W - Dipartimento di Strutture per l`Ingegneria e l`Architettura

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI
“FEDERICO II”
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA STRUTTURALE
TESI DI LAUREA
Modellazione Numerica d’Elementi Strutturali
Sottoposti a Carichi da Esplosione
Relatori
Ch. mo Prof. Ing. Gaetano Manfredi
Ch. mo Prof. Ing. Andrea Prota
Candidato
Giuseppe Della Porta
Matr. 437/99
Correlatore
Ing. Domenico Asprone
ANNO ACCADEMICO 2005 – 2006
A quanti hanno saputo
sostenermi con amore, spirito
di sacrificio e sopportazione, a
voi tutti va la mia gratitudine e
il mio affetto
“È la somma che fa il totale”
Principe Antonio de Curtis
In arte Totò
INDICE
Indice
Introduzione ______________________________________ 7
Capitolo 1 _______________________________________ 10
Caratterizzazione dell’esplosione ____________________ 10
1.1 – Propagazione dell’onda d’urto (Shock Waves)__________________________ 12
1.1.1 – Esplosione al suolo_____________________________________________________14
1.1.2 – Esplosione in Aria _____________________________________________________16
1.1.3 –L’esplosione in centri abitati ______________________________________________23
1.2 – Inneschi__________________________________________________________ 26
1.3 – Dispositivi Esplosivi ________________________________________________ 28
1.4 – Materiali Esplosivi _________________________________________________ 30
Esplosivi Semplici ___________________________________________________________31
Esplosivi Composti __________________________________________________________33
Capitolo 2 _______________________________________ 36
Descrizione di un test d’esplosione su una piastra in c.a. _ 36
2.1 – Descrizione della Prova Sperimentale _________________________________ 37
2.2 – Evidenze Sperimentali______________________________________________ 41
2.3 – Finalità della Prova Sperimentale ____________________________________ 43
Capitolo 3 _______________________________________ 44
Modellazione delle azioni prodotte dall’esplosione. _____ 44
3.1 – Curva di pressione adottata _________________________________________ 46
Coefficiente d’equivalenza_____________________________________________________47
Distanza Ridotta Z ___________________________________________________________48
Picco di Pressione Δp(Z) ______________________________________________________50
Coefficiente Sperimentale α. ___________________________________________________50
Durata della Fase Positiva t+ ___________________________________________________51
Curva di Pressione P(Z, t) _____________________________________________________52
Capitolo 4 _______________________________________ 60
Metodi di Discretizzazione__________________________ 60
4.1 – Finite Element Method (FEM) _______________________________________ 60
4.2 – Classificazione dei Metodi Particellari ________________________________ 65
4.3 – Applicazione dei Metodi Particellari __________________________________ 68
4.4 – Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) _____________________________ 69
4.4.1 – Metodi d’interpolazione SPH _____________________________________________72
4.4.2 – Teoria d’Approssimazione SPH ___________________________________________78
4.4.3 – Approssimazione di Derivate SPH_________________________________________80
Formula gradiente I ________________________________________________________80
Formula gradiente II _______________________________________________________81
4
INDICE
Formula gradiente III_______________________________________________________82
Equazione di continuità in SPH_______________________________________________85
Equazione del Moto in SPH _________________________________________________86
Equazione dell’energia in SPH _______________________________________________89
4.4.4 – I limiti del Metodo SPH _________________________________________________91
Instabilità di tensione_______________________________________________________91
Condizioni di vincolo ______________________________________________________95
Capitolo 5 _______________________________________ 97
Modellazione Numerica con LS-Dyna Version 970. _____ 97
5.1 - Software LS-Dyna Version 970 _______________________________________ 97
5.2 – Modellazione della Prova Sperimentale_______________________________ 101
5.2.1 – Modello FEM ________________________________________________________102
5.2.2 – Modello SPH ________________________________________________________111
Capitolo 6 ______________________________________ 117
Legami Costitutivi del Calcestruzzo _________________ 117
6.1 – Pseudo – Tensor(Mat_016) _________________________________________ 117
6.2 – Concrete Damage (Mat_072) _______________________________________ 125
6.2.1 – Parametri che definiscono le superfici di rottura _____________________________128
6.4 – Dynamic Increase Factor (DIF) _____________________________________ 137
•
Cowper and Symonds. __________________________________________________139
•
Legame Tensione-Deformazione Parametrico. _______________________________139
•
Curva di Strain-Rate. ___________________________________________________140
6.4.1 – Definizione della Curva di Strain-Rate ____________________________________140
6.4.2 – Origini della formulazione CEB-FIP ______________________________________141
6.3 – Equation of State Form 8 (Tabulated Compaction) _____________________ 149
Capitolo 7 ______________________________________ 161
Risultati delle Simulazioni Numeriche _______________ 161
7.1 – Prova Sperimentale I e II __________________________________________ 162
•
•
•
•
Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid, Prova 1: ________163
Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH, Prova 1: _________166
7.2 – Prova Sperimentale III ____________________________________________ 169
•
•
7.3 – Prova Sperimentale IV ____________________________________________ 181
CONCLUSIONI _________________________________ 186
Indice delle Figure _______________________________ 191
Indice dei Grafici ________________________________ 192
Indice delle Tabelle_______________________________ 193
5
INDICE
Bibliografia _____________________________________ 195
Ringraziamenti __________________________________ 198
6
INTRODUZIONE
Introduzione
Nel campo dell’Ingegneria Civile si assiste ad un sempre crescente
interesse nei confronti delle azioni dinamiche prodotte da esplosioni
applicate alle strutture.
Infatti, i recenti attacchi terroristici portati al cuore del mondo
occidentale negli ultimi anni, hanno fatto sì che si alzassero i livelli di
guardia dei paesi maggiormente colpiti ed interessati.
La crescente preoccupazione dei paesi occidentali, ha quindi focalizzato
l’attenzione sull’argomento della protezione di quelle strutture che, per
le proprie sensibilità strategiche e sociali, rientrano tra i probabili
obiettivi terroristici. Tra queste si annoverano le ambasciate, le sedi di
governo, le basi militari e logistiche, ma anche scuole, ospedali, stadi,
centri commerciali, luoghi di grande affollamento tra cui anche
metropolitane, aeroporti e mezzi di trasporto collettivi.
Lo stesso ambito scientifico si è adoperato per caratterizzare il
comportamento di tali strutture sottoposte a carichi dinamici d’elevata
intensità e breve durata, quali sono quelli prodotti dalle esplosioni.
Il problema si presenta al quanto complesso, e si può articolare in tre
diversi aspetti fondamentali, che sono così elencati:
• Valutazione dei carichi dinamici prodotti da un’esplosione ed
applicati su un elemento strutturale;
• Caratterizzazione del comportamento meccanico dei materiali per
uso strutturale, sottoposti a carichi dinamici d’elevata intensità;
• Individuazione
ed
implementazione,
mediante
l’uso
del
calcolatore, di un metodo d’analisi numerico per la descrizione e
soluzione del problema fisico-meccanico così definito.
7
INTRODUZIONE
Per quanto concerne la valutazione delle azioni prodotte da
un’esplosione, queste possono essere definite da curve di pressione
d’elevate intensità ma di durata ridottissima. Di quest’onda di pressione
è possibile considerare una fase positiva di sovrapressione e una negativa
di depressione.
Sperimentalmente si è potuto osservare come il calcestruzzo e l’acciaio,
sottoposti a carichi dinamici d’elevata intensità, presentino dei valori di
resistenza meccanica maggiori rispetto a quelle calcolate in condizioni di
carico quasi statiche. Ad oggi ancora non appare chiaro il motivo fisico
in virtù del quale si manifesta quest’incremento di resistenza.
Ciononostante, per la modellazione di un elemento strutturale realizzato
in c.a. non si può prescindere dal considerare tal effetto, che va sotto il
nome di Strain-Rate-Sensitivity.
Le metodologie d’analisi maggiormente impiegate, per la descrizione del
fenomeno fisico, prevedono una complessa discretizzazione del
continuo. A tal fine, è possibile distinguere diversi gruppi di metodi, tra
cui:
• Lagrangiani,
utilizzati
soprattutto
per
la
discretizzazione
d’elementi solidi, e per la risoluzione di problemi meccanici, in
cui si osservano deformazioni non eccessivamente elevate;
• Euleriani, utilizzati soprattutto in fluidodinamica, e a differenza
dei precedenti offrono la possibilità di trattare problemi che
prevedono grandi deformazioni;
• ALE (Arbitrarian Lagrangian Eulerian), consentono di trattare
deformazioni di qualsiasi entità, la loro precisione è funzione di
quanto sia corretta la previsione delle deformazioni attese;
8
INTRODUZIONE
• SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), appartengono ai metodi
di tipo Meshfree, discretizza il continuo mediante un numero finito
d’elementi particellari.
L’oggetto del lavoro di tesi risiede nell’affrontare ognuna delle
problematiche in precedenza descritte. Ragion per cui, si è scelto di
modellare numericamente una prova sperimentale condotta su una
piastra in c.a. sottoposta a carichi da esplosione. Nei capitoli successivi
si descriveranno le metodologie adottate per il calcolo delle azioni
esercitate sull’elemento strutturale prodotte dall’esplosione, e quelle
utilizzate per la discretizzazione e l’analisi numerica della prova
simulata.
Inoltre, si farà un esplicito riferimento al codice di calcolo impiegato per
la suddetta modellazione, e sulle scelte riguardanti il legame costitutivo
implementato al fine di modellare il calcestruzzo armato, in modo tale da
poter considerare il già menzionato effetto di Strain-Rate-Sensitivity.
A conclusione della tesi si riporteranno i risultati ottenuti mediante
l’utilizzo di due diversi metodi d’analisi, tra cui il tradizionale metodo
degli elementi finiti (FEM), che rientra tra i metodi Lagrangiani prima
citati, e il più innovativo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH).
Dal confronto operato tra i risultati conseguiti mediante i due metodi
d’analisi, e tra gli stessi e quelli ottenuti in seguito alle prove
sperimentali se ne trarranno le successive conclusioni.
9
CAPITOLO 1 – CARATTERIZZAZIONE DELL’ESPLOSIONE
Capitolo 1
Caratterizzazione dell’esplosione
L’esplosione è definita come un improvviso e violento rilascio d’energia
meccanica, chimica o nucleare, normalmente con produzione di gas ad
altissima temperatura e pressione[1]. Questo rilascio d’energia si
attribuisce ad una trasformazione dello stato di una massa gassosa, solida
o liquida, impiegata per la costruzione della carica esplosiva. Per Energia
Meccanica s’intende la somma dell’energia Cinetica e di quella
Potenziale, mentre l’Energia Chimica è causata della formazione o
rottura di legami chimici di qualsiasi tipo. Con Energia Nucleare
s’intendono tutti quei fenomeni in cui si ha la produzione di energia in
seguito a trasformazioni nei nuclei atomici, quali possono essere fissioni
o fusioni nucleari. I volumi di gas prodotti dall’esplosione sono circa
10000-30000 volte quelli iniziali, la temperatura che ne consegue
raggiunge i 3000 gradi centigradi, mentre la pressione si aggira intorno
alle 20000 atm con picchi di 150000 atm[2]. Il gas d’esplosione, ad
elevata temperatura e pressione, si propaga nell’ambiente circostante
sotto forma di un onda d’urto, che in assenza d’ostacoli si espande come
una superficie sferica centrata nel centro dell'esplosione. Incontrando
degli ostacoli esercita su di loro una forza tanto maggiore quanto la
superficie investita, e quanto più vicina al centro dell'esplosione [1].
L’effetto distruttivo di un’esplosione dipende da vari fattori tra cui la
velocità dell’esplosione, il calore e i gas da lei prodotti, e chiaramente
dalle pressioni realizzabili.
Di conseguenza gli effetti prodotti da esplosivi d’uso militare e civile
sono chiaramente differenti, avendo caratteristiche diverse in particolar
modo gli esplosivi militari tra cui quelli plastici, come il C-4, hanno un
10
enorme potere distruttivo legato soprattutto alla loro elevata velocità di
detonazione, all’effetto prodotto dall’onda di pressione sviluppata
dall’esplosione, e in misura minore agli effetti prodotti dalle schegge. Gli
esplosivi commerciali d’uso civile, impiegati per la demolizione di
strutture esistente o per l’apertura di scavi in roccia, sono solitamente
utilizzati con cariche intasate, in altre parole introdotte in fori realizzati
nella roccia o nel terreno.
Le esplosioni chimiche sono suddivise in deflagrazioni, nelle quali la
propagazione della reazione chimica d’esplosione è una forma di
combustione che procede nel materiale a velocità subsonica, e
detonazioni, nelle quali la reazione chimica d’esplosione non è una
combustione ma una decomposizione diretta della molecola d’esplosivo,
innescata direttamente dall'onda d'urto, la reazione d’esplosione procede
quindi alla velocità del suono in quella particolare sostanza attraverso
tutto il materiale, e la pressione e temperatura finale dei prodotti di
reazione sono quindi molto più elevati [1]. Per caratterizzare la potenza
di un esplosivo è possibile condurre una prova sperimentale, che prevede
l’esplosione di una carica all’interno di un blocco di piombo le cui
dimensioni sono standardizzate. Eseguendo in seguito una misurazione
del volume della cavità creatasi al suo interno, è possibile stabilire una
correlazione tra la potenza della gelatina esplosiva, ritenuto uno degli
esplosivi più potenti, con altre tipologie di cariche esplosive, associando
convenzionalmente alla gelatina una potenza pari a 100 [1]. In ambito
militare ma anche in campo civile si preferisce definire un carico
esplosivo equivalente, calcolando dei coefficienti d’equivalenza rispetto
al Trinitrotulene (TNT), per la quale si assume un coefficiente unitario
[1].
11
1.1 – Propagazione dell’onda d’urto (Shock Waves)
I gas ad alta temperatura e pressione, prodotti dall’esplosione, sono
confinati dal mezzo circostante, e si propagano al suo interno sotto forma
di un’onda di pressione. L’onda d’urto produce effetti devastanti sia a
breve sia a lunga distanza.
Gli effetti a lunga distanza sono funzione del mezzo attraverso il quale
avviene la propagazione.
Infatti, la massima pressione del gas d’esplosione, dipende dalle
caratteristiche fisico-meccaniche del mezzo che circonda la carica
esplosiva, che sia aria, acqua o suolo.
In aria si avrà uno spostamento d’aria, in acqua uno scoppio subacqueo,
se invece l’esplosione avviene nel terreno l’onda d’urto si propaga allo
stesso modo delle onde sismiche, arrecando quindi danni alle strutture
adiacenti cosi come alle persone a contatto con la superficie investita
dall’onda.
L’eventuale presenza di una superficie di separazione, tra il gas prodotto
dall’esplosione, e il mezzo attraverso il quale si propaga, produce al
tempo stesso una riflessione e una trasmissione dell’onda di pressione al
mezzo circostante (area o acqua).
L’onda di riflessione, si muove in verso opposto all’onda di detonazione.
Questa riflessione può essere di compressione o di rarefazione, a seconda
che la densità del mezzo di propagazione è maggiore o minore di quella
del gas d’esplosione [2].
Ad esempio, se la carica è applicata su una piastra infinitamente rigida di
calcestruzzo armato, siccome la densità della piastra è molto maggiore
rispetto a quella del gas prodotto dall’esplosione, l’onda di riflessione
sarà di pressione, ed interamente rivolta verso l’alto.
12
Allo stesso modo, l’intensità della pressione dell’onda trasmessa al
mezzo circostante, è funzione della densità del mezzo. In ogni caso,
all’aumentare della distanza dal centro d’esplosione, l’intensità di
pressione tende a diminuire.
L’onda esplosiva genera inizialmente una sovrapressione e in seguito in
tempi più lunghi una depressione nota come risucchio, dovuta all’aria
che torna violentemente verso il centro dell’esplosione. Gli effetti
prodotti dall’azione combinata di queste due onde sono molto distruttivi,
in quanto in alcuni casi la sola onda di pressione che impatta su un
oggetto, quale può essere ad esempio un pannello in muratura, provoca
su di lui inizialmente delle semplici lesioni, senza alterare la propria
staticità, sarà poi l’onda di risucchio a provocarne il successivo crollo.
Tutto ciò avviene in un periodo di tempo dell’ordine di grandezza di
pochi millisecondi, tale da non far apprezzare l’effetto prodotto dalle due
onde singolarmente.
Gli effetti prodotti a breve distanza sono invece da attribuire ad onde
d’urto pulsanti, le quali attraversano e si riflettono sulle superfici libere
degli oggetti incontrati, provocando su di loro un incremento delle
tensioni che ne determina la rottura. A questi si sommano gli effetti
prodotti dalle fiammate, dai corpi incandescenti scagliati ad alte velocità,
e dalla propagazione del calore che può essere causa d’incendi e
d’ustioni gravi.
In alcuni casi i danni prodotti a breve distanza possono essere aggravati
dalla presenza all’interno dell’ordigno di chiodi o altri corpi contundenti
(Bomba Sporca), quali schegge di vetro o acciaio di varie dimensioni,
che l’esplosione scaglia ad alte velocità, tra i 1000 e 1500 m/s, possono
provocare lesioni a persone e cose d’entità rilevanti [1].
13
1.1.1 – Esplosione al suolo
Ad esplosione avvenuta, dalle dimensioni radiali del cratere formatosi al
suolo, e note le caratteristiche geotecniche dello stesso, sarà possibile
risalire all’entità del carico esplosivo W.
Noti, infatti, la tipologia del terreno, e con lui le sue caratteristiche
fisiche e meccaniche, attraverso delle relazioni empiriche, è possibile
calcolare il raggio del cratere R, attraverso la seguente espressione:
R = kW n
Dove con R s’indica il raggio del cratere, k è un coefficiente numerico
adimensionale, che assume valori diversi in funzione del tipo di terreno,
W è il peso della carica esplosiva, e infine n è l’indice di potenza
dell’esplosivo stesso [3].
Questa
formulazione
empirica,
ricavata
quindi
dalle
evidenze
sperimentali, è in accordo con la seguente teoria.
Si prenda in considerazione una carica esplosiva, applicata per semplice
contatto sulla superficie del suolo. Indichiamo rispettivamente con W ed
E il suo peso e la sua Energia Specifica di esplosione, ovvero l’energia
rilasciata dall’esplosione stessa.
L’energia specifica necessaria alla rottura di un volume V di terreno sarà:
Er = Vσrεr
Dove,
σr e εr sono rispettivamente la tensione e la deformazione di
rottura del materiale attraversato dall’esplosione. L’energia specifica di
rottura del materiale sarà:
Es = σrεr
14
Dall’uguaglianza di queste due espressioni, ricaviamo il volume di
terreno asportato dall’esplosione, definito come segue:
Er
WβE
=
Es
Es
V =
Sapendo che l’energia necessaria per provocare la rottura di un volume V
di terreno, è uguale all’energia trasferita dalla carica al suolo (K=WβE).
Nell’ipotesi in cui la densità di massa del suolo è inferiore rispetto a
quella del gas prodotto dall’esplosione, approssimativamente si può
considerare un cratere di forma semisferica. Per cui, sapendo che il
volume della sfera si calcola come:
2π R
V =
3
3
Sostituendo nella relazione precedente, ricaviamo l’espressione del
raggio:
R =
3
3E
2π E
β
3
W
= k
3
W
s
Avendo posto:
k =
3
3E
β
2π E s
espresso quindi in funzione delle caratteristiche meccaniche del suolo e
dell’energia d’esplosione della carica[3].
15
1.1.2 – Esplosione in Aria
Si vogliono descrivere gli effetti prodotti da un’esplosione che avviene
in aria libera, considerata puntuale ed istantanea, alla quale corrisponde
il rilascio di una certa quantità d’energia E.
Ciò che interessa definire, è l’incremento di pressione del mezzo
circostante la carica esplosiva, in un dato istante di tempo t, ad una certa
distanza radiale R(t) dal centro d’esplosione, supponendo che sia di tipo
sferico.
Rispetto alle condizioni imperturbate del mezzo, alle quali corrisponde
una certa pressione p1, in seguito al passaggio del fronte d’onda, si avrà
una nuova pressione p2, maggiore di quella iniziale.
L’ipotesi di base è che le trasformazioni di natura termodinamiche
associate all’esplosione, siano adiabatiche, in altre parole comporteranno
uno scambio di calore tra l’ambiente interno, in cui si ha l’esplosione, e
quello esterno, in cui si ha la propagazione della stessa. Inoltre, l’aria
attraverso la quale si propaga l’onda d’urto, è considerata come un gas
politropico, per il qual è vera la seguente espressione:
pvn = cost.
Dove p è la pressione, v è il volume specifico per unità di massa, e n è un
coefficiente numerico adimensionale, che assume valori diversi a
seconda che la trasformazione del gas sia isoterma o adiabatica, in
questo caso essendo adiabatica vale 4,21 [3].
Per definire la velocità, la pressione, e la densità di massa del mezzo
attraversato dal fronte d’onda ad un generico istante di tempo t, sarà
quindi necessario descrivere il moto del gas.
16
Tale moto è univocamente determinato, una volta noti la densità di
massa indisturbata dell’aria ρ1, l’energia sprigionata dall’esplosione E,
ed una volta fissati l’istante di tempo t e la distanza radiale r dal centro
d’esplosione.
Dalla successiva relazione si ricava la posizione radiale del fronte d’onda
ad un generico istante di tempo t:
λ = r (ρ 1 Et
2
)
1
2+k
Dove k è un parametro adimensionale, che assume valore pari a 1, 2, o 3,
a seconda che l’espansione del gas è monodimensionale, bidimensionale
o tridimensionale [3].
Da cui, la posizione radiale dell’onda d’urto all’istante t sarà:
⎛ Et 2
R (t ) = β ⎜⎜
⎝ ρ1
⎞
⎟⎟
⎠
1
2+k
Dove β è una costante adimensionale, definita in funzione del rapporto
politropico γ tra il calore specifico del gas a pressione costante, e a
volume costante dell’aria[3].
Attraverso la precedente relazione, si è quindi in grado di individuare ad
ogni istante, in seguito all’esplosione, la posizione del fronte d’onda.
Noto R(t), si può calcolare la velocità con la quale si propaga l’onda
d’urto nel mezzo circostante, come:
U (t ) =
17
dR
dt
Nel caso in questione si avrà:
2
U (t ) =
β
2+ k
4+k
2
⎛ E
⎜⎜
k
⎝ ρ1R
⎞
⎟⎟
⎠
0 ,5
Bisogna quindi risolvere un sistema di tre equazioni nelle incognite v2,
ρ2, p2, che indica rispettivamente la velocità, la densità di massa, e la
pressione dell’aria in seguito al passaggio del fronte d’onda, ad una
distanza radiale R(t), e all’istante di tempo t [3].
Le equazioni da scrivere per la risoluzione del problema, derivano dal
principio di conservazione della massa, della quantità di moto, e
dell’energia.
Le soluzioni del sistema d’equazioni saranno:
ρ 2 = ρ1
γ +1
γ −1
2U
v2 =
γ +1
p
2
2U 2
=
ρ
γ + 1
1
La sola densità di massa si esprime indipendentemente dalla velocità di
propagazione dell’onda d’urto U [3].
Nota l’espressione della velocità di propagazione del fronte d’onda U,
sostituendola in quella della pressione p2, si ottiene la pressione sul
fronte d’onda:
p
2
= β
4+ k
(2
8E
+ k
) (γ
2
+ 1)
1
R k
Questa sarà quindi espressa in funzione dell’energia specifica
d’esplosione E, del tipo di propagazione espressa mediante k, del
rapporto tra il calore specifico a pressione e a volume costante γ, e della
posizione radiale R [3].
18
La pressione del fronte d’onda è quindi una funzione inversamente
proporzionale della distanza R dal centro d’esplosione.
In particolar modo al variare della costante k, che come già detto assume
valori diversi a seconda che la propagazione del fronte d’urto sia
monodimensionale,
bidimensionale,
o
tridimensionale,
questa
proporzionalità inversa sarà lineare, quadratica o cubica.
Nel caso di propagazione tridimensionale, l’attenuazione della pressione
sul fronte d’onda, sarà ancora più rapida all’aumentare della distanza
radiale dal centro d’esplosione.
Il picco di pressione, in altre parole la massima pressione conseguita in
un punto generico dello spazio, a distanza R dal centro d’esplosione, si
definisce come somma di 4 contributi:
Δp =
A1
A2
A3
+
+
+ A4
2
R
R
R 3
Dove le 4 costanti, A1, A2, A3, e A4, sono determinate attraverso
un’interpolazione lineare dei risultati numerici di prove sperimentali, che
dipendono dal peso della carica esplosiva W, mediante la cosiddetta
Distanza Ridotta, a sua volta definita come:
Z =
3
R
W
Il concetto di distanza ridotta, s’introduce per individuare la distanza dal
centro d’esplosione, alla quale due cariche esplosive, con la stessa
energia specifica d’esplosione, ma con peso differente, W1 e W2,
generano lo stesso effetto in termini di pressione. Analogamente, per due
cariche esplosive con lo stesso peso W, ma con energie specifiche
19
d’esplosione diverse, E1 ed E2, s’individua la distanza alla quale le due
cariche generano la stessa pressione [3].
Nelle applicazioni pratiche, per la valutazione della pressione in un
generico punto dello spazio, individuato dalla distanza ridotta Z dal
centro d’esplosione, e in un generico istante di tempo t, sono impiegate
formulazioni semiempiriche come la seguente:
p (Z ,t) = p
+
y
− p0
t ⎞
⎛
= Δ p ( Z )⎜1 − + ⎟e
t ⎠
⎝
−α
t
t
+
Dove p+y è la massima pressione della fase positiva, p0 è la pressione in
condizioni
indisturbate
del
mezzo
di
propagazione,
pressione
atmosferica nel caso dell’aria, t+ è la durata della fase positiva di
sovrapressione, α è un coefficiente di natura sperimentale definito in
funzione della distanza ridotta Z, e Δp(Z) è il picco di pressione alla
distanza ridotta Z [3].
La durata della fase positiva di sovrapressione, la si può valutare come
segue (M. A. Sadowsky):
t
+
= B ⋅ 10
−3 6
W
R
Dove, il tempo è espresso in secondi, B è una costante che si assume
nella pratica pari a 1,3 [3].
20
p(Kg/cm2)
py+
Fase
positiva
Fase
negativa
p0
px
ta
t+
t(s)
Figura 1. 1 – Andamento qualitativo di una Curva di Pressione prodotta da
un’esplosione.
Per il picco di pressione Δp(Z), è possibile utilizzare diverse
formulazioni d’origini sperimentali, proposte da vari autori, e riferite al
solo TNT.
In ogni caso, tali formulazioni sono estendibili a qualsiasi tipologia
d’esplosivo, mediante l’introduzione di un coefficiente d’equivalenza al
TNT. Questo coefficiente, è calcolato come il rapporto tra il calore
specifico dell’esplosivo in questione, Q, e quello del TNT, QTNT [3]:
q =
Q
Q TNT
Per ognuna di queste espressioni, è possibile definire un campo di
validità in funzione della distanza ridotta Z. Nei rispettivi campi
21
d’applicazione, tra le varie formulazioni sussistono delle differenze.
Nella pratica, si preferisce riferirsi ad un valore medio di quello calcolato
con le singole formulazioni.
Di seguito si riportano le espressioni per il calcolo del picco di pressione,
e i rispettivi campi di validità [3]:
• Brode H.L.
6, 7
+1
Δp ≥ 10 Kg / cm 2
3
Z
0,975 1,455 5,85
Δp ( Z ) =
+
+ 3 − 0,019
Z
Z2
Z
Δp ( Z ) =
0,1 ≤ Δp ≤ 10 Kg / cm 2
• Petrowsky G.I.
Δp ( Z ) =
10 ,7
−1
Z3
Z ≤1
• Sadowsky M.A.
Δp( Z ) =
0,76 2,55 6,5
+ 2 + 3
Z
Z
Z
1 ≤ Z ≤ 15
• Henrich J.
14 ,072 5,5397 0,3572 0,00625
+
−
+
0,05 ≤ Z ≤ 0,3
Z
Z2
Z3
Z4
6,1938 0,3262 2,1324
Δp ( Z ) =
−
+
0,3 ≤ Z ≤ 1
Z
Z2
Z3
0,662 4,05 3, 288
Δp ( Z ) =
+ 2 +
Z ≥1
Z
Z
Z3
Δp ( Z ) =
22
1.1.3 –L’esplosione in centri abitati
Nel momento in cui l’esplosione avviene in un centro abitato, la sua
propagazione in aria può essere descritta come se avvenisse attraverso un
insieme di canali [3]. In questo caso l’onda di sovrapressione incontrerà
strade, piazze ed edifici, che ne determineranno delle riflessioni. Le
strade sono quindi considerate come dei canali lateralmente confinati
dalla presenza degli edifici.
Si supponga di prendere in considerazione un’esplosione di tipo
puntuale, che avviene ad una distanza R0 dalla sezione d’imbocco del
nostro canale. L’onda d’urto prodotta dall’esplosione, inizialmente
sferica, raggiunta la sezione iniziale del canale, si trasforma da sferica in
piana. Questa trasformazione si deve alle riflessioni multiple dell’onda
contro le pareti laterali del canale, e alle sovrapposizioni di queste
ultime. In questo modo gli effetti dell’esplosione si risentono anche a
distanze maggiori rispetto al caso d’assenza d’ostacoli.
E’ interessante determinare la pressione prodotta nell’atmosfera ad una
certa distanza r dal centro d’esplosione. In generale, si può affermare che
questa sia pari a:
p (r ) =
A
r
Dove r è la distanza dal centro d’esplosione, ed A una costante [3].
Se s’indica con r = R1 la distanza dal centro d’esplosione della sezione
iniziale del canale, dove la pressione vale p0, la costante A si calcola
come:
A = R1p0
23
La pressione in una generica sezione x del canale sarà calcolata come:
p(x) =
p 0 R1
R1 + x
Dove, p0 è la pressione calcolata sul fronte d’onda sferico alla distanza
R0 dalla carica esplosiva [3].
Dalla precedente espressione si evince come all’aumentare della distanza
dal centro d’esplosione si abbia una riduzione della pressione prodotta,
essendo questa ultima inversamente proporzionale alla distanza x.
In questa formulazione non si tiene conto del graduale passaggio della
superficie d’onda da sferica a piana, dell’influenza delle onde di
riflessione sulle pareti che limitano lateralmente il canale, e degli effetti
dissipatevi dovuti alla rugosità delle pareti del condotto.
E’ quindi necessario introdurre dei coefficienti correttivi che terranno
conto di questi fenomeni. S’introduce quindi un coefficiente α,
compreso tra 0 e 1, che moltiplicato per R0 riduce la distanza del centro
d’esplosione dalla sezione d’imbocco [3]. Il coefficiente amplificativo
Ω, che tiene conto della sovrapposizione delle onde di riflessione, tale
coefficiente si assume sempre inferiore all’unità. Infine un termine
esponenziale, in funzione del quale all’aumentare della distanza x lungo
il canale, si ha una riduzione della pressione in virtù degli effetti
dissipativi. Sperimentalmente, è possibile dimostrare che tali effetti
dissipativi, siano funzione della rugosità delle pareti laterali del condotto,
espresse mediante un coefficiente di attrito ξ, a sua volta funzione della
dimensione trasversale del canale D, e dell’altezza relativa delle asperità
h [3].
24
L’espressione corretta della pressione prodotta ad una generica ascissa x
del canale sarà [3]:
α p 0 R1
p(x) =
e
Ω (α R 1 + x )
− 0 ,4ξ
x
D
Da questa formulazione, si evince che per ridurre la pressione è
sufficiente aumentare la dimensione trasversale D del canale stesso.
Questo si può fare realizzando delle camere d’espansione, che sono degli
allargamenti della sezione trasversale corrente. A valle di questa camera
d’espansione, nel momento in cui si ha un successivo restringimento del
condotto, la pressione è calcolata come [3]:
⎛ S
p1
= ⎜⎜ 2
p2
⎝ S1
⎞
⎟⎟
⎠
0 ,8
Dove S1 e S2, sono rispettivamente la dimensione trasversale del
condotto prima e dopo l’allargamento, cosi come p1 e p2, sono le relative
pressioni, all’ingresso del canale d’espansione, e nel canale d’uscita,
quest’ultima p2 sarà incognita.
Quando lungo il canale principale, l’onda di sovrapressione incontra
delle curve o delle diramazioni, la pressione che si avrà a valle del
cambio di geometria del condotto, sarà valutata come un’aliquota della
pressione iniziale p1:
p2 = kp1
Dove k è un coefficiente di proporzionalità, che varia tra 0 e 1, e assume
valori diversi in funzione del tipo di diramazione o cambio di geometria
del canale [3].
25
1.2 – Inneschi
Gli Inneschi possono essere realizzati con spolette, corde di detonazione,
micce d’accensione o detonatori, in grado di provocare l’esplosione nei
tempi e nei modi desiderati; molti di questi elementi sono
sufficientemente piccoli da poter essere facilmente nascosti in un veicolo
e quindi passare inosservati ad un controllo [2].
In alcuni casi l’innesco di un esplosivo può indurre ad una reazione a
catena, dovuto all’innesco successivo d’altri esplosivi nelle vicinanze.
Ciò non sempre avviene, in quanto questo fenomeno e vincolato da una
serie di fattori tra cui la distanza e la sensibilità degli esplosivi, la
violenza dell’esplosione e il mezzo attraverso il quasi si propaga.
La scelta del sistema d’innesco dipende non solo dal tipo d’esplosione e
di danno che si vuole provocare ma anche dal tipo d’esplosivo.
Fatta eccezione per la polvere nera che può facilmente essere innescata
mediante l’accensione di una miccia, tutti gli altri esplosivi hanno
bisogno di un detonatore[2].
La detonazione è un fenomeno chimico-fisico costituito da una
esplosione che si propaga ad una velocità supersonica costante, che
genera un'onda d'urto il cui campo di velocità a valle può essere ancora
supersonico (detonazione forte) oppure subsonico (detonazione debole)
[2]. La velocità di detonazione è una funzione della densità del solido
impiegato per la costruzione della carica esplosiva. Superato un certo
limite di densità, la velocità di detonazione tende a diminuire a causa
delle difficoltà con le quali si sviluppano le reazioni chimiche, che sono
artefici della detonazione stessa. I Detonatori utilizzati per innescare gli
esplosivi normali sono solitamente dei tubi sottili d’alluminio o di rame,
contenenti vari tipi d’esplosivi primari e secondari presenti in piccole
26
quantità, che li rendono molto sensibili alle azioni esterne tra cui
percussioni, shock e calore, per tale motivo vanno maneggiati con
cautela e mai trasportati insieme all’esplosivo. Gli esplosivi primari sono
molto sensibili agli urti, agli sfregamenti e al calore, sono usati nei
detonatori per innescare l'esplosivo secondario. Gli esplosivi secondari,
tranne qualche eccezione, non sono sensibili alle sollecitazioni
meccaniche e termiche, e pertanto si possono definire stabili.
I detonatori possono essere innescati a loro volta tramite uno shock non
elettrico, i detonatori non elettrici si ottengono mediante l’accensione di
una miccia vincolata alla sua estremità o da un pezzo di corda di
detonazione, altresì da un detonatore elettrico costituito da un filamento
imbevuto in una miscela incendiaria, che è resa incandescente al
passaggio della corrente elettrica prodotta da una particolare batteria
definita esploditore[2].
Mentre i detonatori non elettrici sono istantanei, quelli elettrici possono
essere dotati di un dispositivo a tempo basato su un segnale elettronico
che agisce a distanza, prodotto ad esempio da un semplice telefono
cellulare, o basato su un periodo di innesco prefissato.
Le spolette a tempo sono per lo più utilizzate per la detonazione
d’ordigni militari (Bombe a Mano) [2].
Una gran varietà di detonatori è facilmente reperibile in commercio e
con varie dimensioni, tra cui le corde di detonazione dette anche micce
ordinarie a lenta combustione, utilizzate per l’innesco non elettrico dei
detonatori stessi o d’altri esplosivi a debita distanza e con sufficiente
ritardo di tempo. Queste sono realizzate con una polvere nera finissima
che non emette odori identificabili, avvolta con un filo in una pellicola o
in uno strato di plastica. Le stesse possono anche essere realizzate
sostituendo alla polvere nera un esplosivo secondario ad alta velocità di
27
detonazione, in questo caso si parla di “miccia detonante“, usata
soprattutto per la detonazione contemporanea di più cariche disposte a
distanza l’una dalle altre.
1.3 – Dispositivi Esplosivi
E’ possibile individuare diverse tipologie di dispositivi esplosivi che si
contraddistinguono per innesco, cariche esplosive e contenitore.
Secondo i loro impieghi, tali ordigni si distinguono in tre diverse
categorie, Militari, Commerciali o Civili ed “Improvvisati“.
Gli Esplosivi Militari, come il trinitrotulene (TNT) e i vari esplosivi
plastici tra cui il C-4, possono essere usati singolarmente o mescolati tra
loro o con altre sostanze, tra cui la polvere d’alluminio, per migliorarne
le prestazioni. Lo stesso esplosivo plastico molto diffuso negli Stati Uniti
si ottiene proprio mescolando esplosivi secondari con sostanze plastiche
quali ad esempio i polimeri sintetici. Questi esplosivi sono caratterizzati
da una densità simile a quella dell’acqua, sono tolleranti alle condizioni
d’umidità e resistenti alle temperature estreme, si presentano sotto forme
e colori diversi fortemente dipendenti dai plastificanti e i coloranti
utilizzati durante il processo di produzione. Data la loro tolleranza agli
ambienti umidi possono essere facilmente nascosti in liquidi acquosi,
facendo attenzione ad evitare i solventi organici nei quali potrebbero
dissolversi.
L’innesco avviene singolarmente o tra più carichi esplosivi attraverso
l’uso di uno o più “blasting cap“ (cappuccio esplosivo) [2].
E’ stato provato che molti attacchi terroristici siano stati realizzati
proprio avvalendosi d’ordigni militari, con la possibilità di nasconderli in
solventi organici, quale il gasolio, a patto di isolare completamente
28
l’esplosivo dal solvente stesso; il beneficio che se ne trae è quello di
confondere l’odore dell’esplosivo rendendolo quindi meno intercettabile
dai controlli di sicurezza tenuti dalle unità cinofile.
Gli Esplosivi Commerciali d’uso civile si distinguono per dimensione,
colore e consistenza, tra solidi e gelatinosi, tra questi maggiormente
impiegati sono gli esplosivi da mina a base di Nitrato di Potassio o
d’Ammonio, e la gelatina esplosiva formata per oltre il 90% da
Nitroglicerina e la restante parte da Cotone Collodio. Questi ultimi si
annoverano tra i più pericolosi, in quanto i rischi sono connessi
soprattutto al trasporto e alla lavorazione, essendo, infatti, la
Nitroglicerina, un materiale esplosivo molto suscettibile agli urti [2].
Tali esplosivi hanno una densità molta variabile, usualmente simile a
quella dell’acqua, ciò li rende tolleranti al contatto con l’acqua stessa,
sebbene alcuni esplosivi commerciali non possono essere detonati in
completa immersione in acqua o in altri solventi. La detonazione avviene
con un singolo “blasting cap“ dato che l’innesco di un solo contenitore di
materiale esplosivo può provocare la detonazione di altri a lui adiacente
(Reazione a Catena) [2].
Gli esplosivi commerciali non hanno una lunga vita utile, soprattutto se
esposti per lunghi periodi ad elevate temperature, le quali possono
provocare la fuoriuscita d’oli esplosivi o d’altri elementi. Molti di questi
esplosivi, ed in particolar modo la Dinamite, emanano un forte odore,
l’esposizione a tali vapori può causare rapidamente un’intensa emicrania
della durata di alcuni minuti.
29
Gli Esplosivi “Improvvisati, sono realizzati clandestinamente e
artigianalmente, il loro potere distruttivo è funzione dei materiali
impiegati e delle abilità tecniche degli stessi produttori.
Tali ordigni presentano notevoli difficoltà, può, infatti, verificarsi una
detonazione prematura o incompleta, oltre che la fuoriuscita di un forte
vapore acido che può corrodere il contenitore metallico dell’esplosivo o
decomporsi quando esposto al calore. I contenitori degli esplosivi
maggiormente utilizzati sono tubi d’acciaio o di plastica con entrambe le
estremità tappate, solitamente di grandi dimensioni e per tanto facili
obiettivi delle tecniche d’ispezione, e per tale motivo sono usualmente
nascosti negli scompartimenti di un veicolo [2].
1.4 – Materiali Esplosivi
I materiali esplosivi, utilizzati per la fabbricazione delle bombe sono di
vario tipo. Questi possono essere distinti tra cariche concentrate e
allungate a seconda che siano ammassate in modo globulare o disposte in
tubi esplosivi. Possono essere interne o esterne a seconda che siano
disposte in cavità realizzate nel corpo da far esplodere o semplicemente
appoggiate su di essi. Si contraddistinguono in funzione delle loro
caratteristiche chimiche, fisiche, del colore e dell’odore. Variano
soprattutto da un luogo all’altro in funzione della loro reperibilità.
Alcune pubblicazioni scientifiche attestano che i migliori materiali
esplosivi rintracciabili negli Stati Uniti sono la Polvere Nera, utilizzata
per la produzione di bombe a tubo, la Dinamite, una miscela di Nitrato di
Ammonio e Oli Combustibili (ANFO), l’esplosivo al plastico (C-4) e il
TNT, questi ultimi due utilizzati soprattutto per operazioni militari. I più
usati esplosivi artificiali sono esplosivi chimici, che normalmente
comprendono una rapida e violenta reazione d’ossidazione che produce
30
una notevole quantità di gas ad alta temperatura. Sono esplosivi molto
versatili, compatti, disponibili in quantità e in ogni tipo.
Le caratteristiche chimiche e fisiche dei materiali esplosivi incidono
chiaramente sui loro vari impieghi, tra cui quelli militari e purtroppo
anche quelli terroristici. Tali caratteristiche influenzano la scelta operata
dai terroristi tra i vari materiali per la costruzione del proprio ordigno, al
fine di sottrarsi ai normali controlli di sicurezza all’interno degli
aeroporti o altri luoghi controllati dai metal detector, ed altri dispositivi
di sorveglianza.
Molti materiali esplosivi appaiono sotto forma di polvere bianca o nera,
solitamente con una struttura di tipo cristallina, ma quando caricate nel
contenitore queste sono generalmente bagnate, al fine di evitare
esplosioni premature, il che può chiaramente appesantirle e conferirgli
una configurazione pastosa.
E’ possibile distinguere diversi esplosivi utilizzati per la fabbricazione di
bombe, tra cui Esplosivi Semplici, come il TNT (trinitrotulene), la
NITROCELLULOSA e la NITROGLICERINA, ed Esplosivi Composti
quali la DINAMNITE, la POLVERE NERA, gli esplosivi plastici (C-4;
SEMTEX) e l’ANFO [2].
Esplosivi Semplici
• Il TNT è il più comune tra gli esplosivi utilizzati per la
produzione d’armi militari, si presenta sotto forma di polvere
cristallina o a fiocchi, di colore variabile tra il giallo e il marrone
acceso, se esposto all’ossigeno e ai raggi ultravioletti può subire
uno scolorimento e una riduzione di stabilità all’impatto, data la
sua composizione può essere sciolto per fargli assumere altre
31
forme, è assolutamente inodore e può essere utilizzato come
componente per molti altri esplosivi.
• NITROCELLULOSA è un materiale altamente infiammabile
costituito da cellulosa e acido nitrico. È più stabile e brucia più
velocemente della polvere nera emettendo gas molto caldi.
Esplode quando innescata, ed è solitamente impiegata per la
produzione di propellente o più semplicemente per il lancio di
proiettili in armi leggere; se asciutta è molto sensibile agli
impatti, all’attrito e alle scintille.
• NITROGLICERINA è un esplosivo molto potente tra i maggiori
elementi utilizzati per la produzione d’ordigni. Allo stato puro si
presenta come un liquido pesante di colore chiaro con la stessa
consistenza di un olio; può essere assorbita dal corpo mediante
inalazione o a contatto con la pelle inducendo stordimento e forte
emicrania, oltre ad emettere fumi molto tossici durante la sua
combustione.
• RDX, conosciuto anche come ciclonite, esogeno o T4. É una
nitroammina, ed è un materiale esplosivo ampiamente usato dai
militari. Si presenta come un solido cristallino di colore bianco.
E’ usato solitamente in miscele con altri esplosivi e plastificanti,
oppure desensibilizzanti. È un esplosivo stabile e si può
conservare per molto tempo se immagazzinato bene. E’
considerato il più potente tra tutti gli esplosivi militari. E’
prodotto
facendo
reagire
l'acido
nitrico
concentrato
sull'esammina, nitrato d’ammonio, acido acetico, ed anidride
32
acetica. Comincia a decomporsi a circa 170°C, brucia piuttosto
che esplodere, per farlo esplodere necessita di un detonatore, ed è
molto sensibile quando cristallizzato a temperature inferiore ai 4°C [4].
Esplosivi Composti
• DINAMITE è un esplosivo commerciale a differenza dei primi
tre, che sono invece d’uso militare, realizzata con materiale
poroso imbevuto con Nitroglicerina ed avvolto in un foglio di
cera, in un cartone o in una pellicola di plastica di colore
variabile secondo il produttore, solitamente confezionata come
un tubo di diverso diametro. La Nitroglicerina impiegata per la
sua realizzazione varia in percentuali comprese tra il 5% e il
90%, conferendogli un forte odore che può provocare immediati
stordimenti; è solitamente innescata con una corda di
detonazione o con un blasting cap.
• POLVERE NERA è un esplosivo chimico tra i più vecchi
conosciuti. Si realizza mediante una miscela di polveri tra cui
Nitrato di Potassio o Nitrato di Sodio, Carbone di Legna e Zolfo.
Il suo colore varia tra il nero e il marrone ed appare sottoforma di
polvere sottile o granulare. E’ solitamente arricchita con della
grafite che ha il compito di ridurre l’attrito tra i singoli granuli
che potrebbe anche provocarne l’innesco accidentale, dato che
questo materiale risulta molto sensibile all’attrito oltre che al
calore, all’impatto e alle scintille, ciò fa di questo materiale
esplosivo uno dei più pericolosi da maneggiare. Inoltre, risulta
33
essere sensibile all’elettricità, pertanto deve essere lavorato con
attrezzi di legno o di plastica a bassa conducibilità elettrica. Deve
essere conservata asciutta data la sua sensibilità all’acqua e
all’umidità che ne possono compromettere il corretto innesco.
• C-4, noto anche come esplosivo al plastico per la sua
composizione e modalità d’applicazione, è anch’esso un
esplosivo usato per scopi militari, in particolar modo come carico
per le demolizioni. E’ costituito da un materiale esplosivo (RDX)
arricchito con degli additivi che lo rendono simile ad uno stucco
facile da modellare. La peculiarità di quest’esplosivo è
chiaramente la sua flessibilità che lo rende facile da modellare e
da applicare su superfici irregolari, oltre che a un’elevata velocità
di detonazione.
• SEMTEX è un esplosivo plastico al pari del C-4 prodotto
originariamente nell’Europa dell’Est, è costituito da due
esplosivi il RDX e il PETN, arricchiti anch’essi con additivi che
lo rendono flessibile e malleabile, è assolutamente inodore e
caratterizzato da un colore che varia tra il giallo e il nero, preso
singolarmente è un materiale relativamente innocuo che può
facilmente essere manipolato. Per la sua detonazione si usa
solitamente un blasting cap o una corda di detonazione. La sua
vita utile si aggira intorno ai 10 anni oltre i quali iniziano a
perdere la sua flessibilità diventando friabile o rigido.
• ANFO è composto di una miscela di Nitrato d’Ammonio e Oli
Combustibili. Il Nitrato è solitamente di colore bianco, ha una
34
forma simile a quella di un fertilizzante ed è spesso imballato in
contenitori impermeabili che servono ad evitare che possa
perdere il suo potere e sensitività all’aumentare dell’umidità.
Alcune variazioni si possono ottenere mescolando il Nitrato
d’Ammonio con Enitrometano o con lo Zolfo. Ha una densità
pari a circa l’85% di quella dell’acqua, non è sensibile alle
temperature estreme e ciò nonostante deve essere tenuto asciutto
e non può quindi essere nascosto in acqua [4].
Si riporta di seguito, una tabella illustrativa dei parametri d’alcuni
esplosivi classici sopra elencati [3]:
Esplosivo
Volume
specifico
d’Esplosione
V [l/Kg]
Calore
specifico
d’Esplosione
Q [Kcal/Kg]
Temperatura
d’Esplosione
T [°C]
Velocità di
Detonazione
D [m/s]
Nitroglicerina
717
1470
4110
8000
Esogeno
908
1500
3850
8300
TNT
728
1000
2950
6800
Fulminato di
Mercurio
304
368
4810
5400
Dinamite (62%)
634
1200
4040
6600
Tabella 1. 1 – Parametri che caratterizzano fisicamente alcuni materiali esplosivi
35
CAPITOLO 2 - DESCRIZIONE DI UN TEST D’ESPLOSIONE SU UNA PIASTRA IN C.A.
Capitolo 2
Descrizione di un test d’esplosione su una piastra in c.a.
Oggetto della tesi è stata la modellazione numerica di una piastra in c.a.
sottoposta all’azione di un carico dinamico prodotto da un’esplosione.
A tale fine, è stato necessario avvalersi dei risultati di una prova
sperimentale, condotta presso il Dipartimento d’Ingegneria Civile,
Architettonica ed Ambientale, dell’Università del Missouri-Rolla (USA).
Realizzata per opera degli Ingegneri Pedro F. Silva, Binggeng. Lu &
Antonio Nanni [5].
Nel caso specifico si tratta di una condizione d’esplosione (blast), di cui
si vogliono descrivere gli effetti prodotti in termini di pressione,
attraverso l’uso di una trattazione numerica di seguito riportata.
Operando il confronto tra i risultati noti a priori del test sperimentale, e
quelli della modellazione numerica, si ha la possibilità di verificare
l’accuratezza della simulazione, che sarà tanto più attendibile, quanto
maggiore sarà la fedeltà nella riproduzione della prova, e nel
conseguimento di risultati simili a quelli ottenuti empiricamente.
La simulazione numerica, è stata realizzata utilizzando il software di
calcolo LS-DYNA Version 970 [11]. Il programma, è stato impiegato con
il fine di implementare un metodo di calcolo numerico, per la
discretizzazione prima e la risoluzione analitica poi, dell’elemento
strutturale.
Tra i possibili metodi a disposizione, si è scelto di implementare un
Metodo Particellare di tipo Meshfree, in particolare lo Smoothed
Particle Hydrodynamics (SPH) [7]. Utilizzando lo stesso software, si è
potuto ripetere la stessa simulazione, implementando un altro metodo di
calcolo, il più tradizionale Metodo degli Elementi Finiti (FEM) [6].
36
In seguito, si è operato un confronto tra i risultati ottenuti, con i due
diversi metodi impiegati, al fine di capire quale tra questi meglio si
presta per la modellazione di un elemento strutturale sottoposto a carico
da esplosione.
2.1 – Descrizione della Prova Sperimentale
Il test si è svolto sottoponendo all’azione di un carico dinamico, una
piastra in calcestruzzo armato. La sollecitazione dinamica è stata
prodotta dalla detonazione di una carica esplosiva di peso W, sospesa in
aria alla distanza R dal centro dell’elemento. Il materiale esplosivo
utilizzato è l’RDX (Esogeno), considerato tra i più potenti esplosivi d’uso
militare.
Di seguito si descrivono:
• Caratteristiche Geometriche della piastra in c.a.
Le dimensioni in pianta sono 48x48 in (1,2x1,2 m), mentre lo
spessore è di 3,5 in (0,0875 m). Le armature metalliche
bidirezionali, sono disposte sul fondo della piastra, con copriferro
di 0.5 in (0,0125 m). Le barre hanno sezioni trasversali di 0.11 in2
(φ9), e interasse di 6 in (0,15 m). Si ha quindi una percentuale
d’armatura in entrambi le direzioni di 0,528%.
• Condizioni di vincolo;
I campioni di prova sono stati appoggiati su due travi parallele
d’acciaio, con sezione a doppia T, le cui flangie avevano una
larghezza di 6 in (0,15 m). Si possono osservare su entrambe le
travi d’acciaio due file di spinotti metallici, a cui la piastra è stata
37
vincolata, e che formano in questo modo un incastro su entrambi i
bordi esterni.
B
y
0,15
1,2
φ9/15 cm
A
1,2
A
x
0,09
B
Sezione A-A ; B -B
0,15
9φ9
Figura 2. 1 – Caratteristiche Geometriche della piastra, e dell’armatura metallica.
Figura 2. 2 – Setup di Prova.
38
Come si può notare, la piastra oltre ad essere geometricamente
simmetrica, rispetto ad una coppia di assi cartesiani con origine nel
centro, lo è anche nei confronti delle condizioni di vincolo e di carico,
essendo la carica esplosiva applicata nel centro della piastra, ed essendo
questa ultima semplicemente appoggiata su due lati.
Di seguito si riportano, le proprietà dei materiali usati per la prova
sperimentale [5]:
Materiali
Strain-rate [sec-1]
Modulo di
Elasticità di
Young E [Kg/cm2]
Rapporto di
Poisson ν
Acciaio
100
2,90E+07
0,3
Calcestruzzo
100
3,78E+06
0,2
Tabella 2. 1 – Proprietà elastiche dei materiali impiegati per la costruzione della
piastra, allo Strain-Rate di 100 sec-1.
Calcestruzzo
Tensione di
Rottura a
Compressione
[Kg/cm2]
Tensione di
Rottura a
Trazione [Kg/cm2]
Deformazione
Ultima εu [‰]
717,13
195,8
4,76
Tabella 2. 2 – Proprietà dinamiche del calcestruzzo allo Strain-Rate di 100 sec-1.
Acciaio
Strain-rate [sec-1]
Tensione di
Snervamento
[Kg/cm2]
1,00E-04
3958,28
174
5582,37
Tabella 2. 3 – Tensione di Snervamento dell’acciaio, per due diversi valori di StrainRate.
39
Mentre per il calcestruzzo sono fornite le sole proprietà dinamiche
(Strain-Rate di 100 sec-1), per l’acciaio, si fa distinzione tra la tensione
di snervamento calcolata per condizioni di carico quasi statiche (StrainRate 1,00E-04 sec-1), e per le condizioni di carico dinamiche (StrainRate 174 sec-1). Da questi dati si nota un incremento della tensione di
snervamento del materiale, all’aumentare della velocità di deformazione
ε [sec-1], mentre il modulo di elasticità si mantiene costante.
Note le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo per condizioni di
carico dinamiche, sono state da queste derivate le stesse caratteristiche in
condizioni quasi statiche. Utilizzando la formulazione proposta dal
bollettino CEB-FIP Model Code 1990 [20].
Ottenendo i seguenti risultati:
Materiali
Modulo
d’Elasticità di
Young E
[Kg/cm2]
Modulo
d’Elasticità
Tangenziale G
[Kg/cm2]
Calcestruzzo
179843,71
74934,88
Tensione di
Rottura a
Calcestruzzo Compressione
[Kg/cm2]
212,65
Tensione di
Rottura a
Trazione
[Kg/cm2]
28,67
Tabella 2. 4 – Proprietà del calcestruzzo, per velocità di deformazione quasi statica.
40
2.2 – Evidenze Sperimentali
Si riportano ora i risultati delle prove eseguite, in termini di danno
prodotto [5]:
Test
Peso della carica
esplosiva RDX.
W [Kg]
Distanza della
carica dal
centro della
piastra. R [m]
Livello di Danno
prodotto
1
0,10
0,91
I (No Cracking)
2
0,50
0,91
II (Minor Cracking)
3
0,90
0,30
III (Major Cracking)
4
1,71
0,20
IV (Severe Damage)
Tabella 2. 5 – Condizioni di carico ed Evidenze Sperimentali ad esse associate.
Dalle evidenze sperimentali si evince, che all’aumentare dell’entità del
carico, e contemporaneamente al ridursi della distanza tra la piastra e il
centro d’esplosione, si osservano danni crescenti in termini di
fessurazione, fino a giungere alla condizione di rottura dell’elemento.
Nelle immagini successive, sono raffigurati i risultati delle prove 3 e 4:
Figura 2. 3 – Immagine della piastra in seguito alla terza Prova.
41
Figura 2. 4 – Immagini della piastra in seguito alla quarta Prova.
Si osserva che:
• Al seguito della prima prova non si riscontrano danni percepibili;
•
Nel secondo caso si osservano piccole lesioni d’entità in ogni
modo non apprezzabili;
• Nel terzo caso la piastra presenta fessure rilevanti. Il quadro
fessurativo che si presenta in questo caso è caratterizzato da
lesioni radiali, che dal centro della piastra, ovviamente
maggiormente sollecitata perché nelle immediate vicinanze della
carica esplosiva, si estendono verso i bordi della stessa, con
ampiezze decrescenti linearmente. La lesione maggiore nel centro
della piastra misura un’ampiezza di circa 3 mm. La deformazione
dell’elemento strutturale è data dalla somma di due aliquote, una
deformazione elastica e una plastica. La deformazione plastica si
manifesta mediante uno spostamento residuo, che si può misurare
al termine della prova. La piastra presenta nel centro un
abbassamento residuo di 21 mm, e di 11 mm in prossimità della
mezzeria del bordo esterno.
• Nella quarta ed ultima prova, aumentando il carico esplosivo e
riducendo ulteriormente la distanza della carica esplosiva dal
42
centro della piastra, si provoca la rottura della stessa, così come
mostrato nella precedente immagine.
2.3 – Finalità della Prova Sperimentale
Il test di prova è stato condotto con l’intenzione di verificare la validità
del metodo DBD (Displacement Based Design method), usato nel
valutare la dimensione del carico esplosivo W, e la distanza di tolleranza
R, tali da produrre un livello di danno stabilito a priori [5].
Oggetto della ricerca era l’individuazione di uno strumento utile nel
determinare, entro un grado di precisione ragionevole, il livello di
vulnerabilità delle strutture esistenti. Inoltre, nel modellare un’esplosione
è di fondamentale importanza definire un livello di danno tollerabile. Gli
effetti prodotti da un’esplosione possono variare dal danno minore fino
al completo collasso della struttura, con le conseguenti e considerevoli
perdite di vite umane. Questo programma di ricerca ha mostrato risultati
promettenti nell’impiego del metodo per predire il blast load (carico
esplosivo), in termini di distanza e peso della carica esplosiva di
sicurezza.
Le evidenze sperimentali hanno mostrato che i livelli di danno realizzati
erano simili ai valori predetti.
Dato che le finalità della prova sperimentale e della tesi differiscono tra
loro, si preferisce omettere la descrizione del metodo DBD, non essendo
questo di nostro interesse. Sarà quindi sufficiente avvalersi dei dati dei
test eseguiti e dei risultati da loro conseguiti, da utilizzare per la
modellazione degli stessi.
43
CAPITOLO 3 – MODELLAZIONE DELLE AZIONI PRODOTTE DALL’ESPLOSIONE
Capitolo 3
Modellazione delle azioni prodotte dall’esplosione.
Al fine di valutare le azioni prodotte sulla superficie della piastra
dall’esplosione, sarà necessario definire per ogni prova, la curva di
pressione a cui la piastra sarà sottoposta.
La curva di pressione definisce al variare del tempo, in un dato punto
dello spazio alla distanza ridotta Z dal centro della carica, l’andamento
della pressione generata dall’esplosione. Di questa curva di carico, è
possibile distinguere una fase positiva ed una negativa. La fase positiva è
dovuta all’incremento di pressione rispetto alla normale pressione
atmosferica, mentre quella negativa si deve ad una depressione, in virtù
del ritorno verso il centro di esplosione dell’aria che è stata spostata [3].
Nella modellazione effettuata dagli autori della prova sperimentale,
l’onda di pressione è stata semplificata con una curva di carico
triangolare. I parametri principali richiesti per definire la blast load sono
il Picco di Pressione ΔPs, e la durata dell'impulso di blast td, o durata
della fase positiva. Assumendo nullo il tempo d’arrivo ta del fronte
d’onda sulla superficie piana, l’andamento qualitativo della curva di
pressione sarà come mostrato nella successiva immagine [5]:
P
ΔPs
td
t
Figura 3. 1 – Curva di Pressione semplificata, usata dagli autori per la modellazione
della prova.
44
Semplici espressioni possono essere usate per riferire ΔPs e td al peso
della carica esplosiva e alla distanza, indicate rispettivamente con W e R.
Il picco di pressione ΔPs, è valutato come una funzione inversamente
proporzionale della distanza ridotta Z, secondo la formulazione proposta
da H.L. Brode [5].
Al variare del campo di validità, ΔPs sarà definito come:
6, 7
+1
Δp ≥ 10 Kg / cm 2
3
Z
0,975 1,455 5,85
Δp ( Z ) =
+
+ 3 − 0,019
Z
Z2
Z
Δp ( Z ) =
0,1 ≤ Δp ≤ 10 Kg / cm 2
Dove, la distanza ridotta Z si esprime in funzione di R e W così come
segue:
Z =
3
R
W
La durata della fase positiva, o impulso dell’esplosione td, si definisce
sempre in funzione di R ed W, a partire dalle seguenti funzioni
logaritmiche [5]:
log
log
10
⎛ td ⎞
⎜3
⎟ ≅ − 2 , 75 + 1, 95 ⋅ log
⎝ W ⎠
⎛ td ⎞
⎟ ≅ − 2 , 75 + 0 , 27 ⋅ log
10 ⎜ 3
⎝ W ⎠
10
⎛
⎜
⎝
⎛
10 ⎜
⎝
3
3
R ⎞
⎟
W ⎠
Z ≤ 1, 0
R ⎞
⎟
W ⎠
Z ≥ 1, 0
La curva di pressione così calcolata nel solo centro della piastra, è poi
estesa all’intera superficie di carico.
45
Nella nostra modellazione, sia il picco di pressione sia la durata della
fase positiva sono stati valutati in maniera diversa. Per la definizione di
una curva di pressione, che si avvicini quanto più verosimilmente alla
descrizione del reale fenomeno fisico provocato dall’esplosione, si è
preferito seguire un diverso metodo analitico, la cui trattazione teorica è
stata esplicitata nel Capitolo 1.
3.1 – Curva di pressione adottata
Essendo la piastra simmetrica, sia geometricamente, che per quanto
concerne le condizioni di vincolo e di carico, sarà sufficiente definire la
curva di pressione per un solo quarto della piastra.
Per conseguire una maggiore accuratezza nella modellazione della prova,
la piastra viene discretizzata in un numero finito d’elementi, d’uguali
caratteristiche fisiche, geometriche e meccaniche. Si suddividerà quindi,
la superficie di carico della piastra in elementi di dimensione 10x10 cm,
sia lungo l’asse x sia y, del sistema di riferimento cartesiano introdotto.
y
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
x
F
Figura 3. 2 – Discretizzazione della superficie di carico.
46
Limitando il calcolo al solo quadrante positivo del sistema di riferimento
scelto, di origine coincidente con il baricentro della piastra, si definisce
una curva di pressione per ogni superficie elementare. Data la
discretizzazione adottata, e le dimensioni dei singoli elementi, saranno
36 le curve di pressione da definire, per un totale di 144 curve di carico
per ognuna delle 4 prove sperimentali. Questa semplificazione, è resa
possibile dalla simmetria d’applicazione del carico esplosivo, essendo
questo centrato rispetto al baricentro della piastra stessa. Inoltre, la
propagazione dell’onda di sovrapressione avviene in maniera sferica dal
centro d’esplosione, essendo questo sollevato rispetto alla piastra e non
ostacolato se non dalla piastra stessa, che n’è investita. La pressione sui
singoli elementi, e in un dato istante di tempo, sarà quindi una funzione
della sola distanza effettiva dal centro d’esplosione. La curva di
pressione quindi si ripete identicamente sulle superfici di 4 elementi
simmetrici rispetto al centro della piastra.
Si descrive in seguito le operazioni successive, che si è scelto di adottare
per definire la curva di pressione prodotta dall’esplosione, facendo
riferimento all’i-esimo elemento di dimensioni finite, in cui è stata
suddivisa l’area di carico.
Coefficiente d’equivalenza
Nel considerare il peso della carica esplosiva è necessario introdurre un
coefficiente d’equivalenza che consente di esprimere il peso della carica
esplosiva, usata nella prova sperimentale, in funzione del TNT
(Trinitrotulene). L’esigenza di equiparare il peso di una qualunque carica
esplosiva al TNT, nasce dalla necessità di impiegare formule empiriche
nel calcolo della curva di pressione, ricavate attraverso prove
47
sperimentali in cui il TNT è stato usato come materiale esplosivo di
riferimento.
Il coefficiente d’equivalenza q è dato dal rapporto tra i Calori Specifici
d’Esplosione Qw, dei due materiali [3].
q=
QRDX
QTNT
Dal coefficiente d’equivalenza si definisce il peso equivalente in TNT
della carica esplosiva usata nel test sperimentale:
WTNT = q ⋅ WRDX
Nel caso specifico si avrà:
Caratteristiche dell'esplosivo
Qw
Esplosivo
[Kcal/Kg]
RDX
1500
TNT
1000
Coefficiente d’equivalenza
1,5
q
Tabella 3. 1 – Calore specifico degli esplosivi e Coefficiente d’Equivalenza.
Ciò significa che, gli effetti prodotti da 1 Kg di RDX sono equivalenti a
quelli prodotti da 1,5 Kg di TNT.
Distanza Ridotta Z
Noti i pesi equivalenti della carica esplosiva WTNT e le distanze effettive
tra il centro d’esplosione e quello della superficie dell’i-esimo elemento
Ri, è possibile calcolare la Distanza Ridotta Zi d’ogni elemento come [3].
48
Z
=
i
Ri
W TNT
3
Dove la distanza effettiva dal centro d’esplosione Ri è così definita:
R
i
=
a
2
+ b i2
Così come si può semplicemente dedurre dalla seguente immagine, in
cui si rappresenta la pianta e la sezione di un quarto di piastra, e l’iesimo elemento a lei appartenente:
y
Pianta della piastra
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
bi
i
5
6
W
Sezione Trasversale
x
a
Ri
Figura 3. 3 – Distanza effettiva dell’i-esimo elemento dal centro d’esplosione.
49
Picco di Pressione Δp(Z)
In funzione delle Distanze Ridotte, si definisce il picco di pressione
Δp(Z), per ogni prova sperimentale e per singolo elemento in cui la
piastra è stata in precedenza discretizzata.
Si è scelto di definire Δp(Z) come la media dei valori forniti dalle varie
formulazioni in precedenza esposte (Brode H.L. Henrich J.; Petrowsky
G.I.; Sadowsky M.A.) [3], al variare della distanza ridotta, e quindi del
relativo campo di validità, a differenza di quanto fatto nella definizione
della curva di pressione semplificata, in cui si è scelto di adottare una
sola delle precedenti formulazioni.
Coefficiente Sperimentale α.
Per definire la Curva di Pressione, è necessario esprimere in funzione
della distanza ridotta Z, un coefficiente di natura sperimentale α.
Tale coefficiente si può trovare tabellato [3], in funzione però di soli
alcuni valori di Z. Mediante un’operazione d’estrapolazione, dai valori
noti del coefficiente, è stato possibile ricavare una funzione di Z, che ci
consentiva di trovare i diversi valori di α al variare della distanza ridotta.
50
-0,7694
y = 2,651x
Estrapolazione
2
R = 0,9539
3,5
3
2,5
2
α
α
Potenza (a)
1,5
1
0,5
0
0
20
40
60
Z
Grafico 3. 1 - Estrapolazione numerica del coefficiente sperimentale α.
Durata della Fase Positiva t+
È l’intervallo di tempo entro cui si annulla la sovrapressione prodotta
dall’esplosione nell’aria circostante. L’espressione usata per la sua
definizione è la seguente [3]:
t
+
= B ⋅ 10
−3 6
W
TNT
Ri
Allo stesso modo di quanto visto nella definizione della curva di
pressione semplificata, anche in questo caso la durata della fase positiva
si esprime in funzione di W e di R, ma attraverso una più semplice
espressione semiempirica.
51
Curva di Pressione P(Z, t)
La curva di pressione non è altro che l’andamento della pressione
prodotta dall’esplosione in un dato istante di tempo t, e ad una certa
distanza ridotta Z. Analiticamente l’andamento della pressione può
essere calcolato come segue [3]:
t ⎞
⎛
p ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜1 − + ⎟e
t ⎠
⎝
−α
t
t
+
Fissata la distanza ridotta Z, da cui dipendono il picco di pressione
Δp(Z), e il coefficiente sperimentale α, attraverso quest’espressione si
ottiene la curva di pressione al variare del tempo. Essendo Z a sua volta
funzione della distanza effettiva dal centro d’esplosione R, al variare di
questa otteniamo diversi valori di Z, e quindi diverse curve di pressione.
Ragion per cui sarà necessaria definire per ogni elemento della piastra
una curva di pressione diversa.
Quindi, per semplicità d’esposizione si riportano di seguito i risultati
conseguiti nella definizione di una singola curva di pressione, in
particolare quella calcolata nel centro della piastra. Essendo, infatti, il
centro della superficie superiore della piastra, il punto più vicino al
centro d’esplosione, sarà anche quello maggiormente sollecitato.
PROVA
DATI
1
2
3
4
a (m)
0,91
0,91
0,30
0,20
bi (m)
0,000
0,000
0,000
0,000
Ri (m)
0,91
0,91
0,30
0,20
WRDX (Kg)
0,10
0,50
0,90
1,71
WTNT (Kg)
Zi
0,15
1,71
0,75
1,00
1,35
0,27
2,57
0,15
Tabella 3. 2 - Distanza Effettiva Ri, Carico Equivalente WTNT, Distanza Ridotta Zi.
52
Δp(Z)[Kg/cm2]
Autore
Campo di validità
PROVA
Brode H.L.
Henrich J.
Petrowsky
G.I.
Sadowsky
M.A.
1
2
3
4
2,33
7,67
336,00
2149,19
Δp>10 Kg/cm2
2,21
8,23
315,82
1950,47
0,1<Δp<10 Kg/cm2
10,03
19,22
110,31
255,00
0,05<Z<0,3
3,93
7,98
125,01
710,81
0,3<Z<1
2,42
7,97
221,81
1248,47
Z>1
1,13
9,65
534,00
3429,69
Z<1
2,61
9,77
362,41
2208,72
1<Z<15
Tabella 3. 3 - Picco di Pressione Δp(Z), calcolato secondo le varie formulazioni, e
per le singole prove sperimentali.
I valori segnati in grassetto sono quelli compatibili con il campo di
validità, per tanto impiegati nel calcolo del valore medio del Picco di
pressione, per ogni singola prova.
Prova
1
2
3
4
α
1,75
2,65
7,26
11,41
Δp(Z)[Kg/cm2]
2,41
8,66
326,77
1944,62
Tabella 3. 4 - Picco di Pressione medio, Coefficiente α.
Durata fase
positiva
+
t (s)
+
t (ms)
PROVA
1
2
3
4
0,00090
0,00118
0,00075
0,00068
0,904
1,182
0,749
0,680
1,3
B
Tabella 3. 5 - Durata della fase positiva t+, e costante numerica B.
53
Curva di pressione calcolata nel centro della piastra.
t (ms)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,05
2,20
2,35
2,50
2,65
2,80
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
Prova 1
Prova 2
Prova 3
Prova 4
P(Z,t)[Kg/cm2] P(Z,t)[Kg/cm2] P(Z,t)[Kg/cm2] P(Z,t)[Kg/cm2]
2,41
2,07
1,77
1,51
1,28
1,08
0,90
0,75
0,62
0,51
0,41
0,33
0,25
0,19
0,14
0,10
0,06
0,03
0,00
-0,02
-0,04
-0,05
-0,06
-0,07
-0,08
-0,08
-0,09
-0,09
-0,09
-0,09
-0,09
-0,08
-0,08
-0,07
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,03
-0,02
-0,02
-0,01
-0,01
-0,01
0,00
8,66
7,41
6,33
5,40
4,59
3,90
3,30
2,78
2,34
1,95
1,63
1,35
1,11
0,91
0,73
0,59
0,47
0,36
0,27
0,20
0,14
0,09
0,05
0,02
-0,01
-0,03
-0,05
-0,06
-0,07
-0,08
-0,08
-0,08
-0,08
-0,08
-0,07
-0,06
-0,05
-0,04
-0,04
-0,03
-0,02
-0,02
-0,01
-0,01
-0,01
0,00
326,77
187,77
107,34
61,00
34,42
19,26
10,67
5,84
3,14
1,66
0,85
0,42
0,19
0,08
0,02
0,00
-0,01
-0,01
-0,01
-0,01
-0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1944,62
778,80
309,94
122,43
47,93
18,56
7,09
2,66
0,98
0,35
0,12
0,04
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Tabella 3. 6 - Curve di Pressione P(Z, t), calcolate per le quattro prove sperimentali.
54
Nel definire l’andamento della pressione al variare del tempo, si trascura
per semplicità di calcolo, la determinazione del tempo d’arrivo ta,
essendo irrilevante rispetto all’intera durata della curva di pressione. Il
tempo d’arrivo si definisce come il tempo impiegato dal fronte d’onda ad
impattare contro la superficie superiore della piastra. In realtà le curve di
pressione dovrebbero essere traslate di una quantità pari a ta lungo l’asse
delle ascisse.
Il metodo sopra esposto sarà impiegato nella definizione delle curve di
pressione, per ogni singolo elemento della piastra, al variare della
distanza effettiva tra il centro d’esplosione e il baricentro dell’elemento,
e per ognuna delle quattro prove sperimentali di cui si conoscono i dati
iniziali.
Di seguito si riportano le curve di pressione calcolate nel centro della
piastra, e per ogni prova sperimentale.
55
Curva delle Pressioni Prova_1
3
t
t ⎞ −α +
⎛
P ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜ 1 − + ⎟ e t
t ⎠
⎝
2
56
P [Kg/cm2] 1
Prova_1
0
0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90
-1
t [ms]
10
9
t
t ⎞ −α +
⎛
P ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜ 1 − + ⎟ e t
t ⎠
⎝
8
7
6
5
57
2
P [Kg/cm ]
4
3
2
1
0
0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90
-1
t [ms]
330
310
t
t ⎞ −α +
⎛
P ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜ 1 − + ⎟ e t
t ⎠
⎝
290
270
250
230
210
190
58
P [Kg/cm2]
170
150
130
110
90
70
50
30
10
-100,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90
t [ms]
1850
t
t ⎞ −α +
⎛
P ( Z , t ) = Δ p ( Z )⎜ 1 − + ⎟ e t
t ⎠
⎝
1700
1550
1400
1250
1100
59
P [Kg/cm2] 950
800
650
500
350
200
50
0,00 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,50 1,65 1,80 1,95 2,10 2,25 2,40 2,55 2,70 2,85 3,00 3,15 3,30 3,45 3,60 3,75 3,90
-100
t [ms]
CAPITOLO 4 – METODI DI DISCRETIZZAZIONE
Capitolo 4
Metodi di Discretizzazione
I metodi di discretizzazione che si sono scelti di impiegare per la
simulazione numerica, sono il Finite Element Method (FEM) e lo
Smoothed
Particle
Hydrodynamics
(SPH).
Al
termine
della
modellazione, avendo utilizzato entrambi i metodi per le stesse prove
sperimentali, si avrà la possibilità di operare uno studio parametrico tra i
due. Si potrà capire quale tra questi meglio si presta per la modellazione
numerica di un elemento strutturale sottoposto a carichi da esplosione.
Questo capitolo è dedicato ad una breve descrizione del più noto ed
utilizzato FEM, a prescindere dal quale non sarebbe possibile introdurre i
Meshfree Particle Methods. Infatti, questi ultimi sono stati sviluppati con
l’intento di estendere i primi, ampliandone il raggio d’applicazione, e
rendendoli più versatili.
In seguito si dedicheranno maggiori attenzioni ai Meshfree Particle
Methods, facendo riferimento in particolare allo Smoothed Particle
Hydrodynamics (SPH), impiegato nella modellazione.
4.1 – Finite Element Method (FEM)
Sin dalla sua invenzione, risalente alla metà del secolo scorso, il metodo
degli elementi finiti (FEM), è stato largamente impiegato per le
computazioni numeriche nell’ambito ingegneristico [6].
Il FEM rientra tra i metodi approssimati per la risoluzione delle
equazioni fondamentali della statica e della dinamica.
La sua principale caratteristica risiede nella possibilità di suddividere un
continuo in un numero discreto d’elementi, che non si sovrappongono
60
nel dominio di nostro interesse. Tale operazione è così detta di
Discretizzazione del continuo in Elementi Finiti.
I singoli elementi sono vincolati tra loro da una mappa topologica,
definita Mesh (Maglia), sopra la quale sono costruite le funzioni di
interpolazione [6].
Ad ogni elemento in cui il continuo è stato suddiviso, vanno associate
delle funzioni spostamento mediante il vettore spostamento così definito:
s = s{x, y, z, t}
Questi vettori sono definiti attraverso la funzione di spostamento dei
singoli nodi [6]:
⎧u ( x , y , z , t )
⎪
s ( x , y , z , t ) = ⎨v ( x , y , z , t )
⎪ w(x, y , z , t )
⎩
⎫
⎪
⎬ = [N ]{Δ}
⎪
⎭
Dove [N] è la matrice delle funzioni di forma, questa lega gli
spostamenti generici all’interno dell’i-esimo elemento agli spostamenti
dei nodi {Δ}, che lo individuano nello spazio. Le funzioni di forma sono
in numero pari al numero di nodi della Mesh, e per definizione valgono 1
se calcolate nel nodo a cui si riferiscono, e 0 negli altri nodi
dell’elemento i-esimo. Le funzioni di forma hanno un ruolo
fondamentale nel metodo d’analisi, in quanto rappresentano il polinomio
che approssima il valore esatto degli spostamenti, e determinano quindi
la convergenza del metodo [6].
La Mesh assicura la compatibilità delle interpolazioni, sebbene non
sempre le condizioni di compatibilità numerica coincidono con quelle
fisiche del continuo stesso.
61
In oltre, quando uno stesso corpo presenta caratteristiche locali diverse, o
geometrie complesse, è necessario suddividerlo in un numero molto
elevato di elementi finiti, realizzando quindi una maglia sempre più fitta,
ed aumentando l’onere di computazione.
Il FEM è quindi un metodo limitato, che necessità di modifiche e
adeguamenti tra i suoi limiti si annoverano [6]:
• La compatibilità numerica è sola un’approssimazione della reale
compatibilità fisica del continuo. Questa approssimazione non
sempre risulta essere precisa ed accurata. Basti pensare ad
un’eccessiva distorsione della Mesh, che può provare il termine
della computazione o in ogni modo un errore rilevante nella
stessa;
• Campi d’interpolazione d’elevati ordini di grandezza sono difficili
da
riprodurre
per
domini
con
geometrie
arbitrarie
e
pluridimensionali. Ciò comporta una restrizione nell’applicare i
metodi di computazione basati sugli elementi finiti, per la
risoluzione di problemi pratici, come ad esempio per la
simulazione di Plates e Shell (Piatti e Gusci), con alti gradienti
d’elasticità e plasticità;
• Quando s’impiegano contemporaneamente Mesh differenti per la
simulazione numerica di uno stesso fenomeno fisico, è possibile
ottenere modelli differenti di disintegrazione per uno stesso
materiale. Tale fenomeno è noto come “suscettibilità” del FEM
nei confronti della rottura graduale del materiale;
62
• In alcune applicazioni, la Mesh stessa può essere fonte di disturbo
nella computazione numerica. Un esempio ben noto è la
simulazione del problema di localizzazione degli sforzi;
• Questi
Metodi
tradizionali,
presentano
notevoli
difficoltà
d’applicazione per problemi che presentano deformabilità dei
vincoli, superfici indipendenti, o interfacce in movimento;
• Le funzioni di spostamento non sempre assicurano la continuità
degli spostamenti richiesta tra gli elementi adiacenti, può essere
quindi violata la condizione di congruenza.
Per questi ed altri motivi l’operazione di discretizzazione con il metodo
degli elementi finiti, non sempre risulta essere vantaggiosa nelle
computazioni numeriche.
Si rende quindi necessario un adeguamento del FEM, o almeno una
ricerca di metodi alternativi da utilizzare in particolari applicazioni.
Una prima soluzione è stata individuata nello sviluppo del così detto
“Arbitrary Lagrangian Eulerian” (ALE).
L’obiettivo di tale formulazione risiede nel rendere indipendente le
caratteristiche del materiale dalla Mesh, così che la sua distorsione può
essere minimizzata.
Purtroppo, in alcune formulazioni con l’ALE, quali ad esempio
modellazioni di fluidi o di grandi deformazioni del continuo, la
distorsione della maglia è ancora presente, e ciò provoca errori nella
computazione numerica.
Inoltre, gli effetti di trasporto convettivi in ALE, spesso conducono ad
oscillazioni spurie che hanno bisogno di essere stabilizzate da una
diffusione artificiale o una stabilizzazione di Petrov-Galerkin.
63
Per superare le difficoltà e i limiti sopra elencati, sarà quindi necessario
trovare un nuovo metodo di discretizzazione del continuo.
E’ in questa ottica che nascono i Meshfree Particle Methods (Metodi di
Discretizzazione Particellari), con l’obiettivo di superare i limiti dei
metodi FEM.
I Meshfree Particle Methods, in quanto metodi numerici, presentano
alcune caratteristiche in comune con altri metodi numerici, quali il già
citato Metodo degli Elementi Finiti, o il Metodo delle Differenze Finite.
Tuttavia si differenziano gli uni dagli altri in virtù dei processi
d’implementazione.
Attraverso questi metodi, è computazionalmente efficace e fisicamente
accurato, discretizzare un continuo attraverso un set di punti nodali, o
particelle distribuite nello spazio in maniera del tutto arbitraria, senza in
pratica costrizioni di maglia, che provveda alla loro connessione.
I vantaggi di tali metodi possono essere così elencati [7].
•
E’ possibile trattare facilmente grandi deformazioni, essendo le
connessioni tra i nodi generate come una parte della
computazione stessa, che può subire variazioni nel tempo;
• Il metodo interpreta facilmente il danno degli elementi del
modello, tale capacità si dimostra molto utile per la modellazione
della rottura graduale;
• I nodi possono essere aggiunti piuttosto facilmente, cosi com’è
possibile realizzare modifiche delle caratteristiche geometriche
del continuo modellato;
• E’ possibile usare modelli pluri-dimensionali del continuo, al fine
di modellare grandi deformazioni di strutture a guscio sottili, come
i nanotubi;
64
• Mediante la discretizzazione Meshfree si possono rappresentare
oggetti geometrici tridimensionali.
4.2 – Classificazione dei Metodi Particellari
I metodi particellari possono essere classificati in conformità a due
differenti criteri, principi fisici o formulazioni computazionali.
Sulla base dei principi fisici, questi possono essere suddivisi in due
differenti classi: quelli basati su modelli probabilistici, e su modelli
deterministici [7].
In base alle formulazioni computazionali si possono suddividere in due
diverse tipologie, a seconda che servono come approssimazione della
Strong Form o della Weak Form, delle equazioni differenziali parziali
(PDE) [7].
Per approssimare la Strong Form dell’equazione differenziale parziale,
questa viene solitamente discretizzata da una tecnica di collocazione
specifica, quale ad esempio lo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH),
il Vortex Method, il metodo generalizzato delle differenze finite, ed altri
ancora.
Sia l’SPH sia il Vortex Method, furono sviluppati inizialmente come
metodi probabilistici, mentre attualmente per alcune applicazioni
vengono impiegati come metodi deterministici.
Ciononostante, la maggior parte dei metodi particellari appartenenti a
questa categoria, sono basati su principi probabilistici, o usati come
strumenti di simulazioni probabilistiche.
Gli Strong Form Methods sono semplici da implementare, efficienti dal
punto di vista computazionale, e non necessitano di alcuna integrazione
nella definizione del sistema discreto di equazioni da risolvere. Tuttavia,
65
spesso sono instabili e poco precisi, specialmente quando si discretizza
l’elemento in un insieme di nodi distribuiti in maniera irregolare.
In questa categoria è possibile distinguere tre metodi principali: le
Dinamiche Molecolari, la simulazione diretta di Monte Carlo (DSMC), e
il Lattice Gas Automaton (LGA), da cui deriva il Lattice Boltzmann
Equation Method (LBE) [7].
Questo ultimo, è un esempio di come non tutti i metodi particellari
possono essere considerati metodi Meshfree. In quanto il LBE richiede
per la sua applicazione la definizione di una griglia, la cui funzione è
assimilabile a quella di una maglia.
Alla seconda classe di metodi particellari appartengono i Galerkin
Methods. Questi sono usati per l’approssimazione della Weak Form della
PDE; tra cui il Metodo degli Elementi Diffusi (DEM), Element Free
Galerkin Methods (EFGM), Reproducing Kernel Particle Methods
(RKPM), Metodo di partizione dell’unità (Partition of Unity Method),
Meshless local Petrov-Galerkin Method (MLPG), ed altri ancora [7].
I Weak Form Methods, sono stabili e molto precisi, tuttavia richiedono
una conoscenza sia complessiva sia locale, della Mesh realizzata, per la
risoluzione del modello, per tanto non sono considerati dei veri e propri
Meshfree Methods [7].
A questa classificazione esistono delle eccezioni, in quanto alcuni
metodi particellari possono essere usati in ambo le posizioni, quella di
forma forte, così come per la discretizzazione della forma debole. Un
esempio è il Particle-in-Cell (PIC). Per tale metodo, infatti, è possibile
distinguere due versioni, una per la Strong Form, e l’altra per la Weak
Form.
Per semplicità d’esposizione si riporta la seguente tabella grafica:
66
67
Metodi
Probabilistici
Meshless local Petrov-Galerkin Method (MLPG)
Partition of Unity Method
Reproducing Kernel Particle Methods (RKPM)
Element Free Galerkin Method (EFGM)
Tabella 4. 1 - Classificazione dei Metodi Particellari
Lattice Gas Automaton (LGA)
La Simulazione Diretta di Monte Carlo (DSMC)
Le Dinamiche Molecolari
Il Metodo Generalizzato delle Differenze Finite
Vortex Method
Metodo degli Elementi Diffusi (DEM)
Galerkin Methods
PDE
Weak Form
Formulazioni Computazionali
PDE
Strong Form
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Metodi
Deterministici
Principi Fisici
Criteri di classificazione
Meshfree Particle
Methods
4.3 – Applicazione dei Metodi Particellari
In ambiti quali l’astrofisica, la biofisica, la biochimica e la biomedica, è
facile imbattersi in corpi che possono essere modellati non come
continui, bensì come insiemi di particelle.
In questi casi, i metodi particellari rappresentano una scelta naturale per
la simulazione numerica.
Esempi rilevanti sono le simulazioni di fenomeni quali la formazione di
sistemi stellari, movimenti di milioni d’atomi in uno stato di non
equilibrio, ed interazioni dinamiche di varie molecole.
In questo momento, i metodi particellari non sono quindi impiegati solo
come metodi di discretizzazione, per la soluzione di problemi del
continuo tridimensionale, come l’SPH, il Vortex Method, e i Galerkin
Meshfree Methods, ma anche come modelli per la descrizione dei
comportamenti fisici del continuo [7].
Gli ultimi esempi sono l’impiego del Lattice Boltzmann Equation
Method (LBE), per la risoluzione di problemi di fluido-meccanica, e il
Molecular Dynamics, per risolvere problemi inerenti alla meccanica
della frattura [7].
I metodi Meshfree Galerkin, sono largamente impiegati per la
risoluzione di problemi nell’ambito della meccanica dei corpi solidi. Tra
questi la simulazione della rottura graduale, da molti ritenuta una delle
più ostiche computazioni nell’ambito della meccanica della frattura. In
tal senso, i metodi Meshfree offrono notevoli vantaggi rispetto ai
tradizionali metodi degli elementi finiti. Per tale applicazione, infatti, si
rende necessaria un’operazione detta di Remeshing, in altre parole di
ricostruzione della maglia in seguito alla rottura. Questa operazione può
essere invece evitata utilizzando un metodo Meshfree, quale il Galerkin
o anche il Metodo di partizione dell’unità [7].
68
Tra gli altri, il Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG), sviluppato nel
1998 dagli studiosi Atluri e Zhu [7], risulta essere quello maggiormente
impiegato per l’analisi di travi e strutture placcate, non essendo, infatti,
necessaria una conoscenza complessiva della Mesh creata per il modello,
ma è sufficiente una conoscenza locale del modello stesso.
Un'altra applicazione in cui si preferisce usare un metodo di
discretizzazione di tipo Meshfree, rispetto ai tradizionali metodi degli
elementi finiti, è la modellazione della localizzazione degli sforzi. È
possibile dimostrare, infatti, che i metodi Meshfree hanno la capacità di
sostenere grandi distorsioni della maglia. Questo perché non c’è un
coinvolgimento diretto della maglia nella simulazione.
Invece, utilizzando il metodo FEM, avremmo un incremento della banda
di taglio lungo l’i-esimo elemento vincolato, che compromette la
simulazione del reale comportamento fisico dell’elemento stesso.
La maglia in pratica non è più in grado di seguire, per grandi
deformazioni, l’andamento reale del continuo, sotto l’azione dei carichi
esterni.
4.4 – Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Tra i diversi metodi particellari di tipo Meshfree, ai fini della
modellazione numerica, si è scelto di focalizzare l’attenzione sul metodo
SPH.
Lo Smoothed Particle Hydrodynamics, è uno dei principali metodi
particellari impiegati nella meccanica computazionale.
Tale metodo fu formulato nell’1977 simultaneamente da Lucy, Gingold
& Monaghan, al fine di descrivere alcuni fenomeni Astrofisici, tra cui la
formazione, l’evoluzione, e il collasso delle stelle, delle galassie, fino
alla “Modellazione dell’intero Universo” [7].
69
Il movimento collettivo di questo insieme di particelle, è, infatti,
assimilabile a quello di un liquido o di un flusso di gas, può quindi
essere modellato utilizzando le equazioni che governano l’Idrodinamica
Classica di Newton.
L’SPH,
fu
ampiamente
adottato
come
un
efficiente
tecnica
computazionale, per la risoluzione di problemi di meccanica applicata,
tra cui la fluido-dinamica, e l’ idrodinamica classica.
Al contrario di un convenzionale metodo di discretizzazione, che
suddivide un sistema continuo in un numero discreto di elementi finiti,
l’SPH unifica un numero discreto di particelle, accomunate dalle stesse
caratteristiche, quali massa e volume, generando così un campo continuo
locale, con il fine di rappresentare il comportamento collettivo di un
sistema discreto [7].
Basti pensare alle prime applicazioni in Astrofisica e nella Meccanica
Quantistica, dove il sistema fisico reale a già per se discreto. In tal senso,
l’SPH può essere considerato come un Metodo Particellare, basato su
una tecnica di omogeneizzazione.
La principale assunzione su cui si fonda il metodo SPH è che il valore di
una funzione f ad un certo punto i può essere approssimato moltiplicando
la stessa funzione per una funzione d’omogeneizzazione W (Kernel
function), di ampiezza h, ed integrando sul dominio computazionale nel
modo seguente [9]:
fi =
∫
f ( x )W i ( x )dx
dove fi = f(xi), mentre Wi (x) = W (x−xi, h) è la funzione
d’omogeneizzazione. Questa integrazione avviene su un dominio
costituito da un insieme di particelle, il cui volume elementare è definito
70
dal rapporto tra la massa e la propria densità. E’ quindi necessario
definire una Kernel Function W(x, h), individuando le coordinate del
nucleo W, rispetto ad un generico sistema di riferimento cartesiano, e il
periodo d’omogeneizzazione h (Smoothing Lenght). Di solito, nel
tradizionale
metodo
SPH,
si
presume
che
la
funzione
d’omogeneizzazione soddisfi la condizione di normalizzazione nel
proprio dominio di pertinenza:
∫W (x − x
i
, h ) dx = 1
In ogni modo, è facile dimostrare che questa condizione di
normalizzazione per la funzione d’omogeneizzazione è valida solo per i
punti interni al dominio, ma non è soddisfatta per i punti di confine.
L’equazione precedente viene discretizzata come segue:
fi =
⎛mj ⎞
⎜
⎟ f j W ij
∑
⎜
⎟
j =1 ⎝ ρ j ⎠
N
Dove Wij = W(xj - xi, h), mj e ρj sono rispettivamente la massa e la
densità di massa della j-esima particella, il rapporto tra questi due è il
volume elementare associato alla particella stessa, N è il numero totale di
particelle in cui si è discretizzato il continuo.
Tale funzione sarà poi impiegata per approssimare la strong form di un
equazione differenziale parziale (PDE), attraverso una complessa
integrazione.
Con il metodo tradizionale SPH tale approssimazione sarà:
71
f xi =
∫
f ( x )W iix dx
considerando la proprietà della funzione nucleo:
∫W
iix
dx = 0
L’equazione può essere riscritta come:
f xi =
∫ [f (x) −
f ( x i ) ]W ix dx
Le approssimazioni particellari delle derivate parziali possono quindi
essere scritte come:
⎛ m
⎜
∑
⎜
j =1 ⎝ ρ
N
fi =
j
j
⎞
⎟ f ( x j ) − f ( x i ) ∇ i W ij
⎟
⎠
[
]
Il valore numerico di una funzione f e le sue derivate parziali, possono
essere quindi ottenuti con una funzione kernel su un insieme di particelle
piuttosto che su una maglia. Questa è l'essenza del metodo tradizionale
SPH.
4.4.1 – Metodi d’interpolazione SPH
Essendo l’SPH un metodo Meshfree, l’interpolazione è costruita su un
insieme di punti nodali, indipendenti tra loro e non vincolati da nessuna
maglia o griglia.
Questa operazione d’interpolazione è basata sul seguente concetto [7]:
A(x ) =
∫
R
n
δ (x − x ' )A (x ' )d Ω x
72
'
∀x ∈ Ω
dove δ(x) è la funzione Dirac Delta, definita a sua volte come il limite
della seguente funzione δε(x) [7].
δ (x) =
lim
ε
→ 0
δ ε (x)
con:
δ
ε
(x) =
x < −ε / 2
⎫
⎪
− ε / 2 < x < ε / 2 ⎬
⎪
x > ε / 2
⎭
⎧ 0;
⎪
⎨1 / ε ;
⎪ 0;
⎩
lim
ε
→ 0
La funzione Dirac Delta, non può però essere impiegata né per un
processo d’interpolazione, né tanto meno per un processo di
collocazione, questo perché è una funzione di tipo generalizzata, in altre
parole affetta da alcune patologie. Inoltre, manca d’alcune proprietà
fondamentali, non essendo né continua né derivabile nel proprio dominio
di definizione.
Per superare tali inconvenienti, s’introduce uno Smooth Kernel W(x, h)
(Nucleo omogeneo), al fine di utilizzare la funzione Dirac Delta per
processi d’interpolazione e collocazione.
L’SPH è quindi un operatore di media (Average Operator), definito nel
seguente modo [7]:
< A ( x ) >=
∫
R
d
(
) ( )
W x − x ', h A x ' dΩ
x'
Ed approssimato come:
≈
N
∑
i =1
W
(x
− x I , h )A ( x I )Δ V I
73
Dove la notazione < … > indica l’operatore di media, mentre h, come
abbiamo già detto, è la Smoothing Lenght, in altre parole l’ampiezza o
periodo d’omogeneizzazione, infine ΔVI è il volume elementare dell’iesima particella.
Assumendo che il continuo ha una densità di massa distribuita
uniformemente, possiamo dividerlo in un numero discreto d’elementi
volumetrici, cui associa una massa mI. Ogni elemento volumetrico con
massa può essere attribuito ad una particolare particella.
Per cui avremo [7]:
ΔVI =
m
ρ
I
I
Dove con ρI indichiamo la densità di massa dell’i-esima particella.
E’ possibile notare, che l’operatore di media <A(x)>, è una funzione
della variabile spaziale x, infatti, <A(x)> può essere visto come una
rappresentazione non locale di A(x).
La funzione Kernel deve soddisfare le seguenti proprietà [7]:
W (x,h) ≥ 0
∫
R
3
W ( x , h )d Ω
x
= 1
W (x,h) → δ
(x )
W (x,h) ∈ C
k
0
;h → 0
(R )
d
;k ≥ 1
La seconda proprietà è la cosiddetta condizione di normalizzazione,
insieme alla terza sono proprietà comuni alla funzione Dirac Delta.
La terza proprietà assicura la convergenza del metodo, l'ultima deriva
dal requisito che la funzione deve essere derivabile più di una volta.
74
Il vantaggio di usare un nucleo analitico, risiede nella possibilità di
valutare una Kernel Function in un qualsiasi punto dello spazio, senza
conoscere la distribuzione locale delle particelle.
La rappresentazione a nucleo non solo consente di compiere una
discretizzazione uniforme di un equazione differenziale parziale, ma
fornisce anche uno schema interpolante per un insieme di particelle in
movimento.
Con l’SPH è quindi possibile trattare un corpo solido al pari di un fluido
viscoso, cioè come un insieme di particelle, di assegnata massa e
volume, indipendenti le une dalle altre.
Sfruttando tali caratteristiche, questo metodo può essere impiegato per la
risoluzione di problemi di natura meccanica.
Ad esempio, Libersky applicando questo metodo ai solidi meccanici, è
riuscito a simulare in 3D alcuni fenomeni, tra cui l’esplosione di una
bomba, problemi di frammentazione, impatto e penetrazione di solidi.
La simulazione d’impatti e penetrazioni con l’ausilio dell’SPH, sono
state eseguite anche da Johnson, il quale impiega tale metodo per la
modellazione di problemi inelastici, di danno e di grandi deformazioni.
E’
possibile
distinguere
diverse
funzioni
Kernel,
che
sono
comunemente impiegate nelle computazioni. Ad esempio, la Kernel
Function può essere una funzione positiva di tipo Gaussiana, così
definita [7]:
W ( x, h) =
1
(π h )
2
n/2
1≤ n ≤ 3
75
⎡ x2 ⎤
exp ⎢ − 2 ⎥ ,
⎣ h ⎦
Dove n è la dimensione dello spazio in cui la funzione è definita, x è la
coordinata rispetto ad un generico sistema di riferimento cartesiano
dell’i-esima particella, ed h è la Smoothing Lenght.
Altri esempi di Kernel Function sono la funzione di Spline cubica e
quartica, di seguito definite [7]:
Cubic Spline Function
⎧1 − 3 / 2 q 2 + 3 / 4 q 3 ; 0 ≤ q ≤ 1 ⎫
⎪
⎪
C ⎪ 1
⎪
(2 − q )3
W (x, h) = n ⎨
;1 ≤ q ≤ 2 ⎬
h ⎪ 4
⎪
in
altri
casi
0
;
⎪
⎪
⎩
⎭
Dove q = x/h; mentre C è il fattore di normalizzazione, che assume
valori diversi in funzione della dimensione dello spazio in cui è definita
la funzione:
⎧2 /3
⎪
C = ⎨ 10 / 7 π
⎪1 / π
⎩
; d = 1⎫
⎪
;d = 2 ⎬
; d = 3 ⎪⎭
Quartic Spline Function
C ⎧1 − 6 q 2 + 8 q 3 − 3 q 4
W ( x, h) = n ⎨
h ⎩ 0
;0 < q < 1⎫
⎬
;q ≥ 1 ⎭
Dove la costante C è determinata dalla condizione di normalizzazione,
che la funzione deve soddisfare.
76
Vediamo come si sceglie l’ampiezza d’omogeneizzazione h (Smoothing
Length).
Fissata l’ampiezza d’omogeneizzazione h, questa definisce una regione
che limita la maggior parte della funzione Kernel. La precisione
dell’interpolazione dipende dal numero discreto di particelle contenute
entro questa regione. La scelta della Smoothing Length è di
fondamentale importanza nell’implementazione al computer del metodo
SPH. Tale scelta, è solitamente operata in funzione della precisione
d’interpolazione che si vuole conseguire. Per una data precisione del
calcolo, infatti, è fissato il numero di particelle contenute nella regione
definita da h. In realtà, non è possibile determinare univocamente
l’ampiezza d’omogeneizzazione h, in quanto in una simulazione
dinamica, la densità di particelle contenute in detta regione varia al
variare del tempo. Per tanto, affinché si mantenga costante la precisione
numerica e l’efficienza della computazione, la Smoothing Lenght
dovrebbe variare anch’esso nel tempo.
Per fare questo, è necessario scegliere una funzione Kernel di tipo
Gaussiana, e assumere che ogni particella abbia approssimativamente la
stessa massa Δm [7].
Si deve quindi assumere che:
∑
I ∈ Λ
∑
exp
J ∈ Λ
(x
⎧⎪
⎨ −
⎪⎩
j
−
h
x
)
2
i
2
⎫⎪
⎬
⎪⎭
=
γ
=
cos
t
Una volta scelta la massa da attribuire ad ogni singola particella Δm, in
virtù dell’interpolazione SPH, potremo scrivere quanto segue:
< ρ >=
∑ ∑ (π
I∈Λ J ∈Λ
1
d /2
hd
)
⎧⎪ (x j − x i )2
exp ⎨ −
h2
⎪⎩
77
⎫⎪
γ (Δ m )2
2
⎬ (Δ m ) =
π d /2h d
⎪⎭
Dove, con i pedici i e j s’indicano le generiche particelle appartenenti al
domino Λ, d è la dimensione del dominio, e xi e xj le posizioni delle
generiche particelle rispetto all’origine del sistema cartesiano.
Da quest’ultima relazione possiamo quindi trarre la seguente
conclusione [7]:
h ∝ 1/ < ρ >1 / d
Se tutte le particelle contenute nel dominio Λ hanno quindi la stessa
quantità di massa Δm, e la stessa ampiezza d’omogeneizzazione h,
questa ultima dovrà quindi essere proporzionale al reciproco
dell’inverso della densità media delle particelle.
Questo perché, la Smoothing Lenght è proporzionale al volume
elementare ΔVi dell’i-esima particella, e quindi alla distanza di
separazione tra le particelle stesse.
4.4.2 – Teoria d’Approssimazione SPH
Essendo l’SPH un metodo di computazione numerico, in quanto tale è
fondato su un insieme di principi e regole di approssimazione. Queste,
sono le cosiddette regole di Monaghan, e rappresentano le linee guida
per discretizzare un equazione differenziale [7].
Si possono distinguere quattro diverse regole d’approssimazione,
proposte dallo stesso Monaghan. La prima di queste, è quella secondo
cui è sempre meglio scegliere come funzione Kernel una funzione di tipo
Gaussiana. Tra le varie funzioni Kernel, quella Gaussiana è la migliore
nell’analizzare la coerenza fisica di un modello realizzato in SPH.
78
La seconda regola d’approssimazione, è che l’insieme del prodotto di
due funzioni, può essere approssimato dal prodotto degli insiemi
individuali:
< A ⋅ B >=< A > ⋅ < B >
( 2)
Dove, A e B sono due funzioni, mentre <…> è l’operatore di media
(Average Operator).
La terza regola d’approssimazione è la seguente:
(3)
< ∇ A >= ∇ < A >
ed è valida per ogni campo scalare A.
La quarta regola di approssimazione, non è altri che una proprietà della
terza regola sopra citata, ovvero:
( 4)
< ∇ A >= ∇ < A > − A < ∇ W >
Quando la funzione Kernel è limitata, il secondo termine del secondo
membro della precedente equazione si annulla. Infatti, sfruttando la terza
regola d’approssimazione (3), possiamo scrivere:
< ∇ W >≈ ∇ < W >
essendo:
W ( x, h ) = ∑ W ( x − x j , h ) ΔV j
j∈Λ
In virtù della seconda proprietà della funzione Kernel, sostituendo si
avrà:
∇ < W >≈ ∇ (1) = 0
79
4.4.3 – Approssimazione di Derivate SPH
L’SPH viene impiegato per approssimare la Strong Form di un
equazione differenzia parziale. Al contrario del metodo delle differenze
finite, che per discretizzare un equazione differenziale parziale, impiega
una griglia, l’SPH, essendo un metodo particellare di tipo Meshfree,
discretizza
la
PDE
sulla
base
delle
sopra
citate
regole
di
approssimazione.
Si
possono
distinguere
tre
diverse
formule
gradienti,
per
l’approssimazione di un equazione differenziale parziale [7].
Formula gradiente I
Una formula d’approssimazione diretta, impiegando un metodo
d’interpolazione SPH, può essere la seguente:
∇ A(x) =
∑
∇W
(x
I∈Λ
− x I , h )A I Δ V I
(I )
Un’approssimazione così diretta è solitamente poco accurata, e spesso
distrugge la proprietà di conservazione del sistema continuo associato.
Quando l’approssimazione è combinata con un termine addizionale, che
contiene un’espressione nulla del tipo <W(x,h)> = 0, questo può
produrre un migliore risultato.
Dalla regola d’approssimazione (3) di Monaghan, si ricava la formula
approssimata del gradiente per un campo scalare A(xi) come:
∇ A(xI ) =
∑ (A
j∈ Λ
J
80
− A I )∇ W
I ,J
ΔV
j
La stessa approssimazione è valida anche per un campo vettoriale A:
∇ ⋅ A(xI ) =
∑ (A
j∈ Λ
− A I )⋅ ∇ W
J
I ,J
ΔV
j
Formula gradiente II
Nella formulazione in SPH, la densità è una grandezza di fondamentale
importanza. La densità di massa, infatti, stabilisce una correlazione che
sussiste tra la massa e il volume di una singola particella.
ρ
I
=
mI
ΔVI
Per conseguire una precisione maggiore nella formulazione del gradiente
d’approssimazione della PDE, è preferibile scrivere il gradiente del
campo scalare e del campo vettoriale come segue:
∇ ⋅ A = [∇ ⋅ ( ρ A ) − A ⋅ ∇ ρ ] / ρ
∇ A = [∇ ( ρ A ) − A ∇ ρ ] / ρ
Nella prima espressione A è un operatore scalare, nella seconda un
operatore vettoriale.
Quindi, il gradiente dell’interpolazione in SPH, può essere approssimato
nel seguente modo:
ρ
I
< ∇A >I =
∑
J∈Λ
( A J − A I )∇ IW
81
IJ
m
j
( II )
Rispetto alla prima formulazione non si fa nient’altro che esprimere il
volume dell’i-esima particella in funzione della sua densità di massa, e
della massa stessa.
Una simile formulazione può essere impiegata per approssimare il
gradiente del campo vettoriale A, facendo distinzione tra i prodotti
scalari, tensoriali, e vettoriali tra l’operatore gradiente e il campo
vettoriale:
→ ρ
scalare
tensoriale
vettoriale
< ∇ ⋅A >I= −
I
→ ρ
→ ρ
I
I
∑
J∈Λ
A IJ ⋅ ∇ I W
< ∇ ⊗ A >I= −
< ∇ × A >I=
∑
J∈Λ
∑
J∈Λ
∇ IW
m
IJ
j
⊗ A IJ m
IJ
A IJ × ∇ I W
IJ
m
j
Formula gradiente III
Nonostante le precedenti formule d’approssimazione del gradiente siano
sufficientemente accettabili, queste sono in ogni modo affette da una
deficienza comune. Queste formulazioni, infatti, non sono simmetriche
rispetto
agli
indici
I
e
J
dell’operatore
A.
Per
ottenere
un’approssimazione simmetrica del gradiente, è necessario introdurre
una nuova regola d’approssimazione. Introduciamo quindi la successiva
identità:
∇A
ρ
=
A
ρ
σ
⎛ 1
∇ ⎜⎜ 1 − σ
⎝ ρ
⎞
⎛ A
1
⎟⎟ +
∇ ⎜⎜ σ − 1
2 −σ
ρ
⎠
⎝ ρ
82
⎞
⎟⎟
⎠
j
Dove σ è un numero intero. In base a questa identità è possibile scrivere
la seguente regola di approssimazione SPH:
⎛ ∇A
⎜⎜
⎝ ρ
⎞
⎟⎟ =
⎠I
⎛
AJ
⎜
∑
⎜ 2 −σ ρ
j∈ Λ ⎝ ρ I
+
σ
J
ρ
σ
I
AI
ρ
2 −σ
J
⎞
⎟⎟∇ I W
⎠
IJ
m
j
A seconda che il parametro σ assumerà valore pari a 1 o 2, avremo le
seguenti formule d’approssimazione del gradiente, sia per il campo
scalare sia per quello vettoriale.
Quando σ = 1, per il campo scalare A(x) avremo:
< ∇A >I =
∑
J∈Λ
( A I + A J )∇ IW
IJ
ΔVJ
( IIIa )
Mentre, per il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo
vettoriale A, si avrà:
< ∇ ⋅A >I=
∑
J∈Λ
( A I + A J ) ⋅ ∇ IW
IJ
ΔVJ
Quando invece σ = 2, per il campo scalare A(x) avremo:
<
∇A
ρ
>I=
∑
(
J∈Λ
A
ρ
j
2
j
+
AI
ρ
2
I
)∇ IW
IJ
m
( IIIb )
J
Mentre, per il prodotto scalare tra l’operatore gradiente e il campo
vettoriale A, si avrà:
<
∇ ⋅A
ρ
>I=
∑
J∈Λ
(
A
ρ
j
2
j
+
AI
ρ
2
I
83
) ⋅ ∇ IW
IJ
m
J
L’SPH non è solo uno schema di interpolazione, ma fornisce anche un
insieme di regole di approssimazione, che consentono di costruire un
sistema dinamico discreto del continuo.
Prima di capire come usare queste regole d’approssimazione, è
necessario descrivere le leggi di conservazione nella meccanica del
continuo.
Queste sono [7]:
• Equazione di Continuità
dρ
+ ρ∇ ⋅v = 0
dt
Dove ρ è la densità di massa, e v il campo vettoriale delle velocità.
• Equazione del Moto
dv
1
= −
∇ ⋅σ
dt
ρ
Dove σ è la tensione di Cauchy.
• Equazione dell’Energia
dE
1
= −
σ :∇v
dt
ρ
Dove E è l’energia specifica interna, somma dell’energia Potenziale e di
quella Cinetica.
Esistono diversi modi per scrivere un’equazione differenziale in SPH,
utilizzando le regole d’approssimazione, da impiegare in seguito nella
pratica computazionale, tra cui l’equazione di Continuità, del Moto e
84
dell’Energia, che serviranno per descrivere l’evoluzione nel tempo del
contino discretizzato in SPH [7].
Equazione di continuità in SPH
L’equazione di continuità SPH impiegata nella computazione, è ricavata
da differenti regole d’approssimazione.
Dall’equazione di continuità sopra indicata, introducendo l’operatore
medio (<….>) si ottiene quanto segue:
<
dρ
>= − < ρ ∇ ⋅ v >
dt
Utilizzando nell’ordine le regole d’approssimazione 2, 3 e 4, in
precedenza elencate, il secondo membro dell’equazione di continuità può
essere scritto come:
≈ − < ρ >< ∇ ⋅ v >
regola
2
≈ − < ρ > ∇⋅ < v >
regola
3
≈ − < ρ > ∇⋅ < v > + ρ v ⋅ < ∇ W >
regola
4
Sapendo che:
∇⋅ < v >=
N
∑
j =1
< ∇ W >=
N
∑
J =1
m
j
ρ
j
m
j
ρ
j
v j∇ IW
∇ IW
IJ
IJ
Sostituendole nell’equazione di continuità, scritta con le regole di
approssimazione, si avrà:
85
dρ
dt
I
= ρ
N
I
∑
m
j =1
ρ
j
(v I
− v J )⋅ ∇ I W
IJ
j
Quella appena scritta altri non è che l’equazione differenziale di
continuità discretizzata come un equazione algebrica.
Si è visto come, utilizzando le regole d’approssimazione dell’SPH, sia
possibile discretizzare un equazione differenziale, in una più semplice
equazione algebrica.
Equazione del Moto in SPH
Per descrivere l’evoluzione di un sistema utilizzando l’SPH, è necessario
riscrivere le equazioni del moto in una forma discretizzata.
In funzione del tipo di regola d’approssimazione del gradiente, impiegata
per la discretizzazione dell’equazione differenziale del moto, si possono
distinguere tre diverse equazioni del moto in SPH, usate nella pratica.
Infatti, dalla seguente equazione del moto:
< ρ
dv
dt
>= − < ∇ ⋅ σ >
(0 )
Dove, ρ è la densità di massa dell’i-esima particella, v è il campo
vettoriale delle velocità, e σ la tensione di Cauchy, impiegando la IIIa
regola d’approssimazione del gradiente (σ = 1), il secondo membro di
quest’equazione può essere cosi discretizzato:
− < ∇ ⋅ σ >≈ −
N
∑ (σ
J =1
I
86
+ σ
J
)⋅ ∇
I
W
IJ
ΔV
J
Sapendo che la densità di massa si esprime come:
ρ
I
=
mI
ΔVI
Sostituendo si ottiene l’espressione discretizzata SPH dell’equazione del
moto:
m
I
dv
dt
I
= −
N
∑
J =1
ΔVIΔV
J
(σ
I
+ σ
J
)⋅ ∇
I
W
(1 )
IJ
Se invece di usare la regola d’approssimazione del gradiente IIIa,
s’impiega la IIIb, per la quale σ = 2, dividendo per la densità di massa,
l’equazione del moto può anche essere scritta come:
<
dv
dt
∇ ⋅σ
>= − <
>
ρ
Impiegando la IIIb riferita al campo vettoriale σ, il secondo membro di
quest’equazione può essere approssimato come:
∇ ⋅σ
− <
ρ
>≈ −
N
∑
J =1
⎛ σ
⎜⎜
⎝ ρ
I
2
I
−
σ
ρ
J
2
J
⎞
⎟⎟ ⋅ ∇ I W
⎠
IJ
m
J
Moltiplicando ambo i membri dell’equazione per la massa mi, osi ottiene
la seguente espressione dell’equazione del moto:
m
I
dv
dt
I
= −
N
∑
J =1
m Im
J
⎛ σ
⎜⎜
⎝ ρ
I
2
I
−
σ
ρ
J
2
J
⎞
⎟⎟ ⋅ ∇ I W
⎠
IJ
(2)
Una terza espressione dell’equazione del moto, si può ottenere
utilizzando la regola I d’approssimazione del gradiente. Infatti, sapendo
87
che il secondo membro dell’equazione (0), in virtù della regola
d’approssimazione 4, si può scrivere come:
− < ∇ ⋅ σ >= − ( ∇⋅ < σ > − < σ >< ∇ W > )
Essendo la funzione Kernel limitata, per quanto già dimostrato, il
secondo termine al secondo membro della precedente equazione, sarà
nullo.
Di conseguenza:
− < ∇ ⋅ σ >= −∇⋅ < σ >
Il cui secondo membro può essere discretizzato secondo la regola I
d’approssimazione del gradiente, valida per il campo vettoriale σ:
− ∇⋅ < σ >≈
N
∑
J =1
Δ V J (σ
J
− σ I ) ⋅ ∇ IW
IJ
Sostituendo l’approssimazione, e ricordando l’espressione della densità
di massa ρ, l’equazione del moto diventa:
m
I
dv
dt
I
= −
N
∑
J =1
ΔVIΔV
J
(σ
J
− σ
I
)⋅ ∇
I
W
IJ
(3 )
In queste tre diverse espressioni dell’equazione del moto, il primo
membro, che è chiaramente sempre lo stesso, fisicamente esprime la
variazione nel tempo della quantità di moto. Infatti, la quantità di moto
dell’i-esima particella, è data dal prodotto della massa mI, che è costante
e quindi indipendente dal tempo, e della velocità vI, variabile in funzione
del tempo.
88
Equazione dell’energia in SPH
Il secondo membro dell’equazione dell’energia, utilizzando la seconda
regola d’approssimazione di Monaghan, può essere riscritto come:
−<
1
ρ
σ : ∇ v >≈ − <
1
ρ
2
σ : ( ρ∇ v ) >≈ −
1
< ρ2 >
< σ >:< ρ∇ v >
Questo termine, può essere ulteriormente discretizzato, impiegando la II
regola d’approssimazione del gradiente per il campo vettoriale σ,
l’equazione dell’energia può quindi essere espressa come:
dE I ⎛ σ I ⎞ N
= ⎜⎜ 2 ⎟⎟ : ∑ m J v IJ ⊗ ∇ I WIJ
dt
⎝ ρ I ⎠ J =1
(1)
Le equazioni discretizzate con il metodo SPH, non sempre preservano le
caratteristiche fisiche del corrispondente sistema continuo, come
l’energia e la quantità di moto. Questo problema incide notevolmente
sulla precisione e la qualità delle soluzioni numeriche.
Dal punto di vista computazionale, un buono schema d’interpolazione,
dovrebbe essere almeno capace di rappresentare correttamente il moto di
un corpo rigido. Purtroppo, il metodo d’interpolazione SPH non è in
grado di rappresentare propriamente il moto di un corpo rigido. Ciò
induce ad una serie d’ostacoli nella computazione numerica. Sebbene, un
campo d’interpolazione non riesca a rappresentare il movimento
completo del corpo rigido, essendo questo composto di una traslazione e
una rotazione rigida, la sola traslazione può essere preservata in una
computazione discreta.
E’ possibile dimostrare che le equazioni di continuità e dell’energia,
prima approssimate con il metodo SPH, sono degli invarianti Galileiani.
89
Infatti, se si scrivono le equazioni di continuità e dell’energia rispetto ad
un sistema di riferimento cartesiano assoluto, le stesse equazioni
permangono inalterate in un sistema di riferimento cartesiano in moto
relativo rispetto a quello assoluto.
La posizione e la velocità della generica particella, in cui si è
discretizzato il continuo, rispetto al riferimento relativo, possono essere
così espresse:
x ' = x + at
v' = v + a
Dove x’ e v’, sono rispettivamente la posizione e la velocità della
particella rispetto al sistema di riferimento relativo, mentre x e v sono
definite rispetto a quello assoluto, a e t sono invece l’accelerazione e
l’istante di tempo.
Ovviamente, la velocità si ottiene in funzione della posizione dividendo
questa ultima per il tempo.
L’equazione di continuità e dell’energia in SPH, scritte nel nuovo
riferimento diventano quindi:
dρ
dt
I
= ρ
dE I σ I
= 2
ρI
dt
N
I
∑
j =1
m
ρ
∑ m (v
N
J
J =1
'
I
j
(v
'
I
)
− v 'J ⋅ ∇ I W
IJ
j
)
− V J' ⋅ ∇ I W IJ
Dato che, la differenza tra le velocità in seguito al cambio di riferimento
resta in ogni modo invariato:
(v −v ) = (v −v )
'
I
'
J
I
J
le equazioni stesse saranno invarianti rispetto al riferimento cartesiano.
90
4.4.4 – I limiti del Metodo SPH
I metodi SPH presentano notevoli vantaggi nelle computazioni
numeriche, tra cui la facilità di trattare grandi deformazioni della Mesh, o
la semplicità d’implementazione al calcolatore.
Ciononostante, lo stesso metodo presenta una serie di limiti ed
inconvenienti di seguito elencati [8].
• Instabilità di tensione;
• Insufficienza di consistenza d’interpolazione;
• Difficoltà nel far rispettare le condizioni di vincolo.
Attraverso gli anni, sono state sviluppate varie tecniche per il
miglioramento del metodo, e l’eliminazione delle varie patologie che si
manifestano nelle computazioni numeriche, di seguito definite.
Instabilità di tensione
Si definisce in questo modo la situazione in cui, in una regione del
dominio dove sussiste uno stato tensionale, il moto delle particelle
diventa instabile. Ciò significa che, una piccola perturbazione della
posizione delle particelle, può causare un esponenziale aumento della
velocità delle stesse, che può indurle ad un moto oscillatorio.
Diversi autori hanno condotto studi con il fine di individuare le cause di
questo fenomeno, e in seguito per porvi rimedio.
Per quanto attiene alle origini di tale fenomeno si fa riferimento ai
risultati conseguiti dagli studi condotti da Sweegle [8].
91
Ipotizzando che le masse delle particelle adiacenti siano le stesse, e che
sia soddisfatta la condizione secondo la quale:
dW II
=0
dx I
i criteri di stabilità di Sweegle vengono di seguito elaborati.
Considerando una distribuzione di particelle in cui la distanza tra due
particelle successive è pari alla Smoothing Lenght h, assumendo l’origine
del sistema di riferimento cartesiano coincidente con la generica
particella
XI,
e
facendo
riferimento
ad
un
semplice
caso
monodimensionale, la particella I+1 è posizionata alla distanza XI + h,
mentre, il punto x in cui la derivata della funzione Kernel W’(x) si
annulla, sarà compreso tra la particella XI e I+1, come di seguito
mostrato.
σ
Trazione
stabile
instabile
-W'
h
XI
X
X
I+1
W'
instabile
stabile
Compressione
Figura 4. 1 – Instabilità d trazione delle particelle.
92
Assumendo per convenzione che la tensione negativa sarà di
compressione, e quella positiva di trazione, sarà possibile distinguere nel
piano x-σ le seguenti situazioni [8].
Trazione (σ>0)
• Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel -W’(x) è
crescente [-W’(x)>0], all’aumentare della variabile indipendente x
le particelle si allontanano, e la tensione di trazione σ allo stesso
tempo aumenta. Viceversa, al diminuire della variabile x le
particelle si avvicinano, e la tensione σ si riduce. Il sistema in
questo caso si definisce stabile.
• Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel -W’(x) è
decrescente [-W’(x)<0], all’aumentare della variabile indipendente
x le particelle si allontanano, e la tensione di trazione σ in questo
caso diminuisce. Viceversa, al diminuire della variabile x le
particelle si avvicinano, e la tensione σ aumenta. Il sistema in
questo caso si definisce instabile.
Compressione (σ<0)
• Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel W’(x) è
crescente [W’(x)>0], all’aumentare della variabile indipendente x
le particelle si allontanano, e la tensione di compressione σ
diminuisce. Viceversa, al diminuire della variabile x le particelle si
avvicinano, e la tensione σ aumenta. Il sistema in questo caso si
definisce instabile.
• Nel tratto in cui la derivata della Funzione Kernel W’(x) è
decrescente [W’(x)<0], all’aumentare della variabile indipendente
93
x le particelle si allontanano, e la tensione di compressione σ allo
stesso tempo aumenta. Viceversa, al diminuire della variabile x le
particelle si avvicinano, e la tensione σ si riduce. Il sistema in
questo caso si definisce stabile.
Tra le possibili soluzioni a questo problema Morris propose di introdurre
una speciale Kernel Function, ma tale soluzione produce risultati
soddisfacenti soltanto in alcuni casi particolari [8].
Dyka propose il cosiddetto Stress Point Method, l’idea principale su cui
si fonda, risiede nell’introdurre dei punti addizionali, oltre a quelli
introdotti per la rappresentazione delle singole particelle, nel momento in
cui si vuole valutare lo stato tensionale o altri stati variabili. Mentre le
variabili cinematiche, quali lo spostamento, la velocità, e l’accelerazione
sono ancora riferite alle particelle SPH, a questi punti addizionali sono
invece associati gli stati tensionali, o altri stati variabili nel tempo.
Tali punti sono definiti Stress Point, e non sono niente altro che delle
particelle fittizie. Di seguito si riporta una rappresentazione grafica:
Figura 4. 2 - Stress Point Method in uno spazio bi-dimensionale.
94
Condizioni di vincolo
I metodi particellari in generale hanno delle difficoltà nel rafforzare le
condizioni di vincolo essenziali. Per l’SPH, sono stati sviluppati dei
metodi correttivi per risolvere questa patologia. Notevolmente impiegato
nelle computazioni pratiche, è il così detto “Ghost Particle”, proposto
da Randles e Libersky [8]. In virtù di questo metodo, si supponga che l’iesima particella i sia vincolata, mentre le altre particelle all’interno dello
stesso dominio N(i), possano essere suddivise in tre sottoinsiemi:
• I(i): punti interni al dominio, adiacenti la particella i;
• B(i): punti di confine, adiacenti la particella i;
• G(i): punti esterni al dominio, adiacenti la particella i.
L’insieme N(i), può quindi essere espresso come l’unione dei tre
sottoinsiemi descritti:
N(i) =I(i)∪B(i)∪G(i)
Dove G(i) sono appunto le particelle fantasma introdotte (Ghost
Particle) [8].
In quest’approccio, si può ricavare l’equazione di vincolo per un
generico campo scalare fi, infatti, assumendo:
f j = fi
∀ j ∈ B (i )
f j = f bc
∀ j ∈ G (i )
Δ V j = Δ Vi
95
la formula di correzione per il generico campo scalare f, è definita come
segue:
f i = f bc +
∑ (f
j∈ I ( i )
⎛
⎜1 −
⎜
⎝
− f bc )Δ V jW ij
j
∑ ΔV W
j∈ B ( i )
j
ij
⎞
⎟
⎟
⎠
Dove:
• fbc
è il prescritto valore per x = xi;
• ΔVj
è il volume elementare della j-esima particella;
• Wij
è la funzione Kernel.
Il principale vantaggio nell’utilizzare questa formula correttiva, risiede
nel fatto che questa dipende esclusivamente dalle particelle interne, e
non da quelle esterne (Ghost Particle).
96
CAPITOLO 5 – MODELLAZIONE NUMERICA CON LS-DYNA VERSION 970
Capitolo 5
Modellazione Numerica con LS-Dyna Version 970.
Modellare numericamente una prova sperimentale significa riprodurre,
grazie all’ausilio di un codice di calcolo, lo stesso elemento oggetto della
sperimentazione. Le evidenze sperimentali serviranno per poter
verificare l’attendibilità del modello creato al calcolatore, oppure i
risultati dei test potranno essere impiegati per calibrare il modello stesso.
Tutto ciò è finalizzato alla costruzione di un modello che consente di
eseguire sperimentazioni numeriche, senza ricorrere necessariamente alle
prove sperimentali da realizzare in laboratorio, con i costi e le
problematiche che esse comportano.
Individuate quali sono le principali finalità della modellazione numerica,
bisogna poi in seguito scegliere tra i codici di calcolo strutturali a
disposizione, quello da impiegare per la simulazione stessa.
Ai fini della modellazione, si è scelto di impiegare il programma ad
elementi finiti d’uso generale LS-Dyna Version 970 [11], che consente
la simulazione di problemi complessi, ed è largamente accettato, come
software d’analisi, per le più avanzate applicazioni dell'ingegneria.
5.1 - Software LS-Dyna Version 970
LS-Dyna è un programma di calcolo ad elementi finiti, che permette di
analizzare dei comportamenti fisici altamente non lineari con dei metodi
numerici detti espliciti o impliciti. Frequenti applicazioni si hanno nel
caso di fenomeni in cui grandi deformazioni avvengono in un breve
intervallo di tempo, come ad esempio in un Crash test, o in
un’esplosione.
97
LS-Dyna conta numerosi utilizzatori nell’industria automobilistica,
aeronautica, aerospaziale e nella formatura di metalli. Il calcolo
accoppiato fluido-struttura permette di simulare l’interazione tra una
struttura e un fluido come nell’aquaplanning o nella caduta di un
recipiente contenente un fluido.
Le origini del LS-Dyna risalgono alla metà degli anni settanta, quando fu
sviluppata la sua prima versione, nota come DYNA3D, per opera del
Lawrence Livermore National Laboratory.
Il DYNA3D nasce come software d’analisi, sulla base della teoria degli
elementi finiti, per la risoluzione di problemi strutturali e di meccanica
del continuo. Grazie alla sua rapidità nell’integrazione delle equazioni
del moto, è specialmente impiegato per la risoluzione di problemi
dinamici.
Figura 5. 1 - Modellazione di una Turbina con LS-Dyna.
Essa possiede una libreria di materiali (Material Model), da poter
impiegare nelle modellazioni, tra i quali sono inclusi materiali isotropicielastici, ortotropici-elastici ed elasto-plastici. Consente la simulazione
d’elementi solidi, shell, beam, spring, e damper. Inoltre si possono
98
generare contatti tra superfici, in modo tale da considerare le interazioni
tra corpi diversi. Col passare degli anni dal 1976 fino al 1988, il
DYNA3D è stato di volta in volta arricchito con nuove caratteristiche e
possibilità, riguardanti materiali ed elementi da modellare. Nelle versioni
che si sono succedute sono stati apportati miglioramenti ai tempi
d’integrazione, per la risoluzione delle equazioni del moto, riducendo
notevolmente i tempi d’analisi, e consentendo discretizzazione sempre
più fitte degli elementi.
Verso la fine del 1988, dal DYNA3D nasce il più recente codice di
calcolo LS-Dyna. Questa evoluzione del DYNA3D è dettata dalla
crescente richiesta d’applicazioni automobilistiche. Gli sforzi per lo
sviluppo del codice di calcolo furono intensificati, proprio per far fronte
alla maggiore richiesta di risoluzione di problemi automobilistici. Agli
inizi del 1989 la scrittura del codice passò dalla Lawrence Livermore
National Laboratory (LLNL), alla Livermore Software Technology
Corporation, California. Per opera della LSTC sono state migliorate
diverse capacità del software. Da questo momento, per i successivi 18
anni, passando attraverso le diverse versioni del programma, dalla
Version 940 fino alla recentissima Version 971, innumerevoli sono state
le migliorie adottate. Tra queste si riportano di seguito solo alcune delle
più innovative ed interessanti, che caratterizzano la versione più recente,
impiegata per la modellazione numerica. Le sue capacità attuali
consentono la soluzione di Nonlinear dynamics, Rigid body dynamics,
Quasi-static simulations, Normal modes, Linear static, Thermal analysis,
Fluid analysis, Eulerian capabilities, ALE (Arbitrary LagrangianEulerian), Fluid-structure interactions, FEM-rigid multi-body dynamics
coupling (MADYMO, CAL3D), Underwater shock, Failure analysis,
Crack propagation, Real-time acoustics, Design optimization, Implicit
99
springback,
Multi-physics
coupling,
Structural-thermal
coupling,
Adaptive Remeshing, Smooth particle hydrodynamics, Element-free
meshless method [11].
LS-Dyna utilizza per la soluzione delle equazioni del moto sia il metodo
esplicito sia quello implicito. La disponibilità in un unico prodotto
software di metodi sia espliciti sia impliciti è importante, perchè un
singolo metodo di soluzione non è convenientemente applicabile in
qualsiasi situazione. Con un solo prodotto, LS-Dyna, si è in grado di
portare a soluzione le problematiche più diverse, tra cui:
• Solid Mechanics.
• Nonlinear elements for large deformations, Reduced and fully
integrated, linear elements for eigenvalues, superelements, and
linear structural analyses.
• Dynamics: Explicit methods for short duration transient problems,
implicit methods for static and long duration problems,
instantaneously switch between methods, Fluid Mechanic.
• Flow regim: Incompressible flow, Compressible flow, Acoustics.
Il metodo esplicito è in pratica l'unico applicabile in diversi casi, come
ad esempio le simulazioni d’impatto (crash e drop test), il metal forming
(stampaggi a caldo e a freddo, laminazioni, imbottiture), le simulazioni
d’eventi prodotti da esplosioni, sia in aria sia in acqua, oppure gli effetti
prodotti dai terremoti sulle strutture. Può essere impiegato per le
simulazioni su materiali non metallici quali compositi o schiume
polimeriche. Le schiume sono i principali componenti, ad esempio, dei
sedili d’auto e pertanto costituiscono un elemento di primaria importanza
100
per la sicurezza degli occupanti. In ultimo, ma non meno importante, con
il metodo esplicito si è in grado di simulare tutte le fasi d’esercizio di un
airbag, dall'esplosione della carica, al dispiegamento durante il
gonfiaggio, all'impatto del corpo umano sul cuscino gonfiato, allo
sgonfiaggio controllato.
Tra le potenzialità del software in precedenza elencate, quelle che
maggiormente ci hanno indotto a sceglierlo per la simulazione numerica,
sono senza dubbio la possibilità di implementare due metodi di
discretizzazione, dettagliatamente descritti nel capitolo precedente, il
Finite Element Method (FEM), e lo Smoothed Particle Hydrodynamics
(SPH), e in secondo luogo la capacità del codice di calcolo di
considerare grandi deformazioni che si verificano in un intervallo di
tempo di pochi millisecondi, così come accade nella simulazione di
un’esplosione.
5.2 – Modellazione della Prova Sperimentale
Con l’ausilio del codice di calcolo LS-Dyna Version 970, si sono
modellate le quattro prove sperimentali in precedenza descritte.
Si è scelto di impiegare le seguenti unità di misura [12].
Lunghezze Tempo Pressione Massa Temperatura Densità
[m]
[s]
[Pa]
[Kg]
[K]
Kg/m3]
Tabella 5. 1 – Unità di Misure adottate dal LS-Dyna Version 970.
Tale modellazione è stata condotta utilizzando due metodi di
discretizzazione differenti, il FEM e l’SPH. Si descrivono in seguito
quali sono le caratteristiche dello stesso modello realizzato con i due
metodi differenti.
101
5.2.1 – Modello FEM
L’elemento strutturale piastra viene in questo caso realizzato mediante
un Box_Solid [12]. Ovviamente la scelta del numero d’elementi che
costituiscono il Box, e quindi la piastra, è effettuata in funzione del grado
d’accuratezza che si vuole conseguire nel calcolo, associato al numero
d’informazioni che da lui si vogliono ottenere, e tenendo presente che un
numero eccessivo d’elementi solidi e di nodi che costituiscono la Mesh,
incrementano i tempi d’analisi del processore. Questo perchè il numero
d’equazioni che il processore dovrà risolvere aumenta all’aumentare del
numero di nodi. La piastra è quindi suddivisa in 11520 elementi solidi
(Solid Element) [12]. Ovviamente, trattandosi di una discretizzazione in
elementi finiti, ad ognuno di questi saranno associate le stesse
dimensioni geometriche e caratteristiche dei materiali. Le dimensioni del
singolo elemento sono (2,5x2,5x1,8)cm3, in questo modo si avrà una
maglia di 48x48 elementi distribuiti su 5 strati sovrapposti. Ogni
elemento è contraddistinto da 8 nodi, ognuno dei quali a sua volta
individuato, rispetto all’origine degli assi del sistema di riferimento
coincidente con il baricentro geometrico della piastra, dalle sue
coordinate cartesiane (x, y, z).
Ad esempio per l’elemento individuato dal numero identificativo eid
(element identification) = 1 si avrà:
*ELEMENT_SOLID
$#
eid
pid
1
1
n1
1
n2
2
n3
51
n4
50
n5
2402
n6
2403
n7
2452
n8
2451
Tabella 5. 2 – Element Solid.
Dove con ni s’indica il numero identificativo del nodo che appartiene
all’elemento, coincidente con uno dei suoi vertici, mentre pid è il
numero identificativo della Part associata all’elemento.
102
La Part è un comando del codice di calcolo che consente di assegnare a
più elementi le stesse proprietà, quali ad esempio lo stesso Material, la
stessa Equation of State (EOS) e la stessa Section, richiamando
semplicemente i rispettivi numeri identificativi (mid, eosid, secid) [12].
*PART
$# title
Part
$#
pid
1
secid
1
mid
1
eosid
1
hgid
grav
adpopt
tmid
Tabella 5. 3 – Part.
Nella Section sono definite alcune proprietà, quali la formulazione
dell’elemento, le regole d’integrazione o gli spessori nodali, secondo la
tipologia d’Element a cui la Section è associata. Nel caso della
Section_Solid si attribuisce all’elemento l’Element Formulation Optinon
(elform) [12], in questo caso specifico si sceglie di considerare costante
la tensione nel singolo elemento.
*SECTION_SOLID_TITLE
Section_Solid
$#
secid
elform
1
1
aet
Tabella 5. 4 – Section Solid.
Costruito il modello geometrico della piastra, e la mappa topologica
degli elementi finiti in cui questa è stata discretizzata, in seguito si
definiscono le condizioni di vincolo e di carico.
Per quanto riguarda le condizioni di vincolo, si crea un Set di Nodi [12],
in altre parole un insieme di Nodi, a cui andrà poi in seguito associato la
condizione di vincolo. In questo caso si è scelto di vincolare lungo l’asse
y del sistema di riferimento cartesiano, i due bordi esterni della piastra. Il
Set di nodi a loro corrispondente è il seguente:
103
*SET_NODE_LIST_TITLE
Vincoli
$#
sid
da1
37
$#
nid1
nid2
1
50
393
442
785
834
1177
1226
1569
1618
1961
2010
2353
2402
2745
2794
3137
3186
3529
3578
3921
3970
4313
4362
4705
4754
5097
5146
5489
5538
5881
5930
6273
6322
6665
6714
7057
7106
7449
7498
7841
7890
8233
8282
8625
8674
9017
9066
9409
9458
9801
9850
10193
10242
10585
10634
10977
11026
11369
11418
11761
11810
12153
12202
12545
12594
12937
12986
13329
13378
13721
13770
14113
14162
147
196
539
588
931
980
1323
1372
1715
1764
2107
2156
2499
2548
2891
2940
3283
3332
3675
3724
4067
4116
4459
4508
4851
4900
5243
5292
5635
5684
6027
6076
6419
6468
6811
6860
7203
7252
7595
7644
7987
8036
8379
8428
8771
8820
9163
9212
9555
9604
9947
9996
10339
10388
da2
da3
da4
nid3
99
491
883
1275
1667
2059
2451
2843
3235
3627
4019
4411
4803
5195
5587
5979
6371
6763
7155
7547
7939
8331
8723
9115
9507
9899
10291
10683
11075
11467
11859
12251
12643
13035
13427
13819
14211
245
637
1029
1421
1813
2205
2597
2989
3381
3773
4165
4557
4949
5341
5733
6125
6517
6909
7301
7693
8085
8477
8869
9261
9653
10045
10437
nid4
148
540
932
1324
1716
2108
2500
2892
3284
3676
4068
4460
4852
5244
5636
6028
6420
6812
7204
7596
7988
8380
8772
9164
9556
9948
10340
10732
11124
11516
11908
12300
12692
13084
13476
13868
14260
294
686
1078
1470
1862
2254
2646
3038
3430
3822
4214
4606
4998
5390
5782
6174
6566
6958
7350
7742
8134
8526
8918
9310
9702
10094
10486
nid5
197
589
981
1373
1765
2157
2549
2941
3333
3725
4117
4509
4901
5293
5685
6077
6469
6861
7253
7645
8037
8429
8821
9213
9605
9997
10389
10781
11173
11565
11957
12349
12741
13133
13525
13917
14309
343
735
1127
1519
1911
2303
2695
3087
3479
3871
4263
4655
5047
5439
5831
6223
6615
7007
7399
7791
8183
8575
8967
9359
9751
10143
10535
104
nid6
246
638
1030
1422
1814
2206
2598
2990
3382
3774
4166
4558
4950
5342
5734
6126
6518
6910
7302
7694
8086
8478
8870
9262
9654
10046
10438
10830
11222
11614
12006
12398
12790
13182
13574
13966
14358
392
784
1176
1568
1960
2352
2744
3136
3528
3920
4312
4704
5096
5488
5880
6272
6664
7056
7448
7840
8232
8624
9016
9408
9800
10192
10584
nid7
295
687
1079
1471
1863
2255
2647
3039
3431
3823
4215
4607
4999
5391
5783
6175
6567
6959
7351
7743
8135
8527
8919
9311
9703
10095
10487
10879
11271
11663
12055
12447
12839
13231
13623
14015
49
441
833
1225
1617
2009
2401
2793
3185
3577
3969
4361
4753
5145
5537
5929
6321
6713
7105
7497
7889
8281
8673
9065
9457
9849
10241
10633
nid8
344
736
1128
1520
1912
2304
2696
3088
3480
3872
4264
4656
5048
5440
5832
6224
6616
7008
7400
7792
8184
8576
8968
9360
9752
10144
10536
10928
11320
11712
12104
12496
12888
13280
13672
14064
98
490
882
1274
1666
2058
2450
2842
3234
3626
4018
4410
4802
5194
5586
5978
6370
6762
7154
7546
7938
8330
8722
9114
9506
9898
10290
10682
10731
11123
11515
11907
12299
12691
13083
13475
13867
14259
10780
11172
11564
11956
12348
12740
13132
13524
13916
14308
10829
11221
11613
12005
12397
12789
13181
13573
13965
14357
10878
11270
11662
12054
12446
12838
13230
13622
14014
14406
10927
11319
11711
12103
12495
12887
13279
13671
14063
10976
11368
11760
12152
12544
12936
13328
13720
14112
11025
11417
11809
12201
12593
12985
13377
13769
14161
11074
11466
11858
12250
12642
13034
13426
13818
14210
Tabella 5. 5 – Set_Node_List Vincoli.
Al Set di nodi così definito sono poi associate le condizioni di vincolo,
bloccando gli spostamenti di tali nodi nelle direzioni x y e z, realizzando
così un vincolo di tipo incastro.
*BOUNDARY_SPC_SET_ID
$#
cid
1Incasro
$#
nsid
cid
37
0
heading
dofx
1
dofy
1
dofz
1
dofrx
dofry
dofrz
Tabella 5. 6 – Boundary Condiction.
Come si può notare, nella Card che definisce le condizioni di vincolo
(Boundary Condiction) [12] una volta richiamato il nsid (Node Set
Identification), corrispondente al Set di nodi creato in precedenza, si
definiscono quali sono gli spostamenti e gli assi lungo i quali avvengono,
oppure le rotazioni e gli assi rispetto ai quali si realizzano, che devono
essere impediti.
Una volta calcolate le curve di pressione che agiscono all’estradosso
della piastra, così come descritto al Capitolo 3, queste dovranno essere
definite nel modello e in seguito assegnate agli elementi solidi.
Per definire una qualsivoglia curva, che indichi l’andamento della
pressione in funzione del tempo, o che sia in ogni modo l’andamento di
una variabile dipendente in funzione di un'altra indipendente (ese.
Temperatura e Tempo), si utilizza il comando Define_Curve[12].
Questo comando consente di assegnare in maniera tabulata, nel piano (x,
105
y), i valori da associare alle due variabili, indipendente lungo l’asse delle
ascisse e dipendente lungo l’asse delle ordinate. Inoltre, si possono anche
definire dei fattori di scala e d’Offset sia per i valori lungo l’asse delle
ascisse (sfa, offa), che per quelli definiti lungo l’asse delle ordinate (sfo,
offo). Ad ogni curva si associa un nome (Title), e un numero
identificativo lcid (Load Curve Identification) [12].
A titolo d’esempio si riporta una delle 36 curve di carico, definite per
modellare l’effetto prodotto sulla superficie della piastra, investita
dall’onda d’urto prodotta dall’esplosione:
*DEFINE_CURVE_TITLE
A-1
$#
lcid
sidr
1
0
$#
a1
0.000
4.9999999e-005
9.9999997e-005
1.5000001e-004
1.9999999e-004
2.5000001e-004
3.0000001e-004
3.4999999e-004
3.9999999e-004
4.4999999e-004
5.0000002e-004
5.5000000e-004
6.0000003e-004
6.5000000e-004
6.9999998e-004
7.5000001e-004
7.9999998e-004
8.5000001e-004
8.9999998e-004
9.5000002e-004
0.00100000
0.00105000
0.00110000
0.00115000
0.00120000
0.00125000
0.00130000
0.00135000
0.00140000
0.00145000
0.00150000
0.00160000
0.00170000
0.00180000
0.00190000
0.00205000
0.00220000
0.00235000
0.00250000
0.00265000
0.00280000
sfa
1.000000
sfo
1.000000
o1
1.6806463e+005
1.4723016e+005
1.2860335e+005
1.1196810e+005
97128.437500
83906.765625
72142.164063
61688.882813
52414.949219
44200.937500
36938.789063
30530.804688
24888.658203
19932.556641
15590.442383
11797.274414
8494.3789063
5628.8549805
3153.0300293
1023.9760132
-796.94500732
-2344.4819336
-3649.8649902
-4741.1430664
-5643.4848633
-6379.4589844
-6969.2807617
-7431.0468750
-7780.9331055
-8033.3881836
-8201.3037109
-8328.1982422
-8239.0712891
-7994.9111328
-7643.4130859
-6993.4340820
-6273.6499023
-5543.2690430
-4839.4492188
-4184.0019531
-3588.2438965
106
offa
offo
dattyp
0.00300000
0.00320000
0.00340000
0.00360000
0.00380000
0.00400000
0.00420000
-2893.4970703
-2310.4570313
-1829.9639893
-1439.5209961
-1125.7989502
Tabella 5. 7 – Curva di Pressione Tabulata.
Grafico 5. 1 – Andamento della Curva di Pressione, calcolata per l’area di carico
A-1 e relativa alla prima prova modellata.
Lo stesso procedimento è ripetuto per le 36 diverse curve di pressione
calcolate in precedenza, e per le quattro diverse condizioni di carico
realizzate nelle altrettante prove sperimentali eseguite.
Definite le curve di carico, bisognerà poi in seguito assegnare queste
condizioni di carico agli elementi che costituiscono la piastra stessa.
Per i modelli realizzati in FEM, si è scelto di applicare il carico in
maniera distribuita. In questo caso sono stati definiti dei Set_Segment
[12], vale a dire delle aree di carico, coincidenti con le stesse che
abbiamo in precedenza definito per il calcolo delle curve di pressioni
derivanti dall’esplosione. Per definire un Segment è sufficiente
individuare 4 nodi che lo delimitano, il singolo Segment sarà quindi una
107
semplice area quadrata. Ogni Set_Segment sarà invece costituito da 4
Segment diversi, tra loro simmetrici rispetto al centro della piastra. Si
ricorda, infatti, che la condizione di carico a cui la piastra è sottoposta è
perfettamente simmetrica rispetto al centro della stessa, essendo la carica
esplosiva posizionata ad una certa distanza dal suo centro. In definitiva
avremo 36 Set_Segment, per un totale di 144 Segment [12].
*SET_SEGMENT_TITLE
A-1
$#
sid
da1
1
$#
n1
n2
14382
14186
12030
12034
14382
14378
12030
12226
da2
da3
da4
n3
14190
12230
14182
12222
n4
14386
12226
14186
12026
a1
a2
a3
a4
Tabella 5. 8 - Set_Segment.
Ad ogni Set_Segment è poi associata la corrispondente curva di
pressione, sapendo che questa si ripete identicamente per i 4 Segment a
lei appartenenti.
A tale fine si utilizza il comando Load Set_Segment [12], che consente di
associare ad ogni ssid (Set_Segment Identification) la corrispondente
lcid (Load Curve Identification), moltiplicata per un fattore di scala sf, il
quale si assume unitario. Questo comando ci consente di applicare una
pressione distribuita su un’area quadrilatera definita da 4 nodi.
*LOAD_SEGMENT_SET
$#
ssid
lcid
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
sf
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
at
108
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
Tabella 5. 9 – Load Set_Segment.
Figura 5. 2 - Sezione della Piastra sottoposta a Carico distribuito.
Per realizzare un modello quanto più attendibile è possibile, sarà
necessario attribuire a singoli elementi anche il proprio peso. Per fare
questo è necessario creare una Set_Part_List, in altre parole una lista di
Part alle quali associare un unico carico, il peso proprio. Si associa
quindi alla Set_Part_List l’unica Part di cui disponiamo [12].
109
*SET_PART_LIST_TITLE
part list solid
$#
sid
da1
1
$#
pid1
pid2
1
da2
da3
da4
pid3
pid4
pid5
pid6
pid7
pid8
Tabella 5. 10 – Set_Part_List.
Si definisce quindi un ulteriore curva, in questo caso semplicemente
costate, essendo la forza peso sempre la stessa indipendentemente dal
tempo, si definisce un Load_Body_Z [12], in cui si moltiplica la curva di
carico in precedenza costruita per un fattore di scala sf, pari a 9,81 m/s2,
l’accelerazione di gravità, e si associa la nuova condizione di carico
all’intera Part.
*DEFINE_CURVE_TITLE
Peso
$#
lcid
sidr
37
0
$#
a1
0.000
0.00600000
*LOAD_BODY_PARTS
$#
psid
1
*LOAD_BODY_Z
$#
lcid
sf
37 9.810000
sfa
1.000000
sfo
1.000000
o1
1.00000000
1.00000000
lciddr
xc
offa
offo
yc
zc
dattyp
Tabella 5. 11 – Carico da Peso Proprio.
Per completare il modello, non rimane altro che definire le caratteristiche
meccaniche dei materiali, calcestruzzo e acciaio, utilizzati per la
costruzione della piastra. A tal scopo si rimanda al Capitolo 6, in cui si
descriveranno in maniera dettagliata i Material Model impiegati, il modo
in cui si definisce l’Equation of State ad essi associati, ed infine le curve
di Strain-Rate, che descrivono il miglioramento del comportamento dei
materiali, per effetto dei carichi dinamici a cui sono soggetti. Queste
ultime Card che definiscono il modello sono le stesse sia per il Metodo
FEM sia per quello SPH.
110
Completato il modello in FEM per la prima condizione di carico, per
costruire gli altri tre modelli rimanenti, sarà sufficiente copiare lo stesso
modello modificando le sole curve di pressione riguardanti le altre tre
condizioni di carico.
5.2.2 – Modello SPH
In questo caso per creare l’elemento piastra, a differenza di quanto fatto
per il modello FEM, non si costruisce una Mesh, bensì una mappa
topologica di soli nodi. In questo caso, infatti, la piastra non è suddivisa
in un numero discreto d’elementi finiti di forma prismatica, ma in un
numero discreto d’elementi nodali, definiti particelle. Ad ogni particella
è associata una massa ed una posizione nello spazio, individuata dalle tre
coordinate (x, y, z), sempre rispetto all’origine degli assi del riferimento
cartesiano considerato dal programma. Ad ogni nodo della mappa
topologica costruita in precedenza, si associa un elemento particellare
dotato di massa. La piastra è stata discretizzata in un numero totale di
particelle pari a 11520. Essendo il numero di particelle coincidenti con
quello degli Element Solid, in cui è stata discretizzata la piastra con il
metodo FEM, si potrà operare il confronto tra i due metodi. Questi
elementi particellari si distribuiscono su cinque superfici sovrapposte,
ognuna delle quali costituita da 48x48 elementi particellari. Nel piano (x,
y) le particelle distano tra loro 2,5 cm in entrambe le direzioni, mentre
lungo l’asse z i cinque strati sono posti ad una distanza di 2,25 cm.
La massa d’ogni singola particella è stata semplicemente calcolata
dividendo il peso totale della piastra per il numero di particelle che la
costituiscono.
111
Ptot = γs Vtot = 2500 Kg/m3 (0,09 x1,2 x1,2)m3 = 324 Kg
⇓
Mele = Ptot / Numele = 324 Kg / 6912 = 0,046875 Kg
*ELEMENT_SPH
$#
nid
pid
1
mass
1
0.04687500
Tabella 5. 12 – Element SPH.
Ad ogni nid (Node Identification) è attribuita una particella di massa
(mass) pari a 0,046875 Kg, ed una pid (Part Identification), a cui
compete la stessa definizione data per la modellazione in FEM [12].
La differenza principale che sussiste tra la modellazione in FEM e quella
in SPH, risiede nella definizione della Section da associare all’elemento
modellato. Mentre per il metodo FEM si è attribuito all’elemento
modellato una Section_Solid, in questo caso sarà ovviamente necessario
definire una Section_SPH [12]. Questo comando consente di associare
alcune proprietà alle singole particelle.
*SECTION_SPH_TITLE
SPH_section
$#
secid
cslh
1 1.200000
hmin
0.200000
hmax
2.000000
sphini
death
0.0001.0000E+20
start
Tabella 5. 13 – Section SPH.
Il parametro numerico di maggiore interesse che deve essere in questo
caso definito, è la Smoothing Lenght (h), di cui già si è detto nel capitolo
precedente.
Il processore LS-Dyna utilizza una Smoothing Lenght variabile durante il
tempo d’analisi. Il Processore calcola un valore iniziale di Smoothing
Lenght (h0), come la massima tra le minime distanze tra ogni particella.
112
Ad ogni particella è associato la propria Smoothing Lenght, che varia nel
tempo in accordo con la seguente equazione:
d
dt
( h ( t )) = h ( t ) div ( v )
Dove h(t) è la Smoothing Lenght in funzione del tempo, mentre div(v) è
la divergenza del flusso. La Smoothing Lenght aumenta, quando le
particelle si allontanano le une dalle altre e si riduce, quando aumenta la
densità delle particelle. Esso varia in modo tale da mantenere costante il
numero di particelle tra loro vicine.
La Smoothing Lenght varia tra un valore minimo e uno massimo:
H
min
⋅ h0 ≤ h (t ) ≤ H
max
⋅ h0
Non è possibile associare un valore unitario né a quello massimo né a
quello minimo, Hmin e Hmax, in quanto così facendo si definirebbe una
Smoothing Lenght costante al variare del tempo e dello spazio, e
coincidente con quella iniziale h0 calcolata dal processore [11].
Nella Card della Section_SPH, è necessario definire oltre al valore
minimo e massimo della Smoothing Lenght (hmin, hmax), anche una
costante cslh, che moltiplica la Smoothing Lenght delle particelle. Tale
valore deve essere compreso tra 1,05 e 1,3. Il valore di Default è uguale
1,2 ed è ritenuto accettabile per diverse problematiche. Valori inferiori
all’unità sono ritenuti inammissibili, mentre quelli maggiori di 1,3
aumenterebbero i tempi di computazione del software.
I parametri sphini, death e start, che definiscono la Card, individuano
rispettivamente un valore iniziale della Smoothing Lenght, ed il tempo
d’arresto e d’inizio dell’approssimazione. Nel primo caso se si definisce
113
un valore di sphini diverso dallo 0,0 si sovrascrive il valore iniziale h0
calcolato dal processore all’inizio del calcolo [11].
Una successiva differenza rispetto al modello costruito in FEM, riguarda
la modalità d’applicazione dei carichi. Questi ultimi ovviamente non
variano per le stesse prove che sono state modellate, al variare dei due
metodi impiegati FEM e SPH.
In questo caso essendo la piastra discretizzata in un numero finito
d’elementi nodali (Element_SPH), è preferibile applicare il carico
nodalmente. Si passa quindi da una condizione di carico distribuita ad
una di carico concentrato. Ogni singolo elemento particellare che
costituisce l’estradosso della piastra, sarà quindi soggetto ad una forza
concentrata, d’intensità variabile da una particella all’altra, e diretta
lungo l’asse z verso il basso.
Per definire questa condizione di carico è quindi necessario costruire dei
Set di nodi, allo stesso modo di quanto visto per la definizione delle
condizioni di vincolo. Si definiranno quindi 36 Set_Node_List [12], ad
ognuno dei quali apparteranno 64 nodi differenti, riconducibili alle 4
aeree di carico, simmetriche rispetto al centro della piastra, così come
descritte in precedenza.
*SET_NODE_LIST_TITLE
A-1
$#
sid
da1
1
$#
nid1
nid2
6885
6886
4773
4774
4681
4682
4777
4778
4677
4678
6789
6790
6889
6890
6793
6794
da2
da3
da4
nid3
6887
4775
4683
4779
4679
6791
6891
6795
nid4
6888
4776
4684
4780
4680
6792
6892
6796
nid5
6837
4725
4633
4729
4629
6741
6841
6745
nid6
6838
4726
4634
4730
4630
6742
6842
6746
Tabella 5. 14 – Set_Node_List Carico.
114
nid7
6839
4727
4635
4731
4631
6743
6843
6747
nid8
6840
4728
4636
4732
4632
6744
6844
6748
Per applicare il carico in modo concentrato su ogni particella, si usa il
comando Load_Noad_Set [12]. In questo modo si attribuisce ad ogni Set
di nodi la corrispondente Curva di Carico (Load Curve). Per tener conto
che si sta passando da una pressione, e quindi una forza per unità di
superficie, ad una forza concentrata, la curva di carico dovrà essere
moltiplicata per un fattore di scala, pari all’area di carico che compete ad
ogni singola particella, che sarà pari a (2,5x2,5) cm2.
*LOAD_NODE_SET
$#
nsid
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
dof
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
lcid
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
sf
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
-6.250E-4
cid
m1
m2
m3
Tabella 5. 15 – Load_Node_Set.
Dove il dof indica la direzione in cui il carico agisce, il fattore di scala
invece si pone negativo perché il carico è applicato verso il basso.
115
Le altre Card che completano il modello in SPH equivalgono a quelle
definite per il modello FEM.
Per rendere più realistica la nostra modellazione, è stato considerato
anche l’effetto di Damping, impostando lo stesso al valore tipico per un
calcestruzzo del 5%. Questo comando consente, infatti, di considerare lo
smorzamento della velocità con la quale si muovono gli elementi.
Tra le varie possibilità si è scelto il Damping_Frequency_Range [12],
che consente di applicare l’effetto di smorzamento alla Part
dell’elemento.
*DAMPING_FREQUENCY_RANGE
$#
cdamp
flow
fhigh
0.050000 0.100000 100.00000
psid
1
Tabella 5. 16 – Damping.
Una volta assegnata la costante di Damping cdamp, si definisce un
range di frequenze, flow e fhigh, entro cui si considera l’effetto di
smorzamento.
116
CAPITOLO 6 – LEGAMI COSTITUTIVI DEL CALCESTRUZZO
Capitolo 6
Legami Costitutivi del Calcestruzzo
Un aspetto cruciale di questa modellazione risiede nella definizione delle
caratteristiche meccaniche del calcestruzzo. Il Software di calcolo LSDyna Version 970 implementa più di duecento Legami Costitutivi,
ognuno dei quali impiegati per la modellazione di materiali differenti. Si
ha quindi la possibilità di scegliere tra un’ampia gamma di Material
Model, secondo gli obiettivi che si vogliono perseguire e dei modelli che
si vogliono creare.
In maniera molto sintetica è possibile classificare i Material Model in
funzione del tipo di materiale da modellare, delle caratteristiche peculiari
ad essi associate, e dei metodi di discretizzazione con essi compatibili. In
particolar modo è possibile distinguere modelli finalizzati alla
modellazione di materiali plastici, compositi, ceramici, fluidi, vetrosi,
idrodinamici, metallici, gommosi, schiumosi ed infine terreni e
calcestruzzi.
Inoltre, nel caso specifico della modellazione realizzata era necessario
scegliere un Material Model che consentisse di considerare il così detto
effetto di Strain-Rate, e il raggiungimento della condizione di rottura
(Failure) [12].
Tra tutti i Material Model quelli che meglio rispondono a dette necessità
sono lo Pseudo Tensor (Mat_016) e il Concrete Damage (Mat_072).
6.1 – Pseudo – Tensor(Mat_016)
Nell’analisi di strutture sottoposte a carichi da esplosione e per grandi
valori di deformazioni, i codici di calcolo Lagrangiani basati sulla teoria
117
degli elementi finiti, necessitano di uno strumento efficace per la
modellazione del comportamento del materiale.
In particolar modo per la modellazione d’elementi in calcestruzzo
armato, l’implementazione di un’efficiente Material Model si è
dimostrata complessa e variabile. Diversi modelli sono propriamente
adatti per descrivere il comportamento costitutivo del calcestruzzo, che
va dalla risposta elastica del materiale fino alla sua rottura. Tra questi si
annovera lo Pseudo Tensor, che risulta essere uno dei migliori.
Questo modello può essere impiegato definendo due superfici in
funzione della pressione media p, una di rottura massima σmax, e l’altra di
Δσ
tensione residua σr [13].
σmax = a0 +
σr = a0 f +
p
a1 + a2 p
p
a1 f + a2 p
P
Figura 6. 1 – Superficie di rottura massima e residua.
È necessario associare al modello del materiale un equazione di stato,
essa fornisce il valore corrente della pressione p come una funzione della
deformazione volumetrica. In funzione della pressione si definisce una
118
superficie di snervamento o di rottura (Yeld o Failure), che limita il
secondo invariante della parte deviatorica del tensore tensionale.
La superficie superiore indica la tensione massima di snervamento del
materiale σmax, al variare della pressione p, mentre quell’inferiore la
tensione di rottura σfailed. Come si può osservare le due superfici sono
definite in funzione di cinque parametri a0, a1, a2, a0f e a1f, ai quali è
quindi necessario associare un valore numerico nella Card del materiale.
Il codice di calcolo impiegato ai fini della modellazione, suggerisce un
metodo semplice per la definizione di detti parametri, l’Internal
Generation [14].
Quando si utilizza questo tipo di materiale per la modellazione del
calcestruzzo, si ha la possibilità di definire i parametri della Card del
materiale, in funzione della sola resistenza a compressione del
calcestruzzo non confinato f’c. Questa viene, infatti, assunta come la
tensione di rottura a compressione σf. Tutto questo è reso possibile
assumendo semplicemente un valore negativo per il parametro a0, ad
esempio a0 = - 1 [14].
In questo modo il parametro –a0 è considerato come un fattore di
conversione tra l’unità di misura usata dal LS-Dyna per la pressione, e la
stessa espressa in psi [14].
Inoltre, questo Material Model consente di considerare anche la presenza
di una percentuale di armatura di rinforzo, di cui se ne definiscono le
caratteristiche meccaniche. Per i suddetti motivi, il Mat_016 è
raccomandato per l’analisi d’elementi strutturali in cemento armato
soggetti a carichi impulsivi.
A titolo d’esempio, si riporta di seguito la Card del programma LS-Dyna
attraverso il quale si definisce le caratteristiche del materiale, impiegato
119
nella modellazione della piastra, qualora si volesse usare l’opzione
Internal Generation:
*MAT_PSEUDO_TENSOR_TITLE
C.A.
$#
mid
ro
g
1 2500.0000 7.3486E+9
$#
sigf
a0
a1
9.7896E+6 -1.000000
0.000
$#
er
prr
sigy
1.9990E+11 0.300000 3.8820E+8
$#
x1
x2
x3
0.000
0.000
0.000
$#
x9
x10
x11
0.000
0.000
0.000
$#
ys1
ys2
ys3
0.000
0.000
0.000
$#
ys9
ys10
ys11
0.000
0.000
0.000
pr
0.200000
a2
0.000
etan
a0f
0.000
lcp
a1f
0.000
lcr
b1
0.000
per
0.527980
x4
0.000
x12
0.000
ys4
0.000
ys12
0.000
x5
0.000
x13
0.000
ys5
0.000
ys13
0.000
x6
0.000
x14
0.000
ys6
0.000
ys14
0.000
x7
0.000
x15
0.000
ys7
0.000
ys15
0.000
x8
0.000
x16
0.000
ys8
0.000
ys16
0.000
Figura 6. 2 – Card Material Model_016.
Dove:
ro
g
pr
sigf
a0
Calcestruzzo
Densità di massa
Modulo di elasticità a taglio
Rapporto di Poisson
Tensione di rottura a compressione
Coesione
per
er
prr
sigy
etan
Acciaio
% di Armatura
Modulo di Young
Rapporto di Poisson
Tensione di snervamento
Tensione tangenziale
Tabella 6. 1 – parametri che definiscono la Card del Material Model.
Nel momento in cui al parametro a0 si associa un valore negativo, il
numero identificativo da associare all’equazione di stato (EOSid) nella
Part del modello, si pone uguale a zero. In questo modo sarà
automaticamente generata un equazione di stato Tabulated Compaction
(EOS 8) in funzione dei soli valori f’c, e del Rapporto di Poisson ν.
Questo tipo d’approccio è troppo semplificativo, e non consente di
controllare quanto fatto in automatico dal software. Per questo motivo è
preferibile assegnare tutti i parametri richiesti dalla Card del materiale,
ad ognuno dei quali si associa un significato fisico.
Lo Pseudo Tensor considera in maniera dissociata la risposta deviatorica
e quella sferica del calcestruzzo durante la fase di carico e ricarico.
120
Durante la fase di carico iniziale o di ricarico, la parte deviatorica si
mantiene elastica fino a raggiungere la superficie iniziale di snervamento
(Yeld Surface), raggiunta la quale può ancora aumentare fino a
raggiungere la superficie di rottura massima (Max Surface). Quando il
provino di calcestruzzo è poi scaricato, la parte deviatorica del tensore
delle tensioni raggiunge la superficie di rottura residua (Residual
Surface). Così come mostrato nella seguente figura [13].
Figura 6. 3 – Andamento della superficie di rottura corrente Δσ, in funzione della
tensione sferica p.
La superficie di rottura corrente Δσ che limita la parte deviatorica dello
stato tensionale, è definita come una combinazione lineare di due
superfici, Δσm e Δσr, a loro volta definiti in funzione della tensione
sferica p [13].
Δ σ
= η Δ σ
m
+ (1 − η ) Δ σ
121
r
Dove:
Δ σ
Δ σ
= a
m
r
= a
0
0 f
+
+
p
a1 + a
a1
f
2
p
+ a
p
2
p
Con Δσm s’indica la superficie di rottura massima, mentre con Δσr quella
residua [13].
Nelle precedenti espressioni compare la tensione sferica p, che a sua
volta è definita in funzione delle tensioni normali:
p = −
(σ
x
+ σ
y
+ σ
z
)
3
Il parametro η indica la funzione di migrazione tra la superficie di
rottura residua e quella massima, ed è definito in funzione di λ,
quest’ultimo è una misura della deformazione plastica effettiva, ed
indica il danno accumulato dal materiale. La funzione η = η(λ) è di tipo
lineare, e va da 0 a 1, e da 1 a 0 [13].
La superficie di snervamento iniziale Δσy (Yeld Surface), è compresa tra
quella di rottura massima e residua, Δσm e Δσr, e si esprime come segue:
Δ σ
y
= η
y
Δ σ
m
+ (1 − η
y
)Δ σ
r
Dove ηy = η(0), in altre parole è il valore iniziale di η prima ancora che
abbia inizio la plasticizzazione del materiale, i risultati provenienti da
prove di compressione tri-assiale sul calcestruzzo, hanno mostrato che la
superficie di snervamento iniziale Δσy, dovrebbe essere circa il 45% di
quella massima. Dato che le due superfici diventano parallele per grandi
122
valori di p, esse non possono propriamente rappresentare il punto di
transizione tra il comportamento duttile e quello fragile.
Di seguito si descrive il significato delle superfici di rottura[13]:
Figura 6. 4 – Superfici di Rottura.
Compressive Meridian
La Compressive Meridian indica l’andamento della Δσm, i dati per la sua
costruzione si ottengono solitamente attraverso prove sperimentali
condotte su provini di calcestruzzo sottoposti a compressioni assiali non
confinati, e prove di compressione tri-assiali con vari livelli di
confinamento. I test usuali non forniscono in ogni modo risultati per
valori di pressione inferiori a f’c/3. Per il modello originale Pseudo
Tensor, sono necessari almeno due livelli di confinamento diversi da
zero affinché la Compressive Meridian sia definita da tre parametri a0, a1
e a2. Questi tre parametri che definisco la superficie di rottura massima
123
Δσm, solitamente sovrastimano gli sforzi, quando sono estrapolati per
valori inferiori a f’c/3.
Tensile Meridian
È noto che la Tensile Meridian della superficie di rottura per il
calcestruzzo è solitamente inferiore rispetto alla Compressive Meridian.
Dati sperimentali suggeriscono che il rapporto tra la Tensile e
Compressive Meridian, denotato da ψ, è compreso tra 0,5, quando le
pressioni sono negative, e 1, per livelli di confinamento elevati.
Tensile Cutoff
La Tensile Cutoff è inserita proprio per cercare di limitare i difetti del
modello per valori bassi di pressione, citati nella definizione della
Compressive Meridian. La Tensile Cutoff limita la tensione principale
massima allo sforzo di trazione ft. Ciò in ogni modo non risolve il
problema per valori di tensione sferica compresa tra 0 e f’c/3.
Pressure Cutoff
Il modello originale incorpora una Pressure Cutoff, che impedisce alla
pressione di andare sotto il valore di ft/3. La Pressure Cutoff, non incide
per le prove di trazione monoassiale, mentre limita la differenza di
tensione principale al valore di ft/2 per una prova di trazione biassiale, e
a ft/3 per una tri-assiale. Entrambi questi limiti contrastano con le
evidenze sperimentali, le quali mostrano che in entrambi i casi, la
differenza
di
tensione
principale
Δσ
dovrebbe
raggiungere
approssimativamente ft. Quantunque la Pressure Cutoff sia raggiunta, lo
stato delle tensioni corrente rimane in ogni modo inalterato.
124
Il comportamento elastico del materiale è descritto con lo Pseudo Tensor
mediante la definizione dell’equazione di stato Tabulated Compaction
(EOS8). Infatti, assegnando nell’EOS8 l’Unloading Bulk Modulus che è
una costante di elasticità definita in funzione del Modulo di Young E, e
del Rapporto di Poisson ν :
K
=
E
3 (1 − 2 ν
)
automaticamente in funzione di K il programma definisce un'altra
costante d’elasticità, che è il Modulo di elasticità a Taglio G.
Ciononostante, lo Pseudo Tensor contiene una serie di difetti, tra cui
l’incapacità di considerare la dilatazione a taglio, normalmente osservata
sui provini di calcestruzzo sottoposti a sollecitazioni di compressione.
Tali difetti sono stati corretti mediante l’introduzione del nuovo modello
Concrete Damage (Mat_072) [13].
6.2 – Concrete Damage (Mat_072)
Una prima differenza rispetto al modello originale Pseudo Tensor risiede
nella definizione di una nuova Pressure Cutoff pc. Per valori negativi di
pressione, la funzione di migrazione η, serve non solo per scalare la
superficie di rottura corrente da quella massima a quella residua, ma
anche per aumentare la pc da –ft a 0. Ciò avviene controllando la
pressione calcolata dall’equazione di stato, e facendola coincidere con pc
se non sarà soddisfatta la condizione secondo la quale deve essere p ≥ pc
[13].
125
Dove pc è uguale a –ft, se non è raggiunta la superficie di rottura
massima, ed è uguale a –ηft, se invece è raggiunta. Questa modifica può
quindi sovrascrivere la pressione calcolata dall’equazione di stato[13].
p
c
⎧ − ft
= ⎨
⎩− η ft
L’altra innovazione riguarda le superfici di rottura. Nel Concrete
Damage, infatti, è inserita una terza superficie, indipendente dalle
precedenti due. Tale superficie rappresenta quell’iniziale di snervamento,
ed è definita in funzione di tre nuovi parametri a0y, a1y e a2y, così come
segue [13]:
Δ σ
y
= a
0 y
p
+
a1y + a
2 y
p
Per quanto concerne le restanti due superfici, già viste nel modello
precedente, anche in questo caso sono apportate delle modifiche. Dato
che il calcestruzzo ha uno sforzo residuo in trazione nullo, si assume tale
anche il parametro indipendente dalla pressione p che definisce la
superficie di rottura residua, aof = 0. Sempre a proposito della superficie
di rottura residua, per considerare l’intersezione tra questa e quella di
rottura massima in un punto di transizione tra il comportamento duttile e
quello fragile, s’inserisce un nuovo parametro a2f, mentre nel modello
originale questo parametro era uguale per entrambe le superfici.
In conclusione la superficie residua adesso assume la seguente
espressione [13]:
Δ σ
r
=
p
a1
f
126
+ a
2 f
p
Nel nuovo modello, la superficie di rottura corrente dopo aver raggiunto
quella di snervamento iniziale, e prima ancora di raggiungere quella di
rottura massima, è definita come una combinazione lineare delle due:
Δ σ
= η
(Δ σ
m
− Δ σ
y
)+
Δ σ
y
Dove il parametro η è sempre compreso tra 0 e 1, ed è ancora definito
come una funzione della misura di deformazione plastica effettiva λ.
Una volta raggiunta la superficie massima, quella corrente di rottura è
ottenuta come interpolazione tra quella massima e quella residua:
Δ σ
= η
(Δ σ
m
− Δ σ
r
)+
Δ σ
r
Nel nuovo modello, la funzione di danno η = η(λ), è assegnata in
maniera tabulata dall’utente come una serie di valori (η, λ). Al variare di
λ si ottengono valori di η compresi comunque tra 0 e 1. Quando λ = 0
anche η = 0, quando λ = λm allora η = 1, e torna ad annullarsi, quando λ
assume valori maggiori di λm [13].
Finche λ non decresce, Δσ tende ad assumere i valori di Δσy, Δσm e Δσr.
Quando λ ≤ λm, allora Δσ si ottiene come un’interpolazione lineare tra
Δσy e Δσm, viceversa quando λ > λm, allora sarà data dall’interpolazione
tra Δσm e Δσr [13].
La superficie di rottura massima non subisce nessuna modifica rispetto a
quella vista nel modello originale.
Riassumendo, per il nuovo modello le tre superfici di rottura, quella
massima, residua e di snervamento, sono rispettivamente definite come
segue [13]:
127
Δ σ
Δ σ
Δ σ
m
r
y
= a
=
p
+
0
a1 + a
2
p
p
a1
= a
f
0 y
+ a
+
2 f
p
p
a1y + a
2 y
p
In prossimità del punto in cui si osserva la transizione tra il
comportamento fragile e quello duttile del materiale, avremo che sia la
Δσy sia la Δσr, saranno limitate dalla Δσm [13].
6.2.1 – Parametri che definiscono le superfici di rottura
Vediamo come si determinano i parametri a0, a1 ed a2 che definiscono la
superficie di rottura massima Δσm. Questi tre parametri dovrebbero
essere determinati mediante prove di laboratorio su provini di
calcestruzzo sottoposti a sollecitazioni di compressione assiale, e prove
di compressione tri-assiale per diversi livelli di confinamento.
Purtuttavia è possibile ottenere una stima di questi tre valori anche
numericamente. Il primo dei tre, a0, rappresenta, infatti, il punto
d’intersezione della superficie di rottura massima con l’asse delle
ordinate, Δσ(p=0) = a0 [13].
Il secondo parametro, a1, si definisce come l’inverso del minimo della
funzione Δσ:
⎡ d
⎢ dp
⎣
⎤
Δ σ ⎥
⎦
128
=
p = 0
1
a1
Infine, per grandi valori di tensione sferica p, il denominatore del
secondo termine dell’equazione che definisce Δσm, è governato dal
termine a2p, in quanto a1 diventa insignificante:
Δ σ − a0 →
1
a2
quando
p→∞
Per definire la superficie di snervamento iniziale Δσy, è invece
necessario determinare i valori dei parametri a0y, a1y e a2y. Da dati
sperimentali è possibile affermare che tale superficie sia il luogo dei
punti per Δσ = 0,45Δσm, per un percorso di compressione di tipo triassiale. Ciò vuol affermare che preso un generico punto di coordinate (p,
Δσm), appartenente alla superficie di rottura massima, il corrispondente
punto sulla superficie iniziale di snervamento (p’, Δσy) sarà definito
come:
Δ σ y = 0, 45 Δ σ m
e
p' = p −
0,55
Δσ m
3
Da cui p può essere espresso in funzione di p’, mentre nota l’espressione
di Δσm, Δσy sarà calcolato come [13]:
⎞
⎛
p
⎟⎟
Δ σ y = 0, 45 ⎜⎜ a0 +
a1 + a 2 p ⎠
⎝
Quindi, assumendo p’ = 0, avremo che Δσy = a0y, per ricavare gli altri
due parametri sarà sufficiente risolvere un sistema di due equazioni nelle
due incognite a1y e a2y.
Quando non si conoscono le superfici di rottura per un nuovo
calcestruzzo da modellare, per il qual è nota la sola resistenza a
compressione del cls non confinato f’c,new, i parametri a0n, a1n ed a2n, che
129
definiscono la nuova superficie di rottura Δσn, possono essere calcolati a
partire dai parametri noti di un altro calcestruzzo f’c,old. In questo caso
viene suggerito di definire un fattore di scala r come il rapporto tra le
resistenze a compressione del calcestruzzo non confinato, del nuovo e
del vecchio calcestruzzo [13]:
r=
f c', new
f c', old
I nuovi parametri sono quindi calcolati come:
a0 n = a0 r
a1n = a1
a2 n = a2 / r
Allo stesso modo si può pensare di calcolare i parametri che definiscono
l’andamento della Yeld Surface (a0y, a1y ed a2y), mentre i coefficienti che
determinano la Failure Surface (a1f ed a2f), si pongono uguali ad a1n ed
a2n [13].
A tal fine si fa riferimento alle caratteristiche meccaniche del
calcestruzzo impiegato per lo svolgimento di una prova sperimentale
condotta presso un centro di ricerca Svedese, per la quale si prevedeva
un blocco di calcestruzzo ad elevata resistenza, sottoposto ad un carico
da impatto [19]. Le prove condotte sono state in seguito modellate con il
codice di calcolo LS-Dyna Version 960. Note le caratteristiche
meccaniche del calcestruzzo modellato, e in particolar modo la sua
resistenza a compressione f’c,old, ed altresì note i parametri assegnati nella
Card del Material Model Concrete Damage, alla luce di quanto detto in
precedenza si sono calcolati i parametri relativi al calcestruzzo da
modellare f’c,new:
130
Caratteristiche dei Materiali
Old Material
New Material
Ec[Gpa]
58
Ec[Gpa]
17636643,45
Ec [Mpa]
58000
Ec [Mpa]
17636,64
f'c,old[Mpa]
153
f'c,new [Mpa]
13,79
f'c,old[Pa]
153000000
f'c,new [Pa]
13786202,43
Fattore di Scala
0,090105898
r
Parametri LS-Dyna Version 970
a0,old
a1,old
a2,old
5,06E+07
4,56E+06
6,57E-10
a0,new
a1,new = a1f,new
a2,new = a2f,new
a0y,old
2,28E+07
a0y,new
2,05E+06
a1y,old
a2y,old
1,033
a1y,new
a2y,new
1,033
0,465
1,46E-09
0,465
7,29E-09
1,62E-08
Tabella 6. 2 – Parametri numerici che definiscono le superfici di rottura d’input per
LS-Dyna.
Durante la fase di carico, la superficie di rottura corrente Δσ, migra tra la
superficie di rottura massima e una tra quella di snervamento iniziale e di
rottura residua [13].
Δ σ
= η
(Δ σ
max
− Δ σ
min
)+
Δ σ
min
Quando λ ≤ λm, allora Δσmin coincide con Δσy, viceversa, quando λ > λm
in tal caso Δσmin coincide con Δσr. Allo stesso modo che per il Modello
Originale Pseudo Tensor, anche in questo caso η si esprime come una
funzione di λ, che indica la deformazione plastica effettiva. L’unica
differenza risiede nell’espressione di λ, che in questo caso varia a
seconda che la parte sferica del tensore delle tensioni p, sia maggiore o
minore di 0 [13].
131
Nell’originale Material Model (Mat_016), la misura della deformazione
plastica effettiva λ, è definita come segue [13]:
ε
λ =
dε
p
∫
0
⎛
⎜⎜ 1 +
⎝
p
p
ft
⎞
⎟⎟
⎠
b1
Dove l’incremento di deformazione plastica effettiva è dato da:
dε
p
( 2 / 3 )ε
=
p
ij
ε
p
ij
Nel Concrete Damage sono apportate due modifiche nel definire il
parametro λ. Innanzitutto, si introduce un fattore sperimentale rf, che
tiene conto del miglioramento di velocità (rate enhancement), inoltre il
parametro b1 è sostituito da b2 per valori di pressione minori di 0 [13]:
λ
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ε
∫
0
ε
∫
0
d ε
p
r
f
p
r
f
p
⎛
p
⎜ 1 +
⎜
r f
⎝
d ε p
⎛
⎜ 1 +
⎜
⎝
p
r
f
f
f
b
1
t
⎞
⎟
⎟
⎠
b
2
t
⎞
⎟
⎟
⎠
p
≥
0 ;
p
<
0 ;
Quando la pressione varia tra 0 e –ft, dove con ft s’indica la resistenza a
trazione del calcestruzzo, il parametro λ rimane nullo, così come η.
L’equazione di stato riduce la pressione a –ft e la mantiene costante. Per
implementare la caduta di pressione, in seguito alla rottura per trazione,
può essere aggiunto al danno deviatorico preesistente un incremento di
danno volumetrico, ogni qual volta il percorso di tensione è chiuso al
percorso che si osserva in un test di trazione tri-assiale. Per limitare gli
132
effetti di questo cambiamento, l’incremento del danno è moltiplicato da
un fattore fd, definito come segue [13]:
fd
Dove
⎧
⎪1 −
= ⎨
⎪0
⎩
3J
3J2 / p
0 ,1
3J
2
/ p < 0 ,1
3J
se
/ p
2
se 0 ≤
2
≥ 0 ,1
è il rapporto che misura la ristrettezza di tale
3J
percorso, in cui p è la tensione sferica, mentre
2
= Δ σ , ed è
la superficie di rottura per le tensioni deviatoriche. Il termine J2, che ivi
compare nell’espressione di Δσ, è il secondo invariante del tensore delle
tensioni, così definito:
J
2
=
σ
2
1
+ σ
2
2
+ σ
2
3
2
La misura della deformazione plastica effettiva modificata per il
Concrete Damage, è incrementata da un Δλ, definito come segue [13]:
Δ λ = b 3 f d k d (ε
v
− ε
v , yeld
)
Dove b3 è un parametro definito dall’utente, di cui si dirà in seguito, kd è
un fattore scalare interno, εv è la deformazione volumetrica, e infine
εv,yeld è la deformazione volumetrica quando si raggiunge lo snervamento
del materiale [13]:
k
d
= −
ε
k
;ε
3 ft
v
133
v
= −
1
ε
3
z
Per determinare l’andamento della funzione di danno η = η(λ), che
consente di definire la superficie di rottura corrente Δσ, è quindi
necessario calcolare i tre parametri b1, b2 e b3 [13].
I parametri b2 e b3 governano l’andamento del ramo di softening della
curva tensio-deformativa del materiale, per un calcestruzzo sottoposto ad
una prova di trazione rispettivamente monoassiale e tri-assiale, quando la
tensione si muove dalla superficie di rottura massima a quella residua.
L’apertura delle fessure sul modello, sono in ogni modo dipendenti dalle
dimensioni e dalle caratteristiche della Mesh. Un modo per eliminare
questa dipendenza è imporre che l’area sottesa alla curva σ−ε sia uguale
a Gf/h. Dove Gf è l’energia di frattura, ed h la dimensione del singolo
elemento che costituisce la Mesh. Quando la localizzazione della fessura
capita in un elemento, allora h coincide con wc, dove wc è l’ampiezza
della fessura, ed è tipicamente contenuta tra 1 e 6 volte la dimensione
massima degli inerti del calcestruzzo[13]. Invece, in accordo con i codici
Europei (CEB, FIP) l’energia di frattura varia tra 40 e 175 N/m [22].
Questo modello assicura un’indipendenza dalle dimensioni della Mesh,
che consente di apprezzare anche l’apertura delle fessure sul modello.
Ciononostante, la mappa topologica della Mesh potrebbe incidere
sull’orientamento delle fessure, sia in condizioni statiche sia dinamiche.
Il parametro b2 è definito facendo variare l’andamento della curva σ−ε,
definita per una prova di trazione monoassiale, fino a che l’area sottesa
dalla curva non coincide con Gf/h. Lo stesso procedimento iterativo è
eseguito anche nella determinazione di b3, con l’unica differenza che in
questo caso si fa affidamento ai dati sperimentali provenienti da una
prova di trazione tri-assiale idrostatica e non monoassiale. Questi due
134
parametri sono di fondamentale importanza, quando l’elemento
analizzato è a debole armatura.
Il parametro b1 è determinato allo stesso modo che per i precedenti, in
questo caso il coefficiente numerico è tarato su dati sperimentali
provenienti da test a compressione monoassiale al variare del livello di
confinamento. Alla luce di quanto detto, la superficie di rottura corrente
Δσ dipende indirettamente dai tre parametri b1, b2 e b3 [13].
È possibile, infatti, schematizzare le seguenti dipendenze:
Δσ = f(η) → η = η(λ) → λ = f(b1 o b2), mentre l’incremento del
parametro di danno Δλ = f(b3).
A loro volta b1, b2 e b3 si esprimono come una funzione di Gf e h.
Queste dipendenze sono implementate dallo stesso codice di calcolo LSDyna Version 970, al quale è necessario assegnare tra gli input che
definiscono le caratteristiche del materiale, oltre ai parametri b1, b2 e b3,
anche in maniera tabulata la curva di danno η = η(λ).
Non avendo la possibilità di eseguire prove sperimentali finalizzate alla
caratterizzazione dei materiali, si è costretti ad assumere per questi tre
parametri b1, b2 e b3, tipici valori definiti per un calcestruzzo di scarsa
qualità, al quale compete un basso valore d’Energia di Frattura Gf, così
come per il calcestruzzo impiegato nello svolgimento delle prove
sperimentali modellate. A detti valori sarà associata la corrispondente
funzione di danno, definita così come descritto in precedenza:
135
Funzione di Danno η = η(λ)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
Grafico 6. 1 – Funzione di Danno, calcolata per b1 = b2 = b3 = 0,1.
Tra i due Material Model in precedenza descritti, Pseudo Tensor e il
Concrete Damage, per la modellazione del calcestruzzo si è deciso di
impiegare questo ultimo. Essendo, infatti, il Concrete Damage un
evoluzione dello Pseudo Tensor.
Di seguito per semplicità d’esposizione si riporta la Card del Material
Model così come è stata definita per la modellazione della piastra:
*MAT_CONCRETE_DAMAGE_TITLE
C.A.
$#
mid
ro
pr
1 2500.0000 0.200000
$#
sigf
a0
a1
a2
1.3790E+6 4.68E+06
0.465 7.11E-09
$#
a0y
a1y
a2y
a1f
a2f
2.11E+06
1.033 1.58E-08
0.465 7.29E-09
$#
per
er
prr
sigy
etan
0.00528 1.999E+11 0.300000 3.8820E+8
$#lambda-1 lambda-2 lambda-3 lambda-4 lambda-5
0.000
0.02E-3 2.80E-03 41.0E-03
$#lambda-9 lambda-10 lambda-11 lambda-12 lambda-13
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
$#
nu-1
nu-2
nu-3
nu-4
nu-5
0.000 1.000000 0.150000
0.000
b1
0.100000
lcp
38
lambda-6
b2
0.100000
lcr
39
lambda-7
b3
0.100000
nu-6
nu-7
nu-8
lambda-8
Tabella 6. 3 – Input per LS-Dyna del material Concrete Damage, definiti per la
modellazione della piastra.
136
Dove, oltre ai parametri in precedenza descritti e calcolati, ao, a1, a2, aoy,
a1y, a2y, a1f, a2f, b1, b2 e b3, sono presenti altri parametri che definiscono le
caratteristiche del calcestruzzo:
• mid è il numero identificativo del Material Model;
• ro
è il peso specifico del calcestruzzo;
• pr
è il Rapporto di Poisson;
• sigf è la tensione di rottura a trazione del calcestruzzo, calcolata
come un decimo di quella a compressione f’c.
Le caratteristiche dell’armatura meccanica sono invece:
• per
indica la percentuale di armatura nella sezione;
• er
è il Modulo di Elasticità longitudinale di Young;
• prr
è il Rapporto di Poisson;
• sigy è la tensione di snervamento dell’acciaio in condizione di
carico quasi statiche.
Con lcp (load curve principal) e lcr (load curve rinforcement), si
richiamano rispettivamente le curve di Strain-Rate relative al materiale
principale, il calcestruzzo, e al materiale di rinforzo, l’acciaio.
Queste curve sono definite così come di seguito descritto [12].
6.4 – Dynamic Increase Factor (DIF)
Il Dynamic Increase Factor (DIF), è un coefficiente numerico
adimensionale, che moltiplicato per la resistenza meccanica del
calcestruzzo, calcolata in condizioni di carico quasi statico, fornisce una
137
misura delle caratteristiche dinamiche, al variare della velocità di
deformazione ε (Strain Rate). La velocità di deformazione non è altro
che la variazione della deformazione al variare del tempo [18].
Per la simulazione numerica, è di fondamentale importanza definire
l’andamento del DIF in funzione della velocità di deformazione.
Trattandosi di un elemento strutturale in cemento armato, sottoposto
all’azione dinamica prodotta da un’esplosione, si avrà una velocità di
deformazione molto elevate, comprese tra 10 sec-1 e 1000 sec-1 [17]. Per
valori così elevati di Strain-Rate, le evidenze sperimentali hanno
mostrato un incremento di resistenza del calcestruzzo sia a compressione
ma soprattutto a trazione. Il DIF a compressione in alcuni casi è
maggiore di 2, mentre per la resistenza a trazione può raggiungere valori
maggiori di 6 [17].
Per l’armatura metallica di rinforzo, si può arrivare ad un incremento di
resistenza maggiore del 50% [17].
Questo incremento di resistenza determina quindi un miglioramento del
comportamento meccanico d’entrambi i materiali. Inoltre, essendo la
risposta dell’elemento strutturale in c.a. molto dipendente dal
comportamento a trazione del calcestruzzo, l’aumento di resistenza a
trazione, enfatizza l’importanza che assume la descrizione del
comportamento dinamico del materiale.
Volendo quindi considerare il cosiddetto effetto di Strain-Rate, nel
comportamento a compressione e a trazione del calcestruzzo, sottoposto
ad un carico dinamico impulsivo, si è scelto di simulare numericamente
la prova sperimentale impiegando il software LS-Dyna [11]. Infatti, tra i
diversi legami costitutivi che si possono implementare con questo codice
di calcolo strutturale, alcuni di questi forniscono la possibilità di
138
descrivere il comportamento costitutivo di un materiale in funzione della
velocità di deformazione.
Al variare del Material Model, scelto per la modellazione del materiale,
il programma fornisce tre diverse opzioni nell’assegnare l’effetto di
Strain-Rate [12]:
• Cowper and Symonds.
Questa prima scelta si fonda sulla teoria di Cowper and Symonds. In
questo caso si assegnano nella Card che definisce le caratteristiche
del materiale, due costanti C e p. In funzione delle quali il programma
calcola un fattore amplificativo (DIF) del tipo:
⎞
⎛
⎜ ε ⎟
1 + ⎜
⎜ C ⎟⎟
⎠
⎝
•
1
p
Al variare della velocità di deformazione ε , il fattore amplificativo
che ne consegue, è moltiplicato per la resistenza meccanica del
materiale, migliorandone il comportamento sotto l’azione di carichi
dinamici.
• Legame Tensione-Deformazione Parametrico.
In questo caso, durante la fase d’input, s’inseriscono i tratti plastici
del legame costitutivo del materiale, ricavati per diversi valori di ε ,
formando così una famiglia di legami costitutivi. In questo modo, al
variare della velocità di deformazione, il programma attinge da
legami costitutivi diversi, il valore della corrispondente tensione.
139
• Curva di Strain-Rate.
Il modo più semplice per assegnare l’effetto di Strain-Rate, consiste
nel definire una curva che lega alla velocità di deformazione il
corrispondente DIF. Definita e in seguito assegnata la Curva di
Strain-Rate alla Card del Material Model, al variare della velocità di
deformazione,
il
programma
estrapola
da
questa
curva
il
corrispondente valore del DIF. Questo ultimo moltiplica la tensione
di rottura a trazione σf, calcolata in condizioni di carico QuasiStatico, ed assegnata nella Card che definisce le caratteristiche
meccaniche del materiale. Così facendo al variare della velocità di
deformazione, e quindi del corrispondente DIF, si avranno valori
variabili di resistenza a trazione.
Sia lo Pseudo-Tensor sia il Concrete-Damage, che si è scelto di
impiegare nella modellazione del calcestruzzo, utilizzano quest’ultima
possibilità nell’assegnare l’effetto di Strain-Rate. Inoltre, mediante
l’assegnazione di due curve ε –DIF, definite rispettivamente per il
calcestruzzo e per l’acciaio, si avrà la possibilità di considerare il
fenomeno in maniera disaccoppiata per i due materiali, tra i quali si
considera il calcestruzzo principale e l’armatura di rinforzo secondaria.
Ovviamente, ciò presuppone la conoscenza delle curve di Strain-Rate
per entrambi i materiali.
6.4.1 – Definizione della Curva di Strain-Rate
Nel definire l’andamento del DIF in funzione della velocità di
deformazione, si è scelto di utilizzare il modello analitico proposto dal
CEB-FIP Model Code 1990 [20]. Questo modello consente di calcolare,
140
in funzione della velocità di deformazione, il valore numerico del DIF
per il calcestruzzo, sia a trazione sia a compressione.
6.4.2 – Origini della formulazione CEB-FIP
La formulazione proposta per il calcolo del DIF in funzione della
velocità di deformazione, nasce ovviamente da osservazioni sperimentali
e modelli numerici. Queste prove, condotte per caratterizzare il
comportamento a compressione e a trazione del calcestruzzo, sotto
l’azione di carichi dinamici, hanno evidenziato come l’effetto di StrainRate sul calcestruzzo, sia a trazione sia a compressione, si possa
esprimere attraverso un fattore adimensionale (DIF), inteso come il
rapporto tra lo sforzo dinamico e quello statico. Le prove sono state
condotte sottoponendo un provino di calcestruzzo cilindrico, di cui sono
note a priori le caratteristiche meccaniche, per una velocità di
deformazione Quasi-Statica, ad un carico dinamico-impulsivo. A diversi
intervalli di velocità di deformazione si misurano valori differenti di
sforzi di trazione o compressione dinamici. Il DIF è semplicemente
calcolato come rapporto tra le due caratteristiche meccaniche, quella
dinamica e quella statica. Operando un confronto tra i dati sperimentali
disponibili, e i risultati conseguiti nel definire la curva di Strain-Rate con
il modello teorico raccomandato dal CEB-FIP, si è giunti alla
calibrazione del Model Code 1990, secondo il quale il DIF per sforzi di
compressione per il calcestruzzo sarà dato da [20].
f c ⎛ ε ⎞
=⎜ ⎟
f cs ⎜⎝ ε s ⎟⎠
1.026α
⎛ ε
fc
= γ s ⎜⎜
f cs
⎝ ε s
per ε ≤ 30 s-1
1
⎞3
⎟⎟
⎠
per ε > 30 s-1
141
Dove:
• fc
è lo sforzo di compressione dinamico alla velocità di
deformazione ε;
• fcs
è lo sforzo di compressione statico alla velocità di
deformazione
εs ;
•
fc
f cs
è il Dynamic Increase Factor (DIF);
•
ε
è la velocità di deformazione compresa tra 30 x 10-6 sec-1 e
300 sec-1;
•
εs = 30 x 10-6 sec-1, è la velocità di deformazione quasi statica a
compressione;
•
log γ s = 6 . 156 α − 2
• α=
1
⎛
f ⎞
⎜⎜ 5 + 9 cs ⎟⎟
f co ⎠
⎝
;
⇒
γ
s
= 10
6 . 156 α − 0 . 492
;
fco = 10 Mpa
Questa formulazione analitica, valida per il solo calcestruzzo in
compressione, è stata ricavata su basi sperimentali.
Invece, il DIF per gli sforzi di trazione è dato da [20]:
f t ⎛ ε ⎞
=⎜ ⎟
f ts ⎜⎝ ε s ⎟⎠
1.016δ
⎛ ε
ft
= β ⎜⎜
f ts
⎝ ε s
per ε ≤ 30 s-1
1
⎞3
⎟⎟
⎠
per ε > 30 s-1
142
Dove:
• ft
è lo sforzo di trazione dinamico alla velocità di
deformazione ε;
• fts
è lo sforzo di trazione statico alla velocità di deformazione
εs;
•
ft
fts
è il Dynamic Increase Factor (DIF);
•
ε
è la velocità di deformazione compresa tra 3 x 10-6 sec-1 e
300 sec-1;
•
εs = 3 x 10-6 sec-1, è la velocità di deformazione quasi statica a
trazione;
•
log β = 7 . 11δ − 2 . 33 ⇒ β = 10
• δ=
1
⎛
f ⎞
⎜⎜10 + 6 ts ⎟⎟
f co ⎠
⎝
;
7 . 11 δ − 2 . 33
;
fco = 10 Mpa
Da queste espressioni si evince che, la relazione che sussiste tra il DIF e
la velocità di deformazione ε, riportate in un grafico e in scala
logaritmica, è di tipo bilineare, con un cambio d’inclinazione che si ha
per
ε
= 30 sec-1. Inoltre, più scadente è la qualità del calcestruzzo
adottato, e maggiore sarà il valore del DIF, essendo sempre più piccolo il
valore dello sforzo di trazione o di compressione, misurato per una
condizione di carico Quasi-Statica [20].
143
Questo modello è stato impiegato per la simulazione numerica, nelle
pagine a seguire si riportano in maniera schematica i risultati così
ottenuti:
Compres. εs' [sec-1]
30x10-6
Trazione εs' [sec-1]
3x10-6
Tabella 6. 4 – Velocità di deformazione quasi statica.
fcs [Mpa]
13,79
fcs [Mpa]
1,38
fco [Mpa]
α
γ
δ
β
10,00
0,057
0,023
0,092
0,021
Tabella 6. 5 – Caratteristiche statiche del calcestruzzo e parametri numerici utilizzati
per il calcolo delle curve di Strain-Rate.
Si riportano di seguito le Curve di Strain-Rate impiegate nella
modellazione:
DIF Calcestruzzo
ε' [sec-1]
DIF
compressione
DIF trazione
0,000003
3,00E-05
3,00E-04
3,00E-03
3,00E-02
0,3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
32
-----1,000
1,145
1,312
1,503
1,721
1,971
2,053
2,103
2,139
2,167
2,191
2,211
2,228
2,244
2,258
2,307
1,000
1,241
1,541
1,912
2,373
2,946
3,656
3,902
4,053
4,164
4,252
4,326
4,389
4,444
4,493
4,538
4,670
144
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
2,354
2,399
2,443
2,485
2,526
2,565
2,603
2,640
2,677
2,712
2,746
2,780
2,812
2,844
2,876
2,906
2,936
2,966
2,994
3,023
3,050
3,078
3,104
3,131
3,156
3,182
3,207
3,232
3,256
3,280
3,304
3,327
3,350
3,372
4,766
4,857
4,946
5,031
5,114
5,193
5,271
5,346
5,420
5,491
5,560
5,628
5,694
5,759
5,822
5,884
5,945
6,005
6,063
6,120
6,176
6,231
6,285
6,339
6,391
6,443
6,493
6,543
6,593
6,641
6,689
6,736
6,782
6,828
Tabella 6. 6 – Curve di Strain-Rate per il calcestruzzo a Trazione e Compressione
adottate nella modellazione.
145
DIF (Calcestruzzo)
10,0
DIF
Compressione
Trazione
1,0
1E-05 0,0001 0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
'
ε
Grafico 6. 2 – Funzione Bilineare in scala logaritmica del DIF per il calcestruzzo.
Dal grafico precedente si può facilmente osservare come l’aumento di
resistenza a trazione sia più del doppio di quello a compressione, ed
inoltre sì evidenzia l’andamento della curva bilineare, con il cambio
d’inclinazione intorno al valore di ε = 30 sec-1.
Per convenzione il codice di calcolo LS-DYNA considera positive le
deformazioni di trazione e negative quelle di compressione [11], e così
anche le rispettive velocità di deformazione. In conclusione, si è definita
un'unica curva di Strain-Rate, assegnando per valori negativi di velocità
di deformazione l’andamento del DIF a compressione, e per valori
positivi l’andamento del DIF a trazione:
146
Grafico 6. 3 – Input in LS-Dyna della Curva di Strain-Rate a Compressione e
Trazione per il calcestruzzo.
Avendo già premesso che il Material Model scelto per la simulazione
numerica permette di considerare in maniera disaccoppiata gli effetti
benefici di Strain-Rate per l’acciaio e per il calcestruzzo, si dovrà
definire la curva ε -DIF anche per l’acciaio. Per gli acciai da armatura
lenta, il bollettino n° 187 del CEB-FIP suggerisce una formulazione
analitica per il calcolo del DIF, basato sul modello di Johnson and Cook.
Questo ultimo, infatti, è tra tutti i modelli teorici, quello che più si
avvicina ai risultati dei test sperimentali condotti su questo tipo di
materiale.
Si ottengono così, per un tipico acciaio da carpenteria laminato a caldo la
seguente formulazione, valida per la sola tensione di snervamento:
⎛ 6.0 ⎞ ⎛ ε ⎞
= 1+ ⎜ ⎟ln⎜⎜ ⎟⎟
⎜ f ⎟ ε
f ys
⎝ ys ⎠ ⎝ 0 ⎠
f yd
147
Dove:
fyd
è la tensione di snervamento dinamica;
fys
è la tensione di snervamento statica;
ε
è la velocità di deformazione;
ε0
è la velocità di deformazione Quasi-Statica, e si
assume pari a 5·10-10 s-1;
Il DIF adoperato per l’acciaio sarà quindi dato da:
DIF (Acciaio)
fys [Mpa]
388,17
ε0' [sec ]
ε' [sec-1]
5E-10
-1
0,0000000005
3,00E-05
3,00E-04
3,00E-03
3,00E-02
0,3
2
6
10
14
18
22
26
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
104
Ln(ε/ε0)
0,000
11,002
13,305
15,607
17,910
20,212
22,110
23,208
23,719
24,055
24,307
24,507
24,675
24,818
24,972
25,105
25,223
25,328
25,424
25,511
25,591
25,665
25,734
25,798
25,859
25,916
25,970
26,022
26,061
148
1,000
1,170
1,206
1,241
1,277
1,312
1,342
1,359
1,367
1,372
1,376
1,379
1,381
1,384
1,386
1,388
1,390
1,392
1,393
1,394
1,396
1,397
1,398
1,399
1,400
1,401
1,401
1,402
1,403
108
112
116
120
124
128
132
136
140
144
148
152
156
160
164
168
172
174
26,099
26,135
26,170
26,204
26,237
26,268
26,299
26,329
26,358
26,386
26,414
26,440
26,466
26,492
26,516
26,540
26,564
26,575
1,403
1,404
1,405
1,405
1,406
1,406
1,407
1,407
1,407
1,408
1,408
1,409
1,409
1,409
1,410
1,410
1,411
1,411
Tabella 6. 7 – DIF a trazione adoperato per L’acciaio.
DIF (Acciaio)
1,6
1,5
DIF
1,4
1,3
Trazione
1,2
1,1
1,0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
'
ε
Grafico 6. 4 – Curva di Strain-Rate a trazione adoperato per l’acciaio.
6.3 – Equation of State Form 8 (Tabulated Compaction)
Nel momento in cui si sceglie di adottare i Material Model Pseudo
Tensor o Concrete Damage per la modellazione del calcestruzzo, in
entrambi i casi sarà necessario per la definizione del modello, associare a
questi materiali un equazione di stato [11].
149
Nella trattazione teorica dei due Material Model, si fa espressa richiesta
dell’impiego dell’Equazione di Stato Tabulated Compaction. Questa
equazione esprime la Pressione Media p in funzione della Deformazione
Volumetrica εv [11].
p = C (ε
v
) + γ T (ε v )E
(6 . 1 )
La pressione così calcolata sarà impiegata dal software per la definizione
delle varie superfici di rottura, in precedenza introdotte nella descrizione
dei Legami costitutivi del calcestruzzo.
Quella che indicata con p non è altro che la parte sferica del tensore delle
tensioni, o tensione sferica, definita come il valore medio delle tensioni
normali principali σ1, σ2 e σ3.
Compito dell’utente è quello di assegnare in maniera tabulata i parametri
C, γ, T ed E, da cui dipende la pressione.
Dove:
• C: Pressione espressa in Pa;
• γ: Coefficiente numerico adimensionale;
• T: temperatura espressa in gradi Kelvin;
• E: è l’energia interna.
Invece, la deformazione volumetrica εv è definita come il logaritmo
naturale del volume relativo V (LnV = εv).
La deformazione volumetrica εv di un elemento solido, quale ad esempio
un semplice prisma di dimensioni iniziali x0, y0 e z0, definite in un
sistema di riferimento (x, y, z), si può calcolare come:
ε
v
=
ΔV
V − V0
=
= ε1 + ε
V0
V0
150
2
+ ε
3
Dove:
• V0
è il volume iniziale, V0 = (x0 y0 z0);
• ΔV
è la variazione di volume, ΔV = Δx Δy Δz
Δx = εx xo ; Δy = εy yo ; Δz = εz zo;
• V
è il volume finale o relativo, V = V0 + ΔV;
Pertanto, il volume relativo V, da cui dipende la deformazione
volumetrica εv, si esprime come:
V = (x0 y0 z0) + [(εx xo)(εy yo)(εz zo)]
Attraverso semplici passaggi matematici, e semplificando i termini
d’ordine superiore, si giunge alla seguente conclusione:
V = V0 [1 + εx + εy + εz] ⇒ V = V0 [1 + εv]
Sapendo che la deformazione volumetrica si esprime come somma delle
tre deformazioni normali.
In condizioni di simmetria assiale le due deformazioni radiali εx e εy
sono tra loro uguali, quindi:
εv = εz + 2 εx
sapendo che il coefficiente di Poisson ν, esprime il rapporto che sussiste
tra deformazione assiale e quella radiale, quest’ultima si esprime in
funzione di quell’assiale come:
εx = −ν εz ⇒ εv = εz (1- 2ν)
151
avendo assunto per convenzioni, positive le deformazioni assiali se di
contrazione, e negative le rispettive deformazioni radiali di dilatazione.
In definitiva il volume relativo V si esprime come:
V = V0 [1 + εz (1- 2ν)]
Per semplicità si assumerà un volume iniziale unitario (V0 = 1).
Nella Card dell’EOS8 si possono tabulare fino ad un massimo di 10
valori di LnV. Ciononostante, anche soli due valori sono sufficienti per
ottenere un’estrapolazione della pressione [11].
L’andamento
della
pressione
in
funzione
della
deformazione
volumetrica, è illustrato nel successivo grafico [11]:
Grafico 6. 5 – Legame costitutivo Pressione-Deformazione Volumetrica.
Durante la fase di carico, la pressione segue l’andamento dettato
dall’equazione 6.1, quando il materiale è invece scaricato, la pressione
segue un percorso deformativo, la cui inclinazione è data dal Bulk
152
Modulus di Unloading, che è a sua volta funzione della deformazione
volumetrica.
Il Bulk Modulus è una costante di elasticità del materiale, definita in
funzione del Modulo di Young e del Rapporto di Poisson:
K =
E
3 (1 − 2 υ
)
Il Bulk Modulus viene calcolato in funzione del Modulo di Young
dinamico Ed, allo Strain-Rate di 400 sec-1, essendo questo il massimo
valore di velocità di deformazione che si consegue nella modellazione
numerica, secondo CEB-FIP Model Code 1990 [20].
ν
0,2
ε' [sec-1]
400,00
Es [Mpa]
17636,64
Ed [Mpa]
27018,69
Ku [Pa]
1,501E+10
Tabella 6. 8 – Bulk Modulus.
Ad ogni valore di εv in maniera tabulata è associato nella Card
dell’Equazione di Stato il valore costante di K, così come sopra definito.
Scaricando il materiale la pressione si riduce fino ad annullarsi, e si
osserva un valore residuo di deformazione volumetrica. Durante la fase
di ricarico, la pressione aumenta seguendo lo stesso percorso
deformativo, fino a ricongiungersi con la curva descritta dall’equazione
6.1, nello stesso punto in cui inizia la fase di scarico, per poi continuare
ad aumentare.
153
Assumendo γ = 0, l’Equazione di Stato si riduce in una forma più
semplice:
p = C (ε
v
)
In questo modo per definire l’Equazione di Stato sarà sufficiente
assegnare, in maniera tabulata, ad ogni valore di εv il corrispondente
valore di pressione p.
Non avendo a disposizione dati provenienti da prove sperimentali,
finalizzate alla caratterizzazione dei materiali impiegati per lo
svolgimento della prova, si è costretti a ricavare numericamente questo
legame costitutivo del calcestruzzo (εv – p).
A tal fine si è utilizzato il modello numerico Microplane Model for
Brittle-Plastic Material, proposto da Bažant Z P, Professore presso il
Dipartimento d’Ingegneria Civile, della Northwestern University,
Evanston [21].
Il modello formulato da Bažant e Prat nell’1988, è stato calibrato e
verificato su base sperimentale, comparando i risultati numerici con i
risultati di diverse prove di compressione tri-assiali.
Le superfici di rottura sono definite dalle stesse funzioni utilizzate nel
Microplane Model di Bažant and Prat 1988, per la relazione tensiodeformativa volumetrica e deviatorica. A noi interessa definire la
relazione di tipo volumetrica, che sussiste tra la tensione e la
deformazione (σv, εv).
Nella teoria classica della plasticità, una volta definita la superficie di
snervamento (Yeld Surface), la deformazione plastica inizia a crescere
nel momento in cui la tensione raggiunge detta superficie. Invece, nel
modello proposto le regioni elastiche e plastiche non sono separate, si
154
assume quindi che la transizione continua della superficie di rottura
(Failure Surface) tra le due regioni, avvenga mediante una deformazione
plastica equivalente [21].
La relazione tra tensione e deformazione volumetrica si può definire
mediante la seguente relazione:
σ
f
v
'
c
t
−s
⎡⎛
ε pl ⎞
⎛ ε pl ⎞ ⎤
Ec
⎟⎟ ⎥ ε
⎟
+ ⎜⎜
=
⎢⎜1 +
1 − 2 υ ⎢ ⎜⎝
a ⎟⎠
b
⎠ ⎥⎦
⎝
⎣
pl
Dove:
• σv
è la tensione volumetrica, che in condizione di carico
idrostatiche sarà equivalente alla sola σ3. Essendo σv = p = (σ1 +
σ2 + σ3)/3, in condizioni idrostatiche le tre tensioni principali sono
uguali tra loro, quindi p = σv = σ3.
• εpl
è la deformazione plastica. Sapendo che la deformazione
volumetrica è somma delle due aliquote, plastica ed elastica, sarà
εpl = εv – εel. La deformazione elastica εel, viene calcolata come
rapporto tra la pressione p, incognita del problema, e il Bulk
Modulus, in precedenza calcolato.
• f ’c
è la resistenza a compressione del calcestruzzo non
confinato. Il vantaggio nell’utilizzare questo metodo risiede
proprio nella possibilità d’adimensionalizzare la tensione σv
rispetto alle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo, espresse
mediante il parametro f’c.
• a, b, s e t
sono coefficienti numerici adimensionali, definiti
mediante prove sperimentali. Nel momento in cui si definisce la
superficie di rottura relativa ad uno stato tensionale idrostatico, tali
coefficienti sono determinati mediante i risultati di prove
155
idrostatiche tri-assiali. Si è scelto di utilizzare i coefficienti definiti
da Green and Swanson:
a
0,000025
b
2,5
s
0,8
t
1,15
Tabella 6. 9 – Coefficienti numerici di Green and Swanson.
All’equazione così descritta compete la seguente curva tensiodeformativa volumetrica [21]:
Figura 6. 5 – Legame costitutivo Tensione-Deformazione Volumetrica.
Fissato un valore di deformazione volumetrica εv, si calcola quella
plastica εpl come:
ε
pl
= ε
v
− ε
el
dove
ε
el
=
p
K
Dato che la pressione p, relativa alla deformazione volumetrica fissata, è
l’incognita, sarà necessario ipotizzare un valore iniziale di pressione
diverso da zero. Il valore di pressione p, per il quale si annulla la
seguente differenza, sarà la soluzione del problema:
156
t
−s
⎡⎛
ε pl ⎞
⎛ ε pl ⎞ ⎤
p
Ec
⎟
⎟⎟ ⎥ ε
−
+ ⎜⎜
⎢⎜1 +
1 − 2 υ ⎢ ⎜⎝
f c'
a ⎟⎠
b
⎝
⎠ ⎥⎦
⎣
pl
= 0
Alla deformazione volumetrica εv corrisponde il valore di pressione p,
per il quale la precedente differenza si annulla.
Iterando questo procedimento per sette valori differenti di εv, si
ottengono i seguenti risultati numerici:
Legame p - εv
εv
p [Mpa]
0,000000
0,000E+00
0,007009
4,430E+01
0,028545
1,131E+02
0,049701
2,241E+02
0,060903
2,959E+02
0,070039
3,595E+02
0,134452
896,27
Tabella 6. 10 – Risultati Numerici del legame costitutivo calcolato.
157
Legame P - ε v
1000,0
900,0
800,0
-P [Mpa
700,0
600,0
500,0
400,0
300,0
200,0
100,0
0,0
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
0,160
−εv
Grafico 6. 6 – Legame Tensio-Deformativo Volumetrico.
In funzione della deformazione volumetrica, si calcola il volume relativo
V, cosi come descritto in precedenza, se ne calcola il logaritmo naturale
LnV, e si associa a lui il corrispondente valore di pressione p, espressa in
Pa, così come richiesto nella Card dell’Equation of State [11].
V
lnV
P [Pa]
1,0000000
0,9929907
0,9714553
0,9502986
0,9390965
0,9299607
0,8655484
0,000000
-0,007034
-0,028960
-0,050979
-0,062837
-0,072613
-0,144392
0,000000000
44300397,98
113129376,66
224085069,19
295858999,46
359539685,41
896273020,00
Tabella 6. 11 – Valori Tabulati dell’equazione di stato.
158
Equazione di Stato 8
1,E+09
9,E+08
8,E+08
7,E+08
P[Pa]
6,E+08
EOS8
5,E+08
4,E+08
3,E+08
2,E+08
1,E+08
-0,200
-0,150
-0,100
-0,050
0,E+00
0,000
lnV
Grafico 6. 7 – Equazione di Stato assegnata come input in LS-Dyna, per la
modellazione della piastra in c.a.
Per una Card dell’Equation of State che si va così a comporre:
*EOS_TABULATED_COMPACTION
$#
eosid
gama
e0
vo
1
0.000
0.000 1.000000
$#
ev1
ev2
ev3
0.000
-0.00703000
-0.02896000
$#
ev6
ev7
ev8
-0.07261000
-0.14439000
$#
c1
c2
c3
0.000 4.4300396e+007 1.1312938e+008
$#
c6
c7
c8
3.5953968e+008 8.9627302e+008
$#
t1
t2
t3
0.000
0.000
0.000
$#
t6
t7
t8
0.000
0.000
0.000
$#
k1
k2
k3
1.5010385e+010 1.5010385e+010 1.5010385e+010
$#
k6
k7
k8
1.5010385e+010 1.5010385e+010
ev4
-0.05098000
ev9
ev5
-0.06284000
ev10
c4
2.2408507e+008
c9
c5
2.9585901e+008
c10
t4
0.000
t9
0.000
k4
1.5010385e+010
k9
t5
0.000
t10
0.000
k5
1.5010385e+010
k10
Tabella 6. 12 – Input per LS-Dyna dell’equazione di stato Tabulated Compaction.
159
Le Card così definite per il Concrete Damage, il DIF dei materiali
impiegati, e l’Equation of State, si ripeteranno identicamente nei diversi
modelli realizzati, sia in FEM sia in SPH.
160
CAPITOLO 7 – RISULTATI DELLE SIMULAZIONI NUMERICHE
Capitolo 7
Risultati delle Simulazioni Numeriche
In conclusione si è svolto uno studio parametrico tra i modelli realizzati
con i due metodi descritti, FEM e SPH. Tale studio è reso possibile dalle
evidenze sperimentali a disposizione. Operando, infatti, un confronto tra
i risultati numerici forniti dalla modellazione, e quelli risultanti dalle
prove sperimentali realmente condotte, sarà possibile valutare quale dei
due metodi fornisce risultati numerici quanto più prossimi a quelli
sperimentali.
Per ogni prova sperimentale si avranno due modelli, uno realizzato in
FEM e l’altro in SPH, entrambi costruiti secondo le modalità descritte
nel corso della tesi.
Per ogni elemento in cui è stata suddivisa la piastra, che sia questo un
Element Solid o un Element SPH, si potranno leggere una serie
d’informazioni al variare del tempo.
Queste ad esempio possono essere le Tensioni, gli Spostamenti e le
Velocità del singolo elemento, misurate lungo gli assi del sistema di
riferimento cartesiano, o le rispettive risultanti di spostamento e velocità.
Il codice di calcolo consente anche di osservare dei risultati inerenti al
comportamento complessivo dell’intero elemento strutturale. A riguardo
si possono misurare l’Energia Cinetica, Interna e Totale, lo Spostamento,
la Velocità e l’Accelerazione del corpo rigido, nelle direzioni del sistema
di riferimento cartesiano, e le rispettive risultanti.
Per i singoli nodi si possono avere delle misure riguardanti le
Coordinate, gli Spostamenti, le Velocità, le Accelerazioni, e gli
Spostamenti Relativi.
161
7.1 – Prova Sperimentale I e II
Per queste prime due condizioni di carico, le prove sperimentali non
hanno mostrato risultati apprezzabili o quantificabili numericamente.
In questi due casi sarà quindi sufficiente, per verificare la veridicità della
modellazione,
osservare
che
non
si
verifichino
spostamenti,
deformazioni o fessure di ampiezze apprezzabili sui modelli realizzati.
In entrambi i casi si è stabilito un tempo di analisi di 0,1 sec, suddiviso in
un numero complessivo di 52 Step. Ciò significa che il software
restituirà un output del calcolo effettuato ogni 0,002 sec.
Per i modelli realizzati in SPH, tenendo presente che questo metodo
impiega un tempo maggiore per convergere numericamente, ad
differenza del FEM, in questo caso si sceglierà un tempo di analisi di 0,2
sec, per un totale 102 Step, uno ogni 0,002 sec.
Ai fini della modellazione, e alla luce delle evidenze mostrate dalle
prove sperimentali, si è scelto di evidenziare la Deformazione Plastica
Effettiva (Effective Plastic Strain), come risultato conseguito dalla
modellazione delle prime due condizioni di carico. Non avendo la
possibilità di effettuare nessun confronto numerico con i risultati della
prova realizzata in laboratorio, in questo caso si preferisce mettere in
evidenza le differenze che sussistono tra gli stessi modelli realizzati in
FEM e in SPH. Abbiamo quindi confrontato allo stesso istante di tempo
t = 0,1 sec, l’andamento della deformazione plastica effettiva,
all’intradosso e all’estradosso della piastra.
In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati conseguiti per i due
modelli:
162
• Modello FEM, suddivisione della piastra in 11520 Element_Solid,
Prova 1:
Figura 7. 1 – Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1.
Figura 7. 2 – Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1.
163
Grafico 7. 1 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’estradosso.
Prova 2:
Figura 7. 3 - Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 2.
164
Figura 7. 4 - Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 2.
165
• Modello SPH, suddivisione della piastra in 11520 Element_SPH,
Prova 1:
166
Grafico 7. 3 - Spostamento Residuo, misurato nel centro della piastra all’intradosso.
167
Prova 2:
168
7.2 – Prova Sperimentale III
La terza condizione di carico, è quella che consente di osservare
sperimentalmente i risultati più interessanti. Infatti, in questo caso si
hanno misure effettuate al termine della prova, relative allo spostamento
residuo valutato nel centro della piastra, e sulla mezzeria del bordo
esterno non vincolato. Inoltre, si ha anche la misura della massima
ampiezza della fessura, che si manifesta all’intradosso della piastra, per
effetto dei carichi dinamici a cui è stata sottoposta.
Si ha quindi la possibilità di operare un confronto tra i risultati conseguiti
numericamente, mediante la modellazione, e quelli derivanti dalla prova
sperimentale, eseguita in laboratorio.
169
In questo modo si può verificare quale tra i due modelli, realizzati con i
metodi FEM e SPH, meglio approssima i dati sperimentali a
disposizione.
A tal fine, si misurerà lungo l’asse Z lo spostamento che la piastra
subisce nel centro e sul bordo, ed infine l’ampiezza della fessura che si
presenta centralmente all’intradosso dell’elemento strutturale.
La prova sperimentale ha evidenziato i seguenti risultati:
Figura 7. 9 – Immagine della piastra in seguito alla terza prova.
Wc [mm] Zr,c [cm] Zr,b [cm]
3
2,1
1,1
Tabella 7. 1 - Risultati numerici della terza Prova Sperimentale realizzata.
Dove con Wc s’indica l’ampiezza della fessura misurata, con Zr,c, Zr,b, si
indicano rispettivamente gli spostamenti misurati lungo l’asse Z in
prossimità del centro e della mezzeria del bordo esterno non vincolato
della piastra.
170
Prova 3:
Così come per le prime due prove, anche in questo caso si è scelto un
tempo d’analisi di appena 0,1 sec. Si può, infatti, osservare che il metodo
numerico utilizzato, converge asintoticamente ad un valore finito dello
spostamento in tempi brevissimi. Si riporta di seguito il risultato
conseguito mediante la modellazione all’istante di tempo t = 0,1 sec.
I nodi rispetto ai quali si sono misurati lo spostamento lungo l’asse Z,
sono rappresentati nelle seguenti immagini, nelle quali è possibile
osservare anche la deformazione che la piastra subisce, per effetto del
carico a cui è sottoposta all’istante di tempo t = 0,1 sec.
Per apprezzare anche la riduzione di spessore della piastra, si
misureranno gli spostamenti residui sia per elementi superiori sia
inferiori.
Figura 7. 10 - Nodi centrali della Mesh.
171
Figura 7. 11 - Nodi sul Bordo della Mesh.
Si mostrano in seguito le deformazioni plastiche effettive all’estradosso e
all’intradosso della piastra:
172
173
Graficamente si rappresenta di seguito l’andamento degli spostamenti
nodali al variare del tempo e in precedenza individuati sulla piastra.
Grafico 7. 5 – Spostamenti misurati nel centro della piastra all’intradosso e
all’estradosso.
Grafico 7. 6 – Spostamenti misurati sul bordo della piastra all’intradosso
all’estradosso.
174
Grafico 7. 7 – Ampiezza della fessura misurata all’intradosso della piastra in
posizione centrale.
Per misurare l’ampiezza della fessura, si calcola la distanza che sussiste
tra gli spostamenti di due elementi all’intradosso della piastra, adiacenti
tra loro. Tale differenza si misura lungo l’asse X, essendo questa la
direzione lungo la quale si ha l’apertura della lesione.
A tale scopo sono stati individuati gli elementi 1176 e 1177
all’intradosso della piastra e in posizione centrale.
In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati numerici conseguiti:
Cond. Vincolo
b1
b2
b3
Incastrata
0.1
0.1
0.1
Damping t [sec]
5%
0,1
Tabella 7. 2 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970.
0,82
Wc [mm]
Tabella 7. 3 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra
all'intradosso.
175
Nodi
centrali
Estradosso
Intradosso
Nodi di
bordo
Estradosso
Intradosso
Zr,c [cm]
2,15
1,52
Zr,b [cm]
0,86
0,75
Tabella 7. 4 - Spostamenti residui, centrali e di bordo, misurati all’estradosso e
all’intradosso della piastra.
Dove i nodi 13206 e 1201, sono quelli centrali, mentre i nodi 12030 e
2377, sono quelli di bordo, rispettivamente superiori ed inferiori.
Calcolando la differenza tra i due si può verificare di quanto la piastra si
riduce di spessore.
Prova 3:
Il metodo SPH, a differenza del FEM, presenta una maggiore instabilità.
D’altra parte questo suo limite è già stato messo in evidenza nel Capitolo
5. Ne consegue che il tempo necessario d’analisi affinché si possono
osservare dei risultati numerici asintotici ad un valore costante, deve
essere maggiore di quello imposto nel caso precedente. A tal fine si è
scelto di fare terminare l’analisi ad un istante di tempo t = 1,2 sec.
Si riportano di seguito i risultati conseguiti mediante la modellazione
all’istante di tempo t = 1,2 sec.
I nodi rispetto ai quali si è misurato lo spostamento lungo l’asse Z, sono
rappresentati nelle seguenti immagini, nelle quali è possibile osservare
anche la deformazione che la piastra subisce, per effetto del carico cui è
sottoposta all’istante di tempo t = 1,2 sec.
176
A differenza del modello realizzato in FEM, non si ha la possibilità di
individuare sia centralmente sia sul bordo un unico nodo, che sia questo
sull’estradosso o l’intradosso della piastra. In questo caso abbiamo
quindi scelto come elementi nodali di riferimento, quelli riportati nella
seguente tabella:
Particelle
Centrali
10344
10345
5736
5737
1128
1129
10392
10393
5784
5785
1176
1177
Bordo
9240
9241
4632
4633
24
25
Tabella 7. 5 - Elementi nodali centrali e di bordo sulla piastra discretizzata in SPH.
Di seguito si riportano le immagini della piastra all’istante di tempo
t = 1,2 sec, sulla quale sono evidenziate alcune delle particelle di centro
e di bordo, oltre alla deformazione della piastra stessa.
Figura 7. 14 – Elementi Nodali Centrali e di Bordo.
177
Figura 7. 15 – Elementi Nodali di Bordo.
Si mostrano in seguito le deformazioni plastiche effettive all’estradosso e
all’intradosso della piastra:
178
Per quanto concerne gli spostamenti misurati al centro e sul bordo della
piastra, e la conseguente misura dell’ampiezza massima della fessura, si
rimanda ai successivi grafici:
all’estradosso.
179
Grafico 7. 9 – Spostamenti misurati sul bordo non vincolato della piastra,
all’intradosso e all’estradosso.
Grafico 7. 10 – Ampiezza della fessura misurata nel centro della piastra
all’intradosso.
In maniera sintetica si riportano di seguito i risultati numerici conseguiti:
Cond. Vincolo
b1
b2
b3
Incastrata
0,1
0,1
0,1
Damping t [sec]
5%
1,2
Tabella 7. 6 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970.
180
13
Wc [mm]
Tabella 7. 7 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra.
Particelle
centrali
Estradosso
Intradosso
Nodi di
bordo
Estradosso
Intradosso
Zr,c [cm]
15,0
11,8
Zr,b [cm]
10,61
10,42
all’intradosso della piastra.
Dove le particelle 10344 e 1128, sono quelle centrali, mentre 9240 e 24,
sono quelli di bordo, rispettivamente superiori ed inferiori. Calcolando la
differenza tra i due si può verificare la riduzione di spessore che la
piastra subisce per effetto dei carichi cui è sottoposta.
7.3 – Prova Sperimentale IV
Per la quarta prova sperimentale si sono realizzate delle condizioni di
carico tali da produrre la rottura dell’elemento strutturale. In questo caso
non si hanno quindi termini di confronto, tra l’evidenza sperimentale e la
modellazione numerica, se non la rottura effettiva dell’elemento.
Tuttavia, quest’ultima prova consente di apprezzare i vantaggi
nell’utilizzare un metodo di discretizzazione particellare, quale l’SPH
impiegato nella modellazione, a fronte degli insuccessi mostrati dalla
modellazione effettuata in FEM. In questo caso infatti, emerge uno dei
principali limiti del Finite Element Method, dato che le condizioni di
carico sono tali da indurre una deformazione eccessiva della Mesh,
realizzata per la discretizzazione dell’elemento continuo, che non
181
consente al metodo numerico di convergere. Per tale motivo non si ha la
possibilità di mostrare alcun risultato apprezzabile della modellazione
effettuata, in quanto il codice di calcolo impiegato, data l’incapacità di
gestire una distorsione eccessiva della maglia, non fornisce nessun
risultato d’output del calcolo realizzato, in quanto la computazione
numerica termina all’istante.
Lo Smoothed Particle Hydrodynamics, consente di superare questo
limite, come già annunciato nel capitolo dedicato alla descrizione dei
due metodi di discretizzazione. Uno dei principali vantaggi di tale
metodo risiede proprio nella capacità di trattare facilmente grandi
deformazioni, essendo le connessioni tra i nodi generate come una parte
della computazione stessa, che può subire variazioni nel tempo.
Di conseguenza si riporteranno in questo caso i soli risultati relativi alla
modellazione effettuata in SPH.
Nelle immagini successive si evidenzia l’andamento della deformazione
plastica effettiva, per due diversi istanti di tempo, per la piastra vista
dall’alto e lateralmente.
L’istante di tempo a cui si riferiscono le immagini successive è t = 0,02
sec. prima ancora che si consegua la condizione di rottura.
182
Figura 7. 18 – Effective Plastic Strain all’estradosso, all’istante t=0,02 sec.
Figura 7. 19 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,02 sec.
Le immagini successive invece si riferiscono all’istante successivo
t = 0,04 sec. quando la piastra inizia a presentare segni di rottura.
183
Figura 7. 20 – Effective Plastic Strain all’estradosso all’istante t = 0,04 sec.
Figura 7. 21 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,04 sec.
Si vuole mostrare in seguito, il risultato della modellazione che si
consegue all’istante di tempo t = 0,6 sec. in quest’immagine si possono
osservare le particelle che sono rimaste vincolate, e che quindi non
hanno subito spostamenti, e delle frange di calcestruzzo che restano a
loro ancorate.
184
Figura 7. 22 – Rottura della piastra all’istante t = 0,6 sec.
185
CONCLUSIONI
CONCLUSIONI
Alla luce dei risultati conseguiti mediante la modellazione numerica
delle quattro prove sperimentali, si possono trarre le successive
conclusioni.
Per quanto concerne lo studio parametrico condotto tra i due metodi
d’analisi adottati, FEM e SPH, per la modellazione d’elementi strutturali
sottoposti a carichi da esplosione, si può affermare che fin quando le
condizioni di carico inducono velocità di deformazioni sufficientemente
basse, in particolar modo inferiori a 300 sec-1, a fronte di quelle che si
possono ottenere per carichi da esplosione, come si evince dai risultati
numerici in precedenza esposti, entrambi i metodi ben si prestano ai fini
della modellazione. Tale dato emerge in particolar modo dai risultati che
si ottengono per la modellazione delle prime due prove sperimentali,
nelle quali si possono osservare risultati simili tra i due metodi, non
essendoci, infatti, spostamenti apprezzabili della piastra in entrambi i
casi.
All’aumentare delle condizioni di carico, e facendo un esplicito
riferimento alla terza prova simulata numericamente, si può apprezzare il
vantaggio nell’utilizzare il Finite Element Method, piuttosto che il più
innovativo Smoothed Particle Hydrodynamics. In virtù dei confronti
operati tra i risultati numerici e quelli messi in evidenza dalla prova
sperimentale, si osserva, infatti, che per la stessa condizione di carico, di
vincolo, a parità di Strain-Rate, di legami costitutivi, e facendo variare il
solo metodo d’analisi, il FEM restituisce risultati numerici più prossimi a
quelli sperimentali.
186
CONCLUSIONI
In questo caso si osserva la variabilità di risultati che si possono ottenere
al variare dell’infittimento della Mesh realizzata, e dei valori numerici
associati ai tre parametri b1, b2 e b3, già descritti nel Capitolo 6.
Per ognuno dei due metodi, FEM e SPH, fissata la dimensione della
Mesh realizzata, e facendo variare i soli valori numerici associati ai tre
parametri sopra indicati, si ottengono risultati in termini di spostamenti
residui differenti. Lo stesso risultato si può osservare mantenendo
inalterati i valori numerici dei tre parametri sopra indicati, e facendo
variare l’infittimento della Mesh in cui è stata suddivisa la piastra.
Per i metodi FEM e SPH, dagli spostamenti residui misurati
all’intradosso della piastra, rispettivamente sui nodi centrali e di bordo
1201 e 2377, e sulle particelle centrali e di bordo 1128 e 24, si riportano i
seguenti risultati:
FEM
Mesh
6912 Element Solid
11520 Element Solid
b1
0,1
1
0,1
1
b2
0,1
1
0,1
1
b3 t [sec]
0,1
0,1
1
0,1
0,1
0,1
1
0,1
Zr,c [cm]
1,2
1,06
1,47
0,99
Zr,b [cm]
0,6
0,47
0,74
0,45
Wc [mm]
0,45
0,004
0,82
0,36
Tabella 8. 1 – Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensioni
della Mesh e dei parametri b1, b2 e b3.
SPH
Mesh
6912 Element SPH
11520 Element SPH
b1
0,1
1
0,1
1
b2
0,1
1
0,1
1
b3
0,1
1
0,1
1
t [sec]
1,81
2,7
1,2
1,94
Zr,c [cm]
5,8
10
11,8
9
Zr,b [cm]
2,8
4
10,42
3,4
Wc [mm]
1,16
4,2
13
9,9
Tabella 8. 2 - Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensioni
187
CONCLUSIONI
Per il metodo SPH, data la sua maggiore instabilità numerica e la
necessità quindi di tempi d’analisi maggiore affinché si possano
osservare dei risultati finiti, avremo dei tempi d’analisi diversi rispetto a
quelli adottati per il metodo FEM. Inoltre, nelle precedenti tabelle si
evidenziano in grassetto i risultati ottenuti dalla modellazione.
Da queste tabelle si evince che il metodo FEM rispetto all’SPH, è meno
sensibile alla variazione sia dell’infittimento della Mesh, sia al variare
dei parametri numerici b1, b2 e b3.
Da quanto emerso si può quindi affermare che il metodo SPH, per questo
caso specifico, necessità di una calibrazione su base sperimentale di tali
parametri, i quali a loro volta come già evidenziato nel Capitolo 6,
assumono valori diversi al variare della dimensione della stessa Mesh.
Ai fini della modellazione, e per questo caso particolare, è quindi
preferibile impiegare il metodo FEM, data la sua minor sensibilità nei
confronti di tali fenomeni.
Dai risultati di questa stessa prova, si può altresì mettere in luce
l’attinenza del legame costitutivo Concrete Damage, proposto da
Malvar, ai fini della modellazione del calcestruzzo. Tenendo presente
che migliori risultati numerici si potrebbero conseguire, definendo i
parametri richiesti dall’autore, attraverso lo svolgimento di prove
sperimentali preposte alla caratterizzazione del calcestruzzo, così
com’esposto nel Capitolo 6.
Dai risultati della quarta prova modellata, emerge invece l’impossibilità
di impiegare il metodo d’analisi FEM, data l’eccessiva deformazione
indotta nella Mesh realizzata, e le conseguenti incapacità numeriche del
metodo di gestire tale distorsione.
In questo caso è quindi preferibile impiegare il metodo SPH, in quanto le
singole particelle non essendo legate tra loro da costrizioni di maglia,
188
CONCLUSIONI
non avranno problemi ad allontanarsi le une dalle altre simulando la
rottura dell’elemento, sotto l’azione dei carichi a cui sono sottoposte.
Un successivo risultato che questa prova mostra, è l’incremento di
resistenza del calcestruzzo per gli effetti di Strain-Rate. Si può, infatti,
osservare come il valore di tensione di trazione alla quale si ha la rottura
dell’elemento, sia maggiore di quell’assegnata in condizione di carico
quasi statica.
Sulla base dei risultati conseguiti, e delle conclusioni che da loro si
traggono, si potrà in seguito indirizzare la ricerca sui seguenti aspetti:
• Le stesse prove sperimentali andrebbero modellate utilizzando
altri metodi d’analisi, quali ad esempio quelli Euleriani,
l’Arbitrarian Lagrangian Eulerian (ALE), o altri metodi di tipo
Meshfree.
• Si potrebbero realizzare simulazioni numeriche di prove
sperimentali condotte su piastre interamente d’acciaio, o su
elementi strutturali iperstatici, con il fine di valutare gli effetti di
Strain-Rate, che potrebbero in questi casi essere più evidenti.
• Altri studi potranno essere condotti sulla base dei risultati
numerici conseguiti dalla simulazione della quarta prova,
provando a modellare in questo caso interventi di rinforzo con
materiali compostiti, messi tra loro a confronto, in modo tale da
evitare che si possa conseguire la condizione di rottura
dell’elemento,
come
già
mostrato
dalla
dall’evidenza della prova sperimentale stessa.
189
modellazione
e
CONCLUSIONI
• Si potranno calibrare mediante lo svolgimento di prove
sperimentali specifiche, i parameri numerici richiesti dal modello
Concrete Damage, per la caratterizzazione del calcestruzzo, a
differenza di quanto fatto nell’elaborato di tesi, in cui si è
pervenuti numericamente alla definizione di tali parametri.
190
INDICI DELLE FIGURE, DEI GRAFICI E DELLE TABELLE
Indice delle Figure
Figura 1. 1 – Andamento qualitativo di una Curva di Pressione prodotta da
un’esplosione. ............................................................................................................ 21
Figura 2. 1 – Caratteristiche Geometriche della piastra, e dell’armatura metallica. 38
Figura 2. 2 – Setup di Prova. .................................................................................... 38
Figura 2. 3 – Immagine della piastra in seguito alla terza Prova.............................. 41
Figura 2. 4 – Immagini della piastra in seguito alla quarta Prova. ........................... 42
Figura 3. 1 – Curva di Pressione semplificata, usata dagli autori per la modellazione
della prova. 44
Figura 3. 2 – Discretizzazione della superficie di carico.......................................... 46
Figura 3. 3 – Distanza effettiva dell’i-esimo elemento dal centro d’esplosione. ..... 49
Figura 4. 1 – Instabilità d trazione delle particelle. 92
Figura 4. 2 - Stress Point Method in uno spazio bi-dimensionale. ........................... 94
Figura 5. 1 - Modellazione di una Turbina con LS-Dyna. 98
Figura 5. 2 - Sezione della Piastra sottoposta a Carico distribuito. ........................ 109
Figura 6. 1 – Superficie di rottura massima e residua.
118
Figura 6. 2 – Card Material Model_016. ................................................................ 120
Figura 6. 3 – Andamento della superficie di rottura corrente Δσ, in funzione della
tensione sferica p. .................................................................................................... 121
Figura 6. 4 – Superfici di Rottura. .......................................................................... 123
Figura 6. 5 – Legame costitutivo Tensione-Deformazione Volumetrica. .............. 156
Figura 7. 1 – Effective Plastic Strain misurato all’estradosso della piastra, Prova 1.
163
Figura 7. 2 – Effective Plastic Strain misurato all’intradosso della piastra, Prova 1.
................................................................................................................................. 163
................................................................................................................................. 164
................................................................................................................................. 165
................................................................................................................................. 166
................................................................................................................................. 167
................................................................................................................................. 168
................................................................................................................................. 168
Figura 7. 9 – Immagine della piastra in seguito alla terza prova............................ 170
Figura 7. 10 - Nodi centrali della Mesh.................................................................. 171
Figura 7. 11 - Nodi sul Bordo della Mesh. ............................................................. 172
................................................................................................................................. 173
191
................................................................................................................................. 173
Figura 7. 14 – Elementi Nodali Centrali e di Bordo............................................... 177
Figura 7. 15 – Elementi Nodali di Bordo. .............................................................. 178
................................................................................................................................. 178
................................................................................................................................. 179
Figura 7. 18 – Effective Plastic Strain all’estradosso, all’istante t=0,02 sec.......... 183
Figura 7. 19 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,02 sec...... 183
Figura 7. 20 – Effective Plastic Strain all’estradosso all’istante t = 0,04 sec......... 184
Figura 7. 21 – Effective Plastic Strain nel piano (y, z), all’istante t = 0,04 sec...... 184
Figura 7. 22 – Rottura della piastra all’istante t = 0,6 sec. ..................................... 185
Indice dei Grafici
Grafico 3. 1 - Estrapolazione numerica del coefficiente sperimentale α.................. 51
Grafico 5. 1 – Andamento della Curva di Pressione, calcolata per l’area di carico
A-1 e relativa alla prima prova modellata. 107
Grafico 6. 1 – Funzione di Danno, calcolata per b1 = b2 = b3 = 0,1.
136
Grafico 6. 2 – Funzione Bilineare in scala logaritmica del DIF per il calcestruzzo.
................................................................................................................................. 146
Grafico 6. 3 – Input in LS-Dyna della Curva di Strain-Rate a Compressione e
Trazione per il calcestruzzo. .................................................................................... 147
Grafico 6. 4 – Curva di Strain-Rate a trazione adoperato per l’acciaio.................. 149
Grafico 6. 5 – Legame costitutivo Pressione-Deformazione Volumetrica. ............ 152
Grafico 6. 6 – Legame Tensio-Deformativo Volumetrico...................................... 158
Grafico 6. 7 – Equazione di Stato assegnata come input in LS-Dyna, per la
modellazione della piastra in c.a.............................................................................. 159
164
................................................................................................................................. 165
................................................................................................................................. 167
................................................................................................................................. 169
all’estradosso. .......................................................................................................... 174
Grafico 7. 6 – Spostamenti misurati sul bordo della piastra all’intradosso
all’estradosso. .......................................................................................................... 174
Grafico 7. 7 – Ampiezza della fessura misurata all’intradosso della piastra in
posizione centrale. ................................................................................................... 175
all’estradosso. .......................................................................................................... 179
Grafico 7. 9 – Spostamenti misurati sul bordo non vincolato della piastra,
all’intradosso e all’estradosso.................................................................................. 180
192
Grafico 7. 10 – Ampiezza della fessura misurata nel centro della piastra
all’intradosso............................................................................................................ 180
Indice delle Tabelle
Tabella 1. 1 – Parametri che caratterizzano fisicamente alcuni materiali esplosivi . 35
Tabella 2. 1 – Proprietà elastiche dei materiali impiegati per la costruzione della
piastra, allo Strain-Rate di 100 sec-1. 39
Tabella 2. 2 – Proprietà dinamiche del calcestruzzo allo Strain-Rate di 100 sec-1... 39
Tabella 2. 3 – Tensione di Snervamento dell’acciaio, per due diversi valori di StrainRate. ........................................................................................................................... 39
Tabella 2. 4 – Proprietà del calcestruzzo, per velocità di deformazione quasi statica.
................................................................................................................................... 40
Tabella 2. 5 – Condizioni di carico ed Evidenze Sperimentali ad esse associate..... 41
Tabella 3. 1 – Calore specifico degli esplosivi e Coefficiente d’Equivalenza.
48
Tabella 3. 2 - Distanza Effettiva Ri, Carico Equivalente WTNT, Distanza Ridotta Zi.
................................................................................................................................... 52
Tabella 3. 3 - Picco di Pressione Δp(Z), calcolato secondo le varie formulazioni, e
per le singole prove sperimentali. .............................................................................. 53
Tabella 3. 4 - Picco di Pressione medio, Coefficiente α........................................... 53
Tabella 3. 5 - Durata della fase positiva t+, e costante numerica B. ......................... 53
Tabella 3. 6 - Curve di Pressione P(Z, t), calcolate per le quattro prove sperimentali.
................................................................................................................................... 54
Tabella 5. 1 – Unità di Misure adottate dal LS-Dyna Version 970. 101
Tabella 5. 2 – Element Solid................................................................................... 102
Tabella 5. 3 – Part. .................................................................................................. 103
Tabella 5. 4 – Section Solid. ................................................................................... 103
Tabella 5. 5 – Set_Node_List Vincoli..................................................................... 105
Tabella 5. 6 – Boundary Condiction. ...................................................................... 105
Tabella 5. 7 – Curva di Pressione Tabulata. ........................................................... 107
Tabella 5. 8 - Set_Segment. .................................................................................... 108
Tabella 5. 9 – Load Set_Segment. .......................................................................... 109
Tabella 5. 10 – Set_Part_List.................................................................................. 110
Tabella 5. 11 – Carico da Peso Proprio................................................................... 110
Tabella 5. 12 – Element SPH.................................................................................. 112
Tabella 5. 13 – Section SPH. .................................................................................. 112
Tabella 5. 14 – Set_Node_List Carico.................................................................... 114
Tabella 5. 15 – Load_Node_Set.............................................................................. 115
Tabella 5. 16 – Damping......................................................................................... 116
Tabella 6. 1 – parametri che definiscono la Card del Material Model.
120
Tabella 6. 2 – Parametri numerici che definiscono le superfici di rottura d’input per
LS-Dyna................................................................................................................... 131
Tabella 6. 3 – Input per LS-Dyna del material Concrete Damage, definiti per la
modellazione della piastra. ...................................................................................... 136
Tabella 6. 4 – Velocità di deformazione quasi statica. ........................................... 144
193
Tabella 6. 5 – Caratteristiche statiche del calcestruzzo e parametri numerici utilizzati
per il calcolo delle curve di Strain-Rate................................................................... 144
Tabella 6. 6 – Curve di Strain-Rate per il calcestruzzo a Trazione e Compressione
adottate nella modellazione. .................................................................................... 145
Tabella 6. 7 – DIF a trazione adoperato per L’acciaio. .......................................... 149
Tabella 6. 8 – Bulk Modulus................................................................................... 153
Tabella 6. 9 – Coefficienti numerici di Green and Swanson. ................................. 156
Tabella 6. 10 – Risultati Numerici del legame costitutivo calcolato. ..................... 157
Tabella 6. 11 – Valori Tabulati dell’equazione di stato.......................................... 158
Tabella 6. 12 – Input per LS-Dyna dell’equazione di stato Tabulated Compaction.
................................................................................................................................. 159
Tabella 7. 1 - Risultati numerici della terza Prova Sperimentale realizzata.
170
Tabella 7. 2 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970. .. 175
Tabella 7. 3 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra
all'intradosso. ........................................................................................................... 175
all’intradosso della piastra. ...................................................................................... 176
Tabella 7. 5 - Elementi nodali centrali e di bordo sulla piastra discretizzata in SPH.
................................................................................................................................. 177
Tabella 7. 6 - Parametri che caratterizzano il modello in LS-Dyna Version 970. .. 180
Tabella 7. 7 – Ampiezza numerica della Fessura misurata nel centro della piastra.
................................................................................................................................. 181
all’intradosso della piastra. ...................................................................................... 181
Tabella 8. 1 – Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensioni
187
Tabella 8. 2 - Variabilità dei risultati per il metodo FEM, al variare delle dimensioni
della Mesh e dei parametri b1, b2 e b3. ..................................................................... 187
194
Bibliografia
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Protection Division SE-147 25 TUMBA, SWEDEN. November
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1990, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire, UK, 1993.
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22. Comité Européen du Béton, CEB-FIP Model Code 90, Thomas
Telford Service, London, 1993.
197
RINGRAZIAMENTI
Ringraziamenti
Il conseguimento di un obiettivo importante è difficile da raggiungere,
quale una Laurea in Ingegneria, è una gioia che va condivisa con le
persone più care. Appaiono scontati i ringraziamenti ai propri genitori
per gli sforzi profusi nel corso di questi anni, per consentirmi di tagliare
quest’importante
traguardo,
più
appropriati
sono
invece
i
ringraziamenti nei loro confronti per la pazienza e la capacità di
sopportare i tanti momenti di nevrosi, di stress ed esaurimento, che
hanno pervaso il mio corso di studi. A tal proposito mi sembra più che
opportuno ringraziare le mie care ed adorate sorelline, Rossana e
Ylenia, costrette a subire la medesima sorte. Come non poter ringraziare
la mia fidanzata Fabiana, per tutte le volte che mi è stata vicina
ascoltando le mie telefonate e leggendo i miei messaggi pregni di ansie e
paure prima di ogni esame. Un amico sempre fedele, capace di farmi
ritrovare il sorriso nei momenti difficili, e che per tanto mi sento di
ringraziare è il mio Beagle, nonostante le tavole dei progetti, gli
appunti, le matite e le penne da lui distrutte.
Lunga sarebbe la lista di amici e parenti da ringraziare, compagni di
studi con i quali in questi anni ho condiviso le gioie per gli esami
superati,e qualche immancabile amarezza.
Ma in particolar modo ringrazio gli amici di sempre, i cari vecchi
compagni del liceo, Mauro, Ferruccio, Gennaro, Luca, Marcello, Rocco,
Mino, Fonzie e tutti gli altri che non me ne vogliano se non nominati,
per tutte le serate passate insieme, le partite di pallone, le feste, le notti
brave, le zingarate, e quanto altro fatto insieme che è servito a
distogliermi dalle fatiche universitarie. Amici con i quali spero di
198
RINGRAZIAMENTI
tornare a vivere momenti di spensieratezza, che tanto mi sono mancati
in questi ultimi mesi di sacrifici.
Un ringraziamento di vero cuore lo devo alle mie care nonne, a loro che
hanno sempre pregato nella speranza di potermi presto vedere laureato,
sono consapevole di dare loro e alla mia famiglia un enorme gioia. Il
mio più grande rammarico è che i miei due meravigliosi nonni, entrambi
di nome Giuseppe come me, non siano partecipi di questa stessa gioia. A
loro va la mia gratitudine, per tutte le volte che mi hanno protetto ed
aiutato, per tutte le preghiere che hanno sempre ascoltato.
Infine, ma non per questo meno importante, non posso esimermi dal
ringraziare il mio amico non che correlatore Ing. Domenico Asprone,
per la pazienza, il tempo e la disponibilità che mi ha concesso. È stata
per me una vera fortuna incontrarlo e conoscerlo nel momento più
importante del mio percorso universitario. Insieme a lui ringrazio il
Prof. Ing. Gaetano Manfredi e il Prof. Ing. Andrea Prota, per
l’opportunità concessami di prendere parte a questo interessantissimo
studio di ricerca. Ringrazio l’intero Dipartimento di Ingegneria
Strutturale, dottorandi, ricercatori e tecnici di laboratorio, per la
simpatia dimostratami.
199

W - Dipartimento di Strutture per l`Ingegneria e l`Architettura

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