Giochi matematici

Matematica ricreativa e
insegnamento della matematica
“Gli uomini non sono mai più ingegnosi che nell’invenzione dei giuochi; l’ingegno si trova a suo agio ….Dopo i giuochi che dipendono unicamente dai numeri, vengono i giuochi in cui entra la posizione …. Dopo i giuochi in cui entrano solo il numero e la posizione, verrebbero i giuochi in cui entra il moto …. Infine sarebbe desiderabile che si avesse un corso intero di giuochi trattati matematicamente.”
( LEIBNIZ, lettera a DE­MONTMORT 29 luglio 1715)
Che cos’è la matematica ricreativa?
• In prima approssimazione potremo dire che è un’attività matematica ludica, il cui scopo è divertire colui che la pratica o al quale essa è proposta.
• Consiste nel risolvere quelli che vengono comunemente detti giochi matematici o puzzles o rompicapi o enigmi
• Per la loro soluzione talora sono necessarie nozioni matematiche ma sempre di tipo elementare, spesso solo ragionamenti logici
Quando un problema può considerarsi un gioco matematico?
• Deve rappresentare una sfida intellettuale significativa sotto l’aspetto matematico ma anche accessibile a tutti
• Deve poter essere risolto utilizzando strumenti tradizionali: carta, penna e quello strumento che si trova fra le orecchie
• L’enunciato possibilmente deve essere intrigante e sorprendente
• La soluzione stessa deve stupire, divertire e distrarre
Per meglio chiarire faremo alcuni esempi
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L’ENIGMA DEL CAMMELLO FANTASMA
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Un arabo morendo lasciò 17 cammelli ai suoi tre figli da ripartirsi per metà al primo, per un terzo al secondo e per un nono al terzo. Siccome la spartizione si presentava difficile gli eredi si rivolsero ad un giudice che risolse la questione nel modo seguente. Si fece prestare un cammello e su 18 cammelli fece la spartizione dando 9 cammelli al primo, 6 al secondo e 2 al terzo. Rimase un cammello che restituì al legittimo proprietario. Tutti furono soddisfatti avendo ricevuto più del previsto.
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Dov’è il paradosso?
• La questione è che 1/2+1/3+1/9=17/18 Quindi la spartizione prevista dal padre non esauriva tutta l’eredità!
Un gioco aritmetico
• LE ETA’ DEI FIGLI
• Due amici si incontrano dopo molto tempo e uno dice all’altro: “ Non mi ricordo l’età dei tuoi tre figli”. Il primo risponde il prodotto delle loro età è 36. L’altro replica questo dato non è sufficiente. Allora il primo aggiunge la somma delle loro età è uguale al numero civico della casa che è qui di fronte. Ma l’amico non è ancora in grado di determinare l’età per cui gli viene fornita questa ulteriore informazione: il maggiore ha gli occhi azzurri. A questo punto fornisce la risposta. Qual è l’età dei figli?
SOLUZIONE
• Consideriamo tutte le possibili fattorizzazioni intere di 36 e le somme dei fattori relativi • 1 2 18 21
1 6 6 13
1 4 9 14
1 3 12 16
1 1 36 38
2 3 6 11
2 2 9 13
3 3 4 10
• Poiché due fattorizzazioni hanno la stessa somma, l’amico afferma che la conoscenza della somma dei fattori non è sufficiente per indovinare. Le età possibili possono essere <1, 6, 6> o <2, 2, 9>. L’ulteriore informazione che il maggiore ha gli occhi azzurri permette di indovinare che siamo nel caso <2, 2, 9>. Qui infatti c’è “un maggiore”, nell’altro caso ci sono “i maggiori”.
Un gioco geometrico
• UNA SFERA BUCATA
• All’interno di una sfera solida viene levato un cilindro di altezza 6 cm avente l’asse passante per il centro. Si chiede il volume del residuo di sfera. • La soluzione è 36π • Ci si può arrivare con complicati calcoli Oppure con il seguente semplice ragionamento
La croce di brillanti
• Una signora consegna al suo gioielliere una croce di brillanti per effettuare una riparazione (vedi fig.1) facendogli notare che conosce il numero di brillanti incastonati perché contandoli da una delle estremità superiori verso il basso ne trova sempre nove. Il gioielliere si appropria di due brillanti modificando la croce in modo che la signora fatta la sua verifica trovi sempre il suo conto. Come risulta la croce modificata? La croce consegnata
La croce riconsegnata priva di due brillanti
La scacchiera mutilata
• Consideriamo una scacchiera 8× 8, cioè con 64 caselle, e 32 pezzi da domino di dimensioni tali da coprire esattamente due quadrati. Supponiamo di eliminare le due caselle sistemate agli angoli opposti di una diagonale e di eliminare un pezzo del domino. E’ possibile sistemare i 31 pezzi rimanenti sulla scacchiera in modo da coprire i rimanenti 62 quadretti? Consideriamo una scacchiera 8× 8, cioè con 64 caselle, e 32 pezzi da domino di dimensioni tali da coprire esattamente due quadrati. Supponiamo di eliminare le due caselle sistemate agli angoli opposti di una diagonale e di eliminare un pezzo del domino. E’ possibile sistemare i 31 pezzi rimanenti sulla scacchiera in modo da coprire i rimanenti 62 quadretti?
La scacchiera mutilata
Soluzione
• Il problema è impossibile. Infatti eliminando due caselle diametralmente opposte, eliminiamo due caselle dello stesso colore, ottenendo una scacchiera con due caselle in più dell’altro colore. Ogni pezzo del domino ricopre due caselle di colori differenti, in quanto solo caselle di colori differenti sono adiacenti. Pertanto dopo aver ricoperto 60 caselle con 30 pezzi di domino, resterebbero scoperte due caselle dello stesso colore che non possono essere contigue e quindi non possono essere ricoperte con un unico pezzo di domino.
Pari o dispari ( numeri o cifre?)
• 1.1. Un gruppo di studenti una mattina a scuola sfidano il loro professore di matematica dicendogli: “Abbiamo sentito al telegiornale che un matematico ha scoperto una somma di cinque cifre dispari che da il numero pari 14. Lei ne sa nulla?”
• Il professore risponde di non sapere nulla e di essere un poco stupito in quanto è chiaro che “la somma di un numero dispari di numeri dispari è dispari”, promette comunque di rifletterci e di dare una risposta il giorno successivo.
• All’indomani il professore arriva e dice di avere trovato la risposta e scrive una addizione sulla lavagna. Che cosa ha scritto il professore?
Soluzione
• Il professore scrive 11+1+1+1=14.
• Allora una studentessa osserva che si è scritta una somma di soli quattro numeri. “E’ vero” risponde il professore “ho scritto quattro numeri ma la somma è composta di cinque cifre dispari esattamente quello che il matematico del telegiornale diceva di aver scoperto!” E concluse con una esortazione a fare molta attenzione ai termini usati e a non confondere numero con cifra.
Le monete false
• Ci sono dieci pile di dieci monete da 50 lire ciascuna. Uno dei mucchietti è formato di monete tutte false. Conosciamo il peso di una moneta buona e sappiamo altresì che una moneta falsa pesa un grammo in più. Qual è il numero minimo di pesate necessarie a determinare qual è il numero di monete false?
Soluzione
• Il mucchio di monete false può essere identificato con una sola pesata.
• Basta prendere una moneta dal primo mucchio, due dal secondo, tre dal terzo e così via fino a tutte le monete dell’ultimo mucchio. Il peso in più del dovuto corrisponde al numero del mucchio di monete false.
• Per esempio se il gruppo di monete pesa in totale 5 grammi più del dovuto, il mucchio falso deve essere il quinto, dal quale sono state prese 5 monete ciascuna pesante un grammo in più del dovuto.
• E se i mucchi fossero undici?
• Va bene lo stesso, infatti se il mucchio di monete false fosse l’ultimo si avrebbe un eccesso di peso nullo.
Anche giochi di parole!
• Che cosa hanno in comune le seguenti parole?
• Fanghiglia, inopportuno, postura, ghigni, stufato, definizione. • Soluzione
• Contengono tutte tre lettere consecutive dell’alfabeto.
Giochi con i fiammiferi
• 1. Usando sei fiammiferi uguali costruire quattro triangoli equilateri identici.
• 2. Usando 8 fiammiferi uguali creare 2 quadrati e 3 triangoli.
Soluzioni fiammiferi
• 1 Basta costruire un tetraedro regolare • 2 UN PO’ DI STORIA
• Fin da quando la matematica è stata studiata e insegnata, cioè almeno da quattromila anni, i problemi ricreativi hanno costituito allo stesso tempo una parte integrante dell’educazione matematica e un passatempo per i non specialisti matematicamente dotati.
• Il modo più antico di trasmissione della matematica è quello della raccolta di problemi, spesso raggruppati per affinità di metodi risolutivi. Fin dai tempi più remoti, accanto a questioni di carattere più immediatamente applicativo ne furono proposte altre che non avevano alcun impiego nella realtà quotidiana e il cui scopo principale era dunque quello del puro esercizio intellettuale, alcuni di questi problemi sono stati proposti pressoché immutati per millenni. Dal “Papiro di Rhind
• Il Papiro di Rhind, conservato attualmente al British Museum di Londra, risalente al 1650 a.C., ma copiato da un testo di circa due secoli più vecchio, è uno dei più antichi documenti matematici oggi noti. Esso contiene da un lato numerose tavole di calcoli aritmetici e dall’altro una collezione di 87 problemi, alcuni geometrici altri essenzialmente aritmetici. I primi riguardano il calcolo di superficie e volumi delle più comuni figure geometriche, gli altri sono per lo più relativi a divisioni di vettovaglie, conversioni di grano in pane, d’orzo in birra e calcolo di razioni. Il problema 79 del quale diamo una traduzione qui di seguito sembra esulare da questi generi ed appartenere piuttosto al genere ricreativo.
Problema 79
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Inventario di una casa
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1 2801 7 case
2 5602 49 gatti
4 11204 343 topi
totale 19607 2401 spighe
<moltiplicazione di 2801per 7> 16807 hekat Totale 19607
• Il testo è schematico ma ricorda una filastrocca medioevale che recita così: “sette vecchie vanno a Roma, ogni vecchia ha sette muli, ogni mulo porta sette bisacce, ogni bisaccia contiene sette pagnotte, in ogni pagnotta ci sono sette coltelli, quanti sono in tutto sulla strada di Roma?
Commenti al prob.79
La colonna di destra può essere interpretata come una filastrocca che recita: “ci sono sette case, in ogni casa ci sono sette gatti, ogni gatto mangia sette topi, ogni topo mangia sette spighe, ogni spiga pesa sette hekat, quanti sono in tutto?”,
Quale significato attribuire alla colonna di sinistra che rappresenta la moltiplicazione di 2801 per 7? Osserviamo che la colonna di destra è la somma di 7 e delle sue potenze fino alla quinta, mentre il prodotto a sinistra presenta un modo per il calcolo di questa somma corrispondente alla formula
S= A(Rn­1)/(R­1), dove A è il primo termine e R la ragione, in questo caso entrambe uguali a 7.
(A. PICHOT, La nascita della scienza, Dedalo, Bari, 1993, p.199)
Un problema babilonese
• Problema n.8, tavoletta YBC 4652 (I dinastia di Babilonia, ca 1900­1800 a. C.)
• Ho trovato una pietra, ma non l’ho pesata, poi ho aggiunto un settimo e ho aggiunto un undicesimo <N.B.L’enunciato non lo precisa ma si tratta dell’undicesimo dell’insieme della pietra e del suo settimo>. Ho pesato: una mina.
• Qual era il peso originale della pietra? Il peso della pietra era 2/3 mina 8 sicli 22.5 linee.
• <N.B. 1 mina=60 sicli= 60× 180 linee>
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( Vedi PICHOT, La nascita, op.cit. p.78)
Dal Manuale di matematica del maestro Sun Tzu Suan Ching (IV sec.d.C.) • C’è un numero ignoto di cose. Quando sono contate per tre, esse danno un resto di due, quando sono contate per cinque danno un resto di tre e quando sono contate per sette danno un resto di due. Trova il numero delle cose.
• Se contando per 3 danno resto 2, allora prendi il numero 70: Se contando per cinque da resto 3 allora prendi il numero 21; se contando per 7 danno resto 2, allora prendi il numero 15. Se il numero è più di 106 allora sottrai 105 e ottieni il risultato. Commenti alla soluzione
• l’antico maestro cinese consiglia di prendere 70 per ogni unità che rimane dalla divisione per 3, 21 per ogni unità che rimane dalla divisione per 5, 15 per ogni unità che rimane dalla divisione per 7, infine se il risultato è maggiore di 105 si deve sottrarre 105 fino a che non si perviene ad un numero ad esso minore. • Applicando la regola di risoluzione indicata si ottiene • 70× 2+21× 3+15× 2= 140+63+30=233­105=
• =128­105=23
Giochi matematici nella Grecia classica
• In questo paese <l’Egitto> sono stati inventati giochi aritmetici per bambini, che così imparano divertendosi con piacere. Si danno loro mele e ghirlande da distribuire ad un numero di persone a volte uguale e a volte maggiore o minore del numero degli oggetti a disposizione. Oppure essi devono riunire lottatori e pugili in coppie o in gruppi e mostrare come si possono associare in classi naturali <…>. Così facendo, con questi passatempi, i bambini prendono confidenza con i numeri, il che consente loro di capire i movimenti e le spedizioni degli eserciti e li prepara bene a seguire i propri affari, rendendo più vivace il loro modo di ragionare.
• Platone (428­348 a.C.), ANTOLOGIA GRECA O PALATINA
• Non abbiamo testimonianze coeve di giochi matematici provenienti dalla Grecia classica, tuttavia quelli nella cosiddetta Antologia Greca o Palatina (IV/V sec.) ce ne possona dare un’idea. I 150 epigrammi del XIV libro di cui è autore un certo Metrodoro sono tutti classificabili come giochi matematici. Eccone alcuni Le mele
­Figlio, e le mele? Sparite, ma dove? – Ne tiene i due sesti Ino, e Sèmele n’ha l’ottava parte.
Presero Autònoe un quarto e Agave un quinto del tutto (questa attinse al mio grembo e scappò via).
Dieci le mele serbate per te. Per Ciprigna lo giuro, Altro a me non rimane che quest’una. Le fontane
Quattro fontane: in un giorno riempie la prima la vasca,
In due giorni quest’altra; c’impiega la terza tre giorni,
Quattro la quarta. Ma insieme, in che tempo potranno colmarla?
Omero, gli Achei
Di focolari di fuoco gagliardo ce ne erano sette,
Di spiedi cinquanta e cinquanta brandelli, in ognuno, di carne;
Presso ogni pezzo di carne, tre volte trecento gli Achei.
Una vita
C’è nella tomba Diofanto. Che grosso prodigio! La tomba / abilmente misura la sua vita./ Volle un dio che l’infanzia durasse un sesto, ed aggiunse / per il pelo alle gote un dodicesimo./ Dopo una settima parte la face gli accese di nozze; / cinqu’anni dopo un figlio gli concesse. Povero figlio diletto! Fu arso quel gelido corpo / proprio a metà degli anni di suo padre./ Per consolare il lutto, quattr’anni costui nello studio / dei numeri passò, finché morì.
PROPOSITIONES AD ACUENDOS JUVENES
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Quasi completamente dedicata alla matematica ricreativa sono anche le Propositiones ad acuendos juvenes scritte, in latino, all’inizio del nono secolo da Alcuino maestro di Carlomagno.
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In questa raccolta si trova, fra l’altro la prima occorrenza di uno dei rompicapi più universalmente noti, quello del Lupo la capra e il cavolo.
ALCUINO di YORK, Giochi matematici alla corte di Carlomagno: Problemi per rendere acuta la mente ai giovani. A cura di R. FRANCI, Edizioni ETS, Pisa, 2005. Per una breve analisi del testo vedi R. FRANCI, Il ruolo della matematica nella istruzione carolingia e le Propositiones ad acuendos juvenes di Alcuino. Bollettino UMI, La matematica nella società e nella cultura, 3­A (1999), 283­285.
Giochi matematici nei trattati di aritmetica pratica dei secoli XIV­
XVI
• “Ogni sano intelletto arebbe in fastidio non ragionando d’altri casi che di mercatantia, onde nel presente capitolo intendo mostrare alcuno caso di dilecto”
• problemi adatti “ per le sere di verno quando si sta al fuoco e mancono i ragionamenti, acciò s’abbi a ragionare di qualche cosa”.
Raccolte manoscritte di giochi matematici
• Tra la fine del Millequattrocento e gli inizi del Cinquecento, in Italia, furono compilate due ampie raccolte tutte dedicate a problemi di matematica ricreativa:
• De Viribus Quantitatis di Luca Pacioli (ca. 1510)
• Libro dicto de giochi mathematici di Pietro di Antonio da Filicaia (ca. 1510)
Prima raccolta a stampa
• La prima raccolta a stampa di giochi matematici la dobbiamo allo studioso francese • Gaspar Bachet (1591­1639), • è intitolata Problèmes plaisant & délectable,
• fu stampata a Parigi nel 1621 ed ebbe numerose edizioni.
Diffusione dei giochi matematici
• fino a tempi recenti classici problemi di matematica ricreativa comparivano nei trattati scolastici di aritmetica • numerosi importanti matematici come Eulero, Legendre, Gauss in passato • Coxeter, Penrose, Conway, Knuth attualmente hanno dedicato e dedicano attenzione alla risoluzione di rompicapi gettando talora le basi di nuove teorie matematiche.
Giochi mat nel XIX secolo
• Giochi matematici e indovinelli erano molto popolari tra la fine del XIX secolo e gli inizi del XX secolo, molti quotidiani e settimanali avevano una rubrica ad essi dedicata e spesso i giochi erano raccolti in volumi. Fra i più notevoli cultori di matematica ricreativa del XIX secolo ricordiamo:
• l’americano Sam LOYD (1841­1911) uno dei più prolifici e creativi inventori di giochi e rompicapi,a lui si deve tra l’altro l’invenzione del gioco del 15;
Segue: Giochi mat nel XIX sec. segue
• l’inglese Henry DUDENEY (1857­1930) collaborò anche con S.Loyd, i suoi problemi sono più matematici, ma sempre presentati in modo divertente
• il francese Eduard LUCAS (1842­1891) ricercatore in matematica (teoria dei numeri),
riusciva spesso a collegare le sue ricerche specialistiche alle applicazioni ludiche
E’ autore di Rècréations mathématiques in quattro volumi e di un’ Arithmétique amusante, in questi volumi sono contenuti tutti i tipi di giochi matematici conosciuti all’epoca.
Giochi mat. Nel XX secolo
• Il più famoso cultore di giochi matematici del XX secolo è certamente Martin GARDNER, nato nel 1914, che per circa trenta anni ha curato la rubrica omonima di Scientific American (edizione italiana Le Scienze) . Egli ha pubblicato numerose raccolte molte delle quali sono state tradotte in italiano, tra queste ricordiamo i sei volumi Enigmi e giochi matematici pubblicati dall’editore Sansoni, che contengono molto del materiale apparso in Scientific American • Numerose sono le riviste italiane che propongono rubriche di giochi matematici, qui ci limitiamo a ricordare Sapere, Le Scienze, Lettera PRISTEM, Newton giochi, Focus.
• Ricordiamo infine che esiste un “Campionato internazionale di giochi matematici”, i volumi Pitagora si diverte 1 e 2, Pitagora continua a divertirsi e Le sfide di Pitagora curati da Gilles Cohen e stampati da Bruno Mondadori presentano i giochi proposti nelle finali di questi ultimi anni. Ancora un po’ di bibliografia
• W.W. ROUSEBALL, Mathematical recreations and essays, Toronto University Press, 1972
• Ami Birenboim, Pazzi pazzi numeri, Sonzogno, Milano, 2001
• Jean­Paul Delahaye, Giochi matematici, Ghisetti e Corvi, Milano, 2002
• E.Peres, 620 giochi per esercitare la mente, Baldini Castoldi Dalai, 2005.
Segue bibliografia
• Italo GHERSI, Matematica dilettevole e curiosa, Hoepli Manuali, Milano, 2005 • Paolo Toni, Scintille matematiche: giochi e gare di creatività e logica, Franco Muzzio, Padova, 2005
• Ian Stewart, L’assassino dalle calze verdi e altri enigmi matematici. Longanesi, 2006
Segue bibliografia
• Nando Geronimi ( a cura di), Giochi matematici del Medioevo: I conigli di Fibonacci ed altri rompicapi liberamente tratti da “liber abaci, Bruno Mondadori, Milano, 2006
• C. Pellegrino­L.Zuccheri, Tre in uno. Piccola enciclopedia della matematica intrigante, Università di Modena e Reggio Emilia, 2007
• Ian Stewart, Come tagliare una torta, ET Einaudi, Torino, 2008