Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione

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Modello di Ebers-Moll
del transistore bipolare a giunzione
Un transistore bipolare è un dispositivo non lineare che può essere modellato facendo ricorso alle caratteristiche non lineari dei diodi. Il modello di Ebers-Moll è un modello per
grandi segnali usato comunemente per modellare transistori bipolari. Una versione di questo modello è basata sull’assunzione che in normale funzionamento una delle giunzioni del
transistore è polarizzata direttamente e l’altra inversamente. Questa circostanza è mostrata
in Fig. D.1 per un transistore npn. Questo modello, noto come la versione del modello di
Ebers-Moll a iniezione di carica, è valido per il transistore in zona attiva, in saturazione e
in interdizione. In condizioni normali, effettivamente la giunzione BE è polarizzata direttamente e la giunzione BC è polarizzata inversamente.
Figura D.1
Modello di Ebers-Moll a iniezione di carica per un transistore npn
aRIR
aFIF
IE
IC
IE
C
E
DF
IF
IR
DR
DF
aFIF
IF
IC
C
E
IB
IB
VBE
VBC
B
B
(a) Modello completo
(b) Modello semplificato
I diodi corrispondenti alle giunzioni BE e BC possono essere descritti usando l’espressione di Shockley della caratteristica del diodo data dall’Eq. (2.1):
(D.1)
(D.2)
VBE
IF IES exp 1
VT
VBC
IR ICS exp 1
VT
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dove
Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione
VT kT ⁄ q 25.8 mV a 25 °C
IES è la corrente di saturazione inversa del diodo base-emettitoree
ICS è la corrente di saturazione inversa del diodo base-collettore.
Entrambe le correnti IES e ICS dipendono dalla temperatura. Se VBE 0, il diodo DF è polarizzato direttamente e la sua corrente IF provoca una corrente corrispondente F IF. Se
VBC 0, il diodo DR è polarizzato inversamente. Il pedice F o R è usato proprio per indicare la condizione di polarizzazione del diodo a cui è riferito. Usando la legge di Kirchhoff
per le correnti ai terminali di emettitore e collettore, possiamo scrivere l’espressione della
corrente IE come:
IE IF RIR
VBE
VBC
IES exp 1 RICS exp 1
VT
VT
(D.3)
e quella della corrente IC come:
IC F IF IR
VBE
VBC
F IES exp 1 ICS exp 1
VT
VT
(D.4)
Se VBE 0, RICS IS rappresenta la corrente di perdita dovuta alla saturazione inversa
del diodo DR. Allo stesso modo, se VBE 0, F IES IS rappresenta la corrente di saturazione inversa del diodo DF. Se assumiamo diodi ideali e che le correnti di saturazione
delle due giunzioni siano legate dalla relazione:
RICS F IES IS
(D.5)
dove IS è nota come la corrente di saturazione delle giunzioni del transistore.
La corrente che scorre dal collettore verso la base con l’emettitore non collegato può
essere ricavata ponendo IC ICBO e IE 0. Poiché la giunzione base collettore è normalmente polarizzata inversamente, VBC 0 e VBC VT, exp (VBC ⁄ VT) 1. In
queste condizioni, le Eq. (D.3) e (D.4) danno:
VBE
0 IES exp 1 RICS
VT
VBE
ICBO F IES exp 1 ICS
VT
Risolvendo queste equazioni per ICBO si ottiene:
ICBO F RICS ICS (1 RF)ICS ICS F IS
(D.6)
La corrente che scorre dall’emettitore verso la base con il collettore non collegato può essere ricavata ponendo IE IEBO e IC 0. Poiché la giunzione base collettore è normalmente polarizzata direttamente, VBE 0 e VBE VT, exp (VBE ⁄ VT) 1. In queste
condizioni, le Eq. (D.3) e (D.4) danno:
VBC
IEBO IES RICS exp 1
VT
VBC
0 F IES ICS exp 1
VT
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Risolvendo queste equazioni per IEBO si ottiene:
IEBO IES RF IES (1 RF)IES
(D.7)
dalle Eq. (D.5), (D.6) e (D.7) si ottiene:
F IEBO IES(1 RF)F RICS(1 RF) RICBO
(D.8)
Poiché il diodo DF è polarizzato direttamente e DR è polarizzato inversamente, VEB VBC.
Pertanto, IEBO è minore di ICBO e F è maggiore di R. In zona attiva, il diodo DR è polarizzato inversamente e IR 0. Cioè, IE IF e IC F IF F IE. Pertanto, la Fig. D1(a)
può essere semplificata nella Fig. D.1(b).
Il modello circuitale di Fig. D.1(a) mette in relazione i generatori comandati con le
correnti nei diodi. Per analizzare il circuito, conviene esprimere le correnti dei generatori
in modo che dipendano dalle correnti ai terminali. Eliminando exp (VBE ⁄ VT) 1 dalle
Eq. (D.3) e (D.4) e quindi usando l’Eq. (D.6), si ottiene:
VBC
IC FIE (1 FR)ICS exp 1
VT
VBC
FIE ICBO exp 1
VT
(D.9)
Allo stesso modo, eliminando exp (VBC ⁄ VT) 1 dalle Eq. (D.3) e (D.4) e quindi usando
l’Eq. (D.7), si ottiene:
VBE
IE RIC (1 RF)IES exp 1
VT
VBE
RIC IEBO exp 1
VT
(D.10)
Il modello circuitale che corrisponde alle Eq. (D.9) e (D.10) è mostrato in Fig. D.2(a).
I generatori di corrente sono controllati dalle correnti di collettore IC e di emettitore IE.
Questo modello, noto come versione a trasporto di carica del modello di Ebers Moll, è
usato normalmente dai programmi per simulazioni al computer come PSpice/PSPICE. Infatti, i modelli lineari di Fig. 5.6 sono la versione approssimata del modello di Ebers-Moll
in Fig. D.2(a).
Figura D.2 Modello di Ebers-Moll a trasporto di carica per un transistore npn
IF IEBO exp
VBE
1
VT
aRIC
IR ICBO exp
VBC
1
VT
aFIE
IE
IC
IE
C
E
DF
DR
aRIC
aFIE
DF
VBE
IB
IC
C
E
VBC
IB
B
B
(a) Modello completo
(b) Modello semplificato
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Modello di Ebers-Moll del transistore bipolare a giunzione
Assumendo che VBC 0 e IR 0, IC F IE e la Fig. D.2(a) può essere semplificata nella Fig. D.2(b). Se sostituiamo IC F IE, l’Eq. (D.10) diviene:
VBE
IE RF IE IEBO exp 1
VT
in cui IE è legato a R, F e VBE dalla relazione:
IEBO exp (VBE ⁄ VT 1)
IE 1 RF
(D.11)
IES e ICS sono note anche come correnti di saturazione di cortocircuito, mentre ICBO
e IEBO sono note come correnti di saturazione a circuito aperto. Si noti che i modelli di
Ebers-Moll a trasporto e a iniezione sono tra loro equivalenti. Una volta che siano noti i
parametri di uno, è possibile ricavare quelli dell’altro.
ESEMPIO D.1
SOLUZIONE
Determinare le correnti per il modello di Ebers-Moll di un transistore npn Un transistore npn
è polarizzato in modo che VBE 0.3 V e VCE 6 V. Se F 0.99, R 0.90 e ICBO 5 nA, trovare le correnti per il modello di Ebers-Moll a iniezione di carica di Fig. D.1(a). Si assuma che la
tensione termica sia VT 25.8 mV alla temperatura di 25 °C.
Poiché VBE è positiva, la giunzione base-emettitore è polarizzata direttamente. La tensione della
giunzione base-collettore vale:
VCB VCE VEB VCE VBE 6 0.3 5.7 V
ovvero
VBC 5.7 V
Poiché VCB è positiva, la giunzione base-collettore è polarizzata inversamente e il transistore funziona in zona attiva. Dall’Eq. (D.8):
IEBO RICBO ⁄ F 0.9 5 nA ⁄ 0.99 4.545 nA
Dall’Eq. (D.6):
ICS ICBO ⁄ (1 RF) 5 nA ⁄ (1 0.9 0.99) 45.87 nA
Dall’Eq. (D.7):
IES IEBO ⁄ (1 RF) 4.545 nA ⁄ (1 0.9 0.99) 41.697 nA
Dall’Eq. (D.1), la corrente diretta del diodo vale:
0.3
IF 41.697 109 exp 1 4.678 mA
0.0258
Dall’Eq. (D.2), la corrente inversa del diodo vale:
5.7
IR 45.87 109 exp 1 45.87 nA
0.0258
e
RIR 0.9 45.87 nA 41.28 nA
F IF 0.99 4.678 mA 4.63 mA
IE IF RIR 4.678 103 41.28 106 4.719 mA
IC F IF IR 4.63 103 45.87 109 4.63 mA
IB (IE IC) (4.719 103 4.63 103) 89 A
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ESEMPIO D.2
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Determinare le correnti per il modello di Ebers-Moll di un transistore pnp I parametri del modello del transistore pnp in Fig. 5.2(b) sono R 0.9, F 0.99, IES ICS 45 nA, VEB 0.4 V
e VCB 0.3 V. Determinare (a) le correnti nella versione a trasporto di carica del modello di EbersMoll di Fig. D.2(a) e (b) F forced. Si assuma che la tensione termica sia VT 25.8 mV alla temperatura di 25 °C.
Poiché VEB 0.4 V e VCB 0.3 V, entrambe le giunzioni del transistore sono polarizzate direttamente. Quindi il transistore funziona in saturazione.
(a) Per un transistore pnp, la polarità di tutte le tensioni è invertita rispetto al caso npn; pertanto le
Eq. (D.3) e (D.4) divengono:
SOLUZIONE
VEB
VCB
IE IES exp 1 RICS exp 1
VT
VT
(D.12)
0.4
0.3
45 109 exp 1 0.9 45 109 exp 1
25.8 m
25.8 m
243.48 mA 4.54 mA 238.94 mA
e
VEB
VCB
IC F I ES exp 1 ICS exp 1
VT
VT
(D.13)
0.4
0.3
0.99 45 109 exp 1 45 109 exp 1
25.8 m
25.8 m
241.04 mA 5.05 mA 235.99 mA
Quindi
IB (IE IC) (238.94 235.99) 2.95 mA
(b) Poiché il transistore funziona nella regione di saturazione, il valore del guadagno di corrente diretto è minore di quello in zona attiva. Il guadagno di corrente diretto in questo caso si definisce guadagno di corrente imposto forced e vale:
forced IC ⁄ IB 235.99 mA ⁄ 2.95 mA 80
ESEMPIO D.3
SOLUZIONE
Determinare la tensione collettore-emettitore in un transistore npn in saturazione Un transistore npn è polarizzato in modo che sia saturo e i suoi parametri sono R 0.9, F 0.989 e
VT 25.8 mV. Calcolare la tensione collettore-emettitore in saturazione VCE(sat) .
Dall’Eq. (5.3) si ha:
F F ⁄ (1 F) 0.989 ⁄ (1 0.989) 89.91
Sappiamo che:
VBC VBE VEC VBE VCE
Nella regione di saturazione, VBE 0 e VBC 0. Cioè:
exp (VBE ⁄ VT) 1
e
exp (VBC ⁄ VT) 1
Usando le Eq. (D.3) e (D.5) si ottiene:
IE IESeVBE ⁄ VT F IES eVBC ⁄ VT
IESeVBE ⁄ VT F IESe(VBEVCE) ⁄ VT
IESeVBE ⁄ VT[1 F eVCE ⁄ VT]
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Ma IE IC IB 0, così IE (IC IB). Cioè:
IC IB IES eVBE ⁄ VT[1 F eVCE ⁄ VT]
(D.14)
Allo stesso modo, usando le Eq. (D.4 e (D.5) si ottiene:
VBE
VBC
IC F IES exp 1 ICS exp 1
VT
VT
1
F IESeVBE ⁄ VT 1 eVCE ⁄ VT
R
(D.15)
Dividendo l’Eq. (D14) per l’Eq. (D15) si ha:
1 F eVCE ⁄ VT
IC IB
IB
1
IC
IC
1
F 1 eVCE ⁄ VT
R
che semplificando diviene:
VCE VT ln
IC
F 1 (1 R)
IB
IC
R F (F 1)
IB
(D.16)
In zona attiva, la corrente di base IB è legata alla corrente di collettore IC dalla relazione IB IC ⁄ F.
In pratica, si può considerare l’inizio della regione di saturazione nel punto in cui il guadagno di corrente diretto F si riduce al 90% di quello in zona attiva. Cioè, sat forced 0.9F e IC 0.9IBF.
L’Eq. (D.15) dà la tensione tra collettore ed emettitore in queste condizioni come:
F[1 0.9F(1 R)]
VCE(sat) VT ln R[F 0.9F(F 1)]
Sostituendo F F ⁄ (1 F) nel denominatore, si ottiene:
1 0.9F(1 R)
VCE(sat) VT ln R(1 0.9)
(D.17)
Per VT 0.0258 V, R 0.9 e F 89.91, si ha:
1 0.9 89.91 (1 0.9)
VCE(sat) 0.0258 ln 0.119 V
0.9 (1 0.9)