Mini_guida_analisi_modale_Totis - Università degli Studi di Udine

Università degli Studi di Udine
Dipartimento Politecnico di Ingegneria ed Architettura - D.P.I.A.
Corso Tecnologie Innovative di Produzione e Scuola di Dottorato in Ingegneria Industriale – G. Totis e M. Sortino
MINI GUIDA PER L’ANALISI MODALE TRAMITE PULSE TEST
Set-up sperimentale
Esistono diverse tecniche per misurare la risposta in frequenza di un sistema meccanico vibrante.
Sostanzialmente, si possono dividere in due categorie:


Tecniche basate sull’eccitazione armonica del sistema mediante un attuatore che sollecita il sistema
applicando delle forze tipicamente sinusoidali, a frequenza variabile. Tale attuatore è uno shaker
(eccitatore) elettromagnetico o piezoelettrico. La sollecitazione viene impressa dall’attuatore al sistema
e contemporaneamente misurata da sensori di forza adeguati (tipicamente, celle di carico monoassiali
piezoelettriche inserite nella catena cinematica); la vibrazione del sistema viene allo stesso tempo
misurata da sensori di vibrazione idonei (accelerometri, sonde a contatto o non a contatto induttive o
capacitive, etc.) collocati in precise posizioni. La risposta in frequenza viene ottenuta confrontando
l’input applicato (forza) e l’output misurato (vibrazione) nel dominio della frequenza.
Tecniche basate sull’eccitazione impulsiva del sistema mediante un martello strumentato (con cella di
carico incorporata nella punta) e sulla misura delle vibrazioni del sistema in uno o più punti, mediante
sensori di vibrazione adeguati. I segnali di forza e vibrazione vengono elaborati nel dominio della
frequenza al fine di ricavare una stima della risposta in frequenza della struttura. Tale approccio prende
il nome di “pulse testing”, ed è una tecnica assai diffusa e consolidata per l’analisi modale, anche grazie
alla notevole praticità e rapidità. Lo strumento utilizzato per eseguire un pulse test è un martelletto
strumentato che trasmette alla struttura una forza sotto forma di impulso [1].
Per identificare le risposte in frequenza di sistemi meccanici quali utensili, portautensili, macchine utensili ed
altri ancora la tecnica del pulse testing è generalmente molto efficace, idonea e pratica. Per5tanto, nel
seguito si farà riferimento principalmente a tale approccio.
In Tabella 1 sono riportanti i dati tecnici di sensori del D.P.I.A. comunemente utilizzati per tale scopo.
Tabella 1 - Descrizione sensori e catene di misura generalmente utilizzati per analisi modale su strutture meccaniche.
Grandezza misurata
Catena di misura
Forza impulsiva applicata
in un dato punto della
lama F [N]
Martello strumentato Dytran 5800B4 (rivenduto da Luchsinger srl), con sensibilità
2.41mV/N, connesso ad un amplificatore di carica Kistler 5134B.
Accelerazione trasversale
di un dato punto della
lama a [m/s2]
Accelerometro piezoelettrico triassiale Kistler 8763B100 (sensibilità 50 mV/g, fondo
scala ±200g), connesso ad un amplificatore di carica Kistler 5134B.
Vibrazione trasversale di
un dato punto della lama u
[µm]
Sonde di vibrazione non a contatto di tipo induttivo (ovvero a correnti parassite, “eddy
current”) tipo Micro-Epsilon ES1 (intervallo di misura 0-1 mm, sensibilità ≈10 mV/µm),
connesse ad unità di condizionamento eddy NCDT 3010-M (rivenditore Luchsinger srl).
Le unità di condizionamento erano a loro volta alimentate da un alimentatore
stabilizzato da laboratorio che eroga una tensione costante pari a 24V, mediante
un’interfaccia elettrica comune.
In uscita da tutte le catene di misura si ottengono segnali analogici a ±10 V, che vengono discretizzati ed
acquisiti mediante un sistema di acquisizione dati National Instruments cDAQ-9178 dotato di moduli NI 9215.
Tale sistema è connesso ad un comune Notebook mediante porta USB.
La frequenza di campionamento adottata per le misure è tipicamente 20 kHz. I segnali vengono solitamente
elaborati in ambiente MathWorks MATLAB e Microsoft Office Excel.
In Tabella 2 è riportata una tipica configurazione dei canali acquisiti durante pulse testing.
I guadagni di tutti i segnali vanno preliminarmente calibrati per ottenere un buon rapporto segnale/rumore,
per ridurre l’effetto della quantizzazione del segnale e per evitare al contempo la sua saturazione.
Si rammenta che il segnale accelerometrico è molto preciso ed affidabile alle frequenze medio alte, mentre
la sonda induttiva è più precisa ed affidabile alle frequenze medio-basse. In altri termini, la sonda induttiva è
in generale affetta da un maggiore rumore di misura, soprattutto alle frequenze medio-alte. Qualora l’energia
impressa dall’impulso non sia soddisfacente, si ottiene una pessima stima della risposta infrequenza.
Pertanto, per migliorare tale risposta è essenziale dare dei colpi abbastanza intensi, evitando tuttavia di
saturare i canali.
Si tenga conto inoltre che i sensori a contatto, come l’accelerometro, possono causare un discreto effetto di
carico, ovvero alterano la dinamica dell’oggetto che stiamo misurando a causa della loro interazione con
esso. Pertanto, per certe misure è preferibile ricorrere a sensori non a contatto o molto leggeri.
Tabella 2 - Configurazione canali sistema di acquisizione durante pulse test
Tipo signale
Intervallo
Output
Sensibilità
nominale
Guadagno
amplif.
Freq.
camp.
[kHz]
Freq. di
taglio
[kHz]
Forza da martello
(Hammer)
±10V
2.41 mV/N
1-20
20
10
N
Accelerazione da
accelerometro
±10V
≈50 mV/g
1-10
20
10
m/s2
Vibrazione da sonda
induttiva (eddy current
probe)
0÷10V
≈10
mV/µm
1-10
20
10
µm
Unità di
misura finali
Consideriamo un componente meccanico o struttura/macchina vincolata con incastro rigido, al quale sia
applicato una forza F in un punto fisso lungo un direzione fissa, e di cui si misuri la vibrazione corrispondente
u, valutata in un dato punto lungo una data direzione. Assumiamo che il comportamento statico e dinamico
del componente/struttura sia lineare, ipotesi generalmente vera per sistemi meccanici vibranti. Supponiamo
che la dissipazione dell’energia vibratoria sia causata da fenomeni di isteresi meccanica interna al
componente/struttura. Sotto tali condizioni, la risposta in frequenza del sistema può essere espressa come
somma di oscillatori armonici, ovvero
𝑀
𝑢(𝑗𝜔)
𝐺ℎ
𝑊𝑒𝑥𝑝 (𝑗𝜔) =
≈ 𝑊𝑚𝑜𝑑 (𝑗𝜔) = ∑
2
𝐹(𝑗𝜔)
ℎ=0 (𝑗𝜔⁄𝜔𝑛,ℎ ) + 2𝜉ℎ 𝜔𝑛,ℎ (𝑗𝜔⁄𝜔𝑛,ℎ ) + 1
(1)
dove 𝜔𝑛,ℎ è rispettivamente la pulsazione naturale espressa in [rad/s], 𝜉ℎ è il coefficiente di smorzamento
(adimensionale) e 𝐺ℎ il guadagno (o residuo, o cedevolezza statica nel presente caso) espresso in [µm/N] del
modo h-esimo. Il valore di 𝐺ℎ è in prima approssimazione un numero reale, ovvero a parte immaginaria nulla.
I modi sono ordinati nel senso delle frequenze naturali crescenti. Si ricorda anche che
𝜔𝑛,ℎ = 2𝜋𝑓𝑛,ℎ
(2)
essendo 𝑓𝑛,ℎ la frequnza naturale del modo h-esimo espressa in [Hz]. Allora, per il teorema di NyquistShannon se la massima frequenza naturale che si vuole misurare è pari a 𝑓𝑛,𝑀 , è necessario adottare una
frequenza di campionamento fsamp pari ad almeno il doppio di 𝑓𝑛,𝑀 , . Per scopi pratici è preferibile che sia
almeno
𝑓𝑠𝑎𝑚𝑝 ≥ 4𝑓𝑛,𝑀
(3)
Se la massima frequenza naturale da misurare fosse intorno a 2000 Hz circa, sarebbe sufficiente una
frequenza di campionamento pari a circa 8 kHz. Tuttavia, data la disponibilità di un sistema di acquisizione
dati ad alte prestazioni, è comunque preferibile adottare una frequenza di campionamento pari a 20 kHz, che
agevola la visualizzazione dei segnali e le fasi di post-processing. I segnali acquisiti sono pertanto una
sequenza di valori discretizzati nel tempo con periodo di campionamento pari a
𝑇𝑠𝑎𝑚𝑝 =
1
𝑓𝑠𝑎𝑚𝑝
= 5 ⋅ 10−5 𝑠
(1.4)
e sono quantizzati mediante una rappresentazione binaria a 16 bit in un intervallo di ±10V. Si rammenta che
la frequenza di taglio del filtro analogico passa-basso applicato a monte della discretizzazione per evitare
aliasing deve essere inferiore o al più uguale alla metà della frequenza di campionamento adottata. Di solito
durante queste misurazioni non si prevede rumore ad alta frequenza, comunque è buona norma attivare un
filtro passa-basso integrato nell’amplificatore di carica con frequenza di taglio pari a 10 kHz o meno.
Un altro parametro fondamentale che deve essere fissato prima di cominciare la misura è la durata assegnata
a ciascun transitorio, ovvero l’intervallo temporale di attesa prima di poter applicare l’impulso successivo.
Tale durata deve essere sufficientemente lunga da consentire una consistente attenuazione delle oscillazioni
libere del sistema, ma non troppo lunga per evitare di includere nella misura dei tratti di segnale affetti da
un pessimo rapporto segnale/rumore. E’ importante ricordarsi di evitare di sollecitare ulteriormente il
sistema prima che sia trascorso tale intervallo di tempo. Per dimensionare tale durata si consideri la risposta
impulsiva attesa del sistema, somma di esponenziali decrescenti
𝑀
ℎ(𝑡) = ∑ 𝐺ℎ 𝑒 −𝜉ℎ 𝜔𝑛,ℎ 𝑡 sin (√1 − 𝜉ℎ 2 𝜔𝑛,ℎ 𝑡)
(5)
ℎ=0
le cui costanti di tempo sono date da
1
[𝑠]
𝜉ℎ 𝜔𝑛,ℎ
(6)
𝑇𝑂 ≫ maxℎ {𝜏ℎ }
(7)
𝜏ℎ =
Allora, la durata TO del transitorio dovrà essere
ovvero almeno 3-4 volte la massima costante di tempo che si vuole identificare con accuratezza. Solitamente
TO è dell’ordine di 0.1-10 s, essendo il limite superiore necessario per sistemi poco smorzati. Durate eccessive
sono controproducenti per la misura, perché si aggiunge solo rumore!
Prima di cominciare la misura, è inoltre necessario fissare il numero di transitori che si intende acquisire.
All’aumentare del numero di transitori migliora l’accuratezza ed aumenta l’affidabilità della risposta in
frequenza media che si ottiene a valle dell’elaborazione, ma aumenta anche la durata totale della misura.
Fig.1: Segnali di input e di output originali in [V]
Fig.2 : Segnali di input ed output dopo elaborazioni preliminari
Figura 3. Risposta in frequenza ottenuta da pulse test su bareno in acciaio convenzionale D=16mm, L=104mm,
Sandvik tipo A16R, con forza applicata in punta all’utensile tramite martello strumentato, spostamento misurato
tramite sonda induttiva in un punto prossimo alla punta dell’utensile. Le condizioni precise sono illustrate
nell’articolo [5].
Analisi dei segnali
Al fine di ottenere una stima della risposta in frequenza in una data configurazione sperimentale, è necessario
eseguire una certa sequenza di operazioni sui segnali, di seguito descritta.

I transitori caratterizzati da segnali di input (martello) e output (accelerazione o vibrazione) non saturi e
con un buon rapporto segnale-rumore vengono selezionati, gli altri vengono eliminati.

Per ogni transitorio “buono” si estrae un segmento composto da un numero costante di campioni M;
tale valore va scelto preliminarmente, e deve essere sufficientemente elevato in modo da permettere
al transitorio di estinguersi, ma non troppo da includere una quantità eccessiva di rumore. E’
fondamentale che tutti i transitori siano composti dallo stesso numero di campioni al fine di poter
stimare agevolmente la risposta in frequenza media.

I transitori identificati subiscono la rimozione dell’offset (correzione livello di zero), se necessario. La
costante da rimuovere va calcolata in un tratto di segnale che precede l’impulso, ove si suppone che il
segnale debba essere nullo.

I segnali vengono quindi moltiplicati per il fattore di conversione corrispondente (tenendo conto della
sensibilità del sensore e del guadagno del sistema di acquisizione, e di altri eventuali coefficienti
moltiplicativi), al fine di ottenere il segnale espresso nelle giuste unità di misura.

Si inverte il segno dell’input e/o dell’output, al fine di esprimere i segnali in accordo con i versi positivi
scelti inizialmente per tali segnali. La mancata esecuzione di questa operazione comporta un errore nella
fase della risposta in frequenza calcolata.

Si applica eventuale filtraggio sia di input che di output con filtro passa basso, filtro passa alto o filtro
passa banda.

Sia
𝑢ℎ [𝑛] = 𝑢ℎ (𝑛𝑇𝑠𝑎𝑚𝑝 ),
𝑛 = 0, … , 𝑀 − 1
(8)
la sequenza discreta composta da M campioni consecutivi di vibrazione che sono associati al transitorio
h-esimo. Da tale sequenza si calcola la trasformata di Fourier Discreta mediante la classica formula
𝑀−1
𝑈ℎ [𝑘] = 𝑈(𝑒
𝑗𝜔𝑘
) = ∑ 𝑢ℎ [𝑛] 𝑒 −𝑗𝜔𝑘 𝑛
(9)
𝑛=0
ove la pulsazione discreta è data da
𝜔𝑘 =
𝑘
2𝜋,
𝑀
𝑘 = 0, … , 𝑀 − 1;
0 ≤ 𝜔𝑘 < 2𝜋
(10)
e corrisponde alla frequenza in ambito continuo che spazia fino alla frequenza di Nyquist, ovvero
𝑓=
𝜔𝑘 𝑓𝑠𝑎𝑚𝑝 𝑘𝑓𝑠𝑎𝑚𝑝
𝑀
=
, 𝑘 = 0, … ,
𝜋 2
𝑀
2
⇒ 0≤𝑓 ≤
𝑓𝑠𝑎𝑚𝑝
2
(11)
La formula (9) trova implementazione nelle funzioni Matlab dft o fft.

Similmente, si calcola la Trasformata di Fourier Discreta del transotorio h-esimo dell’input (forza ovvero
segnale del martello).

Si calcola la risposta in frequenza associata al transitorio h-esimo come rapporto tra le Trasformate di
Fourier di input ed output, ovvero
𝑊ℎ (𝑗𝜔𝑘 ) =
𝑈ℎ (𝑗𝜔𝑘 )
𝐹ℎ (𝑗𝜔𝑘 )
(12)
ove con un lieve abuso di notazione si intende che j𝜔𝑘 debba indicare la pulsazione corrispondente in
ambito continuo, come illustrato nell’Equazione (11).

Infine, la stima della risposta in frequenza si ottiene come media delle riposte associate ai singoli
transitori (N), ovvero
𝑁
1
𝑊(𝑗𝜔𝑘 ) = ∑ 𝑊ℎ (𝑗𝜔𝑘 )
𝑁
(13)
ℎ=1

L’affidabilità di tale stima può essere valutata calcolando la funzione di coerenza associata, ovvero
𝛾 2 (𝑗𝜔𝑘 ) =
|𝑃𝑢𝐹 (𝑗𝜔𝑘 )|2
𝑃𝑢𝑢 (𝑗𝜔𝑘 )𝑃𝐹𝐹 (𝑗𝜔𝑘 )
0 ≤ 𝛾 2 (𝑗𝜔𝑘 ) ≤ 1
(14)
dove Puu e PFF sono una stima dell’autospettro di vibrazione e forza rispettivamente mentre PuF è il crossspettro (o densità di potenza spettrale incrociata) tra vibrazione e forza. Per una data frequenza, questa
funzione assume un valore prossimo all’unità solo se input ed output sono ben correlati a tale frequenza
(ovvero la risposta ad una sollecitazione sinusoidale a tale frequenza è sempre la medesima in ampiezza
e fase). Al contrario, tale valore tende verso zero dei disturbi di seguito elencati:

errori sistematici o casuali nella misura; in particolare, quando c’è un basso rapporto
segnale/rumore ad una certa frequenza. Ciò tipicamente si manifesta in prossimità degli zeri della
funzione di trasferimento (antirisonanze meccaniche del sistema), alle basse frequenze (nel caso
dell’accelerometro) ed alle alte frequenze (per le sonde induttive), in prossimità di disturbi derivanti
dalla rete elettrica, se non sufficientemente schermati (multipli interi di 50Hz).

Non linearità del sistema, sistema con proprietà non costanti nel tempo o sistema con
comportamento stocastico (questo si verifica in corrispondenza dei poli della funzione di
trasferimento – risonanze).

Effetto significativo di disturbi o altri ingressi non misurati/misurabili sull’output misurato.
Se la coerenza viene calcolata attraverso la funzione mscohere di Matlab, si ponga particolare attenzione
a specificare il numero effettivo di transitori ed un parametro di sovrapposizione nulla tra di essi come
argomenti dell’algoritmo di calcolo.

Generalmente è opportuno correggere l’eventuale anticipo o ritardo dell’uscita rispetto all’ingresso al
fine di rispettare il principio di causa-effetto ed ottenere un corretto andamento della fase della risposta
in frequenza. Ciò si ottiene moltiplicando la funzione di trasferimento per l’esponenziale complesso
𝑒 −𝑗𝜔𝜏 , ovvero
́ (𝑗𝜔) = 𝑊(𝑗𝜔)𝑒 −𝑗𝜔𝜏
𝑊
(15)
essendo il ritardo 𝜏 (positivo o negativo) tipicamente dell’ordine di grandezza di un campione
𝜏 = 𝑘𝑇 = 𝑘

1
, 𝑘≈1
𝑓𝑠
(16)
Qualora l’output sia espresso come accelerazione, e si vuole ricavare la risposta in frequenza come
rapporto spostamento/forza, allora si effettua il calcolo direttamente nel dominio della frequenza
𝑊(𝑗𝜔𝑘 ) =
𝑢(𝑗𝜔𝑘 )
1 𝐴(𝑗𝜔𝑘 )
=
𝐹(𝑗𝜔𝑘 ) (𝑗𝜔𝑘 )2 𝐹(𝑗𝜔𝑘 )
(17)
Bibliografia
[1]
D. J. Ewins, Modal testing: theory, practice and application, 2nd edition, 2000, Research Studies Press LTD, England
[2]
N. Maia, Extraction of valid modal properties from measured data in structural vibration, Ph.D. Thesis, Imperial
College of Science, Technology and Medicine, 1988, London.
[3]
L. Ljung, System Identification: Theory for the user, 2nd edition, 1999, Prentice-Hall PTR.
[4]
R. Isermann, M. Münchhof, Identification of Dynamic Systems, An Introduction with Applications, 2011, SpringerVerlag Berlin Heidelberg.
[5]
M. Sortino, G. Totis, F. Prosperi, Modeling the dynamic properties of conventional and high-damping boring bars,
Mechanical Systems and Signal Processing, 34 (2013), 340–352
G. Totis, M. Sortino, S. Belfio, Wavelet-like Analysis in the Frequency-Damping Domain for Modal Parameters
Identification, 26th DAAAM International Symposium on Intelligent Manufacturing and Automation, DAAAM 2015,
in press on Procedia Engineering (2016).
[6]