Controllo e correzione degli errori - diegm

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Fondamenti di Informatica - Controllo e correzione degli errori
FONDAMENTI DI INFORMATICA
Prof. PIER LUCA MONTESSORO
Facoltà di Ingegneria
Università degli Studi di Udine
Controllo e correzione degli errori
© 2000 Pier Luca Montessoro (si veda la nota di copyright alla slide n. 2)
1
Nota di Copyright
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2
Ridondanza
• La memorizzazione/trasmissione dei
dati è soggetta ad errori
• Si possono aggiungere ai dati
informazioni ridondanti per:
– controllarne la correttezza
– correggere (quando possibile) gli errori
3
in fase di codifica (o memorizzazione o trasmissione)
dati
f (dati)
CRC
dati
CRC
Nell’esempio:
Cyclic Redundancy Check = f (dati)
4
in fase di decodifica (o lettura o ricezione)
dati
CRC
f (dati)
CRC
=?
NO
se possibile si correggono
i bit errati, altrimenti si
segnale l’errore
SÌ
i dati ricevuti
sono corretti
5
Alcune tecniche
• Parità
– solo controllo
• Somma di blocco
– controllo e correzione
• Codici polinomiali
– solo controllo
• Codici di Hamming
• Codici a convoluzione
6
Parità
• Ad ogni dato (es. 1 codice ASCII su 7
bit) viene aggiunto un bit tale che il
numero totale di bit a 1 sia sempre pari
(“parità pari”) o sempre dispari (“parità
dispari”)
7
Esempio: parità pari
bit di parità
0111011
1
0000000 0
0000001 1
1001101 0
0111011 1
P = A1 A2 ... An
8
Distanza di Hamming
• Numero minimo di bit in cui differiscono
due parole del codice (dato +
informazione ridondante) valide
• Nella tecnica di parità:
– distanza di Hamming = 2 (almeno due bit
differenti)
– quindi lo schema individua errori singoli e
non doppi
9
Distanza di Hamming
• Distanza di Hamming dell’intero codice:
HD = min { HD di tutte le possibili coppie
di parole del codice }
• Per rilevare k errori HD del codice deve
essere k+1
• Per correggere k errori HD del codice
deve essere 2k+1
10
Somma di blocco
• Opera su blocchi di dati con parità
(detta trasversale o “di riga”, relativa a
ciascun dato)
• Si aggiunge al termine del blocco una
serie di di bit di parità relativi ai bit di
una data posizione in tutti i dati del
blocco (parità longitudinale o “di
colonna”)
11
bit di parità di riga
0000000 0
0000001 1
1001101 0
0111011 1
0001100 0
1010101 0
1111101 0
1111111 1
0101100 1
bit di parità di colonna
12
(con errore di lettura e correzione)
0000000 0
0000001 1
1001101 0
0111011 1
0101100 0
1010101 0
1111101 0
1111111 1
0101100 1
errore
0000000 0
0000001 1
1001101 0
0111011 1
0101100 0
1010101 0
1111101 0
1111111 1
0101100 1
errore
13
Codici polinomiali
• Codici adatti nel caso di errori “a burst”
(danneggiano più bit consecutivi)
– Si definisce uno schema di n+1 bit detto
generatore (G), comune a trasmettitore e
ricevitore
– Si aggiungono al messaggio M (lungo k bit)
n bit tali che i k+n bit trasmessi siano
divisibili per G (in aritmetica modulo 2)
Gli r bit aggiunti sono detti FCP (Frame Check
Sequence) o CRC (Cyclic Redundancy Check)
14
Codici polinomiali
• Il calcolo del CRC si basa su alcune
proprietà dell’aritmetica modulo 2:
– non ci sono riporti nelle addizioni
– non ci sono prestiti nelle sottrazioni
– addizioni e sottrazioni sono identiche e
coincidono con l’operazione di EXOR
• Di conseguenza, A + A = 0
15
Divisione modulo 2
• La divisione in aritmetica modulo due
procede come in aritmetica decimale,
ma con EXOR al posto delle sottrazioni
• Il divisore “sta dentro” il dividendo se il
dividendo ha tanti bit quanti il divisore
16
Divisione modulo 2
1011 : 10 = 101
10
-0011
10
-01 resto
il parziale corrente (001) ha meno
bit significativi del divisore:
aggiungo uno zero al quoziente
e “abbasso” un’altra cifra
NOTA: in
generale, il
risultato di una
divisione modulo
due non coincide
con il risultato
della divisione
normale
17
Proprietà della divisione modulo 2
M ( x) ⋅ 2
R( x)
= Q( x) +
G ( x)
G ( x)
n
nell’aritmetica modulo
2 la somma di due
numeri uguali dà zero,
quindi:
M ( x) ⋅ 2
R( x)
R( x) R( x)
+
= Q( x ) +
+
G ( x)
G ( x)
G ( x) G ( x)
n
M ( x) ⋅ 2 + R( x)
= Q( x)
G ( x)
n
18
Codici polinomiali
• Sia:
– M(x) il messaggio da trasmettere (su k bit)
– G(x) il numero “generatore” che sarà usato
come divisore (su n+1 bit)
– R(x) il resto (su n<k bit) di M(x)•2n/G(x)
• Si genera la parola di codice appendendo
R(x) al messaggio
• Se il messaggio comprensivo di R(x) è
corretto, la divisione per il numero generatore
deve dare resto zero
19
Esempio
G(x): 101 (quindi CRC su 2 bit, uno in meno dei bit di G(x))
M(x): 1110
bit a zero equivalenti alla moltiplicazione per 2n
verranno sostituiti da R(x) (il CRC)
111000 : 101 = 1101
il quoziente viene
101
ignorato ai fini del calcolo
--del CRC
0100
101
--messaggio con CRC: 111001
00100
101
--M(x) CRC
001
CRC
20
Esempio
ricezione corretta:
111001
esempio di ricezione errata:
100001
111001 : 101 = 1101
101
--0100
101
--00101
101
--000 resto zero: OK
100001 : 101 = 110
101
--00100
101
--00011 resto non zero: errore!
21
Codici polinomiali
• Polinomi generatori standard:
CRC-8:
CRC-16:
CRC-CCITT:
CRC-32:
X8+X2+X1+1 (1 0000 0111)
X16+X15+X2+1 (1 1000 0000 0000 0101)
X16+X12+X5+1
X32+X26+X23+X16+X12+X11+
+X10+X8+X7+X5+X4+X2+X+1
22
Codici di Hamming
• Un semplice codice di Hamming (a 1
bit) aggiunge al messaggio la somma
modulo due delle posizioni dei bit a 1
del messaggio stesso
• Tale somma occupa nel messaggio le
posizioni corrispondenti al peso di ogni
singolo bit della somma stessa
• Consente la correzione di errori singoli
23
Esempio
11 = 1011 +
7 = 0111 +
6 = 0110 +
3 = 0011
-----------------
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
0
0
x
1
1
0
x
1
x
x
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1001
24
Esempio
• In ricezione si sommano (modulo 2) le
posizioni in cui ci sono dei bit a 1
– se la somma è zero il messaggio è
(probabilmente) corretto
– se la somma è diversa da zero il valore
ottenuto è la posizione del bit errato (è
infatti il valore - posizione di un bit a 1 che manca o che è di troppo nella
somma)
25
Esempio
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
11 = 1011 +
8 = 1000 +
7 = 0111 +
6 = 0110 +
3 = 0011 +
1 = 0001
----------------0000
messaggio corretto
26
Esempio
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
11 = 1011 +
8 = 1000 +
6 = 0110 +
3 = 0011 +
1 = 0001
----------------0111
errore al bit 7
27
Codici a convoluzione
• Molto utilizzati nella trasmissione dei
dati
• Non sono limitati al singolo blocco di
dato: viene elaborato l’intero flusso
• Si basano su un sistema con memoria
in cui il risultato della decodifica di un
dato è funzione dei dati ricevuti in
precedenza
28

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