Introduzione a LingoTM

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Introduzione a LingoTM
www.lindo.com
Massimo Paolucci
([email protected])
DIST – Università di Genova
2001/2002
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Lingo – caratteristiche generali
E’ un software per la PL e IP, ma anche per
problemi non lineari
Permette di scrivere il problemi direttamente in
termini di funzione obiettivo, vincoli e variabili (ciò
che fa Lindo)
Permette di scrivere i programmi usando una
sintassi simbolica (linguaggio di modellazione
matematico)
• Rappresenta sommatorie, cicli ecc.
• Separa il modello dai dati
Lingo – Definizione e soluzione di problemi
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Esempio di input di un PL
sulla carta
Max Z = 3xE + 2xI
xE + 2xI ≤ 6
2xE + xI ≤ 8
- x E + xI ≤ 1
xI ≤ 2
xE ≥ 0
xI ≥ 0
con Lingo
max =3*xE+2*xI ;
xE+2*xI<=6 ;
2*xE+xI<=8 ;
-xE+xI<=1 ;
xI<=2 ;
• non ci sono i vincoli di positività
• non c’è la Z
• ci sono ; alla fine delle righe
• definito il modello il bottone attiva il processo di soluzione (dopo la
verifica sintattica)
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• la finestra di soluzione fornisce svariate informazioni
• il report mostra il risultato ottenuto
Primale
informazioni sul duale
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Lingo – Mathematical Modeling Language
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Struttura di un modello Lingo
MODEL:
[ TITLE <nome modello>; ]
SETS:
<definizione degli insieme di indici, delle variabili e delle costanti>
ENDSETS
DATA:
<assegnazioni valori alle costanti>
ENDDATA
<definizione della funzione obiettivo e dei vincoli>
END
• Ogni riga (ad eccezione di quelle che identificano le parti del
modello) deve terminare per ;
• Commenti: testo tra ! e ;
SETS: Insiemi e variabili
• Le variabili non sono tipizzate
• I Set sono classi di elementi che possiedono attributi che possono essere
quantificati
• Si possono dichiarare Array o creare oggetti che assumono tanti valori
quanti gli elementi di uno o più insieme
• Sintassi : setname [/ member_list /] [: attribute_list];
• Esempio – Vettori: variabili o costanti definite su un insieme
SET
PRIMOINSIEME /ELE1,ELE2/:PROPRIETÀ;
CASE /CASA2,CASA1/:COLORE;
ENDSET
In questo modo sono stati creati i seguenti vettori:
[PROPRIETÀ(ELE1),PROPRIETÀ(ELE2)]
[COLORE(CASA1),COLORE(CASA2)]
• Definizione implicita:
WAREHOUSES / 1..6/: CAPACITY;
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SETS: Matrici (variabili o costanti definite su più insiemi)
• Sono insiemi derivati:
setname( parent_set_list) [ / member_list /] [: attribute_list];
• Esempio
SET
PRIMOINSIEME /ELE1,ELE2/:PROPRIETÀ;
CASE /CASA2,CASA1/:COLORE;
LINKS(PRIMOINSIEME,CASE):PREZZO,VOLUME;
ENDSET
Si è creato un template di una struttura:
Links=(Ele1 Casa1, Ele2 Casa1, Ele1 Casa2, Ele2 Casa2)
= ( Ele1 Casa1, Ele1 Casa2
Ele2 Casa1, Ele2 Casa2 )
Prezzo(i, j) e Volume(i, j) sono due matrici i cui elementi sono definiti
dalle combinazioni dei due insiemi, e.g., Prezzo(Ele2, Casa1)
SETS: Sottinsiemi di elementi
• Per default un insieme derivato (o matrice) ha tanti elementi quanti
il prodotto cartesiano degli insiemi da cui deriva
PRODUCT / A B/;
MACHINE / M N/;
WEEK / 1..2/;
ALLOWED( PRODUCT, MACHINE, WEEK);
• Si possono costruire sottinsiemi del prodotto cartesiano
esplicitamente o attraverso condizioni
ALLOWED( PRODUCT, MACHINE, WEEK) / A M 1, A N 2, B N 1/;
HEAVY_DUTY( TRUCKS) | CAPACITY( &1) #GT# 50000:;
inizio
condizione
indice riferito al primo
insieme derivato
(TRUCKS)
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DATA: assegnazione valori alle costanti
• La sintassi: object_list = value_list;
• Esempi
DATA
PROPRIETÀ=3,4;
COLORE=ROSSO,VERDE;
ENDDATA
In questo modo sono stati assegnati i valori agli attributi degli
insiemi :
PROPRIETÀ (ELE1)=3 , PROPRIETÀ (ELE2)=4
[COLORE(CASA1),COLORE(CASA2)]=[ROSSO,VERDE]
• Altri esempi significativi ...
SETS:
SET1 /A, B, C/: X, Y;
ENDSETS
DATA:
X, Y = 1, 4,
2, 5,
3, 6;
ENDDATA
• ... inizializzazione delle dimensioni nella sezione DATA
SETS:
SET1: X, Y;
ENDSETS
DATA:
SET1, X, Y = A 1 4
B25
C 3 6;
ENDDATA
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• Inizializzazione con un unico valore costante
SETS:
DAYS / MO, TU, WE, TH, FR, SA, SU/:NEEDS;
ENDSETS
DATA:
NEEDS = 20;
ENDDATA
• Attributi in parte costanti ed in parte variabili
SETS:
YEARS /1..5/: CAPACITY;
ENDSETS
DATA:
CAPACITY = 34, 34, , , ;
ENDDATA
Input dati runtime (what if analysis)
• Le costanti possono essere specificate runtime lasciandole indicate
con “?”
DATA:
INFLATION_RATE = ?;
ENDDATA
• Si possono importare dati da fogli Excel, Database oppure file testo
@IMPORT( worksheet filename, data range name);
@File(filename);
object_list = @ODBC( [‘data_source’[, ‘table_name’
[,’column_name_1’[, …]]]]);
• Esiste anche una section INIT per inizializzare le variabili
INIT:
X = .999;
ENDINIT
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Funzioni ricorsive
Funzione da richiamare
Condizione da verificare
set_operator (set_name /condition : expression)
Insieme su cui lavorare
Espressione da eseguire
Funzioni ricorsive
• Operatori:
@FOR (set_name [ | conditions ] : costraint_expression)
@MAX (set_name [ | conditions ] : expression)
@MIN (set_name [ | conditions ] : expression)
@SUM (set_name [ | conditions ] : expression)
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Funzioni per la specifica delle caratteristiche delle variabili
• Funzioni :
@BND (lower bound, x, upper bound) ⇒ L ≤ x ≤ U
@BIN(x) ⇒ x∈B
@FREE(x) ⇒ x variabile libera
@GIN(x) ⇒ x ∈Z
Esempio
@FOR (InsiemeA( ) : @BND (0, x, 1) )
Impone per tutte le variabili x definite sui valori dell’InsiemeA di
restare tra 0 ed 1 :
L ≤ xi ≤ U
i ∈InsiemeA
• Le relazioni (vincoli, obiettivo) possono essere etichettate
[etichetta] <relazione>
[LIMITI] @FOR (InsiemeA( ) : @BND (0, x, 1) )
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Funzioni matematiche
@ABS(X)
Valore assoluto di x
@COS(X)
Coseno di x, dove x è l’angolo in radianti
@EXP(X)
ex
@LOG(X)
log(x)
@SIGN(X)
-1 se x < 0, e’ +1 se x => 0
@SIN(X)
Seno di x, dove x è l’angolo in radianti
@SMAX(list )
E’ il più grande valore tra una lista di scalari
@SMIN(list )
E’ il più piccolo valore tra una lista di scalari
@TAN(X)
Tangente di x, dove x è l’angolo in radianti
@SIZE (set_name) Fornisce il numero di elementi nel set
Operatori logici
#EQ#
=
#NE#
≠
#GT#
>
#GE#
≥
#LT#
<
#LE#
≤
#AND#
#OR#
#NOT#
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Un esempio di modello: un problema di Blending
• Descrizione:
Il manager della produzione di un impianto di raffinamento di carburanti
vuole massimizzare il profitto che deriva dalla produzione di due
prodotti finiti, carburanti indicati con “Regular” e “Premium” ottenuti
dalla miscelazione delle materie prime, butane, catalytic reformate,
naphtha. (prodotto = mat.prima 1 + mat.prima 2 + mat. prima 3)
I prodotti finali si differenziano tra loro perchè devono soddisfare dei
requisiti di qualità minimi e massimi in termini di octane, vapor
pressure, and volatility.
Le materie prime hanno una capacità limitata ed un costo unitario noto.
Sono date anche le richieste minime per ciascuno dei due prodotti
finiti, la quantità massima che può essere venduta ed il valore del
ricavo unitario dalla loro vendita.
Si vuole determinare quanto produrre dei due prodotti e come
produrre, ossia la miscelazione più conveniente delle componenti che
soddisfi le specifiche di produzione dei due carburanti
• I numeri in gioco
Disponibilità e costi unitari delle materie prime :
– butane: 1000, 7.3
– catalytic reformate: 4000, 18.2
– naphtha: 5000, 12.5
Livello di qualità delle materie prime
octane
vapor
pressure
volatility
butane
120
60
105
catalytic
reformate
100
2.6
3
naphtha
74
4.1
12
Limiti sulla domanda:
– Regular: min=4000, max=8000
– Premium: min=2000, max=6000
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• I numeri in gioco
Prezzo unitario dei prodotti finiti :
– Regular : 18.4
– Premium : 22
Limiti di qualità dei prodotti:
octane
vapor
pressure
volatility
MINIMI
octane
vapor
pressure
volatility
Regular
110
11
25
Regular
90
8
17
Premium
110
11
25
Premium
95
8
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MASSIMI
Formulazione sulla carta
• Insiemi
Prodotti finiti F, i ∈ F
Materie prime M, j ∈ M
Qualità Q, k ∈ Q
• Dati
Disponibilità materie prime (vettore), aj
Costo unitario materie prime (vettore), cj
Qualità unitarie delle materie prime (matrice), qjk
Prezzo prodotti finiti (vettore), pi
Richiesta minima prodotti finiti (vettore), dli
Richiesta massima prodotti finiti (vettore), dui
Specifica minima delle qualità unitarie dei prodotti finiti (matrice), qlik
Specifica massima delle qualità unitarie dei prodotti finiti (matrice), quik
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• Variabili (decisioni)
Quanto produrre dei prodotti (batch) (vettore), xi
Quantità di materia prima usata per produrre i prodotti (matrice), uij
• Obiettivo (da massimizzare): profitto = ricavo - costi
x 0 = ∑ pi ⋅ xi − ∑ c j ⋅ ∑ uij
i∈F
j∈M
i∈F
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• Vincoli
Rispetto disponibilità
Quantità totale prodotta
∑ uij ≤ a j
i∈F
∀j ∈ M
∑ uij = x i
j∈M
Limiti massimi e minimi per la produzione
∀i ∈ F
dli ≤ x i ≤ dui
Rispetto delle specifiche di qualità
qlik ⋅ x i ≤ ∑ q jk ⋅ uij ≤ quik ⋅ x i
j∈M
∀i ∈ F, ∀k ∈ Q
∀i ∈ F
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• Introducendo una variabile di slack (per visualizzare nel risultato
quanto margine c’è rispetto il limite massimo)
qsik = slack rispetto il max livello di k del prodotto i
∑ q jk ⋅ uij + qsik = quik ⋅ x i ∀i ∈ F, ∀k ∈ Q
j∈M
qsik ≤ (quik − qlik ) ⋅ x i
∀i ∈ F, ∀k ∈ Q
La formulazione con Lingo
MODEL:
TITLE BLEND;
.....
END
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SETS:
! Materie prime;
RAWMAT/ BUTANE, CATREF, NAPHTHA/: AVAIL, COST;
! Prodotti finiti (batch è la variabile x );
FINGOOD/ REGULAR, PREMIUM/: MINREQ, MAXSELL, PRICE,
BATCH;
! Qualità ;
QUALMES/ OCTANE, VAPOR, VOLATILITY/;
....
SETS:
....
! Misura della qualità unitaria delle materie prime ;
RXQ( RAWMAT, QUALMES): QLEVEL;
! Specifiche livelli minimi e massime delle qualità dei prodotti ;
! Definizione delle variabili slack di qualità ;
QXF( QUALMES, FINGOOD): QUP, QLOW, QSLACK;
! Miscelazione: quantità di materie prime usate nei prodotti ;
RXF( RAWMAT, FINGOOD): USED;
ENDSETS
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DATA:
! Disponibilità materie prime ;
AVAIL = 1000, 4000, 5000;
! Costi materie prime;
COST = 7.3, 18.2, 12.5;
! Parametri di qualità materie prime ;
QLEVEL = 120, 60, 105,
100, 2.6, 3,
74, 4.1, 12;
! Limiti domanda prodotti finiti ;
MINREQ = 4000, 2000;
MAXSELL = 8000, 6000;
...
DATA: ...
! Prezzi prodotti finiti ;
PRICE = 18.4, 22;
! Specifiche minime e massime sulla qualità dei prodotti finiti ;
QUP = 110, 110,
11, 11,
25, 25;
QLOW = 90, 95,
8, 8,
17, 17;
ENDDATA
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La formulazione con Lingo - Vincoli
! Disponibilità materie prime ;
@FOR( RAWMAT( R):
[RMLIM] @SUM( FINGOOD( F): USED( R, F)) <= AVAIL( R);
);
La formulazione con Lingo - Vincoli
@FOR(FINGOOD(F):
! Produzione totale (batch);
[BATCOMP] BATCH(F) = @SUM(RAWMAT(R): USED(R, F));
! Limiti minimi e massimi della produzione (batch);
@BND(MINREQ, BATCH, MAXSELL);
! Vincoli sulla qualità dei prodotti finiti ;
@FOR(QUALMES(Q):
[QRESUP] @SUM(RAWMAT(R): QLEVEL(R, Q) * USED(R, F))
+ QSLACK(Q, F) = QUP(Q, F) * BATCH(F);
[QRESDN] QSLACK(Q, F) <=
( QUP(Q, F) - QLOW(Q, F)) * BATCH(F);
);
);
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La formulazione con Lingo - Obiettivo
! Massimizzazione del profitto;
[OBJECTIVE] MAX =
@SUM(FINGOOD: PRICE * BATCH) –
@SUM(RAWMAT(R): COST(R) * @SUM(FINGOOD(F): USED(R, F)));
• ... provare ad eseguirlo ed ad interpretare il risultato...
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