Risoluzioni

21PREMIO PER LA FISICA “VALERIO FILIPPINI”
SOLUZIONE DEI TEST DI SELEZIONE
Pavia, Aula Volta dell’Università, 18marzo 2014
Indicare con una crocetta una sola risposta nei seguenti quesiti. Solo una risposta è corretta.
Valutazione: risposta esatta 2 punti, nessuna risposta 0 punti, risposta errata 1 punto .
1) Se si comprime un gas contenuto in un cilindro applicando su uno stantuffo una forza costante, il
lavoro di compressione è dato
a) dal prodotto della pressione per lo spostamento dello stantuffo.
b) dal rapporto della forza per la variazione di volume.
c) dal prodotto della pressione per la variazione di volume.
Risposta corretta: c)
2) La figura mostra due cicli di Carnot, (a) e (b), fra le stesse temperature. Quale delle seguenti
affermazioni è corretta?
a)
b)
c)
d)
Nel ciclo a) il lavoro prodotto è maggiore che nel ciclo b).
I due cicli hanno rendimento diverso.
I due cicli hanno rendimento uguale e producono uguale lavoro.
Non si può fare alcuna affermazione su rendimento e lavoro perché non è detto se i due
cicli si riferiscono alla stessa sostanza o a sostanze differenti.
Risposta corretta: a)
3) Un fluido ideale (incompressibile e privo di attriti interni) scorre all’interno di un condotto di
sezione variabile e pareti rigide. Nel caso di regime stazionario, quali fra le seguenti proprietà del
fluido sono verificate?
a) La portata diminuisce dove la sezione aumenta.
b) La velocità diminuisce se la sezione aumenta.
1
c) La velocità aumenta se la sezione aumenta.
d) La velocità è costante in ogni sezione del condotto.
Risposta corretta : b). In condizioni stazionarie la portata è costante, quindi per due sezioni
qualsiasi si ha A1v1 = A2v2 e quindi v1/v2 = A2/A1.
4) Un ascensore di massa uguale a 1000 Kg si innalza di 50 m in 20 secondi. Trascurando gli attriti,
la potenza media sviluppata dal motore è
a) 24.5 W
b) 490 kW
c) 24500 J
d) 245 J
e) 24.5 KW
Risposta corretta: e). La potenza è data dal lavoro compito nell’unità di tempo e il lavoro è dato
dalla variazione di energia potenziale. Quindi l potenza media è
5) Perché la traiettoria di un satellite è ellittica e quella di un proiettile parabolica?
a) I due corpi sono messi in orbita con modalità diverse.
b) Nel caso del proiettile l’accelerazione di gravità è costante e nel caso del satellite è
variabile.
c) Il proiettile si muove nell’atmosfera, il satellite nel vuoto.
d) In genere un satellite ha una massa molto più grande di un proiettile.
Risposta corretta: b)
6) Rispetto alla visione ad occhio nudo, una lente d'ingrandimento consente di:
a) aumentare le dimensioni dell'oggetto.
b) mettere meglio a fuoco gli oggetti di piccola dimensione.
c) diminuire il potere diottrico dell'occhio.
d) aumentare l'angolo sotto il quale l'occhio vede l'oggetto.
Risposta corretta: d)
7) Ponendo una lastra fotografica nella posizione dove si forma un'immagine virtuale, la lastra:
a) risulta impressionata.
b) risulta impressionata solo dopo un'esposizione abbastanza lunga.
c) risulta impressionata, ma l'immagine non è nitida.
d) non risulta impressionata.
e) risulta impressionata con un'immagine rovesciata.
Risposta corretta: d)
2
8) Un’automobile lunga 4 metri viaggia a 42 m/s. Un ciclista viaggia sulla pista ciclabile incontro
all’automobile alla velocità di 8 m/s. Sapendo che la frequenza massima di ritenzione delle
immagini da parte dell’occhio umano è 1 Hz, riesce il ciclista ad accorgersi se il guidatore dell’auto
sta viaggiando con il finestrino abbassato?
a) sì
b) no
Risposta corretta: b). Il moto relativo dell’auto e della bicicletta è equivalente a quello in cui la
bicicletta è ferma e l’auto le viene incontro a 42+8=50 m/s. Ciò significa che l’auto, lunga 4 metri,
passa davanti agli occhi del ciclista in meno di 1/10 secondo, quindi la sua immagine non si può
fissare nell’occhio del ciclista.
9) La temperatura di ebollizione di un liquido ad una data pressione:
a) dipende esclusivamente dal tipo di liquido che si considera.
b) dipende dalla massa del liquido.
c) dipende dalla quantità di calore assorbito.
d) dipende sia dal tipo di liquido che dalla quantità di calore assorbito.
e) dipende dal volume di liquido.
Risposta corretta: a)
10) Due gas si trovano nello stesso recipiente alla stessa temperatura. Le molecole
del primo gas hanno massa doppia di quelle del secondo gas. Determinare il
rapporto fra la velocità media delle molecole del primo e del secondo gas.
a)
b)
c)
d)
v1 = v2
v1 = 2 v2
v1 = √ v2
v1 = ½ v2
e) v1 = √
v2
Risposta corretta: e). Per la teoria cinetica dei gas, l’energia cinetica media dei due gas è uguale
Quindi
Da cui
̅
̅
√
̅̅̅̅̅
̅
√
̅̅̅̅̅
√
11) Se la temperatura della superficie del Sole raddoppiasse, la potenza che raggiungerebbe la terra
a) raddoppierebbe.
b) sarebbe quattro volte più grande.
c) sarebbe la stessa perché lo spazio tra sole e terra è vuoto.
d) sarebbe otto volte più grande.
e) sarebbe sedici volte più grande.
3
Risposta corretta: e). La variazione dell’energia irraggiata da un corpo caldo al variare della
temperatura è data dalla relazione
.
12) Un corpo di massa m=5 Kg e dimensioni trascurabili, fissato all’estremità di un’asta rigida di
lunghezza R=1 m e massa trascurabile, viene fatto ruotare su un piano verticale con velocità
angolare costante =5 rad/s. Quanto vale la reazione vincolare dell’asta quando il corpo è nel punto
più alto della traiettoria?
a) 125 N.
b) 76 N.
c) 174 N .
Risposta corretta: c). La reazione vincolare dell’asta è determinata dalla forza centripeta
(
e dalla forza peso (Fp =mg =49 N). Nel punto più alto della traiettoria le
due forze agiscono concordemente verso il basso, quindi la reazione vincolare è T = 125 + 49 =
174 N ; nel punto più basso esse agiscono in opposizione, quindi T = 125-49 = 76 N ; nelle
posizioni intermedie in cui la forza peso è perpendicolare all’asta, risulta T = 125 N.
Rispondere ai seguenti quesiti giustificando la risposta.
Valutazione: da 0 punti (nessuna risposta o risposta sbagliata) a 3 punti (risposta esatta)
13) Un treno è composto da una motrice e da tre vagoni ed ha, inizialmente, una accelerazione a =
0.5 m/s2. Supponiamo che la motrice ed i vagoni abbiano ognuno massa M = 2 104 Kg. Determinare
la forza motrice FM esercitata dalla motrice e la forza f3 che agisce sul vagone III.
a) FM = 40 kN, f3 = 40 kN.
b) FM = 40 kN, f3 = 30 kN
c) FM = 40 kN, f3 = 10 kN
d) FM = 10 kN, f3 = 10 kN
Soluzione corretta: c). Motrice e vagoni costituiscono un’unica massa soggetta all’ accelerazione a
sotto l’azione della forza motrice FM, quindi
FM = 4Ma = 40 kN.
A loro volta, i vagoni I, II e III costituiscono un’unica massa con accelerazione a soggetta a una
forza applicata al vagone I:
f1= 3Ma = 30 kN.
Analogamente, sul sistema dei vagoni II e III agisce la forza applicata al vagone II
f2= 2 Ma = 20 kN
e sul vagone III la forza
4
f3 = Ma = 10 kN.
14) Una bombola d’aria compressa contiene 0.5 m3 di aria a temperatura 285 K e pressione 850
kPa. Calcola che volume occuperebbe quest’aria se fosse rilasciata nell’atmosfera dove la pressione
è 101 kPa e la temperature di 303 K.
a) 3m3
b) 4.5 m3
c) 5.2 m3
Soluzione corretta: b). Per la legge dei gas perfetti applicata al gas chiuso nella bombola vale la
relazione p1V1=nRT1 e per il gas liberato nell’atmosfera p2V2 = nRT2. La prima relazione consente
di calcolare la quantità di gas contenuto nella bombola, ossia il numero di moli n= p 1V1/RT1 che,
utilizzato nella seconda relazione, permette di calcolare il volume finale V 2= (p1V1T2)/(p2T1) = 4.5
m3.
15) Un proiettile di piombo, avente velocità v = 200m/s, penetra in un blocco di legno e si ferma.
La temperatura iniziale del proiettile vale 20 0C. Ammettendo che l’energia persa dal proiettile
provochi un aumento di temperatura del proiettile, quale deve essere la velocita del proiettile per
aumentare la sua temperatura fino a raggiungere la temperatura di fusione del piombo (ossia 326,
850C) ? Il calore specifico del piombo vale cp = 129,8 J/kgK.
a)
√
2
b) v = 2cpT
c) v = 272,5 m/s
Soluzione corretta: b). Il calore assorbito dal proiettile di piombo, pari all’energia cinetica E
persa, vale
Q = m cp T =E = 1/2mv2
da cui segue la seguente relazione tra la velocita del proiettile e la variazione di temperatura:
v2 = 2cpT
Per raggiungere la fusione del piombo, la variazione di temperatura dev’essere
pari a T = 326, 850C − 200C = 306, 850C
Pertanto risulta
v =√
= 282, 23 m/s
16) Alla temperatura To = 0 °C e alla pressione po = 105 Pa una certa quantità di idrogeno (gas
biatomico, ideale) occupa un volume Vo = 0.0015 m3. Ad un certo istante il gas viene messo a
contatto con una sorgente di calore ad una certa temperatura. Se si aspetta un tempo
sufficientemente lungo, il volume del gas raddoppia mentre la pressione rimane eguale.
Determinare la variazione di energia interna del gas, ricordando che il calore specifico a pressione
costante è cp =7/2 R e R = 8.3 J/mol K.
5
a) 178 J
b) 251 J
c) 367 J
d) 513 J
Soluzione corretta d). La variazione di energia interna a pressione costante è U = ncp(T1-To).
L'equazione di stato dei gas
permette di calcolare la temperatura finale T1:
T1 = 2To = 546 K
e il numero n di moli:
Pertanto la variazione di energia interna vale:
U = ncp(T1-To)= 513.5 J
Risolvere i seguenti esercizi.
Valutazione: da 0 punti (soluzione mancante o errata) a 5 punti (soluzione esatta).
Una persona su una barca guarda verticalmente la superficie dell’acqua e intravede sul fondo
una conchiglia. Sapendo che la profondità dell’acqua in quel punto è y = 3 m e che l’indice di
rifrazione dell’acqua è n = 1.33, a quale profondità gli appare la conchiglia?
17)
Soluzione
La conchiglia si trova nel punto R. Supponiamo che l’osservazione del fondo non avvenga
perpendicolarmente alla superficie dell’acqua ma obliquamente. Il raggio luminoso proveniente dalla
conchiglia incida sulla superficie dell’acqua nel punto B ed emerga con un angolo di rifrazione r > i. Per
l’osservatore che guarda nella direzione del raggio emergente, questo appare come se provenisse dal punto
R’. Per le leggi della rifrazione si ha
(1)
6
Dalla figura si ricava:
(2)
Combinando (1) e (2) si ottiene:
Facciamo ora convergere il punto B nel punto A, cioè poniamo
i = r = 0, cos i = cos r = 1.
Tendo conto che per l’aria si può porre n1 = 1,
si ottiene
18) Un’onda piana incide, parallelamente all’asse principale, su di un diottro sferico aria-vetro che
rivolge la convessità alla luce. Il raggio del diottro è r = 0 30 cm. L’indice di rifrazione del vetro è n
= 1.5. Trovare il punto in cui convergono i raggi rifratti.
Soluzione.
L’equazione del diottro per una sorgente puntiforme posta nel punto S è
Un’onda piana è prodotta da una sorgente puntiforme a distanza infinita, cioè con p
si ha
. Quindi
x 3 = 90 cm, dove si è assunto per l’aria n1 = 1.
19) All’istante t=0 un viaggiatore si trova in un aeroporto all’inizio di un corridoio di lunghezza
L=60 m affiancato da un nastro trasportatore e vede la sua valigia a metà corridoio. Questa scorre
sul nastro con una velocità che le permetterebbe di percorrere il corridoio in tutta la sua lunghezza
in 2 minuti. Se inizialmente il viaggiatore è fermo e si mette in movimento con accelerazione
costante, che velocità dovrebbe raggiungere per afferrare la sua valigia alla fine del corridoio?
Soluzione
La velocità della valigia sul nastro è v=L/T=0.5 m/s con T=120 s.
Il viaggiatore ha ovviamente 60 s di tempo per raggiungere la valigia alla fine del corridoio.
Se all’istante t0=0 la sua velocità è V0=0, la sua accelerazione finale è
7
a = 2L / (T/2)2 = 2L 4v2 / L2 = 8v2 / L = 1/30 m/s2.
Quindi la sua velocità in fondo al corridoio è V(T/2) = a T/2 = 8 v 2 L / (L 2v) = 4 v = 2 m/s.
20) Un vagone di un trenino elettrico di massa M pari a 500 g può muoversi senza attrito sopra un
binario orizzontale. Un pendolo di massa m = 50 g e di lunghezza ℓ = 10 cm è appeso al soffitto del
vagone. All'inizio il vagone e il pendolo sono fermi e la massa m è posta all’altezza h = 5 cm. Il
pendolo viene lasciato oscillare. Quanto vale la velocità del vagone quando il pendolo passa per la
verticale?
Soluzione. All’inizio l’energia del sistema pendolo-carrello è data dalla sola energia potenziale del
pendolo (mgh). Successivamente, parte dell’energia si trasforma in energia cinetica del pendolo
stesso(½ mv2 ) e in energia cinetica del carrello(½ M V2).. Per la conservazione
dell’energia deve essere
mgh = ½ mv2 + ½ M V2
Poiché il baricentro del sistema rimane fermo, quando il pendolo è verticale (e la velocità della
massa m è orizzontale) per la conservazione dell’impulso deve essere
mv = MV
Pertanto la velocità della massa m quando il pendolo passa per la verticale è
√
= 0.94 m/s
21) Per fare in modo che il periodo di un pendolo sia indipendente dalla temperatura si ricorre al
cosiddetto «pendolo compensato»: la massa che oscilla è sostenuta da un supporto costituito da
cinque aste connesse come nella figura: tre di queste sono fatte di un certo metallo (A) e altre due di
un altro metallo (B). A una data temperatura T0 la lunghezza delle aste di metallo A sia LA = 70 cm.
Determina la lunghezza LB delle aste di metallo B, essendo noti i coefficienti di dilatazione termica
lineare dei due metalli (λA = 4.0 x 10-6 K-1 e λB = = 1,1 x 10-5 K-1).
8
Soluzione.
Nel pendolo compensato l’allungamento dovuto alle variazioni di temperatura è nullo, così
che il periodo di oscillazione rimane inalterato.
A questo scopo occorre che sia costante la somma
vale a dire che l’allungamento complessivo del supporto in corrispondenza di una variazione di
temperatura T sia nullo:
ΔL = (2 λALA – λBLB) ΔT = 0
da cui si ha:
2λALA = λBLB
e quindi
LB = 2LA (λA/ λB) = 0.73 LA = 51 cm
Risolvere i seguenti esercizi.
Valutazione: da 0 punti (soluzione mancante o errata) a 2 punti (soluzione esatta).
22) Calcolare la probabilità che lanciando due dadi (a) la somma sia 5 e (b) escano due 1.
Soluzione. a) Ogni dado ha 6 facce, quindi le combinazioni sono S = 6 x 6 = 36. 5 può essere
ottenuto da 1+4, 4+1, 2 +3, 3+2, cioè in quattro eventi. Pertanto la probabilità di ottenere 5 è
P1 = 4/36 =1/9.
b) Una coppia di 1 può essere ottenuta in un solo evento, pertanto la probabilità è P= 1/36.
23) Calcolare la probabilità di estrarre tre assi di seguito da un mazzo di 52 carte.
Soluzione. La probabilità che nella prima estrazione esca un asso è P 1=4/52=1/13
Nella seconda estrazione le carte sono 51 e il numero di assi è 3, quindi P2 =3/51=1/17
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Nella terza estrazione le carte sono 50 e gli assi residui son 2, quindi P 3 =2/50=1/25.
La probabilità che escano tre assi consecutivamente è P = P 1 P2 P3 = 1/5525
24) Un meteorite cade sulla Terra. Assumendo che i meteoriti cadano sulla terra in modo uniforme,
si valuti approssimativamente la probabilità che il punto d’impatto si trovi fra l’equatore e il tropico
del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord).
Soluzione
La probabilità può essere calcolata come rapporto fra l’area della regione compresa fra l’equatore
e il tropico del Cancro e l’area di tutta la superficie terrestre. o Supponendo che la regione sia
approssimativamente cilindrica con raggio R e altezza h = R sen , si ha
P = (Area regione)/ (Area terra)
2Rh/4R2 = sen /2= 0.19 = 19%.
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