Circuito a costanti concentrate

Circuito a costanti concentrate
periodo
Il contributo dei cavetti di collegamento a resistenza, capacita' ed induttanza del circuito e' trascurabile:
resistenza, capacita' (ed induttanza) sono solo quelle concentrate all'interno dei componenti.
=
tempo di variazione
Il tempo di propagazione dei segnali lungo i conduttori del circuito e' piccolo rispetto ai tempi su cui il segnale varia.
Linee di trasmissione
Se un sistema di conduttori non e' a costanti concentrate, allora e' a costanti distribuite.
Un sistema a costanti distribuite composto da due conduttori paralleli, a sezione uniforme e caratteristiche costanti su tutta la lunghezza e' una linea di trasmissione.
Linea bifilare intrecciata (twisted)
Linea di trasmissione bifilare (piattina)
Linea di trasmissione coassiale
Linee di trasmissione
In una linea di trasmissione resistenza, capacita', induttanza e conduttanza sono distribuiti su tutta la lunghezza della linea
}
C capacita' L induttanza R resistenza G conduttanza per unita' di
lunghezza
Z = R + jL impedenza
}
Y = G + jC ammettenza
per unita' di
lunghezza
Linee di trasmissione bilanciata
Variazione di tensione e corrente lungo la linea:
∂V
=−Z I
∂x
∂I
=−Y V
∂x
con
Z =R j  L
Y =G j C
Equazioni dei telegrafisti
∂V
=−Z I
∂x
∂I
=−Y V
∂x
derivando rispetto a x:
∂2 V
∂I
=−Z
2
∂x
∂x
∂2 I
∂V
=−Y
2
∂x
∂x
e sostituendo:
∂2 V
−Z Y V =0
2
∂x
∂2 I
−Z Y I =0
2
∂x
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine
Soluzione delle equazioni dei telegrafisti
∂2 V
−Z Y V =0
2
∂x
∂2 I
−Z Y I =0
2
∂x
V  x =V 1 e x V 2 e− x
I  x=I 1 e x  I 2 e− x
 = j = Z Y =   R j  LG j C 
: costante di attenuazione (neper/m) : costante di fase (radianti/m)
Se la linea non ha perdite:
R=0
G=0
 = j  = j  LC
V ed I sono anche dipendenti dal tempo:
V  x ,t =V 1 e j  t xV 2 e j t − x
I  x , t=I 1 e
j t  x
 I2e
j t − x
}
Segnale che si propaga lungo la linea
Velocita' di propagazione
 t± x = cost
u =
dx
1

= ∓ = ∓

dt
 LC
V  x ,t  = V 1 e j t  xV 2 e j  t − x
u = 



u = −

Onda progressiva: si propaga da sinistra verso destra
Onda regressiva: si propaga da destra verso sinistra
Velocita' di propagazione
 =  L C
Per il cavo coassiale:
D 2 / D1 
L=⋅log
2
2
C=⋅
log  D2 / D1 
}
 =   
e se il dielettrico e' il vuoto (o l'aria): Nei cavi di laboratorio con polietilene come dielettrico:
 / 0 = 1  / 0 ≃ 2.3 u ≃ c / 1.5
u = ω
=
β
1
√μϵ
1
ω
u0 =
= μ ϵ = c
β
√ 0 0
Linea di trasmissione coassiale per grosse potenze, con dielettrico aria.
Diametro conduttore interno: 32 mm
Diametro conduttore esterno: 76 mm
Potenza massima: 300 kW a 2 MHz
Lunghezza d'onda
V  x ,t =V 1 e j  t xV 2 e j t − x
I  x , t=I 1 e j t  x I 2 e j t − x
La tensione e la corrente si ripetono nello spazio con la periodicita' x = 2 .
La quantita'  = 2  /  e' la lunghezza d'onda del segnale.
Un circuito e' a costanti concentrate quando l <<  (l = dimensioni del circuito).
Linea con perdite ­ condizioni di Heaviside
R≠0
G≠0
 = Z Y =  R j  LG j  C  =  j
In generale  non e' proporzionale a  e la velocita' di propagazione /β e' funzione della frequenza. La linea presenta dispersione. Se si verificano le condizioni di Heaviside
L
R
C
G

si ha e
= R G
=
 =  L C
Il coefficiente  descrive l'attenuazione del segnale lungo la linea per effetto delle perdite: V  x ,t =V 1 e  x e j  t x  V 2 e− x e j t − x
L'attenuazione di un cavo in decibel e': A = 20⋅log 10 e± x  = ±20⋅ x log 10 e ≃ ±8.7  x
cioe' 8.7 dB/m.
Impedenza caratteristica della linea
Il rapporto tra tensione e corrente varia da punto a punto lungo la linea:
V 1 e x V 2 e− x
V  x
=
 x
− x
I  x
I 1 e I 2 e
1 ∂V

 x

−x
I  x = −
= − V 1e
 V 2e
Z ∂x
Z
Z
∂V
=−Z I
∂x
Confrontando le due espressioni per I(x):
V  x
=
I  x


Y
I1 = −
V1
Z
I2 =
 x
− x
V
e
V
e
Z
1
2
⋅
Y −V 1 e x V 2 e− x
In presenza del solo segnale diretto:
V 2  x
=
I 2 x 


Y
V2
Z
( γ=√ Z Y )
impedenza caratteristica della linea
Z
= Z0
Y
costante di propagazione della linea
Z Y = 
Riflessione
Se RL = Z0, V(x) / I(x) = Z0 lungo tutta la linea ed anche alla terminazione A­A' in x=0.
Si ha la sola onda diretta V2 e ­ jx che si propaga da sinistra verso destra.
Se RL ≠ Z0, le condizioni al contorno in x=0 possono essere soddisfatte solo considerando anche un'onda riflessa V1 e jx che si propaga da destra verso sinistra:
V 1 e j  xV 2 e− j  x
V 1V 2
V 0
= Z 0⋅
= Z 0⋅
= RL
j x
−j x
I 0
−V 1V 2
−V 1 e
V 2 e
V1
R L −Z 0
=
= v
V2
R LZ 0
Coefficiente di riflessione di tensione
Onde stazionarie
L'onda diretta e riflessa si sommano dando interferenza. L'ampiezza del segnale oscilla lungo la linea:
V  x ,t  = V 1 e j t  x  V 2 e j  t − x
∣V (x ,t )∣ 2 = ∣e j ω t∣ 2 ⋅ (V 1 e j βx +V 2 e− j βx ) ⋅ (V 1 e j βx +V 2 e− j β x ) ∗ =
∣V 1∣ 2 +∣V 2∣ 2 +2∣V 1∣⋅∣V 2∣⋅cos (2β x +cost.)
Il rapporto tra l'ampiezza massima e la minima del segnale lungo la linea e' il rapporto di onde stazionarie (Standing Wave Ratio)
∣V 2∣∣V 1∣
SWR =
∣V 2∣−∣V 1∣
Trasformazione di impedenza
Z x  =
Il generatore che invia il segnale alla linea vede una impedenza diversa da quella di terminazione all'altra estremita' della linea.
V 1 e j  x V 2 e− j  x
V x
= R 0⋅
I  x
−V 1 e j  x V 2 e− j  x
Z L e j  x e− j  x −R 0 e j  x −e− j  x 
= R 0⋅
−Z L e j  x −e− j  x R 0 e j  x −e− j  x 
Z L − j R 0 tan  x 
= R0
R 0− j Z L tan  x 
Trasformazione di impedenza
Linea di trasmissione aperta con R0 = 50 .
Linea senza perdite
Linea con perdite
Linea di trasmissione in cortocircuito con R0 = 50 .
La frequenza f e' quella per cui la lunghezza d'onda  e' uguale alla lunghezza della linea.
Segnali a banda larga e a banda stretta
Segnale audio: 20 Hz – 20 kHz
Impulsi da fotomoltiplicatore: 20 kHz – 500 MHz
Segnale televisivo in banda UHF, canale 61: 790 – 798 MHz
Propagazione di un segnale a banda larga Riflessione di un segnale
a banda larga Riflessione di un segnale a gradino
Oscilloscopio Tektronix 2245A
Generatore di funzioni hp8111A
Misure su una linea di trasmissione
1) Misurare, in trasmissione o in riflessione, la lunghezza elettrica TL della linea.
2) Dal valore di TL e dalla lunghezza geometrica calcolare la velocita' di propagazione dei segnali lungo la linea e la costante dielettrica dell'isolante interno.
3) Terminare la linea con una resistenza variabile (0 ... 100 ); dalla condizione di riflessione nulla verificare l'impedenza caratteristica.
4) Misurare l'impedenza complessa della linea aperta per alcune frequenze, comprese tra 0 e 1 / TL . Tra la tensione V0 che si ha all'oscilloscopio con la linea non collegata e la tensione V1 che si ha con la linea collegata vale la relazione:
V1 = V0 ZL / (50  + ZL)
Dai valori complessi (modulo e fase) di V0 e V1 calcolare il valore (complesso) di ZL (sincronizzare oscilloscopio e generatore tramite trigger.
Misura della lunghezza elettrica di una linea di trasmissione
oscilloscopio
generatore di impulsi
Il generatore ha una resistenza di uscita di 50 
V
Linea a 50 
Segnale inviato dal generatore
L'oscilloscopio ha una impedenza di ingresso di 1 M
(e 20 pF) e permette di “osservare” il segnale al passaggio senza interferire
Misura in riflessione
Segnale riflesso con linea aperta
Terminazione della linea 2 TL
t
Segnale riflesso con linea in cortocircuito
Misura della lunghezza elettrica di una linea di trasmissione
Terminazione
V
Segnale all'inizio della linea
TL
Segnale alla fine della linea
Linea a 50 
t
Misura in trasmissione
1) Misurare, in trasmissione o in riflessione, la lunghezza elettrica TL della linea.
2) Dal valore di TL e dalla lunghezza geometrica calcolare la velocita' di propagazione dei segnali lungo la linea e la costante dielettrica dell'isolante interno.
Misura della impedenza caratteristica di una linea di trasmissione
Linea di impedenza Z
Linea a 50 
3) Terminare la linea con una resistenza variabile (0 ... 100 ); dalla condizione di riflessione nulla verificare l'impedenza caratteristica.
Terminazione
della linea
V
Segnale inviato dal generatore
2 TL
Segnale riflesso con linea aperta
t
Segnale riflesso con linea in cortocircuito
Misura dell'impedenza trasformata da una linea di trasmissione
generatore di segnale sinusoidale
a frequenza variabile
Linea aperta
oscilloscopio
trigger
4) Misurare l'impedenza complessa della linea aperta per alcune frequenze, comprese tra 0 e 1 / TL V1
ZL
=
V 0 50Ω+ Z L
1
Z L =50 Ω⋅
V 0 / V 1 −1
V0 tensione all'oscilloscopio con linea non collegata
V1 tensione all'oscilloscopio con linea collegata
ZL Impedenza equivalente della linea
V0, V1 e ZL sono quantita' complesse