figura spiega quante se ne formano e perché.
N.B. Non cancellare eventuali disegni scorretti o poco precisi, scrivi accanto “errato” e rifai la
figura."
In un tempo successivo sono state poste queste domande:
“ A. Avresti fatto i disegni se non ti fosse stato chiesto esplicitamente?
B. I disegni ti hanno aiutato a chiarire il tuo pensiero?
Rispondi motivando.”
Dopo un primo esame dei protocolli si è deciso di proporre una "verifica" che fungesse, in qualche
misura, da controprova.
Questa volta gli alunni dovevano immaginare la situazione dinamica. E' stato infatti fornito un
disegno corredato dal seguente testo:
"Il punto C si muove lungo il segmento AL
1. Quali triangoli si formano e perché?
2. Quante figure di ogni tipo si formano?
3. Quali triangoli non si formano, perché?
Rispondi facendo dei disegni e commentali per iscritto. Se ritieni che qualche cosa non vada bene,
non cancellarla ma tira una riga sopra.
A. Questa situazione senza il modello è stata più facile o più difficile che con il modello? Perché?
B. I modelli precedenti ti sono serviti per rispondere in questo caso?"
B
A
C
L
Dal controllo dei protocolli della quinta, della II E e III E (medie), che hanno compilato per prime
questa scheda, abbiamo rilevato che la domanda B è stata equivocata dalla quasi totalità degli
alunni, infatti hanno in prevalenza risposto "No, perché la situazione è diversa". La domanda è
risultata quindi mal posta. Nelle due classi che dovevano ancora affrontare la prova, I D e II D,
sono state modificate nel modo seguente:
A. Aver lavorato con un modello che presentava una situazione simile a quella descritta sopra,
pensi che ti abbia aiutato?
B. Pensi che se anche per questa scheda avessi avuto un modello avresti lavorato meglio (più
facilmente o con risultati migliori)?
Le risposte alla domanda A nelle due versioni non presentano differenze significative, mentre la B
nella seconda versione si è rivelata un "rafforzamento" della prima.
A questa scheda di verifica alcuni alunni (10 in totale, di cui 6 in III media), rispondono senza
usare i disegni o facendoli perché "costretti" (ma ne potevano fare a meno). Si tratta generalmente
di alunni bravi, con una rete concettuale ben organizzata (solamente 2 sono alunni molto in
difficoltà).
TEMPI
La costruzione ha richiesto tempi variabili, da 10 a 30 minuti, in relazione all'abitudine oppure no a
lavorare con questo metodo. In particolare gli alunni di quarta sono stati aiutati nella costruzione
dall'insegnante. Hanno ricevuto un qualche aiuto anche gli alunni di quinta.
Per l'analisi e la verbalizzazione di ogni modello è stata data mezz'ora di tempo, così come per la
scheda finale. Per le domande in coda all'analisi sui modelli è stato assegnato un tempo di un quarto
d'ora.
IL DISEGNO
Nelle classi che lavorano con materiali e con i modelli dinamici il disegno ha un ruolo descrittivo.
In particolare la classe terza, che ha sempre lavorato con i modelli dalla prima media, esegue in
prevalenza disegni “animati”.
Le classi che lavorano in modo tradizionale usano, frequentemente, il disegno come illustrazione di
un nome. Esso rispecchia il modo in cui è visualizzato mentalmente quel nome, svolge il ruolo di
esempio di ciò che è nominato.
I disegni, che riportano sequenze riconoscibili, secondo l’ordine con cui le figure si formano nel
modello, poco numerosi (meno della metà), sono presenti in entrambi i tipi di classi. Sono meno
frequenti nelle classi abituate a lavorare con i modelli. E' possibile che questi alunni non abbiano
sentito l'esigenza di lavorare in parallelo con il formarsi delle figure: hanno mosso il modello, fatto
le loro riflessioni e osservazioni anche basandosi su precedenti esperienze o immagini mentali,
quindi hanno riportato le loro conclusioni in ordine sparso. Gli altri sentivano di più l'esigenza di
seguire il movimento registrandone le figure che venivano formandosi.
Le giustificazioni accompagnano spesso i disegni degli alunni abituati a lavorare con i modelli,
mentre sono molto rare negli altri casi. In particolare nella II D e III media è possibile rintracciare
un avvio all'argomentazione. Le due quarte presentano giustificazioni per il primo modello ma non
per il secondo. Forse la maggior complessità della situazione non supportata dalla padronanza di un
lessico specifico ha ostacolato l'uso del registro verbale.
Dove c'è intreccio tra disegno e giustificazione si evidenziano delle immagini mentali più
strutturate a testimonianza di un concetto già costruito. Negli altri casi si ha l'impressione di
immagini come collezione.
Alcuni, seppur pochi, indicano le misure sui disegni; ciò accade in entrambi le tipologie di classi.
Questo comportamento sembra la conseguenza di un contratto didattico in cui è data molta
importanza all'aspetto metrico della geometria.
Nelle due quarte c'è un’accentuata presenza delle lettere, che hanno appena cominciato ad usare.
(L'ultima cosa appresa è quella che va sempre "esibita").
I casi limite sono disegnati e nominati solo in II D e III media, che lavorano con i modelli.
Dall'esame dei protocolli emerge che alcune figure faticano ad essere riconosciute più di altre (le
tabelle in appendice mostrano che tale difficoltà è maggiore nelle classi che non lavorano con i
modelli).
- Il triangolo rettangolo nel primo modello. Riteniamo che ciò sia da collegare ad una carente
concettualizzazione dell'angolo retto quale elemento di separazione tra acuti e ottusi, e al fatto
che il triangolo si presenta in posizione non canonica (appoggiato su di un cateto).
- I triangoli isosceli nel secondo modello. Anche in questo caso la posizione non abituale, che e
quella del triangolo isoscele appoggiato sulla base, ha contribuito a questo risultato. Se la figura
è riconosciuta, questo avviene, con poche eccezioni, quando il lato mobile più lungo diventa
uguale alla base. La non individuazione del secondo triangolo isoscele può essere dovuta ad una
osservazione superficiale e affrettata, ma ancor più ad una non corretta ed esauriente
concettualizzazione del triangolo isoscele. Del resto, per come è costruito il modello, il secondo
triangolo isoscele è posizionato in modo ancora meno usuale.
Gli alunni che lavorano abitualmente con i modelli riconoscono più facilmente le figure sopra
menzionate in quanto, a nostro avviso, la manipolazione di “oggetti”, rende meno probabile legarne
le proprietà alla posizione. Abbiamo inoltre constatato che questi alunni costruiscono disegni più
significativi; questa migliore padronanza permette loro di cogliere in modo più completo la
numerosità delle figure che si formano, in particolare di considerare correttamente l'infinito (denso).
MISCONCETTI
I protocolli rivelano misconcetti, alcuni dei quali riguardano solo le classi che non lavorano con i
modelli, mentre altri sono trasversali.
1. Gli alunni delle classi che non lavorano con i modelli, come è già stato detto, disegnano le
figure non come le osservano, ma secondo stereotipi (la posizione, il triangolo isoscele sempre
acutangolo…)
2. La doppia classificazione dei triangoli rispetto ai lati e agli angoli si è rivelato un passaggio
concettuale difficile. Questa difficoltà non era stata ipotizzata, ma è emersa in modo evidente e
diffuso, anche se lo è di più nelle classi dove non si lavora con materiali e modelli dinamici.
Molti alunni tengono separati i triangoli rettangoli dagli scaleni, ma anche i triangoli isosceli
dagli acutangoli od ottusangoli. Le due tipologie sono trattate come insiemi disgiunti. La doppia
classificazione dei triangoli rientra nel terzo livello, di sviluppo del pensiero geometrico, di Van
Hiele (capacità di collegare proprietà e ordinarle per compiere semplici deduzioni). Nel caso in
esame è necessario tenere sotto controllo lati ed angoli. Questi elementi devono essere esaminati
separatamente e in connessione tra loro, sia in modo inclusivo (triangolo isoscele ed
ottusangolo…) che esclusivo (triangolo rettangolo o acutangolo…), pertanto la costruzione
concettuale che gli alunni devono elaborare non è omogenea e di conseguenza risulta
complessa.
3. La classificazione secondo gli angoli richiede la presenza di valide immagini concettuali sugli
angoli stessi. In particolare è necessaria una forte immagine concettuale dell'angolo retto quale
elemento di separazione tra acuti ed ottusi. Se questo concetto non è ben formato il rischio è che
il triangolo rettangolo sia considerato anche triangolo acutangolo. Dal materiale raccolto emerge
che le due classi quarte sono state più corrette in questo senso, pur non esprimendosi con un
linguaggio specifico, delle classi che non lavorano con i modelli. Esse hanno però svolto una
intensa attività operativa sul concetto di angolo e relativa classificazione.
Date queste difficoltà, per migliorare i risultati è necessario modificare la metodologia o posticipare
la trattazione del tema classificazione?
In precedenti ricerche avevamo osservato come l'uso precoce di modelli evita l'insorgere di
misconcetti, o ne rende l'incidenza più rarefatta, poiché favorisce la costruzione di corrette
immagini mentali. ( Mathesis Pesaro 1997, 2000), dopo questo lavoro siamo ancora più convinte di
questa affermazione.
Per quanto riguarda la scelta temporale si può ipotizzare che la classificazione, seppure complessa,
vada costruita per tempo. Rimediare in seguito (durante la scuola media) a questo misconcetto,
risulta difficile e spesso senza esito. Non è detto che sia sempre così, ad esempio la padronanza del
concetto di infinito può essere "rimediata" nel periodo della scuola media, se si lavora con dei
materiali. Forse in questo caso poiché è richiesta una capacità di astrazione maggiore riprendere il
tema in un tempo successivo dà esiti positivi. Come si vede stiamo sollevando questioni e
formuliamo ipotesi perché si possa avere una ricaduta didattica, che per noi insegnanti è essenziale.
.
METACOGNIZIONE
Dall'esame dei lavori degli alunni è possibile rintracciare anche quali sono le loro convinzioni sul
disegno e sull'uso dei modelli dinamici. Si tratta di osservazioni che già in altre occasioni abbiamo
raccolto (Mathesis Pesaro, 1996, 1997), ma che questa volta sono passaggi importanti della ricerca.
La percezione dei disegni come strumento e mezzo è presente sia nelle classi che lavorano con i
modelli sia in quelle che non ci lavorano. Mentre le prime indicano un supporto al ragionamento,
alla evidenziazione degli errori o al loro superamento, come se il disegno funzionasse da strumento
di verifica ("chiarire il pensiero o il ragionamento", "facilitare la spiegazione", "per riflettere e
ragionare", "riconosco meglio le figure"…. ), le seconde fanno in prevalenza riferimento ad una
analisi facilitata ("per fare capire cosa si ha in mante", "vedere meglio", "chiarire le idee"…), come
se l'alunno percorresse una sequenza del tipo: movimento - osservazione - registrazione grafica verifica sul disegno - movimento….
L'uso dei modelli è visto, da chi non ci lavora, come prova o come aiuto per capire; gli altri alunni li
vedono come supporto all'immaginazione, all'osservazione e al ragionamento.
La tendenza a servirsi dell'osservazione sul modello come verifica o prova di una ipotesi è molto
accentuata nella II E (che non lavora con i modelli), dove l'influenza di un insegnamento
"tradizionale" è più forte che non nella prima media o nella quinta elementare.
CONCLUSIONI
I disegni degli alunni che lavorano con i modelli sono più ricchi e più fedeli a quanto osservato, e
sono spesso commentati. Questo fa intuire immagini mentali più strutturate: chi lavora con i modelli
sa che deve rappresentare e giustificare i passaggi più significativi. Gli altri, che hanno un diverso
contratto didattico, rappresentano ciò che "conoscono" delle figure.
Chi lavora con i modelli evidenzia una maggiore elasticità mentale: il riconoscimento e la
valutazione sono migliori, la verbalizzazione è significativa (mostrando di saper usare due registri
di rappresentazione).
Chi usa il disegno come illustrazione, mostra di possedere le conoscenze geometriche come
collezione di immagini e forse di concetti, dove i collegamenti sono problematici.
I disegni, secondo posizioni "canoniche", sono da imputarsi a condizionamenti dovuti alla staticità
della presentazione. Se posso "muovere" una rappresentazione, posso riconoscere le figure anche se
non in posizione consueta.
La difficoltà a tenere insieme la doppia classificazione dei triangoli rispetto ai lati e agli angoli,
riteniamo che, per essere superata, abbia bisogno di un forte intervento sui singoli concetti
attraverso un approccio che parta dalla operatività per sfociare nella costruzione di adeguate
immagini concettuali.
Appendice
Primo modello
Dati in percentuale
Classi
IV A
IV B
V
ID
II D
II E
III E
Ottus./Acut.
Rettangolo
50
50
6
32
14
28
32
Equilatero
18
22
6
18
21
17
32
50
50
62
86
100
72
82
Numero figure Giustificazione
37
45
28
16
19
19
18
14
90
59
32
17
50
45
0
0
19
13
57
11
36
Numero figure Giustificazione
23
0
44
0
19
19
31
9
71
38
28
6
50
27
Secondo modello
Dati in percentuale
Classi
IV A
IV B
V
ID
II D
II E
III E
Ottus./Acut.
Rettangolo
50
50
6
27
57
22
30
Equilatero
0
14
6
40
67
50
36
Prova di verica
Dati in percentuale
Classi
V
ID
II D
II E
III E
Figure che si
Numero figure
formano
28
40
28
33
22
11
40
56
22
32
Figure che non si Figure che non si
formano
(risposta formano
(risposta
incompleta)
completa)
33
0
56
8
20
28
33
17
32
28
BIBLIOGRAFIA
Laborde, C. “Dessin et texte dans l’enseignement de la géométrie:…” in Didattica della Matematica
nel III millennio, Pitagora 2000.
Laborde, C. “Cabri, un nuovo rapporto con la geometria” , Supplemento UMI n.8/9, 1995
Duval, R: “Les différentes fonctionnements d’une figure dans une démarche géométrique”, Repères
IREM n°17, 1994
Duval, R. “Sémiosis et pensée humaine”, Peter Lang 1995
Mariotti, M.A. “Le rappresentazioni grafiche e l’apprendimento della geometria”, Atti IX
Convegno Castel S. Pietro, 1998, Pitagora
Facenda A.M et al., Sezione Mathesis Pesaro “El uso de modelos dinamicos en la didàctica de la
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Kaldirimidou M. "Lo status della visualizzazione presso gli studenti e gli insegnanti di matematica"
La Matematica e la sua Didattica n.2 – 1995
Damiani A. M., Facenda A. M., Fulgenzi P., Nardi J., Paternoster F. (sezione Mathesis di Pesaro)
“Costruire immagini mentali attraverso i modelli” in L’educazione matematica n.3, 1996
Sezione Mathesis di Pesaro - NRD Parma “Difficoltà ed errori superati attraverso i modelli
dinamici” - Atti Convegno Nazionale UMI-CIIM, Vicenza, 1997
Sezione Mathesis di Pesaro – NRD Parma “Dallo studio di un modello dinamico alle definizioni:
un percorso interattivo” – Atti del 2° Internuclei Scuola dell’obbligo, Salsomaggiore 1997
Sezione Mathesis di Pesaro – NRD Parma “Modelli dinamici e nuclei fondanti nell’insegnamento
della matematica” – Atti Convegno Nazionale UMI-CIIM, Salsomaggiore 2000