Lista di esercizi 1

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
Corso di Laurea in Biotecnologie
Corso di Statistica, anno 2010-11
P.Baldi
Lista di esercizi 1.
Esercizio 1 La misurazione di un certo carattere in un campione di 9 individui ha prodotto
i valori
1, 2, 2, 4, 4, 5, 9, 11, 14
Qual è la media di queste misurazioni ? Qual è la mediana ? Calcolare il primo e terzo
quartile. A vostro avviso si tratta di un campione simmetrico rispetto alla media? Quanto
è ampio l’intervallo interquartile ?
Esercizio 2 Si considerino le seguenti misurazioni di un certo carattere in due popolazioni
diverse. Determinare per ciascuna la mediana e l’ampiezza dell’intervallo interquartile. Per
quale delle due popolazioni la dispersione delle misurazioni appare maggiore ?
(Osservare che le misurazioni sono ordinate in modo crescente. La prima comprende 21
osservazioni, la seconda 29).
1.86 2.19 3.70 4.55 5.08 5.12 5.82 7.42 7.70 8.77 10.27 11.57 12.08 13.62 14.21
14.65 15.3 15.84 19.04 24.67 25.71
1.49 2.51 4.04 4.86 4.87 5.72 6.19 6.50 6.77 7.00 7.09 7.37 8.14 8.21 9.24
10.59 10.97 11.09 11.13 11.46 11.9 12.34 12.94 13.02 16.12 18.07 20.54 22.18 25.9
Esercizio 3 fiori di iris virginica presentano un numero di sepali variabile. Un campione di
questi fiori viene scelto a caso e per ciascuno viene contato il numero di sepali. I risultati
sono riportati nella tabella seguente.
numero di sepali effettivi
98
7
260
8
9
236
107
10
13
11
a) Quanti individui (cioè fiori) compaiono nel campione ?
b) Qual è la frequenza della modalità 10 ? (cioè per quale proporzione d’individui del
campione è stato osservato un numero di sepali pari a 7 ?)
c) Qual è il numero medio di sepali ?
d) Qual è la mediana ?
Esercizio 4 Un numero viene scelto a caso tra 1 e 10n .
a) Qual è la probabilità che sia un multiplo di 5 ?
b) Qual è la probabilità che sia un multiplo di 5 ma non di 25?
Esercizio 5 In un gioco il giocatore e il banco lanciano entrambi un dado. Il giocatore vince
solo se il suo numero è strettamente più grande di quello del banco. Qual è la probabilità
che il giocatore vinca ?
Esercizio 6 10 persone s’incontrano in un viaggio organizzato che dura 16 giorni.
a) Uno dei partecipanti dice ‘‘La probabilità che ci sia almeno uno del gruppo che
festeggia il compleanno durante il viaggio è molto alta’’. Cosa ne pensate ?
b) Quanto dovrebbe durare il viaggio perché la probabilità che almeno uno dei 10
partecipanti festeggi il compleanno durante il viaggio sia ≥ 50% ? ≥ 90% ?
c) Quanti dovrebbero essere i partecipanti perché durante i 16 giorni del viaggio uno
di loro festeggi il compleanno durante il viaggio con probabilità ≥ 50% ? ≥ 90% ?
Esercizio 7 Una moneta equilibrata viene lanciata 8 volte.
a) Quale delle sequenze
TTTTTTTT
T T T T CCCC
T CT T CT CC
è più probabile ?
b) Rispondere alla stessa questione, supponendo ora che la moneta dia T con probabilità
p = 23 e C con probabilità 1 − p = 31 .
Soluzioni (alcune. . . )
Esercizio 4. a) La cardinalità dell’insieme dei numeri 1, . . . , 10n che sono multipli di 5 è
10n
5 . Dunque, poiché siamo in una condizione di equiprobabilità, la probabilità richiesta è
10n
5
10n
=
1
·
5
n
b) La cardinalità dell’insieme dei numeri 1, . . . , 10n che sono multipli di 25 è 10
25 .
Inoltre l’insieme dei multipli di 25 è contenuto nell’insieme dei multipli di 5. Dunque quelli
n
n
4
n 4
che sono multipli di 5 ma non di 25 sono 105 − 10
25 = 10 25 e la probabilità richiesta è 25 .
Esercizio 5. Indichiamo con Ai l’evento ‘‘il dado del giocatore ha dato i’’, i = 1, . . . , 6 e
con G l’evento ‘‘il giocatore vince’’. È chiaro che P(Ai ) = 61 , perché, per come è posto il
problema, non c’è motivo di non supporre i dadi equilibrati. Evidentemente P(G | A1 ) = 0,
perché se il dado del giocatore dà 1, il giocatore perde qualunque sia il risultato del banco.
Invece se il dado del giocatore dà 2, allora egli vince se il banco ha 1 e perde altrimenti.
Dunque P(G | A2 ) = 16 . In maniera del tutto analoga si trova che
P(G | A3 ) =
1
,
3
P(G | A4 ) =
1
,
2
P(G | A5 ) =
2
,
3
P(G | A6 ) =
5
·
6
Per la formula delle probabilità totali (3.5),
P(G) = P(G | A1 )P(A1 ) + . . . + P(G | A6 )P(A6 ) =
=0·
1
6
+
1
6
·
1
6
+
1
3
·
1
6
+
1
2
·
1
6
+
2
3
·
1
6
+
5
6
·
1
6
=
15
36
=
5
12
= 0.416
Esercizio 6. a) Indichiamo con Ai l’evento ‘‘lo i-esimo partecipante festeggia il compleanno
in uno dei 16 giorni del viaggio’’. Trascurando gli anni bisestili e facendo l’ipotesi che la
probabilità di nascere in un determinato giorno dell’anno sia uniforme, si ha evidentemente
16
P(Ai ) = 365
= 0.044. Il problema consiste nel calcolo di P(A1 ∪ . . . ∪ A10 ). Per come è
posto il problema è ragionevole supporre che gli eventi Ai , i = 1, . . . , 10, siano indipendenti e quindi conviene piuttosto passare al calcolo della probabilità del complementare,
16
:
osservando che evidentemente P(Aci ) = 1 − P(Ai ) = 1 − 365
P(A1 ∪ . . . ∪ A10 ) = 1 − P(Ac1 ∩ . . . ∩ Ac10 ) = 1 − (1 −
16 10
365 )
= 0.36 .
Si tratta di una probabilità non trascurabile, ma non particolarmente alta.
b) Ripetendo il ragionamento del punto precedente, si vede che se i partecipanti fossero
k ed il viaggio durasse n giorni, allora la probabilità che uno dei compleanni cada durante
il viaggio sarebbe
(1)
1 − (1 −
n k
365 )
.
Per x = 0.5 oppure x = 0.9, dobbiamo risolvere la disuguaglianza
1 − (1 −
n 10
365 )
≥x
che risolta dà
1
n ≥ 365(1 − (1 − x) 10 ) .
Sostituendo i valori x = 0.5 e x = 0.9 si trova n ≥ 25 e n ≥ 76 rispettivamente.
c) Riprendendo la (1), dobbiamo risolvere la disuguaglianza
1 − (1 −
16 k
365 )
≥x
stavolta nell’incognita k. Questa disuguaglianza equivale a
log(1 − x) ≥ k log(1 −
ovvero
k≥
16
365 )
log(1 − x)
log(1 −
16
365 )
(attenzione: quando si divide per il logaritmo di una probabilità bisogna sempre cambiare il
verso della disuguaglianza, perché il logaritmo di un numero più piccolo di 1 è negativo!).
Sostituendo i valori x = 0.5 e x = 0.9 si trova k ≥ 16 e k ≥ 52 rispettivamente.
Esercizio 7. a) La probabilità di ottenere T in un singolo lancio è 21 , così come quella
di ottenere C. Poiché gli esiti di lanci successivi sono da considerarsi indipendenti la
probabilità di ottenere T T T T T T T T sarà uguale a
1
1 1 1 1 1 1 1 1
× × × × × × × = 8 = 2−8
2 2 2 2 2 2 2 2
2
Lo stesso ragionamento ripetuto per le altre due sequenze dà probabilità 2−8 anche ad esse.
Si vede anzi che tutte le sequenze di 8 T o C sono equiprobabili (anche se alcune sembrano
‘‘più casuali’’ di altre).
b) Ora le probabilità sono
28
2 2 2 2 2 2 2 2
× × × × × × × = 8
3 3 3 3 3 3 3 3
3
2 2 2 2 1 1 1 1
24
T T T T CCCC →
× × × × × × × = 8
3 3 3 3 3 3 3 3
3
24
2 1 2 2 1 2 2 2
× × × × × × × = 8
T CT T CT CC →
3 3 3 3 3 3 3 3
3
TTTTTTTT →
La prima sequenza è la più probabile. In generale sono più probabili le sequenze con più T .