Esame 21/6/2011 con soluzioni

Laboratorio di fisica 21/07/11
nome e cognome:
Esercizio A
Ho sei misure di una grandezza X, 101, 104, 107, 102, 98, 100
1) In base a queste misure qual e’ il miglior valore di X, il suo errore massimo, la deviazione standard dei
dati, la deviazione standard della media?
2) se dico che X= 102,00 ± 3,16 sbaglio? Perche?
3) Ho un’altra serie di misure con valor medio di X = 99.2 e deviazione standard della media = 0.7. Le due
serie di misure sono compatibili? Perche?
4) Un’altra grandezza Y vale 10.0 con errore massimo 1 e deviazione standard della media 0.2. Quali sono
gli errori sul prodotto Z=XY?
Esercizio B
100 misure di una grandezza hanno una distribuzione gaussiana, valor medio 30 e deviazione standard 2.
1) qual e’ la probabilita’ che una misura sia nell’intervallo tra 30 e 34?
3) qual e’ la probabilita’ che una misura sia nell’ intervallo tra 27 e 29?
4) qual e’ la probabilita’ che una misura sia nell’intervallo tra 25 e 35
5) quante misure mi posso aspettare che cadano tra 26 e 30?
6) se una misura e’ venuta 25 e’ sospetta?
Esercizio C
Misuro in 4 giorni diversi 3 grandezze, x y e z. Il primo giorno ottengo x=2, y=2, z=10. Il giorni successivi
ottengo x=3, y=2, z=11. Poi x=1, y=1, z=10. Il quarto giorno x=5, y=1, z=13. Posso dire che ci sono relazioni
lineari tra i valori di x, y e z? Perche’ e quanto significative?
Esercizio D
Sono stati presi 2 gruppi simili di persone. Al primo gruppo di 14035 persone e’ stata data una dose
giornaliera di aspirina per 20 anni, al secondo gruppo di 11535 persone non e’ stata data aspirina. Dopo
venti anni nel primo gruppo di persone ci sono stati 327 casi di tumore, nel secondo 347.
1) La differenza tra la frequenza dei tumori nei due gruppi di persone e’ significativa? E Quanto?
2) In media l’aspirina di quanto riduce o aumenta percentualmente la probabilita’ di avere un tumore, e che
errore ha questa riduzione (o aumento)?
3) in base ai dati di sopra, in un gruppo di 100 persone che non prendono aspirina che probabilita’ ho che in
20 anni non ci sia nessun tumore?
Soluzioni: (le completo tra poco)
Esercizio A
1) 102 ± 5 102.0 ± 3.2 dev stand media 1.3
2) se dico con i 5 dati a disposizione indicati sopra che X= 102,00 ± 3,16 sbaglio perche se scrivo cosi’
intendo che la deviazione standard e’ nota con 3 cifre significative. Ma con soli 5 dati l’errore sulla
deviazione standard e’ sicuramente sulla seconda cifra significativa (se non sulla prima), quindi 102,00 ±
3,16 e’ sicuramente sbagliato, 102,0 ± 3,2 e’ piu’ corretto.
3) La differenza tra le due medie e’ 2.8, l’ errore sulla differenza delle medie e’ 1.5, la differenza e’ 1.7
volte la dev. stand. della differenza. La probabilita’ che ottenga un valore tale o superiore se la differenza
reale e’ zero solo a causa di eventi casuali e’ dell’ordine del 20%..., quindi la probabilita’ che le due misure
non siano compatibili e’ dell’ 80% circa.
4) l’errore massimo relativo sul prodotto e’ del 3%,……………
Esercizio B
1) tra valor medio e 2 s e’ circa 0.48
Tra -2.5 s e -1.5 s e’ 0.49-0.43=0.06
Tra -2.5s e 2.5s e’ 2*0.494= 0.988
Tra -3s e valor medio e’ 0.498*100= circa 50
25 differisce da valor medio per 2.5 s. probabilita’ misura differisca da media 2.5 s o piu’ e’ 0.012. Quindi
in 100 misure mi posso aspettare circa una misura che differisca da media 2.5 s o piu’. Il fatto che ne abboia
effettivamente 1 non e’ sospetto.
Esercizio C.
Molti si sono inventati una covarianza a 3 per risolvere l’esercizio, invece andava calcolata la covarianza di x
e y, quella di x e z, e quella di y e x. La covarianza e’ tra coppie di dati, non tra terne.
Esercizio D
1) Se nel primo gruppo ci sono 327 casi l’errore statistico e’ ±18, per 343 casi l’ errore statistico e’ ±19 (la
radice quadrata)
Quindi nel primo gruppo la frequenza f1 e’ ±0.0240 con un errore statistico di ±0.0013, nel secondo
gruppo f2= 0.0301 ±0.0016
Differenza tra le frequenze e’ 0.0061, errore della differenza frequenze e’ 0.0021 (rad. quadrata della
somma dei quadrati degli errori) , la differenza e differisce da 0 circa tre deviazioni standard. Quindi la
probabilita’ che la differenza sia dovuta al caso e’ circa 0.004. Quindi la differenza e’ significativa al
99,6%.
(Nel risolvere l’esercizio molti studenti hanno detto che la differenza non e’ significativa perche’ e’ solo
0.0061. Sbagliato, non e’ il valore assoluto che devo considerare, ma il rapporto tra questo valore e
l’errore. Se il valore e’ sensibilmente maggiore dell’errore la differenza e’ significativa.)
2) L’uso di aspirina diminuisce del 20% la probabilita’ di avere un tumore, infatti
0.024/0.0301 e’ circa 0.80 e l’errore su questo rapporto e’ ±0.07 . Quindi l’aspirina diminuisce del 20%
±7% la probalilita’ di avere un tumore. (La probabilita’ di avere un tumore e’ bassa, dell’ordine del 3%, ma
una riduzione del 20% di questa probabilita’ non e’ trascurabile, visti i possibili danni)
3) In 20 anni in un gruppo di 100 persone che non prendono aspirina mi aspetto 100 x 0.0301 = 3.0 casi di
tumore. La probabilita’ che non ce ne sia nessuno e’ dato dalla distribuzione di Poisson com valor medio 3
P(0) =
!
=0.05