Risoluzione dei triangoli qualunque
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Risoluzione dei triangoli qualunque
Appunti di matematica Risoluzione dei triangoli qualunque Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui almeno un lato. Si possono presentare quattro casi: 1° caso - Noti due angoli e un lato. Elementi noti: α, β , a Elementi da trovare: γ, b, c − Calcolo di γ L’angolo γ sarà: γ = 180° − (α + β ) − Calcolo di b e c b=a Dal teorema dei seni si ricava: senβ senγ , c=a senα senα Esempio 1 Risolvere il triangolo qualunque ABC dati a=6 , α=45° e β =30°; trovare γ, b, c. − L’angolo γ sarà: γ = 180° − (α + β ) ⇒ γ = 180° − (45° + 30°) = 180° − 75° = 105° ⇒ γ = 105° 1 senβ sen30° 1 2 2 ⇒b=6 = 6⋅ 2 = 6⋅ ⋅ = 6⋅ =3 2, − Dalla formula b = a senα sen45° 2 2 2 2 2 b =3 2 2+ 6 senγ sen105° 2+ 6 2 4 − Dalla formula c = a ⇒c=6 =6 = 63 ⋅ ⋅ = senα sen45° 42 2 2 2 = 3⋅ 2+ 6 = 3 1+ 3 , c = 3 1+ 3 2 ( ) ( ) prof.ssa Caterina Vespia 1 Appunti di matematica 2° caso - Noti due lati e l’angolo compreso. b Elementi noti: a, b, γ γ Elementi da trovare: α, β , c a − Calcolo di c c = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ Dal teorema del coseno si ricava: − Calcolo di β b senβ = senγ da cui si ricava β. c Dal teorema dei seni si ha: − Calcolo di α L’angolo α sarà: α = 180° − ( β + γ ) Esempio 2 6 − 2 , b = 2 e γ = 30° ; Risolvere il triangolo qualunque ABC dati a = trovare α, β, c. − Dalla formula c = a + b − 2ab ⋅ cos γ ⇒ c = a + b − 2ab ⋅ cos γ ⇒ 2 c2 = ( 2 2 ) ( ) 6− 2 + 2 2 2 −2 ( ( 6− 2 ) = 6−4 3 + 2 + 2− 2 2 3 −2 ⋅ c 2 = 4 − 2 3 ⇒ c = 4 − 12 = − Dalla formula sen β = ) 2 2 2 ⋅ cos30° = 3 = = 10 − 4 3 − 6 + 2 3 = 4 − 2 3 2 4+ 4 4− 4 − = 3 −1 2 2 b sen γ ⇒ sen β = c 2 sen 30° = 3 −1 2 ( ) 3 +1 1 ⋅ = 3 −1 2 6+ 2 4 ⇒ β = 105° − L’angolo α sarà: α = 180° − (γ + β ) ⇒ α = 180° − (30° + 105°) = 45° ⇒ α = 45° prof.ssa Caterina Vespia 2 Appunti di matematica 3° caso - Noti i tre lati. c b Elementi noti: a, b, c Elementi da trovare: α, β , γ a − Calcolo di α Dal teorema del coseno si ha: − Calcolo di γ b2 + c2 − a2 cos α = da cui si ricava α. 2bc c senγ = senα da cui si ricava γ. a Dal teorema dei seni si ha: − Calcolo di β L’angolo β sarà: β = 180° − (α + γ ) Esempio 3 Risolvere il triangolo qualunque ABC dati a=2, b= 1 + 3 e c= 6 ; trovare α,β,γ. 2 2 (1 + 3) + ( 6 ) − 4 = b2 + c 2 − a 2 − Dalla formula cos α = ⇒ 2bc 2 (1 + 3 ) 6 = = 1+ 3 + 2 3 + 6 - 4 2 ( 6 +3 2 ) = /2 /2 ( ( ) 3 +3 6 +3 2 = ) ( ( ) ( 6 − 3 2) = 2 )⋅ ( 6 − 3 2 ) 3 +3 ⋅ 6 +3 3 2 + 3 6 −9 2 − 3 6 −6 2 2 = ⇒ α = 45° 2 = 6 −18 2 −12 − Dalla formula senγ = c 6 6 2 2 3 3 senα ⇒ senγ = sen 45° = ⋅ = 2 = ⇒ a 2 2 2 4 2 γ = 60° − L’angolo β sarà: β = 180° − (α + γ ) = 180° − (45° + 60°) = 180° −105° = 75° ⇒ β = 75° prof.ssa Caterina Vespia 3 Appunti di matematica 4° caso - Noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi.. α b Elementi noti: a, b,α Elementi da trovare: γ, β, c a Supposto α ≠ 90° e a ≠ b (altrimenti il triangolo sarebbe rispettivamente rettangolo o isoscele e quindi facilmente risolvibile ), si ha: − Calcolo di β Dal teorema dei seni si ha: b a b = ⇒ senβ = senα da cui si ricava β. a senα senβ 1) Se senβ >1 ⇒ impossibile, perché -1<senβ <1 2) Se senβ ≤1 ⇒ si può ricavare β In particolare: − se senβ =1 ⇒ β=90° ⇒ se α>90°⇒ impossibile (perché α+β+γ=180°) se α<90°⇒ 1 sola soluzione − se 0<senβ<1 ⇒ se a>b ⇒ 1 soluzione se a<b ⇒ se α≥90°⇒ impossibile se α<90°⇒ 2 soluzioni β1 e β2 − Calcolo di γ L’angolo γ sarà: γ = 180° − (α + β ) − Calcolo di c Dal teorema dei seni si ha: c a = ⇒ senγ senα c=a senγ senα Esempio 4 Risolvere il triangolo qualunque ABC dati a=12 , b=12 2 e α=30°; trovare c, β, γ. − Dalla formula a b b 12 2 = ⇒ senβ = senα ⇒ senβ = sen30° = senα senβ a 12 prof.ssa Caterina Vespia 4 Appunti di matematica 12 2 1 2 ⋅ = 2 12 2 b Poiché senα <1 , a<b e α<90°⇒ 2 soluzioni β1 = 45° e β2 = 135° a = − L’angolo γ sarà: γ 1 = 180° − (α + β ) ⇒ γ = 180° − (45° + 30°) = 180° − 75° = 105° ⇒ γ 1 = 105° γ 2 = 180° − (α + β ) ⇒ γ = 180° − (135° + 30°) = 180° −165° = 15° ⇒ γ 2 = 15° − Dalla formula c b = ⇒ senγ senβ c=b senγ senβ 6+ 2 senγ 1 sen105° 4 1) c1 = b ⇒ c1 = 12 2 ⋅ = 12 2 = senβ1 sen 45° 2 2 = 12 3 2⋅ 6+ 2 2 ⋅ =6 41 2 ( ) 6 + 2 ⇒ c1 = 6 ( 6 + 2 ) 6− 2 senγ 2 sen15° 4 2) c2 = b ⇒ c2 = 12 2 ⋅ = 12 2 ⋅ = senβ 2 sen135° 2 2 = 12 3 2⋅ 6− 2 2 ⋅ = = 6 ( 6 − 2 ) ⇒ c2 = 6 ( 6 − 2 ) 4 2 prof.ssa Caterina Vespia 5