NONLINEAR ANALYSIS IN SOIL MECHANICS
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NONLINEAR ANALYSIS IN SOIL MECHANICS
DEVELOPMENTS IN GEOTECHNICAL ENGINEERING 53 NONLINEAR ANALYSIS IN SOIL MECHANICS Theory and Implementation W .F. CHEN School of Civil Engineering, Purdue University, West Lafayette, IN 47907, U.S.A . and E. MIZUNO Department of Civil Engineering, Nagoya University, Nagoya 464, Japan ELSEVIER Amsterdam - Oxford- New York - Tokyo 1990 \li CONTENTS Prda~e l'art 1: ClwptN I 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Fundamental" . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INT RO OUCTIO Introduction ................. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charactcnstics of soil behavior ldca lit.ations and mat.:rial modd ing .... Historical r.:vicw o f p lasticity in soil mechanics . . . . . . . . . . . . . . Nonlincar stress analyses in gcotcchni ca l engineeri ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Need. objectives and scope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . ....... References 0 . .. 0 . ••• 0 0 0 0 0 0 ••.•••...• .•••..•. .•• 0 . 0 0 ..• 0 • 0 • • • . • • • • • • • • 0 0 0 • • • • • • 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • •••••••••••••••••• 0 Chapter 1 2. 1 202 1.3 \' • • • • • ••• ••• 0 2.5 • • • ••• • • • • • • • • • ••• • ••• 0 • • • • • 0 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ° • • • • ° 0 0 PART 11: Material modeling-Uasic concepts Chapter 3 ELASTIC ITY AND MO D ELI NG 3.1 3.2 • • Introduction .. . ............ 0 0 0 ..•...•.•.••• . ..• . ... . .•. .. •.••••.• 0 • • Notations ........ 0 0 •• 0 0 0 ••••• 0 0 0 • 0 ......... 0 0 .. 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 •••. 0 • • Stresses in three dimensions ........ 0 •• 0 .• 0 0 0 •.•.••• 0 • •• 0 • • • • • • • • . • • • . • • • 203. 1 De fin itions and no tation . 0 0 •••.••• 0 •.• .••...•..•••.••• 0 • 0 0 0 • 0 • .• 0 • • 2.3.2 Cauchy's formulas. index notmion. a nd summatio n convention .. 2.303 Principa l axes of strc~scs .. 0 •••.•••••••• .•••. •.•••••••• 0 0 •• 0 0 ••• 0 2.3.4 Deviatoric stress . 0 0 . 0 0 0 0 . 0 0 .•••.••••. 0 0 0 0 •• 0 0 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 2.3.5 Geometrical rt!presenta tion o f s tresses 0 •• 0 0 0 0 0 • . . • • • • • • . • • • . . . • . • . • • • • • • Strains in three dimensions .... 0 . 0 0 0 .•• 0 • •• ••••• • .••.•. •• 0 0 •• 0 0 •• . 0 . 0 0 0 0 2.4. 1 Deri nitions a nd notations . 0 .••••••••••••••• 0 • 0 0 0 • • • • • • • • • • • . • • • . • • • • 2.402 Deviatoric s trai n ... . .. .... . .... 0 0 •• •••••.•••••••.•• •. •.•••.•••• 0 • 2.4.3 Octahedral strai ns and principa l shear s trains 0 •••.•••••• ••• 0 • 0 •.• 0 • 0 • 0 • • • • Equati on~ o f solid mechanics ... .. ...... 2.501 Equa tions o r eq uilibrium (or mo tion) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 •• 2.5.2 Geometric (compatibi lity) conditions . 2.5.3 Constitutive rela tio ns . 0 •. 0 •• ...••..••.•••••• 0 0 . 0 ••••.••••• 0 • • . • • • • • Summary . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .•.... • ... 0 ... 0 0 0 • 0 0 •• 0 0 • • • . • • • • • • • . • • • • • • . • • • • • Referenc~ . ... . ........... • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • ... . . .. • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 2.6 • 3 3 5 7 9 I0 12 BAS IC CONCEPT OF CONTINUUM MEC HAN ICS 0 2.4 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 0 • 0 •• • • 0 0 • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • • • • • • • • • 0 • • • • • • • • Introd uc tion 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .•.•••..• • .••• • 0 0 • • 0 •• • • 0. 0 ••• ••• 0. ... .... . . Elastic modeb in g.:otcchnical engineering . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 1 Linear clastic model (generalized Hooke's law) 0 •••••••••• •••••••••••.. 0 . 0 . 302.2 Cauchy clastic modd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Hypcrclastic model 0 . 0 0 0 • 0 •• •• •• • •. • ..••. 0 • .. 0 0 0 • 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 • 0 0 • 302.4 Hypoelastic model ... 0 •••••••••••••..•• 0 • .••. •• •••••••••.••• . •.• 0 • 13 13 14 14 19 23 28 JO 39 39 40 41 45 45 46 49 50 51 53 55 5(, 56 57 58 65 'Ill J.J 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Uniqucn~"· 'tah tlll\ . normalit\. :md co nvc\tt\ f0r clu,lll.' mah:n;ll' . . . . . . ••. 3.3.1 U niqucnc,., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J.:u Drud..c(, ,l.thilil\' poMula tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 F\l,tcncc of Wand !l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Rc,tn..:uo n' normal it) ami con' c!\tt\ . . . . . • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • Lmea r d.hll~ 'tre"·'tr:tin rclauon' 3.4.1 Gcncr.tlttcd Hool..e·~ la\\ . . 3.4.2 A plane of :.vmmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 '1\\() plunc~ of ~) mmctr) (ort ho tropil' ~ymmetr)) ...... . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Tranwcr;,c and cubic iso tropic, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Full botropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l.otropic ltncur elastic strcss-stmin relation' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 1 Ten,or form~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Thrcc-dimcn:.ionul matri' fo rm' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Planc ~trc-;s case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Plane :.tram case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 A.Ai,ymmctric case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isotropic non linear clastic strc.<>~·strai n relatio ns based on tow I fo rmula tion . . . . . . 3.6. I No nlincur clastic model with secan t moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Cuuchy elastic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Hypcrcla.'>tic (Green) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Isotropic non linear clastic stress-strain relations based on incremental formulation . 3.7.1 :-Jonlincar elastic model \\ith secant moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Cauchy clastic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 HypcrclaMic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Hypoclast ic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reference~ . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapter 4 4. 1 4.2 •.. ... •. . ... . . . . •. .. •• .. • • • • • • 70 70 n 73 76 !'I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. .. •. . . . . . . .. .. ... ... ... .. . ... .. . .. . . .. . .. .. . . .. RI R2 R4 85 !16 1!7 88 93 94 94 96 96 97 100 103 104 104 108 112 I I3 I I9 121 ....... ....... ..... .. ... .... ..... .. ... ... . ... .... ... .. .. .. ..... .. ..... . ...... . ...... . ...... . .. .... . ... ... ... .... . ...... ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 124 124 126 I 27 I 27 128 129 130 132 139 143 151 161 163 163 164 170 172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PERFECT PLASTICITY A D MODEU. G Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . Deforma ti on theory . . . . . . . . . . . . 4.2. I An illustrative example . . . . . . 4.2.2 Variable moduli models . . . . . 4.3 Flow the.ory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Yield criteria . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Flow rule . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Basic requirements ..... .... 4.4 Perfect plaMicity models . . . . . . . . . 4.5 Trescn and von Mi ses models . . . . . 4.6 Coulomb model . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Drucker- Pragcr model . . . . . . . . . . 4.8 Prandti-Rcuss Mrc.<>s-stra in rel ation~ . 4.9 Generalized Mrcss-strain relations . . 4. 10 Stiffness formulation . . . . . . . . . . . 4. 10.1 General description . . . . . . . . 4.10.2 Stiffness coefficients . . . . . . . 4. I I Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Refcr~nc.:s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ...... .. ...... .... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....•.•.. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ••• ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1\ ( lwprcr 5 5. 1 5.:! HA RD !: ' ING PLAST ICTI Y AND MODELI NG lnt w<.lu<·tio n . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . thcon . . . . . . . . . . • . • • . . . • . . • • . . 5.2. 1 L<J:Idi ng funcu on . . . • . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Hartkning rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.:2.3 Flow rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Dru c kcr·~ pos tula te . . . . . . . . . . . . . • . 5.3 HarJ~nmg plasti city models . . . . . . . . . . . . . 5.~. 1 b otropic ha n~kni ng mo<.lel . . . . . . . . . . 5.3.:! Ki n.;matic ha rdening modd . . . . . . . . . 5.3.3 Mixed harden ing mod el . . . . . . . . . . . . 5.4 La<.lc- Dunca n mo<.lc l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Lad.: mod el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 .:,t.:d yield surface models . . . . . . . . . . . . . 5. 7 Gcn.:ralized multi-surface modds . . . . . . . . . 5.8 Bound ing surface mod els . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Pra nd ll- Rcuss s tress-s trai n rela tions . . . . . . . . 5.9.1 Pra ndti-Rcuss equa tions . . . . . . . . . . . . 5.9.2 Matri x form o f Prandti-Re uss .:.q ua tio ns . 5. 10 Ge neral ized stress-stra in relations . . . . . . . . . 5. 10. 1 Inc remental stress-strain relations . . . . . 5. 10.2 Isotropic hardening . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.3 Kinematic ha rdening . . . . . . . . . . . . . . 5. 10.4 Mixed hardening. . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 11 Stiffness formula tio n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 11.1 Genera l d escription . . . . . . . . . . . . . . . 5. 11.2 Stiffness coefficients . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Sumrn ury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-I•"' Part Ill: Chapter 6 6. 1 6.2 6.3 6.4 b.5 6.6 6.7 b.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. •. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. •. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. •. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ••. . .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .. . ... .. .. .. .. ... . ... . .. .. .. .. ... . .... ... . .... •••. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .. .. .. ... . .. .. . ... .. .. .... .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..•.. ••. . . .. ... . . .•. .. ... . . . •. ..... .. .. . ..... ..... ..... ..... ..... . .... ..... ..... ..... . .... ..... . .... .. ... .. ... . .... .. ... . .... .. ... .. ... . .... •. •. . . •. . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. •. .. .. •. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. •. •. . . •. •. •. . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 173 174 174 175 177 179 lX I Ill I ll\2 ll)J I!G 192 196 202 2 10 2. 17 217 225 236 236 238 239 241 243 244 246 255 259 Material nonlinearity-Cap model'l .......... . ........ .. . . . . . . . . . . . . . . 26 1 CAP MODEL FORM ULATION AN D CALIBRATION Introd uc tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . His tori cal developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. 1 Ca mb ridge mod els (concept o f c rit ical state} 6.2.2 Cap models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mod ified Cam-clay model . . . . . . . . . . . . . . . • . Generalized cap models . . . . . . . . . . . • . . . • • . 6.4.1 Elliptic cap model . . . . . . . . . . . • . . . • . . 6.4.2 Simple plane: cap model . . . . . . . • . . . • . . Stress-s train relatio ns . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . Stifrncss rormulati on . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 6.6.1 Gene ra l description . . . . . . . . . . • . . . • . . 6.6.2 Stiffness coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . Cap model in fitting procedure . . . . . . . . . . . . . 6.7. 1 Stress pa ths in experiments . . . . . . . . . . . . 6.7.2 Determination o f material cons tants . . . . . Cap model in simple tests . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8.1 Uniaxial strain test . . . . . . . . . . • . . . . . . . 6.8.2 Isotro pic consolida tio n test . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... . •. ••. .•. .•. .. . .. . .•. .. . .. . .•. ... .. . . .. .. . ... . .... ... . ..•. .... •. . . ... . ... . ... . .•. . ..•. ... . ... . ... . .... .... .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... .•..... .•..... .•..... ••. . ••. .•..... .•..... .. ...•. .. ..... .. ...•. .•...•. . . •. . •. ..•... . .. .•.•. .. .•.. . .. ...•. . ...... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. •. .. .. . . .. .. •. .. •. .. .. •. •. •. •. .. •. •. •. . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 266 267 270 272 277 277 279 279 280 280 282 285 285 29 1 294 294 296 '2'17 11 '4 l nJrau11:J ""'"·" •heM tc•t .. . ....... .. ( .1p mudd m t~p1cul f1dd "''ndllulll' • . • • • • . • . . . . • . . . • • , • , . . . ........ . < .1p lll<xkl m ll<hton llluc (. l,1\ . . . . . . . . •. . . , • 6 10.1 Sunul.tth>n ,, f pore prc,,urc . . . . . . . . . .. ..... . ..... . 6 Ill.:! (.',Hnmcnl' o n "mulathlll<lf umll.uncd rc•pnn,.: In C;,p nwd.:l ... . . .. . .. ..... . 11. 10.3 ;\1odcl calibra tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .• . . ..... . 6 10.4 Anal)~c" o f three cmh :ml..mcm' ..... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . ... . . 6 10.5 ( \ mc lud1ng r..:marl..' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . ... . ... . ... ...... . . (l ,ll Summa!"\ . . . .. . ...•.••• .. • .. .•. .. •..... . ... . . . .• ....... Rdcrcnc.:' ....... . . ... .... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... ..•• Clwpta - 7I 7.2 7.J 7.4 7.5 7.6 7.7 Cllllflll!r 8.3 ~10DH $ 117 11~ J llJ no .U.J l4~ J4(> .147 IMPLI \11 ' I \ 110 . A, D PRI-DI<. 110'-:S lntmducuon . . . . . . . . . ................ .. ........... Gcn.:r.1l implcmcnuuion<)f d :hllc·pl.l,tic mo;:kl,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 tl:t>IIC M re's increment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . . 7.2.2 Scaling facwr . ................•.......•.......... 7.2.3 Plu,tic Mre.,s incrcmclll . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . • . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Stn:>" sca ling hacl.. to yidd :.urfacc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l mpkmcnt:nion of Cnulomh and Drm:ker·Pragcr modd< . . . . . . . . . . . . . 7.3. 1 lmplcmentauon for mid·incrcmcnt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 I mplemcntation for ful l incrcmo:nt . . . . . . . • . . • . . . . . . . . . . . . 7.3.3 T\\o-dimen,ion:tl fimtc-clcment 'ubroutinc. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Utilization of the moJcl 'uhrouunc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lm;~\I.JI strain bcha\-ior: do:mo n,trauon o f SlJBRO Tl E CDP~ IDI . . . 7.4. 1 Initialization of mpu1 dnt:t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Calculation step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 .4.3 ' umerical result., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lmph.:mcnt:ni on of cap model, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. 1 Load ing function~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 .5.2 El:lstic trial Mrcssc> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3 Elastic coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . 7.5.4 Yield surface coding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.5 Corner coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.6 l lardening surface coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.7 r.:nJ.ilecoding ....... .. .. . . .. .. .. . .. . .. .. .. .. 7 .5.8 Model ,ubroutine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.m.l\tal ~train behavior: d.:mo n,trution or S BRO Tl E CAP~ IDL . . . 7.6. 1 Input data ..... . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 umcrical results . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summaf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rdcn:nc.:s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Part IV: 8. 1 8.2 CA P 'Ill )tl'l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. •. .. . . . . .. .. .. .. .. . . . . . . .. .. . . .. . . . . .. . . . . .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .• .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . J51 J5J J53 354 356 356 35H 35R 36H 370 382 383 383 Geo metric nonlincnrity- Lar~:e·ddonnation amtlyscs ..... • .... • ........ .. .. 43 3 31\5 38tt 393 J94 395 397 J\18 402 405 41 0 411 422 422 423 429 43 1 LARGE-DEFORMATION FORMULATlO. A D SIMPLiriCATION lntroducuor . . . . . . . . . . . . . . . . . \1ca,urc' or \train . . . . . . . . . . . . . 8.2. 1 Small ,tram~ . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Finite strain~ . . . . . . . . . . . . . Rate or deformation and ~•rain rat<!-' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 436 436 442 454 X.7 S.S \h:J,ur.:' ttf ,ur:,, SA. I Strc" tcn,ur' 1-l.-1.2 Strc" rate' \ 'a rtu;ol ""r~ cquataon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • . • . . . • • . . ..• • .... X.5. 1 lnt.al Lagr.mgaan o~'locrtptton 111 gcncr.tl • . • • • • • • • . • . . . . . . . . . . . . .... X.5.2 l pd.ned I .agr.mgt.an t.k,enpttt.lll an g~n.:ral . • ••• •....•••.......... ( ,,n,tuutt\C rd.uton, fo r largc·ocfnrm.ltlnn ft.>rmulatuln' •.••. ... •••.•.... X.6. 1 c•• n,IIIUtl\C rd.uinn fo r tllt.tll .tgr.angt;lll ft.•rmulattllll ••.•• . .. . ... .. ... 1\.6.:! (nn,lllull\e rclauon for upd.u~d I .tgrang.tan formul.ntun •.•••••. . . . ....... l pd.ucd I .tgr.lllgtan fnnnulatinn and ,jmplification . . . . .... • . • . ..•.. . •.. 1'.7. 1 Ma~cd an.:rcmcn tal formu l at~<m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... • .. . ....... ll.7.2 l.nH!.trit.ed ancrcmental cquatl\ll1 (large ,trai n and large rtl t:tta on) . . .. ••.. . .. . • .. 11.7.3 Lmcaritcd ancrcmcntal cquatit.•n ('mall 'tr.1in and large r<lt!llllln) . . . . • •.• . •••. Summar: .......... . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . Reference;, (Jrupter 9 '), 1 lJ.:! '>.3 9.4 9.5 9.6 Lf\RG I:- D I: FOR~IATIOI" I IPI E:'-IF. 1TATION A 1 1) Int roduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Di;plm:cmcnt model > and shape function:. . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Gcncralitcd c(l{>rd inat.: di,pl:tccment model . . . . . . . . . . . 9.2.2 I ntcrpolation d isplaccmcm model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Shape function> for \':lriou> fimte clement<. . . . . . . . . . . . . lncrcmcntal finuc-clcmcnt cquauon' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 General equa tion based on tot.ll Lagrangian dc.,criptton . . 9.3.2 General ~'<.JU:t tion based on updated Lagrangia n de;cription 9.3.3 Updated Lagrangian formulation equati on . . . . . . . . . . . . umerica l procedures fo r clas tic-pla, tic problem; . . . . . . . . . . . 9.4. 1 I nc rcmcnwl procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 ltera til'c proc..,J ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3 lteratil'c 'olution technique.\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.4 Applic.thiht) of the finite-clement m.:thod . . . . . . . . . . . . Large-Jcformauo n finite-clement pr~-dicuom. o r \Crtical \lOpe . 9.5. 1 Analy,c> of \Crtical slopes with Drucker-Prager model> . . . 9.5.2 Load·dbpl:.tccmc:nt cur\'e~ ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 ocrormcd ' hape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.4 Limit load , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.5 Stn!~' di,tributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.6 Yielded /one> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.7 VdOCII\ ftdd' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.8 Condudmg remark, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referen ce~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pa rt V: Clwptl!r /0 Cll~C ~tUd) 4611 460 -167 474 47ll 41\1 -11{-1 -185 -190 491 492 41)5 504 504 508 J>REDICTIO a S . .. . .. .. . ... ... . •. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... •. . ... ... .. . ... .. . ... .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... .. . ... ... ... .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . .. ... . .• .. . ..... ...•. ..... . .... . .•.. ..•.. ... .. ••••. ...•. ... .. •. •. . ..... ..... ..... ..... ..... . . . •. ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ... ... ... ... . •. ... •.. ... •. . .•. ••. .. . .•. .. . ... .. . ... ... ... ... ... ... ... . •. ... 5 11 5 12 5 12 5 19 529 539 539 55 1 556 568 568 574 576 579 579 58 1 585 585 586 591 595 598 599 60 I .... .. ......... .. . ......... ..• . ........ .. . . . . . . . . . . . . 603 570 CAS1· STUD ifoS 10. 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 bamp1c I. rlc\tblc :md smooth , trip ft.1ntang.~ on stratum or da\ 10.2.1 Drudcr-Pragcr model~ with dtHcrcnt ma terial constant' .. 10.2.2 Druckcr- Pragcr modcb with non-a:o.clCia tcd now rule . . . . 10.2.3 Cap model> wi th associa ted flow rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. •. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . 605 606 607 609 612 \11 I , ,tmpk 11 Rtgtu a nu rough 'lriP ft'<ll 111g' t)O ' lr:J ium nf d,t\ ..... . . ICU. I Drud.cr- Prager mlltlch 10.3.:! Car mood , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I0.4 h a mplc Il l. Sci~mic anah ' c' uf 'lnrc' . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. 1 Prio r 10 scb mu.: lo:1d111g' . • • . . . . . . . . • . . . . . . . . . 10.4.2 During s..:i, mi c load ing, .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . In ' . •. . .. . . .. . . •. . . . . . . . . . . •. . . . . . . . . . . . . . . . . . •. .. . •. . . . . •. . . . .. .... .... .... ........ ...... .... ... ......... ...... .... .. ......... . 6 1X 6 1X 622 1'>26 627 634 I 0.4.3 Af1..:r slidings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . • . . 645 I0.5 Sun1mary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lh :fcrc ncc' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 647 64X 65 1