Algebra tensoriale? Lil`help here

Algebra tensoriale? Lil’help here
Dario Isola
January 18, 2008
Abstract
Volete iniziare a leggere il ”bigino” del Mante? I simboli iniziano a
comparire dal nulla? Si triplicano gli indici in una permutazione ciclica
tensoriale che li porta alla finale contrazione con il risultato che l’autore
è in grado di dimostravi che la massa è un tensore triplo? Siete arrivati
a metà e avete appena capito che quei due punti neri sovrapposti non
sono un segno di punteggiatura, e vi inizia a venire il dubbio che forse
potrebbero essere un operatore matriciale? In sostanza non ci capite un
cazzo? Bene! Questo bigino potrebbe essere un valido inizio, magari
riusciamo a fare un po’ pi di chiarezza.
1
Introduzione
Tutti gli elementi matematici (scalari, vettori,...) possono essere definiti tensori;
essi si distinguono gli uni dagli altri, per la loro dimensione, e il loro ordine.
Dimensione: d del particolare spazio a cui appartengono i tensori, d = 3,
d = 2.
Ordine: E’ un intero r ≥ 0, tale che il numero delle componenti che descrivono
il tensore corrisponde a ncomp = dr .
Ordine 0 ’scalare’: Ogni proprietà che può essere rappresentata da un unico
valore reale (ci esentiamo dal presentare anche il caso complesso) come la
massa m, la pressione p, etc. . .
Ordine 1 ’vettori’: Entità fisica che può essere rappresentata da intensità direzione e verso. Essa è indipendente dal modo in cui viene rappresentata,
è come già detto una entità fisica, che vive al di là di tutto (sistema di riferimento, inerziale o non, coordinate libere, trasformazioni, unità di misura,
etc. . . ). Essa può essere rappresentata come una matrice colonna, i cui elementi corrispondono alle componenti del vettore riferite a un particolare
sistema di riferimento (che prenderemo cartesiano).
1
I vettori nel caso a 3 dimensioni sono rappresentati come:
~a = [a1 , a2 , a3 ]T
I vettori sono in grado di rappresentare molte quantità della meccanica
~ etc...
del continuo come la velocità ~v , il campo elettrico E,
Ordine 2 ’tensori’: o tensore del secondo ordine, nel caso a 3 dimensioni sono
entità fisiche che possono essere rappresentate con nove componenti, e può
essere espressa usando la rappresentazione matriciale come:


T11 T12 T13
T = Tij = T21 T22 T23 
T31 T32 T33
mentre un tensore bidimensionale avrà 4 componenti, ovvero:
T11 T12
T = Tij =
T12 T22
i tensori possono essere quindi rappresentati per componenti come Tij ,
dove si sottintende che i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3. Il trasposto di un tensore,
che spesso viene rappresentato come T T , viene anche espresso come Tji ,
dove notiamo gli indici invertiti.
I tensori sono stati storicamente introdotti per rappresentare gli sforzi
all’interno dei materiali σ, ma possono rappresentare anche numerose
quantità matematiche.
Simmetrico ordine 2: Il termine simmetrico, intende simmetrici rispetto alla
diagonale, tale per cui ogni elemento Tij = Tji nel caso 3D significa T12 =
T21 , T13 = T31 e T23 = T32 . Molti dei tensori che si incontrano nella
meccanica del continuo sono simmetrici.
Ordine 3 : ha 27 componenti nel caso 3-dimensionale, e al livello visivo può
essere rappresentato come un archivio, dove le matrici si estendono nello
spazio, una davanti all’altra.






T111 T121 T131
T112 T122 T132
T113 T123 T133
T = T211 T221 T231  ⇛ T212 T222 T232  ⇛ T213 T223 T233 
T311 T321 T331
T312 T322 T332
T313 T323 T333
Una rappresentazione simbolica è comunque a questo punto sconveniente,
e si preferisce riferirsi alle componenti con Tijk .
Simmetrico ordine 3: è definito per intendere che:
Tijk = Tikj = Tjik = Tjki = Tkji = Tkij
avendo quindi 10 componenti libere, al posto di 27. Quello che la notazione
significa è che scelti i valori di i, j, k qualsiasi inversione di indice non
cambia il valore dell’elemento.

1
T = 4
5





4 5
4 6 10
5 10 7
6 10 ⇛  6 2 8  ⇛ 10 8 9
10 7
10 8 9
7 9 3
2
E’ un oggetto fatto in quel modo: se qualcuno riesce a vederci una logica,
me lo faccia sapere.
Regoletta 1 (Sommatoria sott’intesa) E’ una convenzione che sott’intende
la sommatoria che satura l’indice (ovvero da 1 a 3 nel caso 3D) quando l’indice
viene ripetuto, nel senso che:
ai b i =
3
X
ai b i = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3
i=1
Attenzione! Perchè con indice ripetuto (io credo) si intende quando c’è un
prodotto, ovvero quando gli indici sono vicini, infatti:
ai + bi = [a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ]T
e in riferimento alle derivate:
∇ · ~a =
∂ai
∂a1
∂a2
∂a3
=
+
+
∂xi
∂x1
∂x2
∂x3
mentre per un tensore:


T11/1 + T12/1 + T13/1
∂Tij
= T21/2 + T22/2 + T23/2 
∇·T =
∂xi
T31/3 + T32/3 + T33/3
2
Operazione di algebra tensoriale
Elenchiamo alcune delle più comuni e usate operazioni.
2.1
Somma algebrica

T11 + S11
T + S = Tij + Sij = T21 + S21
T31 + S31
2.2

T13 + S13
T23 + S23 
T33 + S33
Prodotto tensore scalare
Operazione commutativa e associativa:

sT11
sT = sTi = sT21
sT31
2.3
T12 + S12
T22 + S22
T32 + S32
sT12
sT22
sT32

sT13
sT23 
sT33
Prodotto scalare (Inner Product)
Il prodotto scalare operato su due tensori qualsiasi di ordine r1 e r2 è tale per
cui l’ordine risultante è r = r1 + r2 − 2.
• Nel caso di vettori è commutativo e il suo risultato è uno scalare s = ~a · ~b,
dove:
s = ai b i = a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3
3
• Il prodotto scalare tra un vettore e un tensore produce un vettore ~b = T ·~a,
può essere scritto come:
bi = Tij aj =
3
X
Tij aj
j=1
dove il fatto che ci siano due indici vicini, ovvero in un prodotto, ripetuti
significa che una sommatoria è sott’intesa, in modo tale che j saturi, ma
non i. Per completezza mostriamo il risultato:


a1 T11 + a2 T12 + a3 T13
~b = a1 T21 + a2 T22 + a3 T23 
a1 T31 + a2 T32 + a3 T33
Il prodotto scalare non è commutativo se il tensore T non è simmetrico,
T
è
poichè ~b = ~aT · T = T T · ~a

a1 T11 + a2 T21 + a3 T31
~b = a1 T12 + a2 T22 + a3 T32 
a1 T31 + a2 T23 + a3 T33

dove si è usata l’operazione di trasposizione di un vettore ~aT intendendo
la trasformazione da matrice-riga a matrice-colonna e viceversa.
• Il prodotto scalare tra un vettore ~a e un tensore del terz’ordine P produce
un tensore del secondo ordine T = ~a · P le cui componenti sono:
Tij = ak Pkij =
3
X
ak Pkij
k=1
ancora una volta c’è la sommatoria sott’intesa, e ancora una volta il
prodotto non è commutativo, cosı̀ che T = P · ~a produce:
Tij = Pijk ak =
3
X
Pijk ak
k=1
• Il prodotto scalare tra un tensore del secondo ordine T e uno del terzo P
produce un tensore del terz’ordine Q = T · P le cui componenti sono:
Qijk = Til Pljk
ancora una volta non è commutativo, per cui Q = P · T è :
Qijk = Pijl Tlk
Esiste quindi un trucco per capire quale sarà il risultato di un prodotto
scalare? Si!
Regoletta 2 (Inner product) Il prodotto scalare di tue tensori di ordine r1
e r2 in qualsiasi ordine (prima l’uno o l’altro) è sempre un tensore di ordine
r = r1 + r2 − 2
4
Regoletta 3 (prima di JJ) Conoscendo la Regoletta 2 sappiamo quale sarà
l’ordine del tensore risultato. A questo punto se il prodotto è del tipo A =
B · C per capire come viene effettuato basterà assegnare gli indici ijklm... ad A
fino all’ordine che gli compete. Al tensore B, di ordine r1 , assegnamo i primi
ijklm... indici fino all’indice (r1 − 1), mentre al’ultimo indice che rimane
libero per descrivere B ne assegnamo uno muto che sarà soggetto di sommatoria
e lo chiamiamo x. Al tensore C assegnamo come primo indice l’indice muto x,
mentre usiamo come restanti (r2 − 1) i indici quelli che descrivono A e che non
sono ancora stati usati per B.
E’ importante non invertire mai gli indici, che infatti rimangono gli stessi
e vengono copia/incollati da A sui moltiplicandi a destra dell’uguale, ma con
l’accorgimento di ricordarsi di aggiungere ai due indici centrali (ovvero quelli
che si “guardano”) l’indice muto di sommatoria.
2.4
Doppio prodotto scalare tra due tensori
Il doppio prodotto tra tensori del secondo ordine T e S produce uno scalare
s = T : S che deve essere valutato come la somma dei nove prodotti delle
componenti dei tensori:
s = Tij Sij =T11 S11 + T12 S12 + T13 S13 +
T21 S21 + T22 S22 + T23 S23 +
T31 S31 + T32 S32 + T33 S33
ricordando che:
Tij Sij =
3 X
3
X
Tij Sij
i=1 j=1
Il doppio prodotto tra due tensori del second’ordine, cosı̀ come il singolo prodotto
tra due del prim’ordine è commutativo.
Il doppio prodotto tra un tensore del second’ordine T e uno del terzo P ha
come risultato un vettore ~a = T : P con componenti:
ai = Tjk Pjki
e in questo caso non è commutativo1 , cosı̀ che ~a = P : T è
ai = Pijk Tjk
Regoletta 4 (Double Inner product) Il doppio prodotto scalare di due tensori di ordine r1 e r2 in qualsiasi ordine (prima l’uno o l’altro) è sempre un
tensore di ordine r = r1 + r2 − 4
Regoletta 5 (seconda di JJ) I discorso effettuato per il prodotto scalare semplice, è facilmente generalizzato inserendo due indici muti x e y di sommatoria,
che devono essere saturati. Al centro del prodotto devono essere poste le variabili
mute senza essere scambiate, e le “caselle”esterne di indici vanno completate
con lo stesso ordine dato al tensore risultato posto al membro di sinistra.
1 Si
noti che alcuni testi usano una definizione diversa per cui: A : B = Aik Bki .
5
Si intente anche sottolineare il fatto che il doppio prodotto scalare ghode
anche di una particolare proprietà, tale per cui:
A : B = Tr(AT B) = Tr(AB T ),
dove Tr( · ) è l’operatore di traccia, definito come:
Tr(A) =
n
X
Aii .
i=1
Prestare attenzione nel caso in cui il prodotto venga definito in maniera alternativa.
2.5
Triplo prodotto scalare
Il caso di due tensori del terz’ordine ha come risultato uno scalare, che nel caso
3D ha 27 componenti calcolate come:
s = Pijk Qijk
2.6
Prodotto (Outer product)
Il prodotto si opera su tensori e vettori come segue:
• tra due vettori ~a e ~b non è commutativo e ha come risultato il tensore
T = ~a~b = (~b~a)T le cui componenti sono valutate come segue:


a1 b 1 a1 b 2 a1 b 3
Tij = ai bj = a2 b1 a2 b2 a2 b3 
a3 b 1 a3 b 2 a3 b 3
• il prodotto tra un vettore ~a e un tensore del second’ordine T produce un
tensore del terz’ordine P = ~aT
Pijk = ai Tjk
e non è commutativo, cosı̀ che P = T~a
Pijk = Tij ak
Regoletta 6 (Outer product) Il prodotto tra due tensori di ordine r1 e r2 in
qualsiasi ordine (prima l’uno o l’altro) è sempre un tensore di ordine r = r1 + r2
Regoletta 7 (terza di JJ) Per eseguire il prodotto si dispongono i tensori
nell’ordine corretto e si copia/incollano gli indici dei fattori sul tensore risultato
della moltiplicazione nello stesso ordine.
6
2.7
Prodotto vettore (Cross product)
Si applica solo ed esclusivamente ai vettori. Dati due vettori ~a e ~b produce il
vettore ~c = ~a × ~b le cui componenti sono:
ci = eijk aj bk = [a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ]T
dove il simbolo di permutazione è definito come:
eijk
2.8


quando due indici qualsiasi sono uguali
0
.
= +1 quando i,j,k sono una permutazione dispari di 1,2,3


−1 quando i,j,k sono una permutazione pari di 1,2,3
Altre operazioni tensoriali
Alcune altre operazioni tensoriali meno comuni:
Quadrato di un tensore è definito come l’outer product del tensore per sè
stesso:
T2 = TT
n-esima potenza di un tensore è calcolata come n volte il prodotto dei tensori:
Tn =
n
Y
T [i]
i=1
Norma (Magnitude) di un tensore è definita come l’r-esimo prodotto scalare,
dove r è l’ordine del tensore, cosı̀ da produrre uno scalare come:
√
|T | = T : T
i vettori con norma unitaria sono detti versori.
Scala Come suggerisce il nome, la funzione di scala è un oggetto che scala le
componenti di un tensore T secondo le componenti del tensore S ed è
definito come:


T11 S11 T12 S12 T13 S13
V = scala(T , S) = T21 S21 T22 S22 T23 S23 
T31 S31 T32 S32 T33 S33
3
Operazioni esclusive per tensori di ordine 2
Esprimiamo molte delle operazioni che permettono di manipolare le componenti
di un tensore:
Trasposto di un tensore T = Tij è un tensore T T = Tji .
Simmetrici e antisimmetrici Un tensore è detto simmetrico quando le sue
componenti sono simmetriche rispetto alla diagonale, quindi se vale la
relazione: T = T T . Mentre un tensore è antisimmetrico (skew ) se T =
−T T , e che intuitivamente implica l’annullarsi delle componenti diagonali.
7
Ogni tensore del second’ordine può essere decomposto in una parte simmetrica e una antisimmetrica attraverso la relazione:
T =
1
1
(T + T T ) − (T − T T )
|2 {z
} |2 {z
}
simmetrica
antisimmetrica
Diagonale Estrae le componenti diagonali di un tensore, organizzate in un
vettore:
diag(T ) = [T11 , T22 , T33 , . . . , Tdd ]T
Traccia E’ la somma delle componenti della diagonale:
tr(T ) =
d
X
Tii
i=1
Deviatore e tensore idrostatico Ogni tensore del second’ordine può essere
decomposto in una parte deviatorica dove tr(T ) = 0 e una parte idrostatica dove T = sI nella maniera seguente:
1
1
T = T − (tr T )I + (tr T )I
3{z
|
} |3 {z }
deviatorica
4
idrostatica
Utili identità tensoriali
Molte identità sono descritte sotto e possono essere verificate sotto l’assunto
che tutte le derivate rilevanti esistono e sono continue. Sono espresse per uno
scalare s e i vettori ~a e ~b:
• ∇ · (∇ × ~a) = 0
• ∇ × (∇s) = 0
• ∇ · (s~a) = s∇ · ~a + ~a · ∇s
• ∇(~a · ~b) = ~a × (∇ × ~b) + ~b × (∇ × ~a) + (~a · ∇)~b + (~b · ∇)~a
• ∇ · (~a × ~b) = ~b · (∇ × ~a) − ~a · (∇ × ~b)
• ∇ × (~a × ~b) = ~a(∇ · ~b) − ~b(∇ · ~a) + (~b · ∇)~a − (~a · ∇)~b
• ∇ × (∇ × ~a) = ∇(∇ · ~a) − ∇2 (~a)
• (∇ × ~a) × ~a = ~a · (∇~a) − ∇(~a · ~a)
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