III Esercitazione

III Esercitazione: Sintesi delle distribuzioni semplici secondo un carattere qualitativo
ordinale.
Esercizio 1
13 individui hanno i seguenti titoli di studio:
Licenza elementare, Licenza elementare, Diploma, Licenza media, Licenza elementare, Licenza
media, Laurea, Diploma, Licenza media, Licenza elementare, Laurea, Licenza elementare, Laurea.
Individuate la moda, e calcolate la mediana, il primo e il terzo quartile.
Esercizio 1
I passaggio: ordinare le unità statistiche in senso crescente
Titolo di studio
Licenza
elementare
Licenza media
Diploma
Laurea
Totale
Ni
ni
5
3
2
3
13
5
8
10
13
La MODA è rappresentata dalla modalità LICENZA ELEMENTARE, ossia dalla modalità
prevalente.
Siccome n è dispari (n=13) la posizione in graduatoria dell’unita centrale è:
(n + 1) (13 + 1)
=7
2
2
L’unità centrale occupa la posizione settima nella graduatoria.
Ricorriamo all’utilizzo delle frequenze assolute cumulate. In corrispondenza della settima posizione
abbiamo la modalità LICENZA MEDIA che rappresenta la MEDIANA della nostra distribuzione.
QUARTILI
Siccome n non è multiplo di 4, dividendo n per 4 e indicando con h il resto della divisione, il I
n−h
3n + h
quartile occupa il posto (
+ 1) -esimo, il III quartile occupa il posto (
) -esimo.
4
4
Il nostro I quartile occupa il posto:
13 − 1
(
+ 1) -esimo=4°posto e corrisponde alla modalità LICENZA ELEMENTARE.
4
Il nostro III quartile occupa il posto:
3 × 13 + 1
(
) -esimo=10°posto e corrisponde alla modalità DIPLOMA.
4
1
Esercizio 2
Individuate la moda,calcolate la mediana, il primo e il terzo quartile della distribuzione degli
impiegati di un’azienda secondo la qualifica.
Qualifiche Impiegati
II
7
III
20
IV
20
V
12
VI
5
VII
4
Totale
68
Esercizio 2
Qualifiche
II
III
IV
V
VI
VII
Totale
ni
7
20
20
12
5
4
68
Ni
7
27
47
59
64
68
La MODA è rappresentata dalle modalità III e IV QUALIFICA (distribuzione bimodale).
Siccome n è pari ( n=68) si hanno due unità centrali con posizione:
n n
e +1
2 2
68
68
= 34 e
+ 1 = 35
2
2
Le unità centrali occupano la posizione 34-esima e 35-esima.
La IV QUALIFICA rappresenta la mediana della nostra distribuzione.
QUARTILI
n
Siccome n multiplo di 4, la prima e la seconda modalità del I quartile occupano il posto ( ) -esimo
4
n
e ( + 1) -esimo.
4
3n
3n
La prima e la seconda modalità del III quartile occupano il posto ( ) -esimo e ( + 1) -esimo.
4
4
Quindi, la prima e la seconda modalità del nostro I quartile occupano il posto:
68
( ) -esimo=17-esimo e
4
68
( + 1) -esimo=18-esimo
4
e corrispondono entrambe alla modalità III qualifica, quindi il primo quartile è la III QUALIFICA
funzionale.
2
La prima e la seconda modalità del nostro III quartile occupano il posto:
3 × 68
) -esimo=51
e
4
3 × 68
(
+ 1) -esimo=52
4
e corrispondono entrambe alla modalità alla modalità V qualifica, quindi il terzo quartile è la V
QUALIFICA funzionale.
(
Esercizio 3
Individuate la moda e calcolate la mediana, il primo e il terzo quartile della seguente distribuzione.
ni
Titolo di studio
Nessun titolo
1862
Licenza elementare 9903
Licenza media
4491
Diploma
3093
Laurea
1160
Totale
20509
Esercizio 3
ni
Titolo di studio
Nessun titolo
1862
Licenza elementare 9903
Licenza media
4491
Diploma
3093
Laurea
1160
Totale
20509
Ni
1862
11765
16256
19349
20509
La MODA è rappresentata dalla modalità LICENZA ELEMENTARE.
Il collettivo risulta composto 20509 unità, siccome n è dispari, il posto centrale si calcola con
n + 1 20509 + 1
=
= 10255 .
2
2
La nostra mediana è rappresentata dall’unità che occupa il 10255-esimo posto, calcolando le
frequenze assolute cumulate vediamo come la mediana corrisponda alla modalità LICENZA
ELEMENTARE.
QUARTILI
Siccome n non è multiplo di 4, dividendo n per 4 e indicando con h il resto della divisione, il I
n−h
3n + h
quartile occupa il posto (
+ 1) -esimo, il III quartile occupa il posto (
) -esimo.
4
4
3
Il nostro I quartile occupa il posto:
20509 − 1
(
+ 1) -esimo=5128-esimo e corrisponde alla modalità LICENZA ELEMENTARE.
4
Il nostro III quartile occupa il posto:
3 × 20509 + 1
(
) -esimo=15382-esimo e corrisponde alla modalità LICENZA MEDIA.
4
Esercizio 4
Calcolare l’indice di dispersione assoluto e relativo della seguente distribuzione.
ni
Titolo di studio
Nessun titolo
1862
Licenza elementare 9903
Licenza media
4491
Diploma
3093
Laurea
1160
Totale
20509
Esercizio 4
ni
Titolo di studio
Nessun titolo
Licenza elementare
Licenza media
Diploma
Laurea
Totale
fi
Fh
1862
9903
4491
3093
1160
20509
0,0908
0,4829
0,2190
0,1508
0,0565
1
0,0908
0,5737
0,7927
0,9435
1,0000
1 − Fh
Fh (1 − Fh )
0,9092
0,0826
0,4263
0,2446
0,2073
0,1643
0,0565
0,0533
0,0000
0,5448
L’indice di dispersione è un indice che sfrutta tutte le informazioni proprie di un carattere in scala
ordinale.
Si ha minima dispersione se tutte le unità presentano la stessa modalità.
Massima dispersione se è massima la diversità tra le unità, evento che si verifica quando le unità si
ripartiscono in parti uguali fra la prima e l’ultima modalità.
k −1
D = 2∑ Fh (1 − Fh )
h =1
D = 2 ⋅ 0,5448 = 1,0896
Siccome n è dispari 0 ≤ D ≤
(1 −
k −1
1
(1 − 2 ) ma visto che n è grande (20509) possiamo trascurare
2
n
1
) in quanto il suo valore tende a 1 e quindi 0 ≤ D ≤ 2
n2
4
Indice relativo di dispersione
i=
d=
I−α
β−α
D
D
D−0
=
=
k
−1
k −1
− 0 max D
2
2
k −1
d=
2∑ Fh (1 − Fh )
k −1
4∑ Fh (1 − Fh )
= h =1
k −1
k −1
2
1,0896
d=
= 0,5448
5 −1
2
Il risultato ottenuto evidenzia che siamo di fronte a una media dispersione media, che è all’incirca
equidistante sia dalla dispersione minima che da quella massima.
h =1
Esercizio 5
Calcolare l’indice di dispersione assoluto e relativo della seguente distribuzione.
Qualifica
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
Totale
Numero
impiegati
58038
308249
287707
71974
52232
28081
12259
818540
Esercizio 5
Qualifica
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
Totale
ni
58038
308249
287707
71974
52232
28081
12259
818540
fi
0,0709
0,3766
0,3515
0,0879
0,0638
0,0343
0,0150
1,0000
Fh
0,0709
0,4475
0,7990
0,8869
0,9507
0,9850
1− Fh
0,9291
0,5525
0,2010
0,1131
0,0493
0,0150
1,0000
0,0000
Fh (1 − Fh )
0,0659
0,2472
0,1606
0,1003
0,0469
0,0148
0,6356
k −1
D = 2∑ Fh (1 − Fh )
h =1
5
D = 2 ⋅ 0,6356 = 1,2712
Siccome n è pari 0 ≤ D ≤
k −1
2
Indice relativo di dispersione
i=
d=
I−α
β−α
D−0
D
D
=
=
k −1
k −1
− 0 max D
2
2
k −1
d=
2∑ Fh (1 − Fh )
h =1
k −1
2
k −1
=
4∑ Fh (1 − Fh )
h =1
k −1
1,2712
= 0,4237
7 −1
2
Il risultato ottenuto evidenzia che siamo di fronte a una media dispersione, che è all’incirca
equidistante sia dalla dispersione minima che da quella massima.
d=
6