Relazione attività in classe sul Teorema di Pitagora

Relazione attività in classe sul Teorema di Pitagora
A.S. 2011/2012
Lez. 2/04. Prima Lezione
Insegnante: Siamo nel VI secolo a.C. in Grecia. In questo periodo visse Pitagora che nacque a Samo e vi restò
finché non salì al potere un tiranno - Policrate di Samo - sfavorevole all'aristocrazia, nella quale Pitagora si
identificava pienamente.
Pitagora mentre era in attesa di essere ricevuto da Policrate osservò il pavimento del salone in cui si trovava: in
particolare si soffermò su una mattonella di forma quadrata rotta lungo la sua diagonale (vedi Figura 1).
Figura 1
Pitagora riprodusse, tornato presso il suo laboratorio, il pavimento che aveva visto, anzi fece una modifica come
in Figura 2:
Figura 2
Pensando a quali potessero essere stati i pensieri di Pitagora, è stata data, a ciascun studente, una fotocopia con
il disegno della Figura 3 e si è chiesto loro, di disegnare il quadrato sull’ipotenusa e di confrontarli con quelli,
diciamo già esistenti, sui cateti.
Figura 3
I ragazzi hanno a tal fine,hanno tracciato le diagonali dei quadrati “vicini” all’ipotenusa per ottenere il quadrato
richiesto:
Il lavoro di Fabrizio
E’ stato chiesto poi agli alunni se osservassero una qualche relazione tra il numero delle mezze mattonelle dei
quadrati costruiti sui cateti e quelle che compongono il quadrato sull’ipotenusa. La prima risposta è stata di:
Alessio : “Possiamo concludere che il quadrato costruito su un cateto è la metà di quello sull’ipotenusa”.
Insegnante: e quindi se considerassimo entrambi i quadrati costruiti sui cateti?
Più alunni : la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa.
I ragazzi a lavoro nel laboratorio di scienze
Insegnante: Proviamo a congetturare cosa abbia pensato Pitagora a questo punto.
Antonio: Il cateto è uguale al quadrato sull’ipotenusa.
Insegnante: Un cateto può essere confrontato con un quadrato?
Antonio. “ Il quadrato costruito sul cateto è equivalente al quadrato costruito sul’ipotenusa”.
Insegnante: “Siamo sicuri che sia la corretta generalizzazione del primo esempio?”
Michaella: “La somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa per una
altro tipo di triangolo”.
4/04 – Seconda lezione
Insegnante: “Visti i risultati ottenuti, proviamo a verificare la proprietà per il triangolo rettangolo isoscele di
cateto 1 per un altro tipo di triangolo. “
A questo punto infatti a Pitagora deve essere venuta l’idea di tagliare due mattonelle lungo la loro diagonale
(Figura 4 ) per vedere se la sua congettura fosse valida anche per un triangolo rettangolo con i lati di 1 e 2.
Figura 4
Ogni studente ha riportato sul proprio foglio
quadrettato la precedente immagine e ha provato a
costruire i quadrati sull’ipotenusa e sui cateti.
La maggior parte dei ragazzi individua correttamente
il quadrato sull’ipotenusa; alcuni costruendolo
utilizzando la griglia, altri utilizzando la costruzione
del quadrato con riga e compasso. Qualcuno,
erroneamente, costruisce un parallelogramma. Si
discute insieme sulla bontà delle costruzioni
realizzate.
I ragazzi che lavorano sul caso 1 : 2
Insegnante: Vale ancora secondo voi l’affermazione che abbiamo fatto per il precedente triangolo di cateto 1 ?
Riporto la risposta di:
Matteo: Dividiamo il quadrato costruito sul cateto di
lato due in 4 triangoli rettangoli identici a quelli che si
trovano nel quadrato costruito sull’ipotenusa. Infine il
quadrato di lato 1 presente in quest’ultimo quadrato, è
equivalente a quello costruito sull’altro cateto.
Figura 5
Conclusione. Anche in questo caso la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito
sull’ipotenusa.
Insegnante: E nel caso in cui il triangolo abbia cateti 1 e 3? E’ ancora vera?
Tale situazione è stata assegnata come lavoro per casa.
Data 11/04. Terza lezione
Si apre la discussione sui lavori fatti a casa. La maggior parte dei ragazzi ha raggiunto la conclusione che
conferma le congetture elaborate in classe. I seguenti sono due dei risultati conseguiti.
Il disegno di Alice
Il disegno di Alessio
Conclusione: la proprietà è ancora vera.
A questo punto ho mostrato loro una prima animazione realizzata con il software Geogbra in cui erano stati
costruiti i quadrati sui tre lati di un triangolo scaleno. Ai ragazzi ho chiesto se la congettura fin qui formulata,
fosse ancora valida per un triangolo cosiffatto. Abbiamo convenuto allora insieme di visualizzare i valori delle
aree e ci siamo accorti che non c’era possibilità che l’area di due quadrati desse la terza.
Insegnante: Quale diversità sostanziale (a parte la misura dei lati), hanno questi tipo di triangoli rispetto a quelli
che avevamo osservato e costruito Pitagora?
La risposta degli studenti è stata unanime:
Alunni: il triangolo realizzato nell’animazione non è rettangolo.
Quindi ci siamo tutti convinti che la generalizzazione della proprietà riguardasse solo triangoli rettangoli.
Per concludere allora il nostro percorso, ho mostrato loro una seconda animazione che simulasse il lavoro fatto
in classe: prima un triangolo rettangolo isoscele di cateti di lato 1 con i quadrati costruiti sui lati, poi una analoga
con il triangolo rettangolo di lati 1 e 2 e quindi uno con i lati di 1 e 3 in cui sono state visualizzati i valori delle
aree; poi ho cominciato a modificare la figura (l’unico invariante era l’angolo retto) mostrando che in ogni caso
la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti fosse equivalente a quella del quadrato costruito
sull’ipotenusa. Pertanto la congettura pitagorica sembrava essere valida per ogni tipo di triangolo che fosse
rettangolo.
Non restava allora che cercare una dimostrazione formale che fosse valida per ogni triangolo rettangolo..
12/04. Quarta lezione
Dimostrazione geometrica del teorema di Pitagora.
Ogni alunno ha disegnato un triangolo rettangolo sul proprio foglio. Sul quadrato maggiore (supposto che il
triangolo non sia isoscele), si e determinato il centro del quadrato e da questo punto, si è traccia la parallela
all’ipotenusa. Quindi, sempre per questo punto, si è tracciata la perpendicolare. Nel quadrato dunque si sono
ottenuti 4 quadrilateri.
A casa, agli studenti, hanno scaricato, attraverso il nostro forum, un file realizzato con Geogebra, che,
all’apertura, appariva come nella seguente figura: .
:
A loro è stato chiesto di spostare i quadrilateri esterni dentro al quadrato costruito sull’ipotenusa. Cosa si
osserva?
Durante la lezione seguente del 13 aprile, ognuno ha portato in classe la stampa dei propri risultati; Il seguente
è, ad esempio, quello di Francesca:
Il disegno di Francesca
Ormai tutti i ragazzi erano convinti che ogni triangolo che sia rettangolo gode seguente proprietà che prende il
nome di Teorema di PItagora:
in ogni triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente a quello costruito
sull’ipotenusa.
Nelle successive lezioni, si è trattato il teorema in forma algebrica.