Corso ITS 2015 - "A.Volta" Trieste

Transcript

Lezioni di sica corso ITS 2015/16
A.Smailagi¢
Contents
1 Prerequisiti matematici
1.1
Diverse basi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Denizione del prodotto scalare e vettoriale
1.1.2 Rappresentazione dei numeri complessi . . .
1.1.3 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Oscillazioni smorzate . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . .
2 Corrente elettrica
2.1
2.2
2.3
2.4
Il campo magnetico . . . . . . . . . . . . .
Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Forza tra due correnti . . . . . . .
2.2.2 Movimento di una carica nel campo
Magnetismo atomico . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Frequenza di Larmor . . . . . . . .
2.3.2 Precessione di Larmor . . . . . . .
2.3.3 Risonanza magnetica . . . . . . . .
Induzione magnetica . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Coecienti di induzione magnetica
3 Circuiti
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Carica di un condensatore . . .
3.1.2 Scarica di un condensatore . . .
Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circuito RLC in regime AC . . . . . . . .
Elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . .
Onde elettromagnetiche nella materia . . .
3.5.1 Teoria della dispersione . . . . . . .
3.5.2 Onde piane nei non-conduttori . . .
3.5.3 Onde piane nei metalli . . . . . . .
Onde elettromagnetiche in due dimensioni
4 Moto ondulatorio
4.1
4.2
Sovrapposizione delle onde . . . . .
4.1.1 Onde stazionarie . . . . . .
4.1.2 Onde sferiche . . . . . . . .
Eetto Doppler . . . . . . . . . . .
4.2.1 Eetto Doppler classico . .
4.2.2 Eetto Doppler relativistico
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magnetico
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1
2
4
5
6
7
10
11
16
19
20
20
22
23
24
24
27
29
35
35
35
36
37
43
49
51
53
54
54
57
58
61
65
67
67
67
70
LIST OF FIGURES
1 PREREQUISITI MATEMATICI
5 Processi atomici e nucleari
5.0.3
Legge del decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
76
List of Figures
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1
Rappresentazione vettoriale di un numero complesso . .
⃗z = ⃗z1 + ⃗z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Induzione magnetica in una spira in rotazione . . . . .
Induzione magnetica in una sbarra in movimento . . .
Induzione magnetica tra due spire . . . . . . . . . . . .
Induzione magnetica tra una spira ed un lo . . . . . .
La corrente a regime nel circuito RL . . . . . . . . . .
La corrente a regime nel circuito RL . . . . . . . . . .
Andamento temporale della corrente nel circuito RL . .
Andamento temporale della corrente nel circuito RL . .
Fase transitoria della corrente nel circuito RLC . . . .
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6
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7
. . . . . 27
. . . . . 30
. . . . . 31
. . . . . 31
. . . . . 32
. . . . . 37
. . . . . 38
. . . . . 38
. . . . . 39
. . . . . 39
Rappresentazione vettoriale delle impedenze del circuito RLC . . . . . 43
circuito RLC in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Circuito LC in regime AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
circuito RLC con due armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Polarizzazione ellittica delle onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . 58
Spostamento spaziale di un'onda sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . 60
Interferenza di due onde sinusoidali (sin (6.3 · x + 6.1 · 0])+sin (5.7x + 5.9 · 0))/2 =
cos (0.3 · x + 0.1 · 0) sin (6 · x + 6 · 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Onde stazionarie per λ = 20π/3, n = 3, L = 10π, ω = 6, k = 0, 3 . . . . 65
Onde stazionarie aperte λ = 20π/3, n = 3, L = 10π, ω = 6, k = 0, 3 . . 66
Onde stazionare con λ = 20π/30, n = 2, L = 25π/3, ω = 6, k = 0, 3 . . 66
Onde circolari che si propagano dall'origine . . . . . . . . . . . . . . 68
Prerequisiti matematici
Per poter seguire questo corso in modo procuo è necessario avere le seguenti conoscenze
matematiche
• vettori
• funzioni trigonometriche
• numeri complessi
1
1.1 Diverse basi ortogonali
• elementi del calcolo dierenziale ed integrale
Un vettore può essere descritto in una base dello spazio n-dimensionale, caratterizzata
dai vettori unitari ⃗ei , come
⃗x =
n
∑
xi ⃗ei
i=1
⃗ei · ⃗ej = δij
Il simbolo δij si chiama Kronecker delta denito come
{
0 i ̸= j
δij =
1 i=j
Esempio delle basi comunemente usate
• base polare in due dimensioni con vettori unitari (ρ⃗0 , φ
⃗ 0 ), con l'angolo φ misurato in senso antiorario dall'asse x, si usa nei casi di simmetria circolare
x
y
φ
⃗0
ρ⃗0
⃗x
ρ2
d2 x
=
=
=
=
≡
=
=
ρ cos φ
ρ sin φ
− sin φ⃗i + cos φ ⃗j
cos φ⃗i + sin φ ⃗j
ρ ρ⃗0 = x⃗i + y ⃗j
x2 + y 2
ρ dρ dφ
• base cilindrica in tre dimensioni con vettori unitari (ρ⃗0 , φ
⃗ 0 , ⃗k ) si usa nei casi
di simmetria cilindrica
x
y
z
φ
⃗0
ρ⃗0
⃗x
ρ2
d3 x
=
=
=
=
=
≡
=
=
ρ cos φ
ρ sin φ
z
cos φ⃗i + sin φ ⃗j
ρ ρ⃗0 + z ⃗k = x⃗i + y ⃗j + z ⃗k
x2 + y 2
ρ dρ dφ dz
2
• base sferica in tre dimensioni con vettori unitari (⃗r0 , φ
⃗ 0 , θ⃗0 ), con l'angolo θ
misurato dall'asse z, si usa nei casi di simmetria sferica
x
y
z
⃗r0
φ
⃗0
θ⃗0
⃗x
r2
d3 x
=
=
=
=
=
=
≡
=
=
r cos φ sin θ
r sin φ sin θ
r cos θ
sin θ ρ⃗0 + cos θ ⃗k
cos θ ρ⃗0 − sin θ ⃗k
r ⃗r0 = x⃗i + y ⃗j + z ⃗k
x2 + y 2 + z 2
r2 d r dφ d θ
Un vettore ⃗a scritto in una delle basi ha la forma
⃗a = ax ⃗i + ay ⃗j + az ⃗k
= aρ ρ⃗0 + aφ φ
⃗ 0 + az ⃗k
= ar ⃗r0 + aφ φ
⃗ 0 + aθ θ⃗0
e le componenti in diverse basi sono legate come segue
base polare
aρ = ax cos φ + ay sin φ
aφ = −ax sin φ + ay cos φ
az = az
base sferica
ar = (ax cos φ + ay sin φ) sin θ + az cos θ
aφ = −ax sin φ + ay cos φ
aθ = (ax cos φ + ay sin φ) cos θ − az sin θ
mentre gli operatori dierenziali hanno la forma
3
base polare
∂
1 ∂
⃗ = ρ⃗0 ∂ + φ
∇
⃗0
+ ⃗k
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
(
)
1 ∂
∂
1 ∂2
∂2
∇2 =
ρ
+ 2 2+ 2
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
base sferica
∂
1
1 ∂
⃗ = ⃗r0 ∂ + φ
∇
⃗0
+ θ⃗0
∂r
r sin θ ∂φ
r ∂θ
(
)
(
)
1 ∂
1
∂
1
∂2
∂
2
2 ∂
∇ = 2
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
1.1.1 Denizione del prodotto scalare e vettoriale
• prodotto scalare
s = ⃗a · ⃗b = |a| · |b| cos α
3
∑
⃗a · ⃗b =
ai · bj (⃗ei · ⃗ej ) =
3
∑
i,j=1
ai · bi
i
⃗ei · ⃗ej = δij
{
0 i ̸= j
δij =
1 i=j
simbolo δij si chiama Kronecker delta.
• prodotto vettoriale
⃗c = ⃗a × ⃗b = |a| · |b| sin α ⃗c0
⃗c = ⃗a × ⃗b =
3
∑
ai · bj (⃗ei × ⃗ej ) =
i,j=1
3
∑
ϵijk ai · bj · ⃗ek
i,j,k
⃗ei × ⃗ej = ϵijk ⃗ek
ϵijk
{
0 i ̸= j =
̸ k
=
1 i=j=k
simbolo ϵijk si chiama tensore antisimmetrico.
Un esempio
)
) (
(
⃗a × ⃗b = ax ⃗i + ay⃗j + az⃗k × bx ⃗i + by⃗j + bz⃗k
= (ay bz − az by )⃗i + (az bx − ax bz ) ⃗j + (ax by − ay bx ) ⃗k
4
• prodotto misto è un volume
3
3
(
)
∑
∑
⃗
V = ⃗a × b · ⃗c =
ai · bj · ck (⃗ei × ⃗ej ) · ⃗ek =
ϵijk ai · bj · ck
i,j=1
i,j,k
• prodotto vettoriale doppio
(
)
(
)
⃗a × ⃗b × ⃗c = (⃗a · ⃗c) · ⃗b − ⃗a · ⃗b · ⃗c
1.1.2 Rappresentazione dei numeri complessi
Un numero complesso è caratterizzato da due unità (1, i =
√
−1) e si scrive
z = x + i y = Re z + i Im z
z = |z| ei φ → Forma di Eulero
x = |z| cos φ
y = |z| sin φ
|z|2 = x2 + y 2
y
tan φ =
x
Un numero complesso si può rappresentare come un vettore ⃗z nel piano complesso
(x, i y ) e le operazioni si svolgono come con i vettori. Per esempio la somma di due
numeri complessi z1 = |z1 | eiφ1 z2 = |z2 | eiφ2 si ottiene
⃗z = ⃗z1 + ⃗z2
|z|2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 | |z2 | cos φ
dove φ = φ1 − φ2 rappresenta lo spostamento di fase tra due numeri. Altro modo di
fare e analitico come segue
z1 = |z1 | eiφ1 = Re z1 + i Im z1
z2 = |z2 | eiφ2 = Re z2 + i Im z2
z ≡ z1 + z2 = |z| eiϕ
(
)(
)
|z|2 ≡ z z̄ = |z1 | eiφ1 + |z2 | eiφ2 |z1 | e−iφ1 + |z2 | e−iφ2
= |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 ||z2 | cos (φ1 − φ2 )
|z1 | sin φ1 + |z2 | sin φ2
Im z1 + Im z2
=
tan φ ≡
Re z1 + Re z2
|z1 | cos φ1 + |z2 | cos φ2
5
Figure 1: Rappresentazione vettoriale di un numero complesso
Usando numeri complessi si possono ottenere formule utili per l'addizione di due onde
(vedi più avanti)
eiα + eiβ = ei[(α+β)/2+(α−β)/2] + ei[(α+β)/2−(α−β)/2]
(
)
α−β
= 2 cos
ei(α+β)/2
2
(
)
α−β
iα
iβ
e − e = 2 i sin
ei(α+β)/2
2
(
)
(
)
α−β
α+β
sin α + sin β = 2 cos
sin
2
2
(
(
)
)
α+β
α−β
cos
cos α + cos β = 2 cos
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
α−β
α+β
α−β
α+β
a sin α + b sin β = (a + b) cos
sin
+ (a − b) sin
cos
2
2
2
2
1.1.3 Funzioni iperboliche
le denizioni di base sono seno iperbolico e coseno iperbolico
6
Figure 2: ⃗z = ⃗z1 + ⃗z2
ex − e−x
2
x
e + e−x
cosh x =
2
sinh x =
sono funzioni reali che per la variabile complessa x = iφ si riducono alle funzioni
trigonometriche sinh iφ = i sin∑
φ e cosh iφ = cos φ. Le approssimazioni per x ≤ 1
n
sono, usando lo sviluppo ex = ∞
n=0 x /n!,
sinh x ≈ x
cosh x ≈ 1
1.1.4 Oscillazioni smorzate
Equazione di un oscillatore armonico smorzato sottoposto ad una forza esterna
m ẍ + m γ ẋ + k x = F ei ω t
(1)
Il fattore γ si chiama coeciente di smorzamento, k è la costante elastica, m la massa
ed F ei ω t la forza armonica esterna. Guardiamo prima la soluzione dell'equazione
omogenea F = 0
7
0 = ẍ + γ ẋ + ω02 x
x(t) = A ei α1 t + B ei α2 t
0 = α2 − i γ α − ω02
iγ
α1,2 =
(1 ± Ω)
2
√
γ 2 − 4 ω02
γΩ =
ω02 =
k
m
se si impongono le condizioni iniziali x(t = 0) = x0 e ẋ(t = 0) = v0 si trovano le
condizioni per risolvere le costanti di integrazione A, B
x0 = A + B
v0 = iα1 A + i α2 B
1
A=
(α2 x0 + i v0 )
α2 − α1
1
(α1 x0 + i v0 )
B=−
α2 − α1
la soluzione generale è
[
x(t) = e
−γ t/2
]
1
x0 cosh (γΩ t/2) +
(x0 γ + 2 v0 ) sinh (γΩ t/2)
γΩ
(2)
Possiamo avere tre diverse situazioni
1. γ/2 ≤ ω0 → Ω = i|Ω|
[
1
(x0 γ + 2 v0 ) sin (γ|Ω| t/2)
x(t) = e
x0 cos (γ|Ω| t/2) +
γ|Ω|
= A sin (γ|Ω| t/2 + φ)
√
(
)2
x0 γ + 2 v0
2
A = x0 +
γ |Ω|
x0 γ |Ω|
tan φ =
x0 γ + 2 v0
−γ t/2
8
]
questa soluzione descrive oscillazioni smorzate
2. γ/2 ≥ ω0 → Ω = |Ω|
[
−γ t/2
x0 cosh (γ|Ω| t/2) +
x(t) = e
1
(x0 γ + 2 v0 ) sinh (γ|Ω| t/2)
γ|Ω|
]
Sovra-smorzamento. Il sistema si smorza in modo monotono senza oscillare.
3. γ/2 = ω0 → Ω = 0
x(t) = e−γ t/2 [x0 (1 + γ t) + 2 v0 t]
Smorzamento critico.
Nonostante l'apparenza complicata della soluzione, nel caso di oscillazioni armoniche
semplici con γ = 0, γΩ/2 = iω0 , la soluzione di sopra diventa
x(t) = x0 cos(ω0 t) +
v0
sin(ω0 t)
ω0
che descrive soluzione generale di un oscillatore armonico libero.
Adesso torniamo all'equazione non-omogenea. Questa ha la soluzione particolare
ei ω t
F
F iωt
F i(ω t−φ−π/2)
=
e
=
e
2
2
m ω0 − ω + i γ ω
iZ
|Z|
(
(
))
Z = m γ ω + i ω 2 − ω02 = |Z| ei φ
ω 2 − ω02
tan φ =
γω
xP =
la soluzione completa è la combinazione della soluzione omogenea, nella quale si fa
F
1
F
1
sostituzione x0 → x0 − m
e v0 → v0 − iω m
e quella particolare.
ω02 −ω 2 +i γ ω
ω02 −ω 2 +i γ ω
Si vede che il coeciente γ smorza l'ampiezza in modo che dopo un tempo suciente
lungo la soluzione omogenea va a zero e sistema è costretto di oscillare con la frequenza ω della forza esterna.
9
1.1.5 Trasformata di Fourier
Ogni vettore ⃗x si può sviluppare in una base ortonormale ⃗en come segue
⃗en · ⃗em = δn,m
∑
⃗x =
xn · ⃗en
(3)
(4)
n
xn = ⃗x · ⃗en
(5)
dove xn le coordinate in quella base. Questa procedura si applica alle funzioni esponenziali che soddisfano
∫
∫
1 a i(2π/a)(n−m)p
1 a/2 i(2π/a)(n−m)p
(en · em ) =
e
dp =
e
dp = δn,m
a 0
a −a/2
∫ ∞
1
(e(x) · e(y)) =
ei(x−y)p dp = δ(x − y)
2π −∞
e rappresentano
una base ortonormale
nello spazio delle funzioni con i vettori base
√
√
inp
i(2π/a) n p
en = e / 2π = e
/ a. Perció, ogni funzione si può espandere in questa
base.
Se la funzione è periodica f (x+a) = f (x) in un intervallo [0, a] lo sviluppo è discreto
in termini di serie di Fourier. Le formule generali (5) diventano
∞
1 ∑
f (x) = √
bn ei(2π/a) n x
a n=−∞
∫ a
1
f (x) e−i(2π/a) n x dx
bn = √
a 0
dove il numero d'onda discreto è kn = 2π n/a.
Essendo intervallo [−a/2, a/2] = [0, a] arbitrario si può considerare il limite a → ∞.
In questo caso si parla di trasformata di Fourier integrale
∫ ∞
1
f (p) ei x p dp
f (x) = √
2π −∞
∫ ∞
1
f (p) = √
f (x) e−i p x dx
2π −∞
10
2 CORRENTE ELETTRICA
in n dimensioni si scrive
f (x) =
f (p) =
∫
1
(2π)
1
n/2
(2π)
n/2
∞
−∞
∞
∫
f (p) ei ⃗x p⃗ dn p
f (x) e−i ⃗x p⃗ dn x
−∞
f (p) si chiama la trasformata di Fourier nello spazio dei momenti, della funzione
f (x) denita nello spazio delle coordinate. Analogamente, se la funzione è f (t)
(tempo) la sua trasformata di Fourier è denita nello spazio di frequenze angolari
f (ω).
Esercizio La conducibilità elettrica nello spazio t ha la forma
√
2πσ0 −t/τ
σ(t) =
e
τ
per t ≥ 0 Trovare la sua trasformata di Fourier σ(ω). Soluzione
∫ ∞
1
σ(ω) = √
σ(t) e−iω t d t
2π −∞
∫
σ0
1
σ0 ∞ −(iω+1/τ ) t
e
dt =
σ(ω) =
τ 0
τ iω + 1/τ
σ0
σ(ω) =
1 + iω τ
al contrario si ha
σ(t) =
σ(t) =
σ(t) =
σ(t) =
2
∫ ∞
1
√
σ(ω) eiω t d ω
2π −∞
∫ ∞
∫ ∞
σ0
iω t
√
e dt
ds e−s(1+iω τ )
2π −∞
∫ ∞
∫ o∞
∫ ∞
√
σ0
−s
−iω(sτ −t)
√
ds e
e
d t = 2πσ0
ds e−s δ(sτ − t)
2π o
−∞
o
√
2πσ0 −t/τ
e
τ
Corrente elettrica
La corrente elettrica I si denisce come il usso di carica, nell'unità di tempo, che
attraversa una sezione S del conduttore.
I=
dQ
dt
11
dove dQ è la frazione di carica che attraversa, nel tempo dt, l'area S del lo. Questo
usso, nel caso di metalli, è rappresentato dagli elettroni liberi di muoversi
attraverso il conduttore. Dalla denizione si ricava l'unità di misura della corrente
elettrica chiamata Amperé1
C
A=
sec
Dunque, la corrente elettrica è una manifestazione macroscopica dei movimenti
microscopici. Per trovare il legame tra le due descrizioni, deniamo n la densità
volumica del numero di elettroni
dN
dV
dove dN rappresenta numero di elettroni in un volume dV di una sezione del lo
conduttore. Il volume si può esprimere attraverso la velocità media degli elettroni
come segue
n=
dV = v dt S
dQ = dN qe = n qe dV
dQ = n qe v S dt
I = n qe v S
Qui abbiamo fatto l'assunzione che tutti gli elettroni si muovono con la stessa
velocità v (chiamata velocità di deriva). Questa semplicazione non cambia niente
nella sostanza dell'argomento. Uno si può domandare come si riesce calcolare la
densità del numero di elettroni n. La risposta è sorprendentemente semplice e passa
attraverso la denizione della mole nmoli = N/NA dove NA = 6 × 1023 è il numero di
Avogadro.
N
NA
=Z
V
VA
MA
ρ=
VA
NA
n = Zρ
MA
n=Z
Nel caso di di rame ρCu = 9 g/cm3 , MCu = 64 g, Z = 1 si trova numero di elettroni di
conduzione per unità di volume
ρCu = 8, 4 × 1022 elettroni/cm3
Questo ragionamento classico richiede delle correzioni quantistiche, ma
qualitativamente da risultati giusti. Numero Z rappresenta numero di elettroni di
1 Più
tardi vedremo un altra denizione di Amperé attraverso forza tra due li
12
valenza (gli unici liberi di muoversi attraverso il metallo). Usando questo risultato si
può calcolare la velocità di deriva
vd =
I
1A
=
= 7 × 10−3 cm/sec
22
n qe S
8, 4 × 10 elettroni/cm3 · 1, 6 × 10−19 C · 1 mm2
Questa velocità si può confrontare con la velocità termica degli elettroni
√
√
3 · 1, 38 × 10−23 J/K · 293 K
vT = 3 k T /m =
= 1, 2 × 105 m/sec
−31
9, 1 × 10 kg
si vede che la velocità di deriva è molto più piccola di quella termica (prendendo in
considerazione eetti quantistici vT ≈ 106 ), ma se come agisce nella stessa direzione
produce una corrente apprezzabile. Il movimento degli elettroni non è ordinato in
una sola direzione, causa disturbi termici, ma in tutto si spostano seguendo il campo
elettrico. In assenza del campo i movimenti termici in media si annullano e non
producono uno spostamento (corrente). La domanda che si pone: se la velocità di
deriva degli elettroni è così bassa, come è possibile che un segnale elettrico viaggi a
velocità prossima a quella della luce? La risposta è semplice. L'elettrone che parte
da un estremo di un lo non è lo stesso che arriva all'altro estremo, perchéci
impiegherebbe un tempo veramente lungo. Quello che si propaga lungo la linea
elettrica è il campo elettrico, che mette in moto tutti gli elettroni liberi presenti nei
conduttori che la costituiscono. Tutto avviene come quando colleghiamo a un
rubinetto aperto un estremo di lunga conduttura piena d'acqua, e l'acqua esce quasi
istantaneamente dall'altro estremo. Come dimostrazione calcoliamo il tempo
necessario per un elettrone di attraversare un lo lungo l = 1cm
t=
l
1 cm
=
= 0, 14 × 103 sec ≈ 2, 33 min
vd
7 × 10−3 cm/sec
⃗ che fa accelerare
La velocità di deriva è causata dal campo elettrico esterno E
elettroni secondo la legge di Newton
⃗a =
⃗
qe E
me
se il campo è costante il moto è uniformemente accelerato. La velocità di deriva si
ricava integrando l'equazione di sopra che da
⃗vd =
⃗
qe E
τ
me
(6)
dove τ signica il tempo medio tra due collisioni dell'elettrone con altri elettroni. Si
vede che, causa collisioni, il moto in realtà diventa uniforme quando elettroni
13
raggiungono la velocità terminale. Il moto si può descrivere come in presenza di una
forza di attrito dinamico
q ⃗ ⃗v
−
⃗a = E
m
τ
Adesso vale la pena soermarsi su questa equazione dierenziale, perché equazioni
simili incontreremmo spesso in diverse situazioni siche. L'equazione in questione è
v̇ +
v
q
=
E
τ
m
(7)
Si può risolvere in due modi:
1. prima la scriviamo senza termine in E come equazione omogenea
v
0 = v̇ +
τ
dv
dt
=−
v
τ
e poi integriamo
∫
∫
dv
dt
=−
v
τ
t
ln v = − + const.
τ
che da la soluzione generale dell'equazione omogenea
vH (t) = C e−t/τ
2. la stessa soluzione si può ottenere assumendo la forma vH (t) = eα t e inserendo
nel equazione omogenea si determina il valore del parametro α
1
τ
vH (t) = C e−t/τ
α=−
A questo punto si determina una soluzione particolare dell'equazione inomogenea
(completa) che è
q
vP =
Eτ
m
La soluzione completa è la somma tra soluzione dell'equazione omogenea e la
soluzione particolare
q
v = C e−t/τ + E τ
m
Resta da determinare una costante arbitraria (costante di integrazione C ) dalle
condizioni iniziali nel momento t = 0 quando v(0) = 0. Le condizioni iniziali
portano alla soluzione completa
v=
(
)
q
E τ 1 − e−t/τ
m
14
(8)
Per tempi sucientemente lunghi t ≥ τ il fattore esponenziale muore (si dice: a
regime), la velocità di deriva raggiunge valore terminale e si ha il moto uniforme
vd =
q
Eτ
m
Inserendo questo risultato nella formula della corrente si ha
I=
n qe2 τ
SE = σSE
me
la costante σ = n qe2 τ /me si chiama la conducibilità. Esprimiamo il campo
elettrico tramite il potenziale elettrico V = E l, dove l rappresenta la lunghezza del
lo, e otteniamo
σS
V
I=
V =
→ Legge di Ohm
l
R
dove R = l/σ S si chiama la resistenza del lo. Abbiamo ricavato famosa legge
empirica do Ohm dalle considerazione microscopiche. L'inverso della conducibilità si
chiama la resistività ρ (o resistenza specica) ed e una caratteristica del metallo di
cui à fatto il lo. Adesso possiamo anche calcolare il tempo medio di collisione tra
due elettroni del rame a T = 273 K
9, 1 × 10−31 kg
m
=
= 2, 7 × 10−14 sec
τ=
2
2
−8
28
−3
−19
2
ρ n qe
1, 56 × 10 Ω m 8.4 × 10 m (1, 6 × 10 ) C
In generale, per i metalli, il tempo libero varia tra 10−14 e 10−15 , Il camino libero
(distanza tra due collisioni) si trova
lf ree = vT · τ ≈ 10−7 m
.
Quanto descritto nora si riferisce alle correnti in regime stazionario (costanti nel
tempo). Queste correnti sono prodotte dai campi elettrici costanti generati dai
generatori a poli ssi (pile elettriche). In caso di campi elettrici variabili nel tempo
avremmo correnti alternate. Prendiamo il campo di tipo cosinusoidale
⃗ =E
⃗ 0 cos (ω t)
E
L'equazione per la velocità di deriva diventa
v̇ +
v
q
=
E0 cos (ω t)
τ
m
(9)
La soluzione della omogenea sarà come prima, ma cambia soluzione particolare che
non è più costante. Per risolvere l'equazione diventa utile utilizzo dei numeri
complessi e si scrive (9) come
ż +
q
z
=
E0 ei ω t
τ
m
15
2.1 Il campo magnetico
dove v = Re z. Assumendo la forma della soluzione particolare come z = z0 ei ω t si
trova
q E0 τ
z0 =
m 1 + iω τ
Scriviamo il numero complesso z0 = |z0 | eiφ . Il modulo |z0 | e la fase φ si calcolano
come segue
|z0 | =
√
z0 z0∗ =
q
E τ
√ 0
m 1 + ω2τ 2
tan φ = −ω τ
z = |z0 | ei(ω t+φ)
La legge di Ohm, per le correnti alternate si scrive in forma complessa in termini di
densità della corrente j = I/S come
j(t) = σ(ω) E(t)
q2 n τ
1
σ(ω) = e
me 1 + i ω τ
Per le correnti alternate la conducibilità diventa complessa. La soluzione si ottiene
prendendo la parte reale j(t) = Re j(t)
j(t) =|σ| E0 cos (ω t + φ)
q2 n
τ
|σ| = e √
me 1 + ω 2 τ 2
I risultati per le correnti stazionarie si ottengono per ω = 0.
⃗ mentre campi
Abbiamo visto che le cariche stazionarie producono campi elettrici E
⃗
magnetici B sono prodotti dalle cariche in movimento (correnti elettriche). La
legge fondamentale del magnetismo e la legge di Biot-Savart
⃗ = k′ I
dB
d⃗l × ⃗r
r3
(10)
⃗ nel punto a distanza ⃗r, mentre dl rappresenta un
che da il campo magnetico B
elemento di linea di un conduttore attraversato dalla corrente I . Come esempio di
applicazione calcoliamo il campo magnetico prodotto da:
1. Un conduttore di lunghezza innita posto sull'asse z , nel punto distante a da
16
essa. Elemento di linea dell'asse z è d⃗l = d z ⃗k .
⃗r = ⃗a + ⃗z
(
)
⃗
⃗
⃗
dl × ⃗r = dz k × a ⃗r0 + z k = a dz φ
⃗0
∫ ∞
∫ ∞
⃗l × ⃗r
d
a dz
′
′
⃗ =k I
B
=
2
k
I
φ
⃗
0
3/2
[a2 + z 2 ]3/2
−∞ [a2 + z 2 ]
0
′
⃗ = 2k I φ
B
⃗0
a
Si vede che il campo magnetico avvolge il lo con le linee circolari chiuse su se
stesse. Il verso è anti-orario per la corrente che segue l'asse z in su e orario
quando la corrente va in giù.
2. Una spira circolare, di raggio R, nel piano x, y in un punto P (0, 0, a).
d⃗l = R dφ φ
⃗0
⃗ + ⃗a
⃗r = R
√
r = R 2 + a2
⃗a = a ⃗k
⃗ = R ⃗r0
R
′
⃗ =k I
B
(
)
∫ d⃗l × ⃗a − R
⃗
[a2 + R2 ]3/2
′
2
⃗ = 2π k I R ⃗k
B
(a2 + R2 )3/2
′
∫
2π
= k I
R dφ
0
a ⃗r0 + R ⃗k
[a2 + R2 ]3/2
quando a ≥ R, r ≈ a la formula si semplica dando
′
2
′
⃗ = 2π k I R ⃗k = 2 k I S ⃗k
B
a3
a3
dove S = π R2 è l'area della spira circolare. Si denisce il vettore m
⃗ = I S ⃗k
che si chiama momento del dipolo magnetico e la spira rappresenta
eettivamente un dipolo magnetico, il cui campo è dato dalla formula
′
⃗
⃗ = 2k m
B
a3
L'ultimo esempio, oltre a servire come esercizio della legge di Biot-Savart, ci fa
capire l'origine del magnetismo nella matteria. Le spire circolari elementari sono le
orbite elettroniche negli atomi che generano campi magnetici dipolari. Il solenoide è
una struttura di tante spire circolari messe insieme che formano un cilindro. Il
17
campo magnetico sull'asse del solenoide si può trovare quadrando il contributo di
spire nell'arco di angolo dθ misurato dall'asse. Si ha
sin θ =
r dθ
dl
Idl = I n dl =
n I r dθ
sin θ
2
R2
′ sin θ
Bz = 2π k I 3 = 2π k I
r
r
R = r sin θ
′
sin2 θ
= 2π k ′ I n sin θ dθ
r
Bz = 2π k ′ I n (cos θ1 − cos θ2 )
dBz = 2π k ′ Idl
Per un solenoide di lunghezza innita θ1 = 0 θ2 = π el a formula si semplica dando
Bz = 4π k ′ I n
Calcoliamo adesso il usso magnetico attraverso una supercie chiusa che
avvolge il lo del primo esercizio
I
I
2 k′ I
⃗
⃗
dS φ
⃗ 0 · ⃗k = 0
B · dS =
a
S
Si può dimostrare che questa è una proprietà generale del campo magnetico. Inoltre,
calcoliamo il lavoro compiuto dal campo quando fa un giro attorno al lo
I
∫
2 k ′ I 2π
⃗
⃗
B · dl =
a dφ = 4 π k ′ I
a
C
0
anche questo è un risultato di validità generale. Possiamo scrivere insieme le formule
di base per campi elettrici e magnetici statici
H
⃗ dS
⃗ = 4π k Q Legge di Gauss
1. S E
H
⃗ dS
⃗ = 0 assenza di monopoli magnetici
2. S B
H
⃗ d⃗l = 0 conservatività della forza elettrica
3. c E
H
⃗ · d⃗l = 4 π k ′ I legge di Ampère
4. C B
18
2.2 Forza di Lorentz
Quando una carica puntiforme si trova nel campo elettrico è soggetta alla forza
elettrica
⃗
F⃗ = qp · E
In analogia è da aspettarsi che anche il campo magnetico agisca con una forza simile
sulle cariche. La dierenza tra due campi sta nel fatto che il campo magnetico agisce
solo su le cariche puntiformi in movimento con la forza chiamata forza di Lorentz
⃗
F⃗L = qp · ⃗v × B
Questa formula permette di trovare l'unità di misura del campo magnetico nel
sistema internazionale (SI).
F
N
N
]=
=
qp v
Cm/sec
Am
N
T (Tesla) =
Am
1 T = 105 G(Gauss)
[B] = [
Confrontano la forza elettrica e forza di Lorentz possiamo trovare il legame tra le
unità di due campi
[
F
qp E
]=[
]
FL
qp v B
E
[ ] = [v]
B
si vede che nel sistema di unità SI, il rapporto di E e B ha le dimensioni di una
velocità. Usando le espressioni per il campo elettrico di Coulomb e quello magnetico
di un lo lungo si ottiene
k q/r2
k
E
]=[ ′ ]
[ ] = [v] = [ ′
B
k I/r
kv
k
= c2
′
k
La conclusione è che le costanti non sono indipendenti, ma proporzionali ad un
altra costante fondamentale che è la velocità della luce. Questo è un modo semplice
di vedere una relazione intrinseca tra campi elettrici e magnetici dinamici. Quando
abbiamo un conduttore che porta la corrente elettrica è più conveniente scrivere la
forza di Lorentz attraverso la corrente stessa. Si noti che la corrente non è altro che
19
un insieme di elettroni e si può scrivere
⃗ = n dV qp · ⃗v × B
⃗
dF⃗L = dN qp · ⃗v × B
∫
∫
⃗ dV = I
⃗
F⃗L = ⃗j × B
d⃗l × B
2.2.1 Forza tra due correnti
Se ci sono due conduttori che portano le correnti I1 , I2 si può scrivere la forza tra
due correnti
∫
⃗2
F⃗12 = I1
d⃗l1 × B
F⃗12 = k ′ I1 I2
∫
C1
∫
C2
d⃗l2 × (⃗r1 − ⃗r2 )
d⃗l1 ×
(⃗r1 − ⃗r2 )3
Nel caso di due conduttori lunghi e paralleli la formula da
F12 = 2 k ′
I1 I2
l
d
dove d rappresenta la distanza ortogonale tra due li ed l la loro lunghezza. La forza
è attrattiva quando le correnti hanno lo stesso verso e repulsiva quando i versi
sono opposti.
2.2.2 Movimento di una carica nel campo magnetico
⃗ = 0, che
Consideriamo la situazione di una carica , in assenza di campo elettrico E
⃗ = By ⃗j con la velocità v0 . La velocità è data da
entra in un campo magnetico B
⃗v0 = vx⃗i + vz⃗k . Le componenti della forza di Lorentz sono
Fy = q (vz Bx − vx Bz ) = 0
Fx = q (vy Bz − vz By ) = −q vz By
Fz = q (vx By − vy Bx ) = q vx By
Equazioni di moto sono
ay ≡ ÿ = 0
q
ax ≡ ẍ = − vz By
m
q
az ≡ z̈ =
vx By
m
20
Introduciamo una variabile complessa u = x + i z e ω = q B/m che permette di
scrivere le ultime due equazioni
0 = ü − iω u̇
che da le soluzioni
u̇(t) = u̇(0)eiω t
)
u̇(0) ( iω t
u(t) = u(0) +
e −1
iω
separando la parte reale ed immaginaria si trova
vz,0
1
+ (vz,0 cos ω t + vx,0 sin ω t)
ω
ω
vx,0
1
z(t) = z0 +
+ (−vx,0 cos ω t + vz,0 sin ω t)
ω
ω
x(t) = x0 −
combinando le due soluzioni si dimostra che la traiettoria è un cerchio
[
(
(
)
vz,0 )]2 [
vx,0 )]2
1 ( 2
2
x(t) − x0 −
+ z(t) − z0 +
= 2 vx,0
+ vz,0
ω
ω
ω
di raggio
R=
v
√
2
2
vx,0
+ vz,0
ω
=
v
mv
=
ω
qB
v
, z0 + x,0
. Il periodo di rotazione T = 2π m/q B .
e con il centro nel punto x0 − z,0
ω
ω
Combinando l'eetto del campo elettrico e magnetico si accelerano particelle negli
acceleratori. Il ciclotrone consiste di due semi-cerchi separati da uno spazio dove è
applicato campo elettrico. Il campo elettrico accelera le particelle cariche, mentre
il campo magnetico gli fa girare sulle orbite circolari. Come si vede dalle formule di
sopra il raggio dell'orbita dipende dalla velocità, mentre il periodo no.
Esercizi
1. Un protone di massa mp = 1, 67 × 10−27 kg e carica qp = 1, 6 × 10−19 C,
inizialmente fermo, viene accelerato tra due piastre parallele tra le quali c'è il
potenziale elettrico V = 5 × 103 V. Successivamente il protone entra in un
campo magnetico B = 1, 2 T perpendicolare ala sua velocità. Calcolare
• la velocità quando entra nel campo magnetico
• il raggio della traiettoria nel campo magnetico e la frequenza di rotazione
Soluzioni
1. Prima si calcola la velocità del protone quando si accelera tra le piastre
parallele (un condensatore piano)
21
2.3 Magnetismo atomico
• velocità del protone
1
Ek ≡ m v 2 = qp · V
2
√
√
v = 2 qp V /m = 2 · 1, 6 × 10−19 C · 5 × 103 V /1, 67 × 10−27 kg
√
√
= 1, 6 × 10−15 J/1, 67 × 10−27 kg = 0, 958 × 1012 m2 /sec2
≈ 0, 98 × 106 m/sec ≈ 106 m/sec
• Raggio della traiettoria
R≡
mv
1, 67 × 10−27 kg · 0, 98 × 106 m/sec
=
qP B
1, 6 × 10−19 C · 1, 2 T
N sec
= 0, 85 × 10−2
= 0, 85 cm
C N/A m
Abbiamo visto che il campo magnetico agisce sulle cariche con la forza di Lorentz.
Un elettrone che gira (in senso anti-orario) attorno al nucleo a tutti gli eetti
rappresenta una spira portante la corrente I . Il momento dipolare magnetico è
denito come
∫
∫
1
I
m
⃗ =
⃗r × ⃗j dV =
⃗r × d⃗l
2
2
per chiarire il fattore 1/2 calcoliamo l'area di una spira circolare
⃗=1
S
2
∫
∫ 2π
1
⃗r × d⃗l = ⃗r0 × φ
⃗0
d⃗
φ = π r2 ⃗k
2
0
e si trova il risultato
⃗
m
⃗ =I ·S
Per un elettrone possiamo calcolare il momento dipolare magnetico prendendo
⃗ e si trova
⃗j = qe ⃗vt = qe ω
⃗ ×R
) q
1 ⃗ (
|qe | ⃗
e
⃗
⃗ ×R = ω
⃗ R2 = −
L
m
⃗ = R× ω
2
2
2m
dove L = I ω è momento angolare dell'elettrone e I = m R2 momento di inerzia per
la rotazione attorno al nucleo sull'orbita di raggio R. Un dipolo magnetico ha
l'energia potenziale nel campo magnetico
⃗
U = −m
⃗ ·B
e, per un elettrone che gira in senso anti-orario, si trova
|qe | ⃗ ⃗
U=
L·B
2m
questo è il contributo orbitale all'energia potenziale. Si vede che l'energia
⃗ −B
⃗ ed e massima U ≥ 0 quando L||
⃗ B
⃗.
potenziale è minima U ≤ 0 quando L||
22
2.3.1
Frequenza di Larmor
Adesso guardiamo cosa succede ad un atomo in un campo magnetico. La forza di
Lorentz si aggiunge alla forza elettrica (centripeta) e la forza centrifuga per denire
la traiettoria dell'elettrone attorno al nucleo. Prendiamo campo magnetico
⃗ = B ⃗k che ruota in senso anti-orario.
ortogonale all'orbita dell'elettrone ⃗v ⊥B
0 = F⃗L + F⃗cf + F⃗C
⃗
F⃗C = mω 2 r ⃗r0 + qe ⃗v × B
(
)
d
2
⃗
→ FC = mω r + qe ⃗v × B · ⃗r0
dω
)
d (
⃗
⃗vt × B · ⃗r0
0 = 2 mω r − |qe |
dω
(
)
⃗ · ⃗r0 = rB
⃗ ·ω
⃗ = rBω
⃗vt × B
⃗ = r B · ω cos (⃗ω B)
ω
⃗L =
|qe | ⃗
B
2 me
si vede che l'elettrone riceve una frequenza angolare aggiuntiva chiamata frequenza
di Larmor che ha sempre lo stesso verso del campo magnetico. Il modo semplice di
vedere la direzione della velocità angolare di Larmor è di guardare il verso della
forza di Lorentz
• quando elettrone ruota in senso anti-orario la forza di Lorentz è attrattiva e
la forza centrifuga deve aumentare per mantenere l'orbita ssa dell'elettrone.
Dunque, la velocità tangenziale deve aumentare
ω = ω0 + ωL
e ωL ||B
• quando elettrone ruota in senso orario la forza di Lorentz è repulsiva e la
forza centrifuga deve diminuire per mantenere l'orbita ssa dell'elettrone.
Dunque, la velocità tangenziale deve diminuire
ω = ω0 − ωL
ma sempre ωL ||B
Dunque, un elettrone, esposto ad un campo magnetico esterno, possiede un
momento magnetico indotto dal campo stesso di valore
m
⃗L=−
q2
|qe |
⃗
Iω
⃗ L = − e R2 B
2 me
4 me
23
Il momento magnetico indotto è sempre antiparallelo al campo magnetico
(diamagnetismo). Si ha l'energia totale dell'elettrone
2 2
⃗ = |qe | L
⃗ ·B
⃗ + qe R B 2
Utot ≡ −m
⃗ tot · B
2 me
4 me
Il primo termine si chiama contributo paramagnetico mentre il secondo è
diamagnetico. Diamagnetismo è sempre più debole di paramagnetismo ed è
dominante solo negli atomi con L = 0 (livelli pieni).
2.3.2 Precessione di Larmor
Abbiamo visto che un campo magnetico ortogonale all'orbita di un elettrone
modica la sua velocità angolare ma non il raggio dell'orbita. Consideriamo adesso
un campo non ortogonale all'orbita ma formando un angolo θ ̸= 900 . In questo caso
il momento angolare e la velocità angolare non sono (anti)paralleli è il momento
⃗
torcente ⃗τ = dL/dt
è dato da
⃗τ = I
dω
⃗ ×ω
ω
⃗0 + L
⃗ → equazioni di Eulero
dt
ed anche quando la velocità è costante esiste un momento torcente. Questo
momento provoca la precessione dell'orbita elettronica attorno alla direzione del
campo magnetico. Questa si chiama la precessione di Larmor. Un simile
comportamento ha una trottola che fa la precessione attorno alla direzione della
velocità angolare dovuta al momento prodotto dal suo peso.
2.3.3 Risonanza magnetica
L'osservabile sica macroscopica è la magnetizzazione, denita come il momento di
dipolo magnetico per unità di volume
∑
⃗ =
M
i
m
⃗i
V
La magnetizzazione M , prodotta dall'azione del campo magnetico sugli spin
nucleari, è proporzionale a quella dell'eccesso di spin con verso parallelo al campo
applicato ↑↑. È così possibile ottenere, da una piccola quantità di materia una
magnetizzazione misurabile dovuta agli spin dei nuclei contenuti nella materia. Si
usa il nucleo dell'idrogeno ( il protone). Esso rappresenta una corrente nucleare che
possiede un momento magnetico m. Anche H2 (il nucleo del deuterio, isotopo
dell'idrogeno), C13 , F19 , P31 , Ca43 e molti altri nuclei hanno m ̸= 0 . Ma
normalmente si considera il protone, in quanto presente in grandi quantità nei
tessuti umani. Per misurare M occorre perturbare il sistema dal suo stato di
equilibrio, ad esempio applicando un secondo campo magnetico Bpert perpendicolare
a B0 e variabile nel tempo ( può essere prodotto da un segnale a radiofrequenze). I
24
campi B0 e Bpert si chiamano campo di polarizzazione e campo di eccitazione.
Una volta spento Bpert , il sistema di spin cede l'eccesso di energia al reticolo e si
ristabilisce l'equilibrio tra spin degli atomi del campione e campo B0 .
Se un nucleo è immerso in un campo magnetico B0 , il vettore m
⃗ tende a orientarsi
parallelamente a B0 , compiendo un moto di precessione con una frequenza di
precessione di Larmore ωL . Un campo elettromagnetico variabile, della stessa
frequenza ωL , che interagisca con il protone che subisce il moto di precessione, darà
luogo a un fenomeno di risonanza e il campo a radiofrequenza potrà cedere al
protone l'energia necessaria a rovesciare il moto di precessione. Il protone a questo
punto può ritornare nello stato di partenza ↑↑ (minima energia) , emettendo un
fotone di energia pari a quella che gli ha permesso di passare dallo stato ↑↑ a quello
↑↓ emettendo una radiazione elettromagnetica di frequenza ω0 . Il debole segnale
emesso dai protoni che ritornano alle condizioni iniziali è rivelato da un opportuno
ricevitore. In questo modo è possibile ricostruire la mappa, anche tridimensionale,
della distribuzione dei protoni nei tessuti, e quindi negli organi. Se il corpo in
considerazione è immerso in un campo magnetico B i momenti magnetici
tenderanno ad allinearsi al campo , però la loro agitazione termica farà che, alla
temperatura di circa T = 300 K , quelli con ↑↑ siano in numero leggermente più alto
di quelli con ↑↓. Il sbilancio produce una leggera magnetizzazione M del corpo.
Le componenti del vettore M (t) sono descritte con le equazioni di Bloch.
⃗
dL
⃗ ×ω
=L
⃗
dt
q
⃗ ×ω
⃗
L
⃗L =
m
⃗ ×B
2 mp
⃗
dM
⃗ ×B
⃗
= gγ M
dt
dove γ è una costante chiamata rapporto giromagnetico. Per gli elettroni sarebbe
γ = q/2 mp , ma per il nucleo si trova g ≈ 2q/2 mp . Questa dierenza riguarda il
contributo dello spin nucleare al momento magnetico.
Le equazioni delle componenti sono
dMx
= gγ(My Bz − Mz By )
dt
dMy
= gγ(Mz Bx − Mx Bz )
dt
dMz
= gγ(Mx By − My Bx )
dt
Consideriamo un campo magnetico statico che scegliamo lungo l'asse z (
25
Bx = By = 0), e le equazioni si semplicano:
dMx
= gγMy Bz
dt
dMy
= −gγMx Bz
dt
dMz
=0
dt
La terza di queste equazioni da Mz = const.. Derivando la prima rispetto al tempo
si ottiene:
d2 Mx
= −g 2 γ 2 Bz2 Mx
dt2
Questa è un'equazione dierenziale omogenea. La magnetizzazione è scelta
inizialmente (My (t = 0) = 0) lungo l'asse y . Con queste condizioni iniziali, le
soluzioni sono
Mx
My
Mz
ω0
= Mx0 cos ω0 t
= Mx0 sin ω0 t
= M0
= gγBz
Le equazioni del moto descrivono la precessione della magnetizzazione attorno
all'asse del campo magnetico (assunto lungo la direzione z).
Le relazioni precedenti sono incomplete, perché ignorano gli scambi di energia e
momento che possono avvenire fra il sistema dei dipoli magnetici che dà origine alla
magnetizzazione macroscopica. Questi scambi di energia e momento tendono sempre
a riportare la magnetizzazione ad un valore corrispondente a quello di equilibrio
termico con l'ambiente circostante. Questi processi spontanei che ripristinano i
valori di equilibrio termico sono indicati con il termine di "rilassamento". Si
possono includere gli eetti del rilassamento aggiungendo dei termini
dMx
Mx
= gγ(My Bz − Mz By ) −
dt
T2
dMy
My
= gγ(Mz Bx − Mx Bz ) −
dt
T2
Mz − M0
dMz
= gγ(Mx By − My Bx ) −
dt
T1
Le soluzioni sono
Mx = Mx0 e−t/T2 cos ω0 t
My = Mx0 e−t/T2 sin ω0 t
)
(
Mz = M0 1 − e−t/T1
26
2.4 Induzione magnetica
Figure 3:
La costante di tempo T1 , che governa il ritorno all'equilibrio della componente
longitudinale del vettore M, è denita tempo di rilassamento spin-reticolo, perché
coinvolge scambio di energia tra il sistema di spin ed il resto dell'ambiente. La
costante di tempo T2 , che governa l'annullamento della componente trasversale del
vettore M , si denisce tempo di rilassamento spin-spin in dipende dalle interazioni
tra i momenti magnetici dei singoli nuclei che porta gli spin a perdere coerenza e a
sfasarsi. Il tempo di rilassamento T2 è sempre minore o uguale a T1 . Una volta
terminata l'azione perturbante del campo Bpert , dopo un tempo di applicazione Tp ,
la magnetizzazione macroscopica M si riallinea al campo B0 . Il segnale prodotto
dalla variazione nel tempo del vettore M viene misurato in laboratorio usando una
bobina ad induzione elettromagnetica posta attorno al campione in direzione
ortogonale al campo esterno, che si comporta come una antenna: le variazioni della
componente trasversale di M inducono una piccola forza elettromotrice (misurabile
tramite un ricevitore a radiofrequenza) che oscilla alla frequenza di Larmor.
Si è visto che la corrente elettrica (cariche in movimento) genera campi magnetici.
Si pone la domanda se il campo può, in qualche modo, mettere in movimento le
cariche e generare la corrente chiamata corrente indotta. Prendiamo una spira
rettangolare con il lato AB che può scivolare su altri lati con la velocità v . Nel
tempo dt esiste la variazione dell'area della spira
27
dS = v l0 dt
dS
B = l0 v B
dt
dall'altro canto calcoliamo il lavoro della forza di Lorentz
1
q
∫
dS
Fl dl = v B l0 =
B
dt
I
(
)
⃗ d⃗l = d B
⃗ ·S
⃗
E
dt
Prendiamo adesso una spira ssa che si muove in un campo magnetico variabile e
calcoliamo il lavoro della forza di Lorentz luno la spira
⃗v = v ⃗j
⃗b = B ⃗k
I
F⃗L = q v B ⃗i
F⃗l d⃗l = (F2 − F4 ) l = q v (B2 − B4 ) l
1
q
IC
d (B v l dt)
d ( ⃗ ⃗)
=
B·S
dt
dt
C
I
⃗ d⃗l = d Φ
E
dt
Fl dl =
⃗ ·S
⃗ si chiama il usso del campo magnetico e la formula
il prodotto scalare Φ = B
trovata si chiama la legge di induzione di Faraday.
I
∫
∂
⃗
⃗
⃗ ·S
⃗
Eind =
E dl = −
B
(11)
∂t S
C
Dove Eind rappresenta il potenziale indotto. Il segno proviene dalla regola di Lentz
che determina la direzione della corrente indotta.
La corrente indotta avrà la direzione tale di annullare il
cambiamento di usso magnetico che genera la corrente stessa
La regola di Lentz:
In altre parole se il usso diminuisce la corrente indotta genera un campo
aggiuntivo (nel verso del campo esistente) tale di ripristinare il usso originale e vice
versa. Noi abbiamo ricavato la legge di Faraday usando campi statici, ma si può
dimostrare che vale anche per i campi dinamici. In altre parole, se abbiamo una
spira immersa in un campo magnetico variabile nel tempo si genera la corrente
indotta senza bisogno di muovere la spira.
28
Come un esempio di un campo dinamico prendiamo un circuito C con un
condensatore che si scarica generando la corrente nel circuito. Il lo conduttore è
avvolto da un campo magnetico generato dalla corrente e vale la relazione
I
⃗ · d⃗l = 4 π k ′ I
B
C
ma tra le piastre del condensatore non cé un lo sico! Questo signica che la
formula non va bene ? Per poter rispondere quardiamo il campo elettrico del
condensatore, che dipende dal tempo
Q(t)
S
e facendo la derivata sul tempo si trova
E(t) = 4π k
Q̇(t)
= 4π k j
S
Dunque, un campo elettrico variabile nel tempo a tutti gli eetti funge da una
corrente elettrica, chiamata corrente di spostamento cI ′ . Per aver la validità della
legge bisogna modicarla per includere tutte le correnti presenti
I
⃗ · d⃗l = 4 π k ′ I + S I ′
B
4π k
C
Ė(t) = 4π k
questa relazione si chiama la legge di Ampére generalizzata.
2.4.1
Coecienti di induzione magnetica
Se in un circuito elettrico gira la corrente variabile nel tempo essa, per la legge di
Biot-Savart, genera un campo magnetico proporzionale alla corrente. Il campo
magnetico, a sua volta, genera un'altra corrente indotta. In questi casi la legge di
Ampére si scrive
Eind
C dI
=
R
R dt
La costante di proporzionalità (C ) si chiama il coeciente di induzione. Questo
eetto si chiama auto-induzione (C = L) se la corrente viene indotta nello stesso
circuito che genera il campo, o mutua-induzione (C = M ) se si genera in un circuito
diverso. Prendiamo il caso di un solenoide che auto-induce la corrente. Il coeciente
di auto-induzione si calcola come segue
Iind ≡
B = 4 π k′ n I
Eind = 4 π k ′ n N S
dI
dt
N2
S
L
e si vede che il coeciente dipende solamente dalla geometria del circuito.
L = 4 π k′
29
Esercizi
1. Una spira circolare, di diametro d = 10 cm e resistenza R = 0, 5 Ω, ruota
attorno al suo diametro con la velocità angolare ω = 300 sec−1 . Il campo
magnetico B = 0, g T è perpendicolare all'asse di rotazione e nel t = 0 il usso
è massimo. Calcolare la corrente indotta e la potenza media delle forze esterne
che mantengono la spira in rotazione.
Figure 4: Induzione magnetica in una spira in rotazione
2. Un solenoide di lunghezza l = 80 cm è costituito di N1 = 500 spire. All'interno
del solenoide e ad esso coassiale è posta una bobina di N2 = 10 spire. Nella
bobina viene indotta una f.e.m. E = 0, 2 V quando nell'interno del solenoide la
corrente passa da I1 = 20 A a I2 = 5A in un tempo t = 0, 02 sec. Determina
l'area della bobina?
3. L'ago magnetico (la bussola) si orienta sempre nella direzione Nord-Sud lungo
il meridiano magnetico terrestre. Se vicino alla bussola mettiamo un solenoide
collegato alla batteria di E = 10V, notiamo che la bussola si sposta così di
formare l'angolo di 450 con la posizione originale. Il solenoide è fatto di
N = 20 spire ed è lungo l = 10 cm. La resistenza del solenoide è R = 100 Ω.
Calcolare il valore del campo magnetico terrestre BT .
4. Una sbarra di lunghezza l = 1 m scorre verso sinistra, senza attrito, sulle due
guide metalliche parallele con la velocità costante v = 5 m/sec. Il sistema è
immerso in un campo magnetico B ortogonale al piano delle guide e diretto
verso l'alto.
Calcolare la f.e.m. indotta in due situazioni
• quando il campo magnetico è costante B = 0, 2 G
• quando il campo magnetico varia secondo la legge
B = 0, 2 G cos (0, 2 t/sec)
30
Figure 5: Induzione magnetica in una sbarra in movimento
5. Una spira di raggio r1 è percorsa da una corrente I1 e si trova nel piano x, y .
Una seconda spira di raggio r2 e resistenza R gli si avvicina, parallela ad essa,
con la velocità v lungo asse z . Il raggio r2 ≤ r1 così che il campo magnetico è
praticamente costante attraverso la seconda spira. Determinare
• la corrente indotta nella seconda spira come funzione di z
• la forza di Lorentz che agisce sulla spira
Figure 6: Induzione magnetica tra due spire
6. Calcolare la forza con la quale un conduttore lungo che porta la corrente I1
agisce sulla spira rettangolare di lato l, che porta la corrente I2 . Inoltre,
calcolare il usso attraverso la spira ed il coeciente di mutua induzione tra la
spira ed il lo lungo.
31
Figure 7: Induzione magnetica tra una spira ed un lo
Soluzioni
1.
2. La legge di Faraday da
E = S2
∆B1
∆t
N1 N2 ∆I
l
∆t
El
∆t
S2 =
4π k ′ N1 N2 ∆I
0, 2V · 0, 8 m · 0, 02 sec
S2 =
≈ 340 cm2
4π 10−7 N/A2 5000 · 15 A
E = 4π k ′ S2
3. Essendo campo totale inclinato di 450 segue che BT = Bs e si ha
BT = 4 π k ′
NV
20 10 V
= 4π 10−7 N/A2
≈ 2, 5 Gauss
l R
0, 1 m 100 Ω
4. La distanza che percorre la sbarra (rispetto all'origine del sistema di
coordinate scelto) è x = l1 − v · t e si ha, nel caso di campo costante
S = l (l1 − v t)
⃗ = − l v dt ⃗k
dS
⃗ · dS
⃗ = B l dx = −B v l dt
dΦ = B
E =−
dΦ
= Blv
dt
Quando il campo cambia nel tempo si trova
32
⃗ ·S
⃗ +B
⃗ · dS
⃗ = −B0 v l cos(ω t) dt − l (l1 − v t) B0 ω sin (ω t)
dΦ = dB
dΦ
= B l (v cos(ω t) + (l1 − v t) ω sin(ω t))
E =−
dt
Si potrebbe scegliere l'origine del sistema di coordinate all'altro estremo della
rotaia che equivale alla scelta l1 = 0 nelle formule di sopra.
5. Il campo magnetico, sul asse z , della spira è
Bz =
2π k ′ I1 r12
3/2
(z 2 + r12 )
e la variazione del usso nella spira piccola è
dΦ = π r22
I2 =
dBz
6π 2 k ′ I1 r12 r22
z dz
=−
5/2
dt
(z 2 + r12 )
E
dΦ
6π 2 k ′ I1 r12 r22
zv
=−
=−
5/2
R
Rdt
R (z 2 + r12 )
dz
v=−
dt
Per la legge di assenza di monopoli magnetici vale sempre
I
⃗ · dS
⃗=0
B
S
Dimostriamo che il campo magnetico deve avere anche la componente radiale.
Guardiamo il cilindro di lato dz = v dt il cui area è Sl = 2 π r2 dz e base di
area Sb = π r22 . Si ha
I
0=
∫S
⃗ · dS
⃗
B
∫
(Bz,2 − Bz,1 ) · d Sb +
0=
Sb
Bρ dSl
Sl
π r22 dBz = −2 π r2 Bρ dz
r2 dBz
Bρ = −
2 dz
La forza di Lorentz che agisce sulla spira piccola è
33
∫
⃗
d⃗l × B
∫
F⃗L = I2 r2
dφ Bρ φ
⃗ 0 × ρ⃗0 = 2π r2 I2 Bρ ⃗k
F⃗L = I2
dBz ⃗
36π 4 (k ′ )2 I1 r14 r22 z 2 ⃗
2
⃗
FL = π r2 I2
k=−
5 vk
dz
R
(z 2 + r12 )
La forza meccanica che si deve applicare è opposta a quella di Lorentz per
poter muovere la spira piccola.
6. Il conduttore si posiziona lungo asse y e la spira a distanza d dal lo. La forza
di Lorentz tra il campo prodotto dal conduttore B1 = (2 k ′ I1 /r)⃗k e la spira è
∫
∫
′
⃗ 1 = 2 k I1 I2
F⃗L = I2
d⃗l2 × B
d⃗l2 × ⃗k/r
Calcoliamo le forze sui lati della spira, partendo dal lato 1 parallelo all'asse y
⃗ 1 = dy ⃗j e distante d dal asse y
con elemento di lunghezza dl
F⃗L,1 = 2 k ′ I1 I2
∫
l
0
dy⃗
i = 2 k ′ I1 I2
d
l⃗
i
d
Nello stesso modo si calcola la forza sul lato 3 parallelo al 1. L'unica dierenza
è che la forza cambia verso e cambi al distanza dal asse y che diventa dx + l.
Si ha
∫ l
dy ⃗
l ⃗
′
F⃗L,3 = −2 k I1 I2
i = −2 k ′ I1 I2
i
d+l
0 d+l
⃗ = ± dx⃗i è
La forza sui lati paralleli all'asse x con dl
′
∫
F⃗L,2 = −2 k I1 I2
d
d+l
dx⃗
d + l⃗
j = −2 k ′ I1 I2 ln
j = −F⃗L,4
x
d
e la forza totale sulla spira è
F⃗tot = F⃗1 + F⃗2 + F⃗3 + F⃗4 = 2 k ′ I1 I2
l2 ⃗
i
d (d + l)
Il usso attraverso la spira è
∫
Φ2 =
⃗ 1 · dS
⃗ 2 = 2 k ′ I1
B
∫
d+l
d
34
dx
x
∫
l
0
dy = 2 k ′ I1 l ln
d+l
d
3 CIRCUITI
calcolando la derivata si ottiene
dΦ2
= 2 k ′ I1 l
dx |x=d
(
1
1
−
d+l d
)
= −2 k ′ I1
l2
d (d + l)
e si vede che
dΦ2
d (I2 Φ2 )
=−
dx
dx
Essendo la corrente I2 costante si trova la formula generale che permette di
calcolare la forza attraverso il usso
Fx = −I2
Fx = −
d (I Φ)
dx
Finalmente si può calcolare il coeciente di muta induzione tra la spira ed il
lo Φ2 = M12 I1 e si ha
d+l
M12 = 2 k ′ l ln
d
3
Circuiti
Guardiamo prima circuiti in regime DC, cioè alimentati da una f.e.m (forza
elettromotrice) E costante.
3.1 Circuito RC
Circuito RC consiste di una resistenza ed un condensatore, che si carica quando
collegato alla batteria.
3.1.1 Carica di un condensatore
Il sistema di equazioni per la carica di un condensatore di capacità C collegato ad
una resistenza esterna R, un voltmetro di resistenza interna RV per misurare il
voltaggio del condensatore , e la batteria a voltaggio costante E è
I = IC + IV
Q
= RV IV
C
E = R I + RV IV
che porta all'equazione dierenziale
)
(
dQ Q
R
E =R
+
1+
dt
C
RV
35
3.1 Circuito RC
3 CIRCUITI
con le soluzioni che descrivono la carica del condensatore
)
Eτ (
1 − e−t/τ
R
)
E RV (
VC =
1 − e−t/τ
R + RV
E
IC (t) = e−t/τ
R
(
)
E
IV (t) =
1 − e−t/τ
R + RV
(
)
E
RV −t/τ
I(t) =
1+
e
R + RV
R
R RV
C
τ = Rtot. C =
R + RV
Q(t) =
3.1.2
Scarica di un condensatore
Per la scarica si ha E = 0, IC = −dQ/dt, VC (t = 0) = VC,max e le soluzioni sono
Q(t) = VC,max C e−t/τ
VC (t) = VC,max e−t/τ
VC,max −t/τ
IC (t) =
e
Rtot
Vmax −t/τ
IR (t) =
e
R
Vmax −t/τ
IV (t) =
e
RV
R RV
τ=
C = Rtot C
R + RV
il parametro τ ha le dimensioni di tempo e si chiama tempo caratteristico del
condensatore. Dopo un tempo t1/2 = τ ln 2 il condensatore si carica a meta
VC (t1/2 ) = VC,max /2.
Esercizi
1. Calcolare il potenziale a regime sulle piastre di un condensatore di capacità
C = 470µ F , collegato in un circuito con R = 106 Ω e alimentato da una
batteria di E = 8 V , tenendo conto della resistenza interna RV = 5 × 105 Ω del
voltmetro.
2. Dimostrare che le curve di carica e scarica si intersecano nel punto
(Vmax /2, t1/2 = τ ln 2) e che il tempo caratteristico corrisponde a
36
3.2 Circuito RL
3 CIRCUITI
τ = −Vmax cot α, dove α rappresenta l'angolo che la tangente nel punto
(Vmax , 0) chiude con l'asse di tempo.
3.2 Circuito RL
Circuito RL è composto da una resistenza R ed una induttanza L alimentati da una
pila di f.e.m. E costante. L'equazione del circuito segue dalla regola delle maglie
E = RI +L
dI
dt
che ha la soluzione
I(t) =
)
E (
1 − e−t/τ
R
dove τ = L/R. Si vede che l'impedenza rallenta la crescita dell'intensità della
corrente causa induzione magnetica e la corrente impiega un certo tempo per
raggiungere il suo valore massimo I = E/R.
Esercizi
1. Un generatore a tensione costante E = 50 V all'istante t = 0 viene chiuso in un
circuito composto da una resistenza R = 10 Ω e un'induttanza L = 0, 4 H ,
poste in serie. Si calcoli:
• la corrente in un momento t e a regime
• tempo caratteristico del circuito τ
• il tempo quando la corrente è a metà del valore massimo.
Figure 8: La corrente a regime nel circuito RL
37
3.2 Circuito RL
3 CIRCUITI
Figure 9: La corrente a regime nel circuito RL
2. Nel circuito in gura l'interruttore è in posizione A per permettere
raggiungimento di regime e poi viene posto nel punto B per escludere la
batteria. Usando i dati dell'esercizio precedente, calcolare d.d.p. (dierenza di
potenziale) sulla resistenza dopo lo spostamento dell'interruttore. Calcolare
l'energia dissipata per l'eetto Joule e la si paragoni con l'energia magnetica
immagazzinata nell'induttanza.
3. Dimostrare che le curve di corrente nei due esercizi precedenti si intersecano
nel punto (Imax /2, t1/2 = τ ln 2) e che il tempo caratteristico corrisponde a
τ = −Imax cot α, dove α rappresenta l'angolo che la tangente nel punto
(Imax , 0) chiude con l'asse di tempo. Dopo quanto tempo la corrente assume
12, 5% del valore della corrente iniziale?
Figure 10: Andamento temporale della corrente nel circuito RL
4. Nel un circuito si hanno una resistenza R1 = 10 Ω in serie con un induttanza
L = 5 H e tutte due in parallelo con un altra resistenza R2 = 20 Ω. Il circuito
è alimentato da una batteria E = 30 V . Dopo quanto tempo le correnti I1 e I2
sono uguali?
38
3.2 Circuito RL
3 CIRCUITI
Figure 11: Andamento temporale della corrente nel circuito RL
5. Nel un circuito RLC si hanno una resistenza R2 = 3 k Ω in serie con un
induttanza L = 2 H e tutte due in parallelo con un altra resistenza R1 = 1 k Ω.
Al istante t = 0 viene chiuso l'interruttore e la d.d.p. del condensatore (che
funge da batteria) è V = 100 V . Si calcolino le correnti sulle resistenze nel
generico momento t.
Figure 12: Fase transitoria della corrente nel circuito RLC
39
3.2 Circuito RL
3 CIRCUITI
Soluzioni
1. L'equazione del circuito RL è
E
R
= I˙ + I
L
L
bisogna determinare la costante di integrazione C . Nell'istante iniziale t = 0
abbiamo I0 = 0 e la soluzione è
)
E (
1 − e−t/τL
R
τ =L/R
I(t) =
La corrente a regime è
E
= 5A
R
τL = 4 × 10−2 sec
t1/2 =τ · ln 2 = 2, 8 × 10−2 sec
I(∞) =
2. In questo caso, simile alla scarica di un condensatore, si impone E = 0 dopo la
chiusura dell'interruttore e si ha
R
0 = I˙ + I
L
e la soluzione è
E −t/τL
e
R
VR =E e−t/τL
I(t) =
Energia dissipata per eetto Joule è
∫ ∞
∫
E 2 ∞ −2 t/τL
1
2
U=
R I (t) dt =
e
dt = L I 2 (0)
R 0
2
0
mentre l'energia magnetica è UM = 12 L I 2 che dimostra la conservazione di
energia. La dissipazione avviene a spese di energia magnetica.
3. La tangente di una funzione f (x) ha l'equazione in un punto x0
yt = f ′ (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )
Le due correnti di carica e scarica sono uguali dopo il tempo t̂
40
3.2 Circuito RL
3 CIRCUITI
Ic = Isc
e−t̂/τL = 1 − e−t̂/τL
t̂ = τ ln 2
questo tempo si chiama tempo di dimezzamento t̂ = t1/2 . Nel caso in
questione si ha
I(t) =
E −t/τL
e
= I(0) e−t/τL
R
yt = I(0) (1 − t/τL )
yt (0) ≡ 0 → t = τ
t1/2 = τ ln 2 = τ · 0, 693
il tempo dopo il quale la corrente scende al 12, 5% del valore iniziale si trova
imponendo I/I(0) = 0, 125 = 1/8 e si ha
1/8 = e− t/τ
ln 1/8 = − t/τ
t12,5% = τ · ln 23 = 3 τ ln 2 = 3 t1/2 = 3τ · 0, 693
4. Le equazioni del circuito sono
dI1
+ R1 I1
dt
E = R2 I2
I = I1 + I2
E =L
che portano all'equazione dierenziale
˙ 1 + R1 I1
E = L dI
che ha la soluzione
)
E (
1 − e−R1 t/L
R1
E
I2 (t) =
R2
I1 (t) =
41
3.2 Circuito RL
3 CIRCUITI
La condizione della uguaglianza da
I1 (t) = I2
)
E (
E
1 − e−R1 t/L =
R1
R2
(
)
L
R1
t=−
ln 1 −
= 0, 35 sec
R1
R2
5. Le equazioni del circuito sono
Q
dI2
=L
+ R2 I2
C
dt
Q
= R1 I1
C
I = I1 + I2
Si noti che la corrente I = −dQ/dt perche il condensatore si scarica.
Combinando le equazioni di sopra si ottiene un equazione dierenziale
(
(
)
)
R2 Q
L
Q̇ + 1 +
L Q̈ + R2 +
=0
C R1
R1 C
Le condizioni iniziali sono I(0) = I2 (0) = 0, Q(0) = C V0 , I1 = V0 /R1 .
Assumendo Q = eα t si ottiene l'equazione caratteristica
(
) (
)
L
R2 1
2
Lα + α R2 +
+ 1+
=0
C R1
R1 C
(
)
1
2
= 4 kΩ
Si verica numericamente che R2 + C LR1 = 4 kΩ e anche 1 + R
R1
C
così che la ∆ = 0 e le due soluzioni coincidono α1 = α2 . Dalla introduzione
matematica si ha la soluzione per smorzamento critico
Q(t) = e−γ t/2 [Q0 (1 + γ t) + 2 I(0) t]
(
dove γ = R2 +
L
C R1
)
/L = 2 × 103 Ω/H . Finalmente le correnti sono
Q0 γ −γ t/2
e
(1 − γ t)
2
Q0 −γ t/2
I1 (t) =
e
(1 + γ t)
C R1
I2 = I − I1
I(t) ≡ −dQ/dt =
42
3.3 Circuito RLC in regime AC
3 CIRCUITI
Adesso passiamo al circuito alimentato dalla f.e.m. di tipo armonico E(t) = E0 eiω t
(corrente alternata). L'equazione del circuito RLC è
E(t) = L
d I(t)
Q(t)
+ R I(t) +
dt
C
scrivendola in termini della carica elettrica, usando I = dQ/dt, si ottiene
L Q̈ + R Q̇ +
Q(t)
= E0 eiω t
C
Confrontiamo questa equazione con quella di un oscillatore smorzato soggetto alla
forza esterna.
m ẍ + m γ ẋ + k x = F ei ω t
Figure 13: Rappresentazione vettoriale delle impedenze del circuito RLC
che è stata risolta nell'introduzione matematica. Per utilizzare queste soluzioni
bisogna fare le seguenti identicazioni
• x=Q
• m=L
43
3 CIRCUITI
• F =E
• k = 1/ C
• γ = R/L
la frequenza naturale del circuito , dovuta alla forza di richiamo −k x, è
ω02 = k/m = 1/L C . Si deniscono anche tempi caratteristici
• τC = R C
• τL = L/R
√
• τ0 = τL τC = 1/ω0 .
Le soluzioni omogenee sono date nell'introduzione matematica, ma queste vano a
zero per tempi sucientemente lunghi e ci interessa la soluzione particolare.
La carica e la corrente a regime t ≥ τ sono dati dal
E =ZI
E = E0 eiω t
Z = |Z|eiφ
√
|Z| = R2 + (1/ω C − ω L)2
ω L − 1/ω C
R
= E0 cos (ω t)
E0
=
cos (ω t − φ)
|Z|
E
=
sin (ω t − φ)
ω |Z|
tan φ =
E(t) = Re E0 eiω t
E0
I(t) =
Re ei(ω t−φ)
|Z|
dI
E0
Q(t) ≡
=
Re ei(ω t−φ−π/2)
dt
ω |Z|
dove Z è l'impedenza del circuito (vedere gura 13). Angolo φ rappresenta il
ritardo della corrente sulla f.e.m. Per φ ≥ 0 la f.e.m. è massima a t = 0, mentre la
corrente ritarda e diventa massima dopo t = φ/ω . Per φ ≤ 0 abbiamo la situazione
contraria, la corrente è in anticipo sulla tensione.
Consideriamo tre situazioni particolari
• Circuito puramente resistivo R ̸= 0 con (L = 0, C = ∞) implica
E = ZR I = R I
E0
cos (ω t)
R
VR (t) ≡ E(t) = E0 cos (ω t)
I(t) =
44
3 CIRCUITI
φ = 0 la corrente in fase con f.e.m. La corrente è massima quando è massima
la di. potenziale sulla resistenza.
• Circuito puramente induttivo L ̸= 0 con (R = 0, C = ∞) vale
E = ZL I = I ω L eiπ/2
I(t) =
E0
E0
cos (ω t − π/2) =
sin (ω t)
ωL
ωL
VL (t) ≡ E(t) = E0 cos (ω t)
φ = π/2 la corrente è in ritardo su f.e.m. La corrente è massima quando è
zero la di. potenziale sull'induttanza E = L dI/dt = 0 → Imax .
• Circuito puramente capacitivo C ̸= 0 con (R = 0, L = 0)
E = ZC I = I e−iπ/2 /ω C
I(t) = ω CE0 cos (ω t + π/2) = −ω CE0 sin (ω t)
VC (t) ≡ E(t) = E0 cos ( ω t)
φ = −π/2 la corrente è in anticipo su f.e.m. La corrente è zero quando la
di. potenziale è massima sulle piastre del condensatore.
In caso di una f.e.m. rappresentata da più armoniche E(t) =
risultato di sopra si generalizza così
I(t) =
∑
n
En ei(ωn t+δn ) il
∑ En
cos (ωn t + δn − φn )
Zn
n
dove δn rappresenta la fase delle singole armoniche. Questo tipo di f.e.m. viene
prodotta quando il campo magnetico del rotore di un alternatore non è costante e la
f.e.m. non ha semplice forma sinusoidale.
Esercizi
1. Nel circuito in gura abbiamo IC,ef f = 1 A, IR,ef f = 0, 8 A, IL,ef f = 2 A. Si
calcoli
• Ief f erogata dal generatore
• la fase φ tra I e E
45
3 CIRCUITI
Figure 14: circuito RLC in parallelo
2. Nel circuito, con un condensatore C = 2 µ F ed un induttanza L = 1 H in
parallelo, la frequenza è ν = 50 Hz e Eef f = 200 V . Si calcolino valori ecaci
delle correnti nei rami del circuito.
Figure 15: Circuito LC in regime AC
46
3 CIRCUITI
3. Nel circuito in gura la f.e.m varia con la legge E = E1 + E0 cos(ω t). Si calcoli
il rapporto tra la componente alternata e quella costante della d.d.p. ai capi
della resistenza a regime.
Figure 16: circuito RLC con due armoniche
Soluzioni
1. essendo tutti gli elementi in parallelo hanno la d.d.p. uguale, mentre le
correnti sono
• sulla resistenza la corrente è in fase φ = 0 con il voltaggio.
IR,ef f =
Vef f
R
• sulla induttanza la corrente è in ritardo φ = π/2 con il voltaggio.
IL,ef f =
Vef f
ωL
•
• sul condensatore la corrente è in anticipo φ = −π/2 con il voltaggio.
IC,ef f = ω C Vef f
• la corrente totale si trova dalla regola dei vettori come
√
2
2
Itot = IR,ef
f + (IC,ef f − IL,ef f ) = 1, 28 A
lo sfasamento è
tan φ =
IL − IC
= 1, 25 → φ = 0, 896× = 51, 360
IR
47
3 CIRCUITI
Altro modo di calcolare è utilizzare l'impedenza equivalente del parallelo
1
1
1
1
=
+
+
Ztot
ZR ZC ZL
ZR = R
1
ZC =
iωC
ZL = i ω L
1
1
1
= +
+ iωC
Ztot
R iωL
(
)
1
− i ω C − ω1L
iφ
R
Ztot =
(
) = |Ztot | e
1 2
1
+ ω C − ωL
R2
1
E
|Ztot | = √
=√
(
)
2
1
IR2 + (IC − IL )2
+ ω C − ω1L
R2
√
Itot = IR2 + (IC − IL )2
(
)
1
(IL − IC )
tan φ = R
−ωC =
ωL
IR
2. Si calcola per prima l'impedenza del parallelo
1
1
1
1
=
+
= iωC +
ZLC
ZL ZC
iωL
iωL
ZLC =
1 − ω2 C L
e poi si ha la corrente sul condensatore
E = ZC IC
IC = i ω C E = ω C E0 ei(ω t+π/2)
e sull'induttanza
E = ZL IL
E
E0 i(ω t−π/2)
IL =
=
e
iωL
ωL
e la corrente totale
I=
)
E0
E0 (
=
1 − ω 2 C L ei(ω t−π/2)
Ztot
ωL
48
3.4 Elettromagnetismo
3 CIRCUITI
3. Si calcoli la parte in regime AC
Ztot
1
1
1
1
=
+
= iωC +
ZRC
ZR ZC
R
R
ZRC =
1 + i ω2 C R
R
R + i ω L − ω2 C R L
≡ ZL + ZRC = i ω L +
=
1 + i ω2 C R
1 + i ω2 C R
ZRC
VR = ZRC I =
E
Ztot
in regime DC si ha
VR,1 = E1
il rapporto
VR
E ZRC
R2 (1 − ω 2 L C) − i ω L R E
E0
R
√
=
=
=
ei(ω t+φ)
2
VR,1
E1 Ztot
E1
2
R2 (1 − ω 2 L C) + ω 2 L2 E1
R2 (1 − ω 2 L C) + ω 2 L2
dove la fase è data da
tan φ = −
ωL
R (1 − ω 2 L C)
Finora abbiamo considerati campi elettrici e magnetici statici (indipendenti dal
tempo). La legge di Ampére generalizzata è il primo esempio di relazione tra campi
dinamici. Le equazioni di base dell'elettromagnetismo sono le quattro equazioni di
Maxwell (qui le diamo sia in forma dierenziale che integrale).
Forma dierenziale
⃗ ·E
⃗ = ρ/ϵ0
∇
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ ×E
⃗ = −∂ B/∂t
⃗
∇
⃗ ×B
⃗ = µ0⃗j + ∂ E/c
⃗ 2 ∂t
∇
Forma integrale
H
⃗ dS
⃗ = Q/ϵ0
E
SH
⃗ dS
⃗=0
B
S
(∫
)
H
⃗ d⃗l = −∂/∂t
⃗ dS
⃗
E
B
C
(
(∫ S
)
)
H
⃗ dS
⃗ /c2 ∂t
⃗ d⃗l = µ0 Ireali + ∂
E
B
S
C
Nome
legge di Gauss
assenza monopoli magnetici
legge di Faraday
legge di Ampére
H
Il simbolo S rappresenta un integrale su una supercie S chiusa che avvolge un
volume al suo
∫ interno (es. supercie di una sfera che racchiude il volume della
sfera), mentre SH rappresenta un integrale su una supercie aperta racchiusa da un
percorso chiuso C (una supercie delimitata da una curva chiusa). ρ rappresenta la
densità di carica elettrica (sorgente del campo elettrico), ϵ0 la costante dielettrica
49
3 CIRCUITI
del vuoto, µ0 la permeabilità magnetica del vuoto e ⃗j la densità di corrente
elettrica (sorgente del campo magnetico). Le due costanti sono legate dalla relazione
k′
µ0 /4π
1
=
= µ0 ϵ0 = 2
k
1/4π ϵ0
c
dove c = 3 · 108 m/sec rappresenta la velocità della luce.
⃗ agisce sui campi in modo seguente (vedere introduzione
L'operatore gradiente ∇
matematica sui vettori)
⃗ ·E
⃗
∇
⃗ ×E
⃗
∇
∂ E x ∂ Ey ∂ E z
+
+
∂x
∂y
∂z
)
(
)
(
)
(
∂ Ey ∂ Ez ⃗
∂ E z ∂ Ex ⃗
∂ Ex ∂ E y ⃗
−
i+
−
j+
−
k
=
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
=
(12)
Combinando le equazioni di sopra si ottengono equazioni di secondo grado, che nel
vuoto (in assenza di sorgenti) sono
⃗
1 ∂ 2E
=0
c2 ∂t2
2⃗
⃗ − 1 ∂ B =0
∇2 B
c2 ∂t2
⃗−
∇2 E
che non sono altro che equazione delle onde in tre dimensioni. Consideriamo il caso
⃗ . Equazione (13), nel
semplice del campo elettrico che dipende solo da x come E(x)
vuoto, implica
∂Ex
= 0 → Ex (x) = const.
∂x
Ciò signica che il campo elettrico non è dinamico nella direzione di propagazione e
oscilla ortogonale ad asse x. Prendiamo la sua direzione lungo asse y
⃗ = Ey (x)⃗j
E
d2 Ey 1 d2 Ey
−
=0
d2 x c2 d t2
Ey = E0 e−i(k x−ω t)
50
(13)
(14)
(15)
3.5 Onde elettromagnetiche nella materia
3 CIRCUITI
La soluzione è un onda piana in una dimensione (asse y ). Al pari, per il campo
⃗ troviamo (dalla legge di Faraday )
magnetico B
∂Ey
∂Bz
=−
∂x
∂t
1 ∂Ey
∂Bz
=− 2
∂x
c ∂t
∂By
∂Bx
=
=0
∂t
∂t
∂ 2 Bz 1 ∂ 2 Bz
−
=0
∂x2 c2 ∂t2
Bz = B0 e−i(k x−ω t)
Anche Bz oscilla ortogonalmente alla direzione di propagazione (asse x) e al campo
elettrico. Questa è una proprietà generale delle onde elettromagnetiche:
Campo magnetico e campo elettrico oscillano sempre ortogonali alla
direzione di propagazione (onde trasversali) e sono ortogonali tra di loro.
La velocità della propagazione delle onde elettromagnetiche è la velocità della luce
c = 3 · 108 m/sec.
Tipo di radiazione elettromagnetica
Onde radio
Microonde
Infrarossi
Luce visibile
Ultravioletti
Raggi X
Raggi gamma
Frequenza
≤ 300 MHz
300 M Hz − 300 GHz
300 GHz − 428 T Hz
428 T Hz − 749 T Hz
749 T Hz − 30 P Hz
30 P Hz − 300 EHz
≥ 300 EHz
Lunghezza d'onda
≥1m
1 m − 1 mm
1mm − 700nm
700 nm − 400 nm
400 nm − 10 nm
10 nm − 1 pm
≤ 1 pm
simboli usati sono (Peta)P Hz = 1015 Hz, (Exa)EHz = 1018 Hz,
La presenza della matteria si evidenzia nella presenza delle cariche di
polarizzazione ρpol , cariche di conduzione ρc (nel caso dei conduttori), dalle
correnti atomiche jpol e dalle correnti di conduzione jc (trascurando le correnti
atomiche) presenti nel mezzo. Per questo motivo le equazioni di Maxwell vengono
modicate come segue
51
⃗ = ρext
⃗ ·D
∇
ϵ0
⃗ ·B
⃗ =0
∇
3 CIRCUITI
(16)
(17)
⃗
⃗ ×E
⃗ = − ∂B
∇
∂t
(18)
⃗
⃗ ×H
⃗ = ⃗jreali + ∂ D
∇
∂t
(19)
dove ρext sono le cariche esterne al materiale , ⃗jreali = ⃗jext + ⃗jc . Correnti di
⃗ (σ -conducibilità del
conduzione nei metalli sono date dalla legge di Ohm ⃗jc = σ E
⃗ H
⃗ ) sono campi medi macroscopici e
metallo). I campi in queste equazioni (D,
⃗ B
⃗ ) descritti sempre dalle equazioni all'inizio del
non quelli microscopici (E,
paragrafo. Relazione tra campi microscopici e quelli macroscopici sono
⃗ = ϵE
⃗
D
⃗
⃗ =B
H
µ
In generale ϵ = ϵ0 ϵr , µ = µ0 µr non sono le costanti come nel caso dei campi statici.
Le equazioni delle onde nei materiali diventano
⃗
ϵr µr ∂ 2 E
=0
c2 ∂t2
2⃗
⃗ − ϵr µr ∂ B = 0
∇2 B
c2 ∂t2
⃗−
∇2 E
La costante dielettrica relativa (chiamata anche longitudinale ϵL ) è in generale
quantità complessa ϵr ≡ ϵr (ω) + iσ/ϵ0 ω = ϵ1,r + iϵ2,r con σ la conducibilità delle
cariche di conduzione . Le soluzioni sono sempre le onde piane
⃗ =E
⃗ 0 e−i(⃗k⃗x−ω t)
E
⃗ =B
⃗ e−i(⃗k⃗x−ω t+α)
B
0
2
2
⃗k 2 = ω ϵr (ω)µr (ω) = ω ϵT (ω)
c2
c2
dω
vf
vg ≡
=
dk
1 + 12 (vf /c)2 dϵT / d ω
52
3 CIRCUITI
la relazione di dispersione è più complicata per la dipendenza delle costanti' dalla
frequenza. ϵT = ϵr µr si chiama la costante dielettrica trasversa. Quando le costanti
non dipendono da ω il mezzo si chiama non dispersivo, altrimenti si chiama
dispersivo.
3.5.1 Teoria della dispersione
Spiegazione della dipendenza del ϵr da ω è basata sul comportamento degli elettroni
in un materiale esposti ad azione di un campo esterno (modello di Lorentz) .
Abbiamo già visto il comportamento nel caso di conduttori quando abbiamo
calcolato la velocità di deriva. Adesso guardiamo la situazione in generale, inclusi
anche dielettrici. Gli elettroni oscillano causa forza di richiamo degli atomi, come
oscillatori classici smorzati soggetti alla forza esterna prodotta dal campo elettrico
⃗ secondo l'equazione
E
ẍ + ω02 x + γ ẋ =
qe
E0 eiω t
me
che ha soluzione particolare
x=
qe
E0
eiω t
2
me ω0 − ω 2 + iγω
Nei dielettrici (isolanti) il campo elettrico polarizza gli atomi spostando i baricentri
delle cariche positive e negativa, creando dipoli elettrici. Il momento di un dipolo
elettrico è
p⃗ = qe ⃗x
mentre la polarizzazione (eetto dipolare su tanti elettroni nel materiale) dipende
dal campo esterno
⃗
P⃗ = ϵ0 χ E
⃗
P⃗ ≡ nk p⃗k = ϵ0 (ϵr − 1) E
dove la costante χ si chiama suscetibilità elettrica χ = ϵr − 1 dando la costante
relativa
ϵr (ω) = 1 +
qe2 ∑
nk
σ(ω)
= Re ϵr (ω) − i
2
2
ϵ0 me k ωk − ω + iγk ω
ϵ0 ω
dove nk rappresenta numero di elettroni per unità di volume con la frequenza
naturale ωk e fattore smorzamento γk .
53
3 CIRCUITI
3.5.2 Onde piane nei non-conduttori
I mezzi non-conduttori hanno σ = 0 e la costante ϵr è reale. Quando ϵr non dipende
da ω il mezzo si chiama non dispersivo (materiali dielettrici normali), altrimenti si
chiama dispersivo.
In generale la soluzione è una sovrapposizione delle onde piane di diversi numeri
d'onda k . Il fronte d'onda è rappresentato dal piano
⃗k ⃗r − ω t = const.
⃗k ⃗r = k r||
⃗ =E
⃗ 0 ei k(r|| −vf t)
E
ω
c
vf = = √
k
Re ϵT
Le equazioni di Maxwell implicano seguenti relazioni
i k j xj
⃗ ·E
⃗ =E
⃗ 0 ⃗el ∂ e
⃗ 0 ei kj xj i ⃗el kj ∂ xj = i ⃗k E
⃗
∇
=E
∂xl
∂xl
⃗ ·E
⃗ = 0 → ⃗k · E
⃗ =0
∇
⃗ ·B
⃗ = 0 → ⃗k · B
⃗ =0
∇
⃗
⃗ ×E
⃗ = − ∂ B → ⃗k × E
⃗ = ωB
⃗
∇
∂t
⃗
⃗ ×H
⃗ = ∂ D → ⃗k × B
⃗ = − ω ϵT E
⃗
∇
∂t
c2
⃗ = 1 ⃗k0 × E
⃗
B
vf
Si vede che i campi sono sempre ortogonali tra di loro e trasversali rispetto a
⃗k = k ⃗k0 (direzione di propagazione dell'onda).
3.5.3
Onde piane nei metalli
Nel mezzo conduttore ϵr è complessa (σ ̸= 0). Scriviamola così
ϵr = (n + iξ)2 = ϵ1,r + iϵ2,r
ϵ1,r = n2 − ξ 2
ϵ2,r = 2 n ξ
0 = ξ 4 + ϵ1,r ξ 2 − ϵ22,r /4
√
|ϵr | − ϵ1,r
ξ=
2
√
|ϵr | + ϵ1,r
n=
2
54
3 CIRCUITI
n si chiama indice di rifrazione del mezzo e ξ indice di smorzamento. Si tratta
di un campo che si propaga ma la sua ampiezza si smorza (vedere introduzione
matematica).
ω
k = (n + iξ)
(20)
c
c
vf =
(21)
n
⃗ =E
⃗ 0 e−(ω/c)r|| ξ e−iω/vf ( r|| −vf t)+iφE
E
(22)
⃗ =B
⃗ 0 e−(ω/c)r|| ξ e−iω/vf ( r|| −vf t)+iφB
B
(23)
ω
⃗k × B
⃗
⃗ = − µr ϵr E
(24)
c2
⃗k0 × B
⃗ = − (n + iξ) E
⃗
(25)
c
⃗k0 × B
⃗ 0 eiφB = − |n + iξ| E
⃗ 0 eiφE eiα
(26)
c
φB = φE + α = φE + arctan(ξ/n)
(27)
si vede che il fattore di smorzamento induce uno sfasamento dei campi nei
conduttori. Se guardiamo campo magnetico
⃗ =B
⃗ 0 e−(ω/c)r|| ξ e−iω/vf ( r|| −vf (t+α/ω))+iφE
B
vediamo che B è ritardato nel tempo rispetto al E di tB = tE + α/ω , mentre è
avanzato nello spazio di r||,B = r||,E − α vf /ω .
Nei metalli ωk = 0 e il contributo maggiore e dato dalle cariche di conduzione. A
basse frequenze ω ≤ γ, ω ≤ σ/ϵ0 si ha
σ
ϵr = −i
ωϵ
√ 0
σ
ϵ2,r =
2ω ϵ0
ϵ1,r = 0
√
σ
n=ξ=
2ω ϵ0
ampiezza dell'onda si smorza rapidamente√come e−r|| /δ e l'onda penetra pochissimo
nel metallo per una distanza δ ≡ c/ω ξ = 2ϵ0 c2 /σ ω chiamata skin depth. Nel caso
di rame abbiamo
σ = 5, 76 × 107 (Ω m)−1
N = 8, 5 × 1028 m−3
m = 9, 11 × 10−31 kg
γ = 4, 1 × 1013 sec−1
δ = 6, 7 × 10−4 cm
55
3 CIRCUITI
Per le frequenze ν ≤ 1012 Hz (onde radio corte λ = 0, 3 mm) il rame si comporta nel
regime di basse frequenze.
Alle frequenze alte ωτ ≥ 1 si ha
σ
ϵ0 τ
( ω )2
p
≥0
ϵ1,r = 1 −
ω
ϵ2,r = 0
ξ=0
√
( ω )2
p
n= 1−
ω
ϵr = 1 −
ω2
ω ≥ ωp ed il metallo diventa trasparente. Molti metalli si comportano cosi già nel
ultravioletto e poi per raggi X. ωp2 = σ/ϵ0 τ si chiama la frequenza del plasma.
Al contrario, quando
σ
ϵ0 τ
( ω )2
p
ϵ1,r = 1 −
≤0
ω
ϵ2,r = 0
n=0
√( )
ωp 2
−1
ξ=
ω
ϵr = 1 −
ω2
che da vf → ∞ e e−iω/vf ( r|| −vf t) = eiω t . Rimane solo la dipendenza temporale.
Questo è un campo che si smorza ma non si propaga. Questo si verica nei metalli
alle frequenze ottiche.
Per la regione intermedia di frequenze le onde si propagano nei metalli ma si
smorzano. Per le superci sottili metalli sono trasparenti anche alle frequenze
ottiche. Gli occhiali per lavorare vicino agli alti forni sono coperti di uno strato di
oro che trasmette bene le frequenze ottiche ma assorbe onde infrarosse.
Finalmente si può ricavare la relazione
ϵT = ϵr µr = ϵr + ϵr µr (1 − 1/µr )
k2 c
(1 − 1/µr )
ϵT = ϵr +
ω
che vale nei materiali magnetici.
56
3.6 Onde elettromagnetiche in due dimensioni
3 CIRCUITI
3.6 Onde elettromagnetiche in due dimensioni
Abbiamo visto che le onde elettromagnetiche sono del tipo trasversale (oscillano
ortogonalmente alla direzione di propagazione). In generale ci sono due onde una
lungo asse y e l'altra lungo asse z . La loro combinazione da la polarizzazione
dell'onda nale. Consideriamo due onde sinusoidali con lo sfasamento α
Ex = A sin (ω t)
Ey = B sin (ω t + α)
(
Ex
A
)2
(
+
Ey
B
)2
si ottiene
(
)
Ex Ey
−2
cos α = sin2 α
AB
che rappresenta un elise con gli assi ruotati per un angolo ϕ nel sistema S . Nel
sistema S ′ la sua equazione è
( ′ )2 ( ′ )2
Ey
Ex
=1
+
a
b
il legame tra due sistemi è dato da
2AB
cos α
A2 − B 2
2 A2 B 2
sin2 α
2
√
b = 2
A + B 2 1 + 1 − ( 2 A B )2 sin2 α
A2 +B 2
tan ϕ =
2 A2 B 2
sin2 α
√
A2 + B 2 1 − 1 − ( 2 A B )2 sin2 α
A2 +B 2
√
(
)2
( 2
)
2AB
2
2
2
2
1−
sin2 α
e ≡a −b = A +B
A2 + B 2
a2 =
casi speciali
• α = 0, π polarizzazione lineare Ey = ± B/A Ex
( ) 2 ( )2
• α = π/2 polarizzazione ellittica EAx + EBy = 1
• α = π/2, A = B polarizzazione circolare Ex2 + Ey2 = A2
√
√
• A = B → θ = π/4 sempre e b = 2A sin ϕ/2, a = 2A cos ϕ/2
L'ultima formula permette la misura sperimentale della fase α. Si misura la sezione
dell'ellisse sull'asse x, che implica
y = 0 → ω t + α = 0, x = −A sin α → α = − arcsin x/A.
57
4
MOTO ONDULATORIO
Figure 17: Polarizzazione ellittica delle onde elettromagnetiche
Normalmente, un onda sinusoidale non trasmette un segnale sico perché dispersa
in tutto lo spazio. Per localizzare un onda nello spazio bisogna sovrapporre onde di
diverso numero d'onda k . Questo si ottiene usano la trasformata di Furier
(vedere l'introduzione matematica).
4
Moto ondulatorio
Moto ondulatorio si può visualizzare come il movimento di una forma che si sposta
nello spazio. Il modo semplice di visualizzare un onda è di partire da un oscillatore
armonico descritto dalla equazione
a(t) ≡ ẍ = −ω 2 x(t)
che ha le soluzioni, con le condizioni iniziali (x0 , v0 = 0),
x(t) = x0 cos(ω t)
v(t) ≡ ẋ = −ω x0 sin(ω t)
Il moto ondulatorio di un'onda è sempre oscillatorio soltanto le oscillazioni
avvengono sia nel tempo che nello spazio. In altre parole un onda si propaga nello
58
4
MOTO ONDULATORIO
spazio mentre compie oscillazioni nel tempo. Dunque, consideriamo due oscillatori
armonici, uno oscilla temporalmente e l'altro spazialmente, descritti dalle equazioni
∂2 y
(x, t) = −ω 2 y(x, t)
∂ t2
∂2y
(x, t) = −k 2 y(x, t)
2
∂x
sottraendo le due equazioni si arriva al
(
)
∂2y
1 ∂2 y
ω2
2
(x, t) − 2 2 (x, t) = − k − 2 y(x, t)
∂ x2
v ∂t
v
se si impone la condizione detta relazione di dispersione
k 2 − ω 2 /v 2 = 0
si arriva all'equazione di un onda in una dimensione
∂2y
1 ∂2 y
(x,
t)
−
(x, t) = 0
∂ x2
v 2 ∂ t2
(28)
che ha la soluzione matematica generale
y(x, t) = A ei(k x±ω t) + B ei(k x±ω t)
le costanti d'integrazione A, B si determinano dalle condizioni iniziali
y(0, 0) = A + B, ẏ(0, 0) = i ω (A − B).
Le caratteristiche principali di un onda sono:
• la sua lunghezza d'onda λ, denita come la distanza tra due massimi o due
minimi successivi
• e la sua frequenza ν denita come numero di oscillazioni in un unità di
tempo
ν=
59
1
T
4
MOTO ONDULATORIO
La relazione di base tra di loro è
λ · ν = vf
Coeciente k si chiama vettore d'onda di modulo
|k| = 2π/λ
e ω si chiama la frequenza angolare
ω = 2π ν = 2π/T
.
Consideriamo un caso semplice di un'onda sinusoidale nel momento di tempo
iniziale t = 0, con B = 0.
y(x, 0) = A sin (k x)
e dopo un tempo t = 0.25 sec
y(x, 0.25) = A sin (k x − 0.25 ω)
il graco di queste funzioni è dato dalla gura 18. Si vede che l'onda mantiene la
sinHxL
1.0
t=0
0.8
t=0.25
0.6
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
6
x
Figure 18: Spostamento spaziale di un'onda sinusoidale
sua forma nel tempo, mentre si sposta a destra nello spazio (per il segno + si
sposterebbe a sinistra).
Nella meccanica classica il moto ondulatorio caratterizza la propagazione del
suono, oscillazioni di una corda, propagazione della luce etc. ma non è compatibile
con la descrizione del moto di una particella. In eetti, il tentativo di Newton di
descrivere la luce come uno sciame di particelle classiche aveva fallito. Dunque, al
livello classico le descrizioni particellare ed ondulare rimangono separate.
60
4.1 Sovrapposizione delle onde
4
MOTO ONDULATORIO
Esercizi
1. Si dimostri che le seguenti funzioni soddisfano l'equazione d'onda
y = (x + v t)3
y =A e−k(x−v t)
y = ln k (x − v t)
y =2 sin (k x) cos (ω t)
Dall'esperienza è noto che le due onde interferiscono tra di loro (pensare alle onde
create da due sassi buttati contemporaneamente nell'acqua). La descrizione
matematica e caratterizzata dal termine di interferenza ed è come segue:
Prendiamo due onde sinusoidali
y1 = a sin (k1 x − ω1 t)
y2 = b sin (k2 x − ω2 t)
La domanda è cosa si ottiene combinando queste due onde? Il modo più semplice di
rispondere a questa domanda è di utilizzare la rappresentazione delle onde in
termini di numeri complessi (vedi pre-requisiti matematici). Usando le proprietà dei
numeri complessi si ricava l'ampiezza |z| e la fase ϕ dell'onda risultante
|z|2 ≡ z z̄ = |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 ||z2 | cos (ϕ1 − ϕ2 )
|z1 | sin ϕ1 + |z2 | sin ϕ2
tan ϕ =
|z1 | cos ϕ1 + |z2 | cos ϕ2
Consideriamo prima il caso di due onde sinusoidali di ampiezze uguali b = a. Si
ottiene
(
ϕ1 − ϕ2
y ≡ a (sin ϕ1 + sin ϕ2 ) =2 a cos
2
ϕ1 + ϕ2
ϕ=
2
61
)
(
sin
ϕ1 + ϕ2
2
)
4
MOTO ONDULATORIO
• Nel caso anche di fasi uguali ϕ1 = ϕ2 si ha
y = 2 a sin ϕ
ϕ = ϕ1
Si tratta di interferenza costruttiva che da massima amplicazione di
ampiezza.
• Nel caso ϕ1 − ϕ2 = π si ha
y=0
ϕ = ϕ2 + π/2
Si tratta di interferenza distruttiva che da zero ampiezza. Le due onde si
annullano
Nel caso di due onde cosinusoidali di ampiezze uguali b = a si ottiene
(
)
(
)
ϕ1 − ϕ2
ϕ1 + ϕ2
y ≡ a (cos ϕ1 + cos ϕ2 ) =2 a cos
cos
2
2
ϕ1 + ϕ2
ϕ=
2
Si tratta di modulazione di ampiezza usato per trasmettere le onde radio (AM).
L'onda di bassa frequenza si chiama modulante, mentre quella con alta frequenza
si chiama portante.
Guardiamo in dettaglio la somma di due onde sinusoidali (per a=b)
(
)
(
)
(k1 − k2 ) x − (ω1 − ω2 ) t
(k1 + k2 ) x − (ω1 + ω2 ) t
y = 2 a cos
sin
(29)
2
2
Questa è un onda la cui ampiezza A = 2 a cos [(k1 − k2 ) x − (ω1 − ω2 ) t/2] oscilla
(non è costante) e varia come un onda. Denendo ω1 − ω2 = 2∆ω e k1 − k2 = 2∆ k
si ottiene
y = 2 a cos (∆ k x − ∆ω t) sin (k1 x − ω1 t)
Si vede che l'ampiezza si muove con la velocita v = ∆ω/∆ k mentre l'onda si muove
con la velocità v = ω/k . Questo esempio dimostra che la velocità di un onda non è
denita in modo univoco. In eetti, nel caso delle onde si distinguono due tipi di
velocità
1. vf = ω/k = ν · λ chiamata velocità di fase
2. vg = dω/d k chiamata velocità di gruppo
62
4
MOTO ONDULATORIO
Figure 19:
Interferenza di due onde sinusoidali (sin (6.3 · x + 6.1 · 0]) +
sin (5.7x + 5.9 · 0))/2 = cos (0.3 · x + 0.1 · 0) sin (6 · x + 6 · 0)
La velocità di fase, come dice il nome, rappresenta la velocità di oscillazione della
fase e non ha signicato sico. In eetti, si potrebbe considerare l'onda sulla gura
19 come un insieme di oscillatori armonici (blue in gura) che oscillano lungo asse y
senza spostarsi lungo x creando onda rossa che comunque trasmette energia. A
noi interessa come si trasmette l'informazione ed energia portata dall'onda.
Essendo energia proporzionale al quadrato dell'ampiezza, la velocità sica è quella
di gruppo.
Esercizi
1. Due onde armoniche sono
y1 = 0, 002 cos(6 · x − 600 · t)
y2 = 0, 002 cos(5, 8 · x − 580 · t)
Trovare la formula dell'onda risultante, la velocità di fase e di gruppo. Sono
dispersive o no?
2. La relazione di dispersione per le onde in acqua è
(
)
γ 3
2
ω = g k + k tanh(k H)
ρ
con g accelerazione di gravità, ρ = 1g/cm3 densità dell'acqua, γ = 0.075N/m
la tensione superciale e H la frondità dell'acqua. Calcolare la velocità di
gruppo in acqua alta k H ≥ 1 e acqua bassa k H ≤ 1 per piccole onde λ = 1cm
63
4
MOTO ONDULATORIO
e per grandi onde λ = 1m. Per quale lunghezza d'onda sono uguali la velocità
di gruppo e di fase in acqua alta? Risposta:
√
(g + γ k 2 /ρ)
vf =
tanh (k H)
k
√
[
]
2k H (g + γ k 2 /ρ)
tanh (k H)
1
2
g + 3γ k /ρ +
vg =
2 k (g + γ k 2 /ρ)
sinh (2k H)
• acqua bassa k H ≤ 1
vf =
vg = vf
√
(g + γ k 2 /ρ) H
√
g + 2γ k 2 /ρ
→
v
≈
v
=
gH
g
f
g + γ k 2 /ρ
• acqua alta k H ≥ 1
vf =
√
(g + γ k 2 /ρ) /k
vf g + 3γ k 2 /ρ
vf
1
vg =
→ vg ≈
=
2
2 g + γ k /ρ
2
2
vf = vg
λ = 2π
√
g
k
√
γ/g ρ = 17 mm
dai dati si trova γ/ρ = 7, 5 × 10−5 m3 /sec2 e contribuisce pochissimo per le λ
tra cm-m.
3. Due sorgenti hanno uno sfasamento di φ0 = C t e la stessa ampiezza A0 nel
punto P. Scrivere le funzioni d'onda nel punto P per ciascuna onda,
supponendo che il punto è distante x dalla sorgente di un onda e x + ∆ x dalla
sorgente dell'altra onda. Trovare la funzione dell'onda risultante e dimostrare
che la velocità di gruppo è la media aritmetica di due velocità di fase delle
singole onde.
4. Per le particelle quantistiche vale la relazione tra l'energia e la frequenza
E = h ν ed impulso e la lunghezza d'onda p = h/λ (relazioni di de Broglie).
Scrivere l'espressione di un onda piana in termini di energia ed impulso di una
particella. Risposta:
⃗k ⃗x − ω t = 2π (⃗p ⃗x − E t)
h
5. Calcolare la velocità di fase e di gruppo appratente alla particella classica e
quantistica. Risposta:
• classica E = p2 /2m
vf ≡ ω/k = E/p = p/2 m = v/2
vg ≡ dω/dk = dE/dp = p/ m = v
64
• quantistica E =
4
MOTO ONDULATORIO
√
√
p2 c2 + m20 c4 = m0 c2 / 1 − v 2 /c2
vf ≡ ω/k = E/p = mc2 /2 m v = c2 /v
vg ≡ dω/dk = dE/dp = pc2 /E = v
4.1.1 Onde stazionarie
Si ottengono da (29) quando ϕ1 = k x + ω t e ϕ2 = k x − ω t e corrispondono alle
onde che si propagano in un tubo o in una corda di lunghezza L . Si possono avere
diverse situazioni
• Se chiediamo che agli estremi del tubo si trovano i nodi (punti di ampiezza
zero y(0) = y(L) = 0) troviamo la soluzione
y = a sin(k x) cos(ω t)
0 = sin(k L)
k L = nπ → L = nλ/2
si vede che la lunghezza è determinata dalla lunghezza d'onda λ = 2L/n per
Figure 20: Onde stazionarie per λ = 20π/3, n = 3, L = 10π, ω = 6, k = 0, 3
un numero intero n.
• Si può richiedere che agli estremi del tubo si trovano punti di ampiezza
massima y(0) = y(L) = Ymax che da la soluzione in termini di due onde
cosinusoidali con ϕ1 = k x + ω t e ϕ2 = k x − ω t
y = a cos(k x) cos(ω t)
±1 = cos(k L)
k L = nπ → L = nλ/2
65
4
MOTO ONDULATORIO
Figure 21: Onde stazionarie aperte λ = 20π/3, n = 3, L = 10π, ω = 6, k = 0, 3
• Alla ne posiamo avere un estremo del tubo con un nodo y(0) = 0 e l'altro con
un massimo y(L) = a. Si ha, con due onde sinusoidali con ϕ1 = k x + ω t e
ϕ2 = k x − ω t ,
y = a sin(k x) cos(ω t)
1 = sin(k L)
k L = (2n + 1) π/2 → L = (2n + 1) λ/4
Figure 22: Onde stazionare con λ = 20π/30, n = 2, L = 25π/3, ω = 6, k = 0, 3
Esercizi
66
4.2 Eetto Doppler
4
MOTO ONDULATORIO
1. Una corda ssata a entrambe estremità ha le successive lunghezze d'onda
λn = 0.54cm λn+1 = 0.46cm. Quali armoniche sono? Quanto è la lunghezza
della corda? Quale è la lunghezza d'onda del modo fondamentale?
2. Quale sarebbe la lunghezza d'onda in una canna d'organo della stessa
lunghezza della corda precedente e quale la frequenza?
4.1.2
Onde sferiche
Prendiamo in considerazione una sorgente che emette le onde di simmetria sferica
(onde sferiche) che dipendono solo da raggio della sfera in cui si propagano f (r). In
questo caso le derivate sugli angoli sono zero e troviamo l'equazione
1 ∂ 2 (r f )
1 ∂2 f
−
=0
r ∂r2
c2 ∂t2
se si introduce una funzione F = r f si trova
∂2 F
1 ∂2 F
− 2 2 =0
∂r2
c ∂t
che ha come soluzione
f (r, t) =
f0 ±i(k r−ω t)
e
r
(30)
così abbiamo ridotto un problema in 3 dimensioni ad un problema in una
dimensione, grazie alla simmetria sferica. La presenza della singolarità nel origine
indica che la si trova la sorgente puntiforme che genera le onde e che la soluzione e
valida dovunque meno nel origine.
4.2 Eetto Doppler
4.2.1 Eetto Doppler classico
Eetto doppler descrive il cambiamento della lunghezza d'onda o della sua
frequenza a causa del moto relativo della sorgente o dell'osservatore. Alle base
velocità , sia dell'onda sia dell'osservatore, rispetto alla velocità della luce si ha
l'eetto classico. Si distinguono diverse situazioni siche:
• Supponiamo prime che si muove la sorgente con la velocità vs rispetto
all'osservatore fermo vos = 0 e rispetto al mezzo portatore delle onde. La
velocità di fase dell'onda non dipende dal movimento della sorgente ma solo
dal mezzo in cui si propaga l'onda. Dunque, deve essere soddisfatta la
condizione che non varia la velocità di fase
67
4.2 Eetto Doppler
4
MOTO ONDULATORIO
Figure 23: Onde circolari che si propagano dall'origine
λ ′ · ν ′ = vf = λ 0 · ν 0
(31)
Segue che devono cambiare sia la lunghezza d'onda sia la frequenza per
mantenere la stessa velocità. In altre parole, la sorgente in movimento emette
le onde in intervalli più vicini e la lunghezza d'onda diminuisce (la sorgente
spinge le onde davanti e le allunga di dietro). Se come la sorgente si muove
l'osservatore vede la distanza tra lui e la sorgente cambiare come x′ = x ± vs t
e le lunghezze d'onda sono λ′ = λ0 ± vs T = λ0 (1 ± vs /vf ). Il segno −
corrisponde alla sorgente in avvicinamento, mentre + quando si allontana. Si
trova, nel caso di avvicinamento
λ′ = (1 − vs /vf ) λ0
λ0
ν ′ = ′ · ν0
λ
ν0
′
ν =
1 − vs /vf
quando la sorgente si avvicina all'osservatore fermo la lunghezza d'onda
diminuisce e la frequenza aumenta. Quando si allontana si cambio il segno
− con + e gli eetti sono contrari.
• Adesso consideriamo che l'osservatore si muove con la velocità vos verso la
sorgente ferma. La lunghezza d'onda non è inuenzata dal moto
dell'osservatore, peró, lui si muove rispetto all'onda con la velocità relativa
vR = vf + vos e, nello stesso tempo, incontra più gobbe che quando sta fermo.
Dunque, cambia solo la frequenza dell'onda. Deve valere
68
4.2 Eetto Doppler
4
MOTO ONDULATORIO
λ0 · ν ′′ = vf + vos
vf ′′
· ν = vf + vos
ν0
vf + vos
ν ′′ = ν0
= (1 + vos /vf ) ν0
vf
Di nuovo la frequenza aumenta ma in modo diverso dal caso quando si muove
la sorgente. In caso di allontanamento dalla sorgente il segno nelle formule
cambia in −. Quando l'osservatore si allontana con la velocità uguale a
quella dell'onda vos = vf non riceve nessuna frequenza ν ′′ = 0 perche l'onda
non lo raggiunge mai. Si vedrà che questo non può succedere nel caso delle
onde elettromagnetiche.
• Adesso consideriamo che si muovano sia l'osservatore che la sorgente, l'uno
verso l'altro. Combinando i due casi precedenti le formule diventano
λ′ · ν ′′ = vf + vos
λ′ · ν ′ = vf
ν ′′ = ν ′ (1 + vos /vf )
(1 + vos /vf )
ν ′′ =
ν0
(1 − vs /vf )
In questo caso la frequenza aumenta combinando l'aumento dei singoli
movimenti. È interessante il caso quando si muovono la sorgente ed il
osservatore nello stesso verso. Si ha
ν ′′ =
(1 + vos /vf )
ν0
(1 + vs /vf )
e quando hanno la stessa velocità vs = vos la frequenza non cambia. Si
annullano moti relativi.
• Si può muovere anche il mezzo che trasmette l'onda con la velocità vm (per
esempio quando soa vento l'aria che trasmette il suono si muove). In questo
caso la velocità relativa (rispetto al mezzo) dell'onda (velocità di fase) è
vf′ = vf ± vm e bisogna sostituire vf con vf′ nelle formule di sopra.
Esercizi
1. Calcolare la dierenza percentuale ∆ν = (ν ′′ − ν ′ )/ν0 di frequenze sentite da
un osservatore fermo e la sorgente in movimento rispetto una sorgente ferma e
osservatore in movimento. Risp. ∆ν/ν0 = (v0 − vs )/(v − vs ) − v0 · vs /v(v − vs )
2. Calcolare quanto dovrebbe essere la velocità di un osservatore per sentire la
stessa frequenza del suono come quando si muove la sorgente. (velocità suono
v = 340m/sec e la frequenza ν = 200Hz). Risp. v0 = vs /(1 − vs /v)
69
4.2 Eetto Doppler
4
MOTO ONDULATORIO
3. Il clacson di un'automobile ferma ha la frequenza ν0 = 400 Hz. Che frequenza
viene misurata dall'osservatore che si muove verso l'automobile con la velocità
vo = 30m/sec? Si risolva il problema dal punto di vista del sistema
dell'osservatore. (Indicazioni:nel sistema dell'osservatore si muovono sia la
sorgente che il mezzo con la stessa velocità vf′ = vf + vo e vale
ν ′ = ν0 /1 − vs /vf′ . La situazione è diversa di quando si muove solo la
sorgente.)
4. Un nastro trasportatore si muove con la velocità v = 300m/min. un pizzaiolo
poggia 20 pizze al minuto sul nastro. Se il pizzaiolo è fermo trovare lo spazio
tra due pizze successive e la frequenza con la quale vengono ricevuto dal
mangiatore aamato. Si ripeta il conto quando il pizzaiolo si muove con la
velocità v = 30 m/min verso il mangiatore e quando il mangiatore si muove
con la stessa velocità del pizzaiolo.
4.2.2 Eetto Doppler relativistico
Gli eetti descritti nel precedente paragrafo si riferiscono tutti alle onde che hanno
le seguenti caratteristiche
• si propagano in un mezzo
• con le velocità molto piccole rispetto alla velocità della luce
• le velocità si sommano seguendo le regole della relatività Galileiana della
meccanica classica
Nel caso delle onde elettromagnetiche tutte queste caratteristiche sono assenti. In
fatti, queste onde si propagano con:
• la velocità della luce λ ν = c
• sono soggette alla relatività ristretta di Einstein
• non hanno un mezzo di propagazione, ma si propagano nel vuoto
• la velocità della luce non dipende dal movimento dell'osservatore, come nel
caso delle onde classiche. Essa è c in ogni sistema di riferimento.
L'eetto Doppler della luce si chiama Doppler relativistico. Può essere
longitudinale nel caso quando il vettore d'onda e la velocità della sorgente sono
paralleli ⃗k ||⃗vs e ha le formule
70
4.2 Eetto Doppler
4
MOTO ONDULATORIO
√
ν
−
k
v
/2π
1 − vs /c
s
ν′ = √
=ν
1 + vs /c
1 − vs2 /c2
(
)
2
k|| − ω vs /c
(1 − vs /c)
k||′ = √
= k|| √
2
2
1 − vs /c
1 − vs2 /c2
√
1 + vs /c
λ′ = λ
1 − vs /c
′
k⊥
= k⊥ = 0
′ ′
λ ν = λν = c
Invece quando ⃗k ⊥⃗v si ha l'eetto Doppler trasversale
ν′ = ν √
1
=βν
1 − v 2 /c2
−ω vs /c2
k||′ = √
1 − v 2 /c2
′
k⊥
= k⊥ k|| = 0
√(
√
( )2
(
)2 )
′
′ 2
′
′
|k | = (k⊥ ) + k|| = |k|
1 + k|| /|k|
1
1√
1√
1
1 + β 2 (ω 2 /|k|2 )vs2 /c4 =
1 + β 2 vs2 /c2 = β
=
′
λ
λ
λ
λ
′
−1
λ =β λ
′ ′
λ ν = λν = c
Da queste relazioni si può ottenere il limite non-relativistico
√ vs ≤ vf = c ,
2
trascurando tutti i termini di ordine c , per esempio β = 1 − v 2 /c2 → 1. Si trova
che non esiste Doppler trasversale classico, mentre quello longitudinale da
(
)
vs
′
ν =ν 1−
vf
(
)
vs
′
k|| = k|| 1 −
vf
′
λ = λ (1 + vs /vf )
′
= k⊥ = 0
k⊥
riproduce formule di prima (nel caso di allontanamento della sorgente). L'eetto
Doppler deriva dall'invarianza del fronte d'onda
⃗k · ⃗x − ω · t = ⃗k ′ · ⃗x′ − ω ′ · t′
in qualsiasi due sistemi di riferimento.
71
5 PROCESSI ATOMICI E NUCLEARI
Esercizi
1. Atomi di Idrogeno si muovono con l'energia cinetica Ek = 0, 930M eV . Lo
spettro dell'atomo si misura nella direzione di movimento ed ortogonalmente
ad esso. Di quanto si dierenziano le lunghezze d'onda a causa del eetto
Doppler longitudinale ed trasversale?
5
Processi atomici e nucleari
Uno dei risultati chiave della relatività ristretta di Einstein era l'equivalenza tra
energia e massa espressa tramite la relazione
m0 c 2
E = m c2 = √
1 − v 2 /c2
dove la massa m0 si chiama massa di riposo. Si vede che un oggetto ha l'energia
anche quando è fermo e questacorrisponde alla sua massa m0 . L'energia cinetica (di
movimento) viene allora denita come
)
(
1
EK = E − m0 c2 = m0 c2 1 − √
1 − v 2 /c2
(
(
))
v2
m0 v 2
2
4 4
EK ≈ m0 c 1 − 1 − 2 + O(v /c )
=
2c
2
come si vede questa formula si riduce alla formula nota della meccanica classica di
Newton per le velocità molto piccole rispetto la velocità della luce. La questione è se
si può ricavare l'energia dalla massa degli oggetti? Partiamo dall'esempio di una
• reazione chimica di ossidazione dell'idrogeno
2H2 + O2 → 2H2 O + Q
Combinando 2 kg di H2 con 8 kg di O2 si ottiene 10 kg di acqua più calore di
Q = 3 × 105 kcal. Il calore signica creazione di energia cinetica al livello
atomico a causa di cambiamento di massa (difetto di massa)
∆m0 = −
EK
c2
Dall'altro canto in chimica vale il principio di conservazione di massa nelle
reazioni chimiche. Come si conciliano questi due fatti? Facciamo un pò di
numeri: il calore liberato Q = 4186 × 3 × 104 J ≈ 12 × 107 kg m2 /sec2 mentre
c2 = 9 × 1016 m2 /sec2 e abbiamo
∆m0 =
4
12 × 107 kg m2 /sec2
= × 10−9 kg
16
2
2
9 × 10 m /sec
3
72
si vede che la variazione di massa è molto piccola (ma produce tanto calore!)
rispetto le masse iniziali e nali. Le misure delle masse chimiche hanno la
precisione dell'ordine 10−7 kg e non possono vedere le variazioni descritte
sopra. Dunge, il principio di conservazione di massa è valido no alla
precisione di 10−7 kg .
• reazioni nucleari Nuclei degli atomi sono composti da protoni p di carica
elettrica + e neutroni n di carica zero. La massa di un neutrone è più grande
della massa di un protone mn − mp = 2.531 me . L'elemento più leggero è
Idrogeno H che ha due isotopi: Deuterio D e Tritio T .
H = p e mH = mp = 1.836, 152 me
D = p + n e mD = 3.670, 481 me
T = p + 2n e mT = 5.496, 918 me
la massa del nucleo di Deuterio è più piccola della somma di suoi protoni e
neutroni
mD −(mp + mn ) = 3.670, 481 me −(1.836, 152 me + 1.838, 683 me ) = −4, 354 me
la dierenza è dovuta al energia potenziale U di legame (forza nucleare attrattiva) e
l'equazione energetica è
mD = mp + mN + U/c2
dove U/c2 = −4, 354 me Energia potenziale è energia che bisogna somministrare al
nucleo per dividerlo in costituenti liberi ed e sempre negativa per le forze attrattive.
Misurando la massa di un nucleo si misura, oltre alle masse dei costituenti, anche
energia potenziale. Nel caso di Tritio si ha U/c2 = −16, 600 me . Al contrario del
Deuterio il Tritio è instabile e decade in He3 con τ ≈ 12 anni. Andando avanti
nella tavola periodica si trova
• He3 con U/c2 = −15, 105 me
• He4 con U/c2 = −55, 375 me
si nota l'aumento dell'energia di legame con aumento del numero atomico.
Normalmente, un neutrone può decadere in un protone che è più leggero, che rende
H 3 = T instabile. La domanda è perché è stabile il Deuterio? Potrebbe un neutrone
decadere in un protone formando He2 ? Si, ma un nucleo così non esiste perché
energia liberata 1, 531 me non basta per distruggere stato legato del D che richiede
4, 354 me . In altre parole, in molti nuclei il neutrone diventa stabile. Per rendere
l'idea di quanta energia si può ricavare convertendo la massa in energia prendiamo
m = 1 kg che da
mc2 = 1 kg 9 × 1016 m2 /sec2 = 9 × 1010 M J
73
Quanta energia è? Un barile (159 l) di gasolio produce 6 × 103 M J e trasformazione
di 1 kg di massa in energia equivale a bruciare 15 × 107 barili di gasolio che
corrisponde al consumo giornaliero di energia negli USA.
Vediamo che si può liberare energia dai nuclei quando si trasformano elementi
leggeri dal inizio della tavola in quelli più pesanti (fusione) e quando si trasformano
quelli più pesanti in più leggeri partendo dalla ne della tavola (ssione). La ssione
di Uranio U 235 (scoperta 1938). L'eccesso di protoni nei nuclei pesanti è causato
dalla forza di repulsione tra protoni la quale indebolisce attrazione nucleare tra di
essi e favorisce neutroni. Si ha
1. ssione
2. fusione
U 235 + n → U 236 → 2P a118 + E
D + T → He4 + n + E
Il problema di fusione è che prima bisogna contrastare la repulsione degli protoni
per avvicinarli alle distanze quando la forza nucleare prende mano e domina sulla
forza elettrica. Questo richiede alte temperature 2 × 1014 0 C . La forza nucleare
considera protoni e neutroni in modo simmetrico e un nucleo con lo stesso numero
di protoni e neutroni sarebbe energicamente favorito. A causa di forza elettrica
repulsiva aumenta energia potenziale del nucleo e, per i nuclei pesanti, si preferisce
eccesso di neutroni su protoni. Inoltre, la forza nucleare per nucleone non dipende
dalla massa del nucleo a causa del range breve R ≈ 5 × 10−15 m della forza stessa
(nucleoni sono legati solo alle particelle vicine). Quando il nucleo diventa tropo
grande (dopo il Piombo) la forza elettrica lo rende instabile e esso diventa
radioattivo. Un nucleo instabile si può stabilizzare in tre modi:
Z
• emettendo raggi α XM
→ YMZ−2
−4
• emettendo raggi β ±
• emettendo raggi γ
Z
XM
→ YMZ±1
Z
XM
→ YMZ + E
Il decadimento β è il più comune modo di stabilizzare un nucleo. Corrisponde alla
trasformazione di un protone β + o di un neutrone β − . Abbiamo visto che un nucleo
si stabilizza quando ha lo stesso numero di e neutroni e protoni, ma che questa
regola viene violata a causa di forza repulsiva tra i protoni così che: nuclei leggeri
sono stabili se hanno un neutrone in più, mentre quelli pesanti devono
avere molti neutroni in eccesso per contrastare la repulsione coulombiana
tra i protoni. Il decadimento β è
β − n0 → p+ + e− + ν̃
β + p+ → n0 + e+ + ν
30
30
+
15 P →14 Si + e + ν
74
Nuclei leggeri con un protone in eccesso decadono con β + (normalmente prodotti
articialmente) mentre quelli con un neutrone in eccesso con β − . Nuclei pesanti
decadono con successivi decadimenti β per raggiungere stabilità. Neutrino è la
particella che nasce durante decadimento β (ipotizzata da Pauli) che non ha ne
carica ne massa e porta via solo energia.
Decadimento α corrisponde all'emissione di un nucleo di Elio He4 . Accade nel caso
di nuclei pesanti che hanno grande eccesso di neutroni che si spostano verso piombo
P b82
206−208 che è l'ultimo nucleo stabile. Durante decadimento α non cambia
rapporto tra neutroni e protoni e ,di solito, segue decadimento β . Decadimento α è
possibile spiegare solo nell'ambito di meccanica quantistica perche la particella esce
con energia minore della barriera energetica del nucleo. Questo si chiama eetto
tunnel.
U = (Z − 2) · 0, 4 M eV
U92 = 36 M eV
Eα = 4, 2 M eV
Decadimento γ corrisponde al passaggio del nucleo dallo stato eccitato allo stato
normale con emissione di energia in forma di onde elettromagnetiche di grande
frequenza (energia). Oltre alla radioattività naturale si può indurre i decadimento di
un nucleo bombardandolo con dei neutroni (radioattività indotta). Si usano
neutroni perche non sentono la forze elettrica di repulsione come i protoni. La
sorgente dei neutroni può essere un elemento leggero bombardato da particelle α
(miscuglio di Ra che emette α di 5, 3 M eV e Be che emette neutroni veloci di
10 M eV . Un altro processo che genera neutroni
2
1H
+73 Li →84 Be +10 n
che libera energia di 25 M eV . Neutroni veloci si devono rallentare usando acqua o
parana per raggiungere velocità termiche di 0, 04 M eV (velocità alla temperatura
normale) perche si aumenta la sezione d'urto che può essere 1000 volte più grande di
quella geometrica π R2 ≈ 10−24 cm2 (eetto quantistico). Bombardando 235 U con
neutroni lenti si ottiene la ssione del nucleo in due parti liberando energia circa
185 M eV e 2 − 3 neutroni. L'isotopo 238 U invece non si divide con neutroni lenti ma
serve energia di 1, 5 M eV . Si può trasformare in questo modo
238
92 U
235
238
+10 n →239
92 U →93 N p →92 U + α
Anche Plutonio si può dividere nello stesso modo ed e più facile produrlo rispetto al
uranio 235 U . Quando un nucleo assorbe neutrone passa allo stato eccitato e le
vibrazioni fanno sì che il nucleo si divide. Il processo è stato descritto da Bohr
1. particella proiettile entra nel nucleo e interagisce solo con le particelle vicine
trasmettendo l'energia cinetica. Queste la trasmettono alle altre e, in breve
tempo, l'energia si distributrice sul tutto il nucleo, mentre il proiettile resta
dentro per la perdita di energia.
75
2. si crea un nucleo composto in stato eccitato. Dopo un pò l'energia si concentra
su una particella.
3. questa particella si libera ed esce dal nucleo trasformandolo.
23
11 N a
26
1
+42 He →27
13 Al →13 Al +0 n
5.0.3 Legge del decadimento
La legge di decadimento è una legge statistica. Non si può prevedere quando
decadrà un singolo atomo. Il numero di atomi che decade in un certo tempo dN è
proporzionale al numero totale N
dN = −λ N
dove λ è una costante di decadimento caratteristica del nucleo in questione.
Integrando si ottiene numero di atomi rimasti dopo un tempo t
N (t) = N0 e−t/τ
dove τ = 1/λ si chiama il tempo caratteristico di decadimento. Il numero di atomi
decaduti è
(
)
Nd = N0 − N (t) = N0 1 − e−t/τ
È utile introdurre un altro tempo chiamato tempo medio (durante il quale decadono
metà degli atomi) t1/2 = τ ln 2. La legge si scrive
N (t) =
N0
t/t1/2
2
Per un elemento radioattivo in natura si osserva una mescolanza degli elementi. Per
esempio, su 103 kg di Urani si trova 0, 35 g di Ra.
Decadimenti radioattivi portano ad un equilibrio tra gli elementi in decadimento in
modo che vale
N1 /T1 = N2 /T2 = · · ·
e per l'urano U si trova
TU = TRa NU /NRa = 1590 · 1/3, 5 × 10−7 = 4, 5 × 109 anni
Il risultato nale del decadimento di elementi radioattivi è uno dei isotopi stabili di
Piombo P b e la sua presenza può servire per determinare l'età del minerale
radioattivo in cui si trova. Un elemento radioattivo decade attraverso una catena di
elementi prima di giungere al Piombo. Esistono quattro catene che portano il nome
dai primi elementi storici:
76
• serie del radio (anche conosciuta come serie dell'uranio). Comincia con
nisce con 206 P b
• serie dell'attinio (nome storico di
239
P u e nisce con 207 P b
235
238
U e
U = AcU actin-uranium). Comincia con
• serie del torio. Comincia con 252 Cf (storicamente dal 232 T h) e nisce con 208 P b
• serie del nettunio. Comincia con
249
Cf e nisce con
209
Bi
L'elemento iniziale si chiama genitore (parent) e il successivo glio (daughter).
Supponiamo di avere quantità NP e ND con le costanti di decadimento λP e λD .
Valgono le relazioni
dNP
= −λP NP → NP = NP0 e−λP t
dt
dND
= λP NP − λD ND
dt
dND
− λD ND = 0 → NDom. = A e−λD t
dt
NDpart. = B NP0 e−λP t
λP
B=
λD − λP
λP
ND (t) = A e−λD t +
NP0 e−λP t
λD − λP
λP
NP
A = N D0 −
λD − λP 0
(
)
λP
ND (t) = ND0 e−λD t +
NP0 e−λP t − e−λD t
λD − λP
(
)
λP
ND (t) = ND0 e−λD t +
NP (t) 1 − e−(λD −λP ) t
λD − λP
l'equilibrio stabile si ottiene quando dND /dt = 0 e da
dND
= 0 → λD e−λD t = λP e−λP t
dt
λP
ND,max =
NP
λD
Se il genitore ha la vita media lunga λD ≥ λP e se ND0 = 0 la formula si semplica
dando
ND (t) =
)
λP (
1 − e−λD t NP0
λD
77
dopo un tempo sucientemente lungo il glio si crea con la stessa velicità con cui
decade e si ottiene l'equilibrio stabile.
Al contrario, quando il genitore ha la vita media corta λD ≤ λP e se ND0 = 0 la
formula da
(
)
(
)
ND (t) = NP0 1 − e−λP t = NP (t) eλP t − 1
Questa formula si usa per datazione radiometrica dell'età. Si possono determinare
(con uno spettrometro di massa) il numero di gli al tempo t ma non è detto che
tutti gli siano prodotti dal decadimento di padri. Alcuni gli potevano essere già
presenti nel sistema prima del tempo t0 . Per evitare questo problema si misurano
rapporti isotopici con isotopi stabili non radiogenici, la cui quantità non muta nel
tempo.
78

Corso ITS 2015 - "A.Volta" Trieste

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