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24-02-07\quesito posto da un utente della rete
Un problema sulla spinta di Archimede
Problema
Un cubo di legno di 20 cm di lato, galleggia in un recipiente pieno di acqua. Quale è la distanza tra
la faccia superiore del cubo e la superficie libera dell'acqua, assumendo uguale a 650Kg/m3 la
densità del legno?
Soluzione
Il problema è di facile soluzione. Si tratta di un problema sull’applicazione della spinta di
Archimede.
Il cubo di legno è immerso in acqua. Poiché la densità del legno è minore di quella del fluido il
blocco di legno galleggerà e sarà immerso nell’acqua solo parzialmente.
Facciamo riferimento alla figura riportata lato. In essa
abbiamo indicato con x la misura dell’altezza della faccia del
cubo immersa in acqua e con h=l-x la misura della distanza tra
la superficie libera dell’acqua e la faccia superiore del cubo. Si
tratta di determinare la misura h. Applicando il principio di
Archimede noi determineremo x e successivamente, per
differenza , si troverà h.
Siano ρ acqua , ρlegno rispettivamente le misure delle densità
dell’acqua e del legno. Il principio di Archimede afferma che
“ ogni corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso
l’alto pari al peso del fluido spostato”
In questa legge occorre stare attenti a determinare la quantità
di fluido spostata. Se il corpo immerso nel fluido è
impermeabile al fluido stesso e non è poroso la quantità di
fluido spostata è pari al volume della parte del corpo immersa
nel fluido. Nel nostro caso supponiamo che il legno sia impermeabile.
Il volume della parte del cubo di legno immersa in acqua misura
Vlegno = l 2 ⋅ x
ed il peso della corrispondente acqua spostata si ottiene moltiplicando il valore del volume trovato
per l’a densità dell’acqua. Dunque
Pacqua = ρ acqua ⋅ l 2 ⋅ x
Questo valore fornisce l’intensità della spinta diretta verso l’alto che il cubo di legno riceve
dall’acqua. Poiché il cubo galleggia, la spinta verso l’alto ha la stessa intensità della forza peso del
cubo di legno, rivolta verso il basso. Imponendo l’uguaglianza tra dette forze si ricava un’equazione
dalla quale si determina la misura x.
Il peso del cubo di legno è
Plegno = ρlegno ⋅ l 3
L’equazione da risolvere è
ρ ⋅l
ρ acqua ⋅ l 2 ⋅ x = ρlegno ⋅ l 3 ⇒ x = legno
ρ acqua
Sostituiamo ora i valori noti delle grandezze, sapendo che ρ acqua = 1000 Kg / m3 . Si ha
x=
ρlegno ⋅ l 650 Kg / m3 ⋅ 20cm
=
= 13cm
ρ acqua
1000 Kg / m3
Conclusione
La distanza tra la faccia superiore del cubo e la superficie libera dell’acqua è h=(20-13)cm=7cm.
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it