Lezione III

Corso di Fenomenologia delle Interazioni Fondamentali
LM in Fisica, AA 2014-15
Silvia Arcelli
Le Interazioni Deboli
3 Marzo 2015
1
Le Interazioni Deboli
• Violazione della parità nelle interazioni deboli:
–
–
–
–
Il decadimento dei mesoni K e il puzzle theta-tau
Ipotesi di violazione della parità ed Esperimento di Madame Wu (1956-57)
Scoperta del neutrino (Reines e Cowan, 1956)
Determinazione dell’elicità del neutrino (Goldhaber et al., 1958)
• Teoria V-A con violazione della parità:
–
–
–
–
–
–
Hamiltoniana con effetto della violazione della parità
Elicità e Chiralità
Struttura Chirale delle interazioni deboli in CC
Il Decadimento del pione
Non unitarietà della teoria V-A e bosone mediatore W
Stima della massa del W
2
Osservazione diretta del neutrino
•Esperimento di Reines e Cowan, nel 1956 ((nobel nel
1995), presso Il reattore nucleare di Savannah River
(USA)
•Sezioni d’urto molto basse, occorre avere un flusso elevato di antineutrini e un
bersaglio “massivo”. Reines e Cowan usarono gli antineutrini prodotti per decadimento
b dai neutroni derivanti dalla fissione dell’uranio
• il bersaglio era acqua con soluto del Cloruro di Cadmio (200 l). Il bersaglio era anche
equipaggiato di strati di scintillatore per la rivelazione dei prodotti di reazione . Il
positrone era “taggato” attraverso la reazione di annichilazione con un elettrone, in cui
erano prodotti 2 fotoni di 0.5 MeV, rivelati dallo scintillatore.
e  e  2 
3
Osservazione diretta del neutrino
•Il neutrone nello stato finale veniva catturato dagli atomi di cadmio, producendo uno
stato eccitato che si diseccitava emettendo dei gamma energetici (6 MeV) , generando
un segnale ritardato rispetto all’annichilazione del positrone (dopo circa 30 ms )
•“Segnatura” dell’antineutrino: coincidenza temporale ritardata di fotoni di
annichilazione e quelli di diseccitazione, rivelati nello scintillatore liquido.
•Misure effettuate anche a reattore spento, per determinare il fondo (cosmici e
radioattività ambientale).
•Rate di eventi molto basso,
circa 3 per ora
•Consistente con la previsione della teoria
di Fermi
 (  p  e  n)  0.67 1038 cm 2  E (GeV )
4
Elicità del Neutrino-Esperimento di Goldhaber et al.
L’esperimento di Goldhaber et al (1956), molto ingegnoso, si basa sullo studio del
decadimento dell’Europio in Samario (cattura K), che procede secondo due fasi:
1)
2)
1.
2.
Cattura K dell’elettrone, con produzione di Samario eccitato e un neutrino
monocromatico (decadimento a 2 corpi) con p=E=840 KeV. Si ha una variazione
dello spin nucleare (GT).
Il Samario si diseccita emettendo nel suo decadimento principale un fotone
monocromatico di 961 KeV (ancora un processo a due corpi), e anche in questo
caso si ha una variazione dello spin del nucleo
5
Elicità del Neutrino-Esperimento di Goldhaber et al.
•Per la prima reazione, imponendo la conservazione del momento angolare, si
hanno due possibili configurazioni (|Jtot|=1/2):
•Il neutrino e il Samario* hanno la stessa elicità (proiezione dello spin lungo la
direzione dell’impulso)
h(Sm* )  h( e )
6
Elicità del Neutrino-Esperimento di Goldhaber et al.
•Andando ad esaminare lo stato finale (decadimento del Samario* ), se si analizzano i
fotoni emessi lungo la direzione di volo del Samario *:
h(Sm* )  h( )  h( e )
•Per quei fotoni, avendo il nucleo di Samario non eccitato spin nullo, il fotone di
diseccitazione deve avere la stessa elicità del Sm*.
Misura dell’elicità dei fotoni
Misura dell’elicità dei neutrini
7
Elicità del Neutrino-Esperimento di Goldhaber et al.
•Elicità dei fotoni misurata attraverso lo scattering Compton in Ferro Magnetizzato.
La sezione d’urto Compton dipende dall’orientazione relativa fra lo spin del fotone e
quello dell’elettrone. In particolare, si osserva trasmissione maggiore (minor
assorbimento) nel caso lo spin del fotone sia parallelo (concorde)allo spin
dell’elettrone.
•Occorre tener presente che solo quei fotoni emessi lungo la direzione di rinculo del
Sm*, e quindi in direzione opposta ai neutrini, hanno la stessa elicità dei neutrini.
L’ingegnosità dell’esperimento sta proprio nella tecnica di selezione di quei fotoni.
•Si utilizza l’effetto di assorbimento risonante dei fotoni in Samario
8
Elicità del Neutrino-Esperimento di Goldhaber et al.
•Quando un fotone di diseccitazione da una transizione con energia E0 viene
emesso, occorre fornire al nucleo un impulso uguale per conservare l’impulso totale:
 3 eV
(nucleo non
relativistico)
•L’energia del fotone è quindi diminuita di una piccola quantità, che in generale,
impedisce che lo stesso fotone possa essere riassorbito da un nucleo di Sm (processo
inverso, risonante).
•Solo quei fotoni emessi lungo la direzione
di volo del Sm*, acquistando energia per
effetto Doppler, recuperano l’energia che
manca loro per fare assorbimento risonante,
dopo il quale il Sm si diseccita emettendo ancora fotoni.
9
Elicità del Neutrino-Esperimento di Goldhaber et al.
Schema dell’apparato sperimentale:
Verso di B Seleziona Fotoni
con elicità negativa/positiva
Assorbimento risonante
In Sm, seleziona solo i fotoni
con elicità uguale a quella del
neutrino
Variando la direzione del campo magnetico, si determina l’elicità dei fotoni che fanno
assorbimento risonante , e quindi anche l’elicità dei neutrini
10
Elicità del Neutrino-Esperimento di Goldhaber et al.
•I picchi di risonanza si ottengono
per una configurazione di campo
magnetico che massimizza la
trasmissione di fotoni levogiri.
Il neutrino è sinistrorso.
Violazione massimale di parità nelle
interazioni deboli, che selezionano
solo uno stato di elicità per il neutrino.
Energia del fotone
11
Teoria V-A e Violazione della Parità
Le evidenze sperimentali finora discusse permettono di definire il seguente
quadro fenomenologico:
• L’interazione debole a bassa energia ha una struttura del tipo interazione
puntiforme corrente-corrente, in cui gli operatori rilevanti sono di tipo V
(vettoriale) e A (vettore assiale). Nel decadimento b, il termine vettoriale
descrive le transizioni di Fermi, il termine assiale quelle di Gamow-Teller
•L’interazione debole viola la parità
•Il neutrino ha elicità negativa
12
Teoria V-A e Violazione della Parità
•Questo comporta che nell’hamiltoniana (fino ad adesso assunta essere uno scalare
puro) debbano necessariamente operatori che possano generare una componente
pseudoscalare:
H weak  G   Ci  [ pOi n ][ eOi (1   i )  ]  h.c.
5
i V , A
•Questa forma dell’Hamiltoniana (proposta da Feynman e Gell-Mannl) è diversa da
quella che abbiamo preso in considerazione finora: si noti che in questo caso
compaiono prodotti misti fra operatori (i.e. VA), che violano la parità.
13
Teoria V-A e Violazione della Parità
•Il fatto che il neutrino abbia elicità negativa impone una unica scelta per il
coefficiente del termine pseudoscalare, ovvero i = -1

H weak  G  CV  [ p m n ][ e m (1   5 )  ] 
m 5
m 5

C A  [ pi   n ][ ei  (1   )  ]
5
• Utilizzando le proprietà delle matrici gamma l’Hamiltoniana si può riscrivere
come:
m
m
H weak  G  [ p (CV  CA ) n ][ e (1   ) ]
5
5
14
Teoria V-A e Violazione della Parità
•La parte Leptonica ha una struttura manifestamente V-A. Per quanto riguarda la
parte adronica (corrente n-p) sappiamo che nelle transizioni pure di Fermi
l’accoppiamento G è consistente con GF misurata nel decadimento del muone (a
parte un 2% di differenza...) . Da questo si può inferire che:
CV  1
•Dalla misura dei rapporti CV /CA (dec. neutrone, 14O, neutroni polarizzati) si è
valutato CA nel decadimento b:
C A  1.25
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Teoria V-A e Violazione della Parità
•Misure di CA,CV con altri decadimenti deboli di adroni danno valori ancora
diversi per CA . Ad esempio:
•Queste differenze sono dovute all’effetto delle interazioni forti tra i quark che
compongono l’adrone, e generano una componente assiale aggiuntiva modificando
il coefficiente CA, il cui valore dipende dal tipo di adrone (composizione in flavour,
spin, parità etc) e non è universale.
•Tuttavia, al “netto“ di questi effetti, si può assumere che anche nel caso di corrente
adronica il coefficiente CA sia -1, come nel caso delle correnti leptoniche.
16
Teoria V-A e Violazione della Parità
Questo porta a specializzare la struttura delle interazioni deboli in corrente carica
come una V-A pura:
m
m
HV  A  G  [ p (1   ) n ][ e (1   ) ]
5
5
Che è la stessa Hamiltoniana proposta da Fermi, a parte il fattore (1-5).
•Il fattore (1-5) ha un significato profondo: il suo ruolo è di selezionare componenti
chirali definite (sinistrorsa per particelle, destrorsa per antiparticelle). Nel limite di
particelle con massa nulla, l’interazione seleziona anche specifici stati di elicità.
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Elicità e Chiralità
Consideriamo l’operatore elicità:
 


  p   pˆ 0 
    
 
| p |  0   pˆ 
Operatore di spin

  0  0  5  5
  
        
0 
L’operatore elicità commuta con l’Hamiltoniana: quindi l’elicità, ovvero la componente
dello spin lungo la direzione della quantità di moto, è un osservabile aggiuntivo che
permette di distinguere gli stati di medesima energia. L’elicità di una particella di spin
½ ha due possibili valori:
In particolare, lo spinore a due componenti ,soluzione dell’equazione di Dirac , è un
autostato dell’operatore elicità .
18
Elicità e Chiralità
L’elicità è un numero quantico conservato (commuta con l’Hamiltoniana), ma non è
Lorentz-invariante ( è frame dependent). Fissato uno stato di elicità, si può sempre
trovare una trasformazione di Lorentz che ne cambi il segno, a meno che la particella
non abbia massa nulla (in questo caso l’elicità è la stessa in ogni sistema di
riferimento). Se ora si considera l’operatore di chiralità, definito come:
 5  i 0 1 2 3
L’operatore non commuta con H, per cui ad esso non è associato un osservabile
conservato (ancora, a meno che la massa non sia nulla). Per esprimere la chiralità si
possono definire due proiettori:
1
PL  (1   5 ),
2
1
PR  (1   5 )
2
( PL, R ) 2  PL, R
Proprietà:
PL PR  PR PL  0
PL  PR  1
19
Elicità e Chiralità
•Ogni spinore può essere quindi scritto come somma delle sue componenti chirali,
ovvero:
1
1
5
  (1   )  (1   5 )   L  R
2
2
'
 R , L
Autofunzioni dell’operatore
chiralità, con autovalori +/-1
•Ora, consideriamo come opera la matrice 5 (operatore chiralità) su uno spinore
(si verifica attraverso il calcolo esplicito):
0 I 

   
 I 0
5
 
 p

0 

  E  m   
p 
 0


Em

20
Elicità e Chiralità
•Nel limite ultrarelativistico, per E>> m la matrice 5 tende all’operatore elicità:
 
     p
5
E m
  5  0
•In modo analogo,
  tenendo presente che     , (    ) e utilizzando l’equazione
di Dirac   p  bm  E :
   5 
  p    p ( E  bm) 5 E m 5
    
  

| p|
| p|
| p|
Per particelle di massa nulla la chiralità coincide strettamente con l’elicità
21
Elicità e Chiralità
• Per m=0, i proiettori di chiralità agiscono come proiettori di elicità:
0
1
5
 L  (1   )  
2


1
5
 R  (1   )  
2
0
Se l’elicità è +1
Se l’elicità è -1
Se l’elicità è +1
Se l’elicità è -1
• Per massa diversa da zero, chiralità ed elicità non coincidono e un fermione massivo
in uno stato chirale L o R ha una probabilità non nulla di essere in uno stato di elicità
opposta alla chiralità. In particolare, le rispettive probabilità sono proporzionali a:
Elicità e Chiralità
-Concordi
P( R (h  1))  P( L (h  1))  b
-Opposte
P( R (h  1))  P( L (h  1))  (1  b )
v
con b 
c
22
Elicità e Chiralità
•Ora, se esaminiamo la singola corrente:
j m  [ e m (1   5 ) ]
• vediamo (slides successive) che possiamo riscriverla come:
m
m
j  [ e,L  ,L ]
Ossia, nella forma di una corrente vettoriale che però accoppia solo le componenti di
chiralità Left dei fermioni. Questo punto di vista permette di ricondurre le interazioni
deboli alla stessa struttura di Lorentz delle interazioni elettromagnetiche (con cui sono
unificate, effettivamente), pur mantenendo la specificità di accoppiarsi solo alle
componenti chirali Left.
23
Elicità e Chiralità
•Infatti vale:
( 5 ) 2  I
(1   )  (1  2  ( ) )  2(1   )
5 2
5
5 2
5
•Per cui:
(1   )
m (1   )
j  [ e
  ]  [ e
 ] 
m 5
2
4
 ,  0
(1   5 ) m (1   5 )
(1   5 ) m
 [ e

  ]  [ e
  ,L ]
2
2
2
m
m
5
5 2


•Il termine a destra corrisponde a un neutrino sinistrorso.
24
Elicità e Chiralità
•Anche il termine a sinistra corrisponde a un fermione sinistrorso:
5
5
(1   5 )
(
1


)
(
1


) 0
 0

e
 e 
 e
 
2
2
2

( 5 )    5
 (1   )  0
 
 e     e, L
 2

5
•E quindi la corrente può essere espressa come:
m
m
j  [ e,L  ,L ]
Corrente di tipo Vettoriale
fra componenti Levogire
Correnti vettoriali come originariamente proposta da Fermi, a parte il fatto che ora
compaiono le componenti levogire degli spinori.
25
Decadimento del Pione
Il decadimento del Pione permette di fare una verifica stringente di bassa energia
della struttura chirale dell’interazione debole:
Elemento di matrice:
Corrente adronica:
Corrente Leptonica:
26
Decadimento del Pione
La parte adronica, che in linea di principio è descritta dalla corrente dei quark se si
potessero considerare liberi, in realtà include anche l’effetto delle interazioni forti,
che a questa scala di energie (massa del pione) non sono nel regime perturbativo

•L’effetto può essere incluso parametrizzando la parte adronica come un termine di
massa e una costante f dipendente dal tipo di adrone, avente dimensioni di un’energia
• Per il pione f (pion decay constant) vale circa 130 MeV
27
Decadimento del Pione
•Integrando sullo spazio fasi e sommando sugli spin finali si ottiene la previsione per la
vita media del pione:
•Utilizzando le misure di GF, delle masse e il valore calcolato per f, si ottiene:

 
 10 8 s

28
Decadimento del Pione
•Anche se riproduce correttamente l’ordine di grandezza della vita media, questa
previsione è affetta dall’incertezza su f .
•Un test stringente della natura chirale delle interazioni deboli è invece la misura della
intensità relativa dei decadimenti del pione in elettrone e muone, rispettivamente.
•Nel rapporto le incertezze legate alla parte adronica si cancellano e, sulla base della
teoria V-A, si può fare una previsione molto precisa.
29
Decadimento del Pione
•Il Pione ha spin 0, e per conservazione del momento angolare, essendo l’antineutrino
sempre destrogiro e con elicità +1, anche il leptone carico deve essere destrogiro,
quindi nello stato di elicità “sbagliato” per le interazioni deboli.....
•Abbiamo visto che la probabilità che un definito stato chirale abbia un’elicità opposta
è proporzionale a 1-b. Nel caso dell’elettrone Left-handed, questa probabilità è quasi
nulla (alla scala di massa del pione è già relativistico), mentre per il muone la
probabilità è non trascurabile. Pur essendo favorito come spazio fasi disponibile, il
decadimento in elettrone è fortemente inibito per il fatto di avere l’elicità “sbagliata”
•Il valore sperimentale è in perfetto accordo con la previsione della teoria V-A.
Il fatto che il decadimento del pione in muone sia largamente dominante è una
verifica della natura chirale delle interazioni deboli.
30
Teoria V-A: violazione dell’unitarietà
La teoria V-A è una teoria di interazione puntiforme, approssimazione di bassa
energia di una teoria più generale: Tipico problema di questo tipo di teorie efficaci è
la violazione dell’unitarietà. Se si considera il processo di scattering elastico neutrino
-elettrone:
Nel sistema del centro di massa, la sezione d’urto si può scrivere come:
Dal formalismo di sviluppo in onde parziali si ottiene un limite superiore generale per
le sezioni d’urto di scattering elastico, oltre il quale la teoria viola la conservazione
della probabilità:
(per l=0
31
Teoria V-A: violazione dell’unitarietà
Nel caso della sezione d’urto debole prevista dalla teoria V-A, la condizione di
unitarietà imporrebbe:
Nel sistema del centro di massa si ha, per particelle relativistiche (E=p):
Da cui :
Considerando anche i fattori dovuti allo spin delle particelle, il limite di violazione
dell’unitarietà per la teoria V-A è raggiunto per energie nel centro di massa di circa
300 GeV.
32
Teoria V-A: violazione dell’unitarietà
La divergenza nella sezione d’urto può essere evitata se, in maniera analoga
alla QED, si introduce un propagatore associato a un bosone vettore (S=1)
intermedio (il W) come mediatore delle interazioni deboli in corrente carica.
Il diagramma di scattering non è più di tipo puntiforme, e l’elemento di
matrice si modifica come:
La costante GF è sostituita da un accoppiamento adimensionale g, universale
33
Teoria V-A: violazione dell’unitarietà
Il range estremamente piccolo (dell’ordine del millesimo di fm) delle interazioni
deboli è connesso alla massa molto grande del bosone mediatore. In processi di
bassa energia, in qui il quadrimomento trasferito è molto piccolo,
il termine dominante nel propagatore è quello relativo alla massa del W e tende
a una costante. Confrontando gli elementi di matrice si può stabilire la connessione
fra la costante di Fermi e l’accoppiamento adimensionale g:
La relazione fra i due accoppiamenti dipende ovviamente dalla massa del W:
34
Massa del bosone mediatore W
Se si fa l’ipotesi che l’accoppiamento debole g sia dello stesso ordine di quello
delle interazioni elettromagnetiche:
Si può dedurre una stima della massa del bosone intermedio W. Dalla relazione fra
gli accoppiamenti si ha:
si ottiene una stima per la massa del W di circa 37 GeV (un po’ meno della
metà del valore effettivo). In realtà, se si considera la relazione corretta tra
dove W = angolo di Weinberg
gli accoppiamenti:
si ha:
35
Massa del bosone mediatore W
•In questa ottica, le interazioni deboli non sono deboli per via dell’accoppiamento,
ma per la presenza di bosoni mediatori molto massivi. Non occorre quindi introdurre
un nuova carica debole ( anche se un nuovo parametro c’è, l’angolo di Weinberg!).
•E’ stata però introdotta una nuova scala di energia (scala di Fermi) dell’ordine di 100
GeV, corrispondente alla massa della W, in corrispondenza della quale ci si aspetta
che l’interazione debole abbia un’intensità confrontabile con quella elettromagnetica
•Questo è tipico dell’unificazione delle interazioni. Un caso noto è l’elettromagnetismo
(la prima teoria di gauge!) , in cui fenomeni elettrici e magnetici diventano
confrontabili quando la velocità si approssima a quella della luce c (che possiamo
considerare come scala caratteristica di unificazione nell’elettromagnetismo)
36