Esami del 2 Luglio 2007 ´E fatto assoluto divieto di usare appunti e

Esami del 2 Luglio 2007
É fatto assoluto divieto di usare appunti e libri di testo, il candidato che
non osserverá questo divieto avrá annullato il compito e sará allontanato
dalla prova. Si possono usare invece tabelle e calcolatrici tascabili.
Esercizio 1. I componenti prodotti da una certa ditta possono presentare
due tipi di difetti, con percentuali del 3% e 7% rispettivamente. I due tipi di
difettositá si possono produrre in momenti diversi della produzione per cui
si puó assumere che le presenze dell’uno o dell’altro siano indipendenti tra
loro.
a. Qual’é la probabilitá che un componente presenti entrambi i difetti ?
b. Qual’é la probabilitá che un componente sia difettoso (cioé che presenti
almeno uno dei due difetti) ?.
c. Qual’é la probabilitá che il componente presenti il difetto 1, sapendo
che esso é difettoso ?
d. Qual’é la probabilitá che esso presenti uno solo dei due difetti sapendo
che esso é difettoso?
Soluzione. Se indichiamo con A e B gli eventi corrispondenti rispettivamente alla presenza del primo e del secondo difetto, allora P (A) = 0.03,
P (B) = 0.07 ed inoltre gli eventi A e B devono risultare indipendenti.
a. la probabilitá che entrambi i difetti siano presenti é
P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0.03 · 0.07 = 0.0021.
b.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.03 + 0.07 − 0.0021 = 0.0979
c. La probabilitá che un pezzo abbia il primo difetto sapendo che é difettoso é
P (A|A ∪ B) =
P (A ∩ (A ∪ B))
P (A)
0.03
=
=
= 0.306 = 30%
P (A ∪ B)
P (A ∪ B)
0.0979
(infatti A ⊂ A ∪ B e quindi A ∪ (A ∪ B) = A).
1
d. La probabilitá che vi sia uno solo dei difetti sapendo che il pezzo é
difettoso é uguale a 1 meno la probabilitá che entrambi siano difettosi
(sempre sapendo che il pezzo é difettoso). Dunque, poiché A ∪ B ⊂
A ∪ B, la probabilitá richiesta é
1 − P (A ∩ B|A ∪ B) = 1 −
P (A ∩ B)
0.0021
=1−
= 0.978 = 97.8%
P (A ∪ B)
0.0979
Esercizio 2. Una compagnia aerea dispone di due tipi di aerei, uno da
20 e un altro da 10 posti. Poiché si sa che i passeggeri che prenotano poi
non si presentano con una probabilitá del 10%, e vengono sempre accettate
22 prenotazioni sui voli da 20 posti e 11 su quelli da 10. In quale dei due
tipi di aereo é maggiore il rischio di lasciare a terra almeno un passeggero
che ha regolarmente prenotato per un volo in cui si é accettato il massimo di
prenotazioni?
Soluzione. Supponiamo che il comportamento di ogni singolo passeggero
sia indipendente da quello di altri e poniamo Zi = 1 se lo i−esimo passeggero
si presenta alla partenza e Zi = 0 altrimenti. Il numero di passeggeri che
si presenta alla partenza é dunque lo stesso che il numero di successi in
uno schema di Bernoulli e dunque segue la legge binomiale. Il numero di
passeggeri che si presenta su un volo in cui si é accettato il massimo di
prenotazioni é quindi una v.a. X1 di legge B(22, 0.9) per il primo tipo di
aereo ed una v.a.a X2 di legge B(11, 0.9) per il secondo. La probabilitá di
lasciare a terra almeno un passeggero nel volo da 20 posti vale
Ã
!
Ã
!
22
22
P (X1 ≥ 21) =
0.921 · 0.1 +
0.9922 = 0.339
21
22
mentre vale
Ã
!
11
P (X2 = 11) =
0.911 = 0.314
11
per l’altro tipo di aereo. Il rischio é maggiore per il volo da 20 passeggeri.
Esercizio 3. Consideriamo una v.a. X avente f.r. seguente

0,
se t < 0



 1 t2 ,
se 0 ≤ t ≤ 5
F (t) =  50 1 2 2
− 50 t + 5 t − 1, se 5 ≤ t ≤ 10



1,
se t ≥ 10
2
a) Quali sono i possibili valori di X.
b) Mostrare che X ha densitá e calcolarla.
c) Quanto vale E(X).
Soluzione.
a) La v.a. X prende i suoi valori, con probabilitá 1, nell’intervallo [0, 10]:
infatti P (0 ≤ X ≤ 10) = F (10) − F (0) = 1.
b) La f.r. F é derivabile a tratti continua. Dunque X ha densitá che si
ottiene derivando la f.r.. La densitá é dunque data da
f (t) =
 1

 25 t,


1
t
− 25
+
0,
2
,
5
se 0 ≤ t ≤ 5
se 5 ≤ t ≤ 10
altrimenti
la densitá f é lineare a tratti.
c)
E(X) =
Z +∞
tf (t)dt =
Z 10
Z 5
2
1 2
1
t dt +
( − t2 + )tdt =
25
25
5
125
1000
125
100 25
−
+
+
−
= 5.
3 · 25 3 · 25 3 · 25
5
5
−∞
0
5
Esercizio 4. Una officina meccanica fabbrica biglie con un diametro di
0.8cm. Idifetti di lavorazione producono un errore di diametro come una v.a.
normale X = N (m, σ), con m = 0, σ = 0, 001cm. Il controllo rifiuta le biglie
con diametro inferiore a 0, 798cm o superiore a 0, 802cm . Determinare la
probabilitá che una biglia qualsiasi sia rifiutata.
Soluzione. Denotando con A l’evento: una biglia qualsiasi é rifiutata,
abbiamo
P (A) = P (0, 798 < D < 0, 802) = P (|D − 0, 8| < 0, 002),
dove D é il diametro della biglia. Ma D − 0, 8 = X, dunque la v.a.
Y =
1
(D − 0, 8)
0, 001
3
é una v.a. N (0, 1). Allora
P (A) = P (|Y | <
0, 002
) = P (|Y | < 2) =
0, 001
= P (−2 < Y < 2) = Φ(2) − Φ(−2) = 2Φ(2) − 1.
Abbiamo
Φ(2) = 0, 9772,
P (A) = 0, 9544.
Risulta
P (A) = 1 − P (A) = 0, 0456.
Rispondere in modo esauriente e completo alle seguenti domande:
T1 . Descrivere il modello aleatorio dato dalla variabile aleatoria normale
unidimensionale. Scrivere la densitá di probabilitá, specificare e spiegare mediante dimostrazione il significato probabilistico dei parametri
che compaiono nella densitá della v.a. suddetta.
T2 . Mostrare che se le v.a. ξ1 , . . . , ξn hanno rispettivamente le densitá di
probabilitá f1 (x) · · · , fn (x), allora ξ1 , . . . , ξn sono indipentendi se e solo
se.... (completare l’enunciato e dimostrare).
T3 . Siano X una v.a. normale N (0, σ) e χ2 (n, σ) una
v.a. di Helmert
√
nX
Pearson con n gradi di libertá. Allora la v.a. T = χ si chiama v.a.
di T student. Determinare la densitá di probabilitá di T .
T4 . Il teorema del limite centrale, enunciare e dimostrare.
4