Fondamenti di elettrostatica

Fondamenti di elettrostatica
I fenomeni di natura elettrica sono di grande rilevanza per comprenderi i processi biologici a tutti i livelli.
• Al fondamento dell’elettrostatica sta l’esistenza della carica elettrica,
la cui natura è duplice, positiva o negativa. Nel sistema internazionale, la sua unità di misura è il Coulomb (C).
• Tutte le carica elettriche sono multipli della carica elettrica elementare
e = 1.6021 · 10−19 C
JJ
II
J
I
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Legge di Coulomb
F=
1 q1 q2
r̂
4πε0ε r2
ε0 = 8.854 · 10−12 CV−1m−1, costante dielettrica del vuoto
ε, costante dielettrica relativa del mezzo (permettività elettrica)
Esempio: H2O, ε ≈ 80
q1, q2, cariche
r, distanza tra le cariche, r̂ vettore unitario
La forza elettrica è conservativa, ovvero il lavoro elettrico non dipende
dal cammino percorso.
JJ
II
J
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Energia potenziale elettrica
• Come per tutte le forze conservative, si definisce l’energia potenziale elettrica
il lavoro compiuto dalla forza di Coulomb per portare le cariche dalla
distanza finale a distanza ∞ (stato di riferimento).
Z ∞
U = Lr,∞ =
F · dr
r
Per due cariche si ha
U=
1 q1 q2
4πε0ε r
JJ
II
J
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Potenziale elettrico
• Il potenziale elettrico dovuto ad una data distribuzione di cariche in
un certo punto r dello spazio è definito come il rapporto tra l’energia
potenziale elettrica e il valore della carica di prova
0.5V
ψ=
U
q
1.0V
1.5V
2.0V
q1 = e
Esempio: potenziale di una carica
puntiforme q1
1 Å
ψ=
1 q1
4πε0ε r
Linee o superfici equipotenziali
JJ
II
J
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Campo elettrico
• Rappresenta la forza elettrica che si esercita su una carica positiva di
prova q dovuta alla presenza nello spazio di una data distribuzione di
cariche elettriche. E’ definito come rapporto tra la forza di Coulomb
e una carica di prova.
E=
F
q
Legame tra campo elettrico e potenziale elettrico
E = −∇ψ = −
∂ψ
∂ψ
∂ψ
i−
j−
k
∂x
∂y
∂z
opposto al gradiente del potenziale
JJ
II
J
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Potenziale di un dipolo
10
µ = ql
5
−q +q
• •
0
-5
-10
-5
0
5
-10
10
ψdip(r) = ψ+q (r + l/2) + ψ−q (r − l/2)
0.2
0.1
0.05
0.02
0
-0.02
-0.05
-0.1
-0.2
JJ
II
J
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Campo elettrico di un dipolo
10
5
• •
0
-5
-10
-10
-5
0
5
• Le linee di forza sono perpendicolari alle linee equipotenziali
10
JJ
II
J
I
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Potenziale di un quadrupolo
4
−q +2q −q
2
•
0
•
•
-2
-4
-4
-2
0
2
4
ψquad(r) = ψ−q (r − l) + ψ+2q (r) + ψ−q (r + l/2)
0.2
0.1
0.05
0.02
0
-0.02
-0.05
-0.1
-0.2
JJ
II
J
I
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Campo elettrico di un quadrupolo
4
2
−q
+2q
−q
0
•
•
•
-2
-4
-4
-2
0
2
4
JJ
II
J
I
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Potenziale generato di una distribuzione
di m cariche
ri
ρi
O
r
ψ(r)
m
1 X qi
ψ(r) =
4πε0ε i=1 ri
1
Q µ
termine di quadrupolo
≈
+ 2 cos θ +
+ ...
4πε0ε r r
r3
JJ
II
J
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Campo generato di una distribuzione
di m cariche
m
1 X qi
E(r) =
r̂i
4πε0ε i=1 ri2
1
Q
termine di dipolo termine di quadrupolo
≈
r̂
+
+
+ ...
4πε0ε r2
r3
r4
JJ
II
J
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4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
JJ
II
J
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Dipolo in un campo elettrico uniforme
Sia E un campo elettrico uniforme, diretto lungo x. Ad esempio il
campo di un condensatore piano. Sia µ un dipolo che forma con E
un angolo θ
L’energia di una data configurazione è data dall’espressione generale
U =
X
qiψ(ri)
i
Calcolo di ψ
dψ
E = −
= cost. ⇒ ψ = ψ ◦ −
dx
Z
x
Edx = ψ ◦ − Ex
0
Ponendo ψ ◦ = 0 si ha
U = −qψ ◦ + qψx = −Exq = −E ql cos θ = −µ · E
JJ
II
J
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