DISTRIBUZIONI SINGOLARI E FUNZIONE DENSIT`A Consideriamo

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DISTRIBUZIONI SINGOLARI E "FUNZIONE" DELTA DI DIRAC
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DISTRIBUZIONI SINGOLARI E FUNZIONE DENSITÀ
Consideriamo una distribuzione continua di una data quantità Q
(ad esempio la carica elettrica o la massa).
Introdotta la corrispondente densità %(x)
l’ammontare Q(V ) della quantità Q contenuto nel volume V è dato da
Z
d3 x %(x)
Q(V ) =
V
e la quantità Q totale è data da
Z
Qtot =
d3 x %(x)
Supponiamo ora che la distribuzione della quantità Q, anziché essere continua,
sia ovunque nulla tranne che per un ammontare finito q0 concentrato nel punto x0
(negli esempi fatti sopra una carica puntiforme o una particella di data massa poste nel punto x0 ).
Se vogliamo descrivere tale situazione ancora per mezzo di una densità %(x)
dovrà essere (se il punto x0 giace entro il volume V )
Z
d3 x %(x) = q0
Q(V ) =
V
e
Z
Qtot =
d3 x %(x) = q0 .
Ma la distribuzione %(x) deve essere ovunque nulla tranne che nel punto x0
e non esiste alcuna funzione con tale proprietà il cui integrale non sia nullo.
Il problema, nell’ambito della matematica, è risolto dalla teoria delle distribuzioni .
Noi introdurremo, in modo intuitivo, una particolare distribuzione,
la chiameremo impropriamente funzione
e useremo la simbologia molto efficace comunemente adottata in fisica.
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LA FUNZIONE DELTA
La "funzione" delta di Dirac δ(x) è definita formalmente da
Z
(1)
+∞
dx f (x) δ(x) = f (0)
−∞
per ogni f (x) ben definita in x = 0.
Un’immagine intuitiva, da prendere con cautela, della funzione δ(x) di Dirac è fornita dalla definizione
(2)
δ(x) =
0
per x 6= 0,
+∞ per x = 0,
Z
con
+∞
dx δ(x) = 1.
−∞
Principali proprietà della funzione delta
La funzione delta gode delle seguenti proprietà:
(3)
(4)
δ(x) = δ(−x),
Z +∞
dx f (x) δ(x − x0 ) = f (x0 ),
−∞
(5)
(6)
1
δ(x),
|a|
X
1
δ(g(x)) =
δ(x − xn )
n |g 0 (xn )|
δ(ax) =
(7)
x δ(x) = 0,
(8)
f (x) δ(x − x0 ) = f (x0 ) δ(x − x0 ),
Z +∞
dy δ(x − y) δ(y − a) = δ(x − a),
(9)
g(xn ) = 0, g 0 (xn ) 6= 0 ,
−∞
(10)
1
2π
Z
+∞
dx exp(ikx) = δ(k).
−∞
Le proprietà (3)–(9) seguono facilmente dalla definizione (1).
La proprietà (10) traduce il teorema sulla trasformata inversa di Fourier.
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Nota
La proprietà (4) costituisce una generalizzazione al caso di variabili continue
X
della proprietà
fi δij = fj del simbolo δ di Kronecker.
i
Analogamente per le proprietà (8) e (9).
Anche la proprietà (10) corrisponde, per una variabile a valori discreti,
a una proprietà esprimibile in termini del simbolo di Kronecker.
Imponiamo alla funzione esponenziale exp(ikx) di essere periodica in x con periodo l,
2π
n, con n intero.
cioè restringiamo k ai valori discreti kn =
l
Allora, come subito si trova,
l’integrale esteso a un periodo della funzione exp(ikn x) ha la proprietà
1
l
Z
x0 +l
dx exp(ikn x) = δn0 .
x0
Nota
La proprietà (5), ovvero δ(ax − ax0 ) = (1/|a|) δ(x − x0 ), discende dalla relazione tra d(ax) e dx
ed è diversa dalla corrispondente proprietà del simbolo di Kronecker.
Analogamente per la proprietà (6).
Nota
La relazione (10) non contraddice i "valori" dell’immagine intuitiva di δ(k) espressa dalla (2).
Infatti,
per ogni k 6= 0, la funzione exp(ikx) è periodica con periodo l =
prescrizione
1
2π
Z
z
Z
+∞
X
dx exp(ikx) =
+∞
−∞
m
−∞
2π
e quindi
k
'& / integrale su un periodo = 0
}|
{
x0 +(m+1)l
dx exp(ikx) = 0,
x0 +ml
mentre per k = 0,
1
2π
Z
+∞
dx 1 = +∞,
−∞
inesorabilmente.
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Derivata della funzione delta
È possibile definire le derivate di ogni ordine della funzione delta.
In particolare la derivata prima ha le seguenti proprietà:
Z
+∞
dx f (x) δ 0 (x) := −f 0 (0),
−∞
δ 0 (x) = −δ 0 (−x),
Z
+∞
dy δ 0 (x − y) δ(y − a) = δ 0 (x − a),
−∞
x δ 0 (x) = −δ(x),
x2 δ 0 (x) = 0,
Z +∞
i
dk k exp(ikx) = δ 0 (x).
2π −∞
Funzione delta e distribuzioni singolari
Definiamo la funzione delta tridimensionale
δ (3) (x − x0 ) = δ(x − x0 ) δ(y − y0 ) δ(z − z0 ).
Allora, nel caso in cui la distribuzione della quantità Q
sia ovunque nulla tranne che per un ammontare finito q0 concentrato nel punto x0 ,
definendo la densità %(x) come
%(x) = q0 δ (3) (x − x0 ),
risulta (se il punto x0 giace entro il volume V )
Z
d3 x %(x) = q0
Q(V ) =
V
e
Z
Qtot =
d3 x %(x) = q0
come si voleva.
Se la distribuzione della quantità Q è costituita
da una parte continua di densità %cont (x) e dalla parte singolare descritta sopra
la densità complessiva è data da
%(x) = q0 δ (3) (x − x0 ) + %cont (x).
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LA FUNZIONE DELTA COME LIMITE DI FUNZIONI ORDINARIE
La funzione delta può essere considerata il limite di opportune funzioni ordinarie.
La tabella che segue elenca alcune funzioni di x − x0 che
presentano un picco positivo in x = x0 ,
integrate da −∞ a +∞ danno 1,
dipendono da una variabile a che determina la larghezza e conseguentemente l’altezza del picco.
Le seconde espressioni sono ottenute dalle corrispondenti prime espressioni
1 e ponendo l’argomento nella forma adimensionale x − x0 ·
evidenziando il fattore a
a
Tabella
1 χ
1 1χ
δea1 (x − x0 ) =
( a,a) =
( 1,1) (x − x0 )/a ,
a 2
2a
1 1
2 1
√ exp − (x − x0 )/a ,
δea2 (x − x0 ) = √ exp −(x − x0 )2 a2 = a
a π
π
1
1
1 1
a
,
=a
δea3 (x − x0 ) = π
2
π
(x − x0 )2 + a2
(x − x0 )/a + 1
2
2
sin
sin
(x
−
x
)/a
(x
−
x
)/a
0
0
a
1
1
4
δea (x − x0 ) = π
=a π
2 ,
(x − x0 )2
(x − x0 )/a
sin
(x
−
x
)/a
sin
(x
−
x
)/a
0
0
1
1
1
,
δea5 (x − x0 ) = π
=a π
x − x0
(x − x0 )/a
1 − cos (x − x0 )/a
1 − cos (x − x0 )/a
a
1
1
6
e
δa (x − x0 ) = π
=a π
·
2
(x − x0 )2
(x − x0 )/a
La funzione δ(x − x0 ) può essere considerata
come il limite per a → 0 di una qualsiasi di queste funzioni,
δ(x − x0 ) = lim δean (x − x0 ).
a→0
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