La soluzione - Matematicamente

Al fine di evitare interpretazioni fuorvianti del quesito, sul forum di discussione è stata chiesta una
formulazione non ambigua dello stesso; per completezza la riporto:
“Consideriamo le distanze X i per i > 0 delle gocce dal centro del tavolino, ordinate in ordine
crescente, quindi X 1 è la goccia più vicina al centro del tavolino, X 0 identifica la distanza del
centro del tavolino con sé stesso. Considerando che:
Y1 = X 1 − X 0
Y2 = X 2 − X 1
Calcolare:
f Y1 ,Y2 ( y1 , y 2 )
come distribuzione di probabilità”.
Ho tenuto buone le soluzioni che davano solo le probabilità marginali e non la congiunta.
Soluzione
Immaginiamo di suddividere il tavolino in corone circolari di spessore infinitesimo. Poiché la
pioggia è caduta uniformemente dappertutto con densità superficiale δ , il numero di gocce cadute
in una corona circolare a distanza r dal centro del tavolino sarà una variabile aleatoria di Poisson
δ ⋅ 2πr ⋅ ∆r
con tasso λ = lim
= δ ⋅ 2πr . Passando dalla corona circolare al tavolino intero, si può
∆r → 0
∆r
immaginare il tasso come funzione della distanza dal raggio del tavolino: λ (r ) = δ ⋅ 2πr ; è comodo
definire un tasso “cumulato”, cioè un tasso che tenga conto delle gocce cadute a partire dal centro
r
fino ad una distanza r dal centro: Λ(r ) = ∫ λ (t )dt ; quindi la ddp del numero di gocce cadute a
0
partire dal centro fino a distanza r è:
P[ N (r ) = k ] =
Λ (r ) k −Λ ( r )
e
k!
k ≥0
La probabilità richiesta equivale a chiedersi quale sia la probabilità che in [ y 1 , y 1 + ∆ y 1 ] cada
una goccia, che in [ y1 + y 2 , y1 + y 2 + ∆y 2 ] cada una goccia e che in [0, y1 + y 2 ] non cada alcuna
goccia; poiché si ha indipendenza statistica per ciò che accade in intervalli disgiunti, si avrà:
f Y1 ,Y2 ( y1 , y 2 )∆y1 ∆y 2 = P[ N (0, y1 + y 2 ) = 0] ⋅ P[ N ( y1 , y1 + ∆y1 ) = 1] ⋅ P[ N ( y1 + y 2 , y1 + y 2 + ∆y 2 ) = 1] =
y1 + y 2
= e ∫0
−
δ ⋅ 2πr ⋅dr
⋅ λ ( y1 )∆y1 ⋅ λ ( y1 + y 2 )∆y 2
e quindi:
f Y1 ,Y2 ( y1 , y 2 ) = ( 2πδ ) 2 y1 ( y1 + y 2 )e −πδ ( y1 + y2 )
2
Le marginali possono ricavarsi come:
f Y1 ( y1 ) = ∫ f Y1 ,Y2 ( y1 , y 2 )dy 2 = 2πδ ⋅ y1 e −πδ ⋅ y1
2
Y2
f Y2 ( y 2 ) = ∫ f Y1 ,Y2 ( y1 , y 2 )dy1 = 2π 2δ 2 ⋅ y 23 e −πδ ⋅ y2
2
Y1
Luca B.