Problemi lineari equivalenti

Problemi lineari equivalenti
Introduzione
Nel seguito verranno presentati alcuni esempi di trasformazione di problemi di problemi di programmazione
lineare in forme equivalenti. Un problema di programmazione lineare è in forma canonica se si presenta come
segue:
max z
= cT x
Ax ≤ b
x ≥ 0,
(1)
dove c ∈ Rn , b ∈ Rm e A ∈ Rm×n .
Un problema di programmazione lineare è in forma standard se si presenta come segue:
max z
= cT x
Ax = b
con b ≥ 0
x ≥ 0,
(2)
dove c ∈ Rn , b ∈ Rm e A ∈ Rm×n .
Una coppia primale-duale di problemi di programmazione lineare è in forma canonica se si presenta come
segue:
max z
= cT x
Ax ≤ b
min w
⇔
x ≥ 0
AT π
π
= bT π
≥ c
(3)
≥ 0,
dove c ∈ Rn , b ∈ Rm e A ∈ Rm×n .
Se il problema primale non è in forma canonica si può comunque ottenere il duale che presenti rispetto al
primale la natura (max o min) dell’ottimizzazione opposta, la matrice dei coefficienti trasposta, i termini noti
e i coefficienti della funzione obiettivo scambiati. Il verso delle disuguaglianze e il segno delle variabili del
duale dipenderanno dalla natura e, rispettivamente, dal segno delle variabili e dal verso delle disuguaglianze
del primale.
1
Trasformazione da forma canonica a forma standard
Sia dato il seguente problema in forma canonica
max z
=
5x1 + 3x2
4x1 + 2x2
≤ 3
5x1 − 4x2
≤ 6
−x1 − x2
≤
x1 , x2
−1
≥ 0.
(4)
La forma standard differisce da quella canonica nei termini noti che devono essere tutti non negativi e nei
vincoli che devono essere di uguaglianza (a meno dei vincoli su segno delle variabili). Per ottenere tutti i
termini noti non negativi si moltiplicano per -1 gli eventuali vincoli con secondo membro negativo. Si ricordi
che moltiplicare entrambi i membri di una disuguaglianza per -1 implica il cambio di verso alla disuguaglianza.
max z
=
5x1 + 3x2
4x1 + 2x2
≤ 3
5x1 − 4x2
≤ 6
x1 + x2
≥ 1
x1 , x2
≥ 0.
(5)
Per ottenere vincoli di uguaglianza si aggiunge una variabile non negativa per vincolo di disuguaglianza. Tali
variabili vengono dette di slack se associate a vincoli di minore o uguale, di surplus se associate a vincoli di
maggiore o uguale. Questa trasformazione si basa sulle seguenti banali osservazioni
(primo membro) ≤ (secondo membro)
⇔
(primo membro)+(quantità positiva o nulla) = (secondo membro)
(primo membro) ≥ (secondo membro)
⇔
(primo membro)−(quantità positiva o nulla) = (secondo membro).
max z
=
5x1 + 3x2
4x1 + 2x2 + s1
=
3
5x1 − 4x2 + s2
=
6
x1 + x2 − s3
=
1
≥ 0.
x1 , x2 , s1 , s2 , s3
Le variabili s1 e s2 sono di slack, la variabile s3 è di surplus. Il problema (6) è in forma standard.
Trasformazione da forma standard a forma canonica
Sia dato il seguente problema in forma standard
max z
=
2
5x1 + 3x2 − x3
(6)
4x1 + 2x2 + x3
=
3
5x1 − 4x2 − 2x3
=
6
x1 , x2 , x3
≥ 0.
(7)
Per ottenere vincoli di disuguaglianza si trasforma ogni vincolo di uguaglianza in una coppia di vincoli di
disuguaglianza con verso opposto. Questa trasformazione si basa sulla seguente banale osservazione

 (primo membro) ≥ (secondo membro)
(primo membro) = (secondo membro) ⇔
 (primo membro) ≤ (secondo membro)
max z
=
5x1 + 3x2 − x3
4x1 + 2x2 + x3
≥ 3
4x1 + 2x2 + x3
≤ 3
5x1 − 4x2 − 2x3
≥ 6
5x1 − 4x2 − 2x3
≤ 6
x1 , x2 , x3
≥ 0.
(8)
Infine si moltiplicano i vincoli di maggiore e uguale per -1.
max z
=
5x1 + 3x2 − x3
−4x1 − 2x2 − x3
≤
−3
≤ 3
4x1 + 2x2 + x3
−5x1 + 4x2 + 2x3
≤
−6
5x1 − 4x2 − 2x3
≤ 6
x1 , x2 , x3
≥ 0.
Il problema (9) è in forma canonica.
Trasformazione da forma generale a forma canonica
Sia dato il seguente problema
min z
=
5x1 + 3x2 − x3
4x1 + 2x2 + x3
=
3
5x1 − 4x2 − 2x3
≤ 6
7x1 + x2 + 2x3
≥ 5
x1
≥ 0
x2
≤ 0
3
(9)
x3
libera.
(10)
Si trasforma il problema in un problema di max cambiando il segno ai coefficienti della funzione obiettivo
min z = 5x1 + 3x2 − x3
⇔
max w = −5x1 − 3x2 + x3 .
Attraverso opportuni cambi di variabili si rendono tutte le variabili positive o nulle. In particolare le
variabili negative o nulle vengono sostituite con variabili positive o nulle moltiplicate per -1, i.e., x2 = −x̂2 e
−
le variabili libere vengono sostituite dalla differenza di due variabili positive o nulle x3 = x+
3 − x3 . L’ultima
trasformazione si basa sul fatto che qualunque numero può essere espresso come differenza di due numeri
positivi o nulli, e.g., 5 = 5 − 0 e −5 = 0 − 5. Una volta risolto il problema nelle nuove variabili si calcolerà il
valore delle variabili originali applicando le trasformazioni inverse.
max w
−
4x1 − 2x̂2 + x+
3 − x3
−
= −5x1 + 3x̂2 + x+
3 − x3
=
3
−
5x1 + 4x̂2 − 2x+
3 + 2x3
≤ 6
−
7x1 − x̂2 + 2x+
3 − 2x3
≥ 5
−
x1 , x̂2 , x+
3 , x3
≥ 0.
(11)
Infine si moltiplicano i vincoli di maggiore e uguale per -1 e si sdoppiano i vincoli di uguaglianza come visto
in precedenza.
max w
−
4x1 − 2x̂2 + x+
3 − x3
−
−4x1 + 2x̂2 − x+
3 + x3
−
5x1 + 4x̂2 − 2x+
3 + 2x3
−
−7x1 + x̂2 − 2x+
3 + 2x3
−
x1 , x̂2 , x+
3 , x3
−
= −5x1 + 3x̂2 + x+
3 − x3
≤ 3
≤
−3
≤ 6
≤
−5
≥ 0.
Il problema (12) è in forma canonica.
Trasformazione primale duale
Sia dato il seguente problema primale
min z
=
5x1 + 3x2 − x3 + 3x4
4x1 + 2x2 + x3 + x4
=
3
5x1 − 4x2 − 2x3 − x4
≤ 6
4
(12)
7x1 + x2 + 2x3
≥ 5
x1 , x4
≥ 0
x2
≤ 0
x3
libera.
(13)
Si formula il problema in forma canonica (sono indicate tra parentesi le variabili duali associate a ogni vincolo
primale)
max w
−
4x1 − 2x̂2 + x+
3 − x3 + x4
−
−4x1 + 2x̂2 − x+
3 + x3 − x4
−
5x1 + 4x̂2 − 2x+
3 + 2x3 − x4
−
−7x1 + x̂2 − 2x+
3 + 2x3
−
x1 , x̂2 , x+
3 , x3 , x4
−
= −5x1 + 3x̂2 + x+
3 − x3 − 3x4
≤ 3
≤
−3
≤ 6
≤
(y1 )
(y2 )
(y3 )
−5
(y4 )
≥ 0.
(14)
Si scrive il duale del problema (14) (sono indicate tra parentesi le variabili primali associate a ogni vincolo
duale)
min ω
=
3y1 − 3y2 + 6y3 − 5y4
4y1 − 4y2 + 5y3 − 7y4
≥
−5
−2y1 + 2y2 + 4y3 + y4
≥ 3
(x̂2 )
y1 − y2 − 2y3 − 2y4
≥ 1
(x+
3)
(x1 )
−y1 + y2 + 2y3 + 2y4
≥
−1
(x−
3)
y1 − y2 − y 3
≥
−3
(x4 )
y1 , y 2 , y 3 , y 4
≥ 0.
(15)
Si riduce il numero di vincoli e di variabili. In particolare si osserva che
• il terzo e il quarto vincolo sono equivalenti ad un unico vincolo di uguaglianza;
• le variabili y1 e y2 presentano sempre gli stessi coefficienti ma con segno opposto e quindi possono essere
sostituite da un unica variabile non π1 = y2 − y1 non vincolata in segno (libera). Scegliere π1 = y2 − y1
oppure π1 = y1 − y2 è concettualmente indifferente, una scelta piuttosto che l’altra potrebbe però
richiedere nel seguito un ulteriore cambio di variabile.
Si ottiene quindi
min ω
−4π1 + 5y3 − 7y4
= −3π1 + 6y3 − 5y4
≥
5
−5
(x1 )
≥ 3
(x̂2 )
−π1 − 2y3 − 2y4
=
1
(x3 )
−π1 − y3
≥
−3
2π1 + 4y3 + y4
π1
y3 , y 4
(x4 )
libera
≥ 0.
(16)
Si moltiplicano alcuni vincoli di (16) per ottenere che i segni dei termini noti del duale coincidano con i
coefficienti della funzione obiettivo del primale
min ω
= −3π1 + 6y3 − 5y4
4π1 − 5y3 + 7y4
≤ 5
(x1 )
2π1 + 4y3 + y4
≥ 3
(x2 )
π1 + 2y3 + 2y4
= −1
π1 + y 3
≤ 3
π1
y3 , y 4
(x3 )
(x4 )
libera
≥ 0.
(17)
Si cambia la natura del problema di ottimizzazione
max ζ
=
3π1 − 6y3 + 5y4
4π1 − 5y3 + 7y4
≤ 5
(x1 )
2π1 + 4y3 + y4
≥ 3
(x2 )
π1 + 2y3 + 2y4
= −1
π1 + y 3
≤ 3
π1
y3 , y 4
(x3 )
(x4 )
libera
≥ 0.
(18)
Ci si riconduce ad una matrice dei coefficienti uguale alla trasposta della matrice dei coefficienti del problema
primale osservando che si devono invertire i segni dei coefficienti associati alla variabile y3 . Questo risultato
può essere ottenuto introducendo una variabile opposta in segno π2 = −y3 . Per uniformità di simbolismo si
ribattezza inoltre y4 come π3 .
max ζ
=
3π1 + 6π2 + 5π3
4π1 + 5π2 + 7π3
≤ 5
(x1 )
2π1 − 4π2 + π3
≥ 3
(x2 )
π1 − 2π2 + 2π3
= −1
π1 − π2
≤ 3
6
(x3 )
(x4 )
π1
libera
π2
≤ 0
π3
≥ 0.
I problemi (13) and (19) formano la coppia primale duale desiderata.
7
(19)