Circuiti del secondo ordine - Università degli studi di Pavia

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Facoltà di Ingegneria
Università degli studi di Pavia
Corso di Laurea Triennale in
Ingegneria Elettronica e Informatica
Campi Elettromagnetici e Circuiti I
Circuiti del secondo ordine
Campi Elettromagnetici e Circuiti I  a.a. 2013/14
Prof. Luca Perregrini
Circuiti del secondo ordine, pag. 1
Sommario
• Definizione
• Circuito RLC serie autonomo
• Tre casi: sovrasmorzato, a smorzamento
critico, sottosmorzato
• Circuito RLC parallelo autonomo
• Risposta al gradino di un circuito RLC serie
• Risposta al gradino di un circuito RLC
parallelo
• Risposta completa di un circuito del secondo
ordine
Un circuito del secondo ordine è caratterizzato da
un’equazione differenziale del secondo ordine
I circuiti del secondo ordine contengono una o
più resistenze e due elementi dinamici (L e/o C)
L’eccitazione può essere di due tipi
• autonoma: il circuito non comprende
generatori indipendenti ed evolve nel
tempo a partire dalle condizioni iniziali
sugli elementi dinamici
• forzata: il circuito comprende generatori
indipendenti che ne determinano il
comportamento nel tempo
Circuiti del secondo ordine: esempi
VS
+
–
R
L
R1
IS
L1
C
IS
L
R
R2
R3
R1
L2
VS
+
–
C1
C
R2
C2
Circuito RLC serie autonomo
Ipotesi:
R
i (0)  I 0
L
i
+
v
C
–
1 0
v(0)   i  dt  V0
C 
i(t) = ?
v(t) = ?
(per t > 0)
R
di 1 t
R  i  L    i  dt  0
dt C 
L
i
Derivando rispetto al tempo e riordinando
si ha:
d 2i R di
i
  
0
2
dt
L dt LC
+
v
C
–
Condizioni iniziali:
i (0)  I 0
di(0) 1 0
R  i(0)  L 
  i  dt  0

dt
C



di (0)
1
  R  I 0  V0 
dt
L
V0
d 2i R di
i
  
0
2
dt
L dt LC
R
Ponendo  
2L
, 0 
1
LC
si ha:
d 2i
di
2

2




0 i  0
2
dt
dt
Soluzione equazione di secondo ordine
d 2i
di
2

2




0 i  0
2
dt
dt
Verifichiamo se esiste una soluzione del tipo i  Ae st
Sostituendo si ottiene:

As 2 e st  2  Ase st  02  Ae st  0
st
Ae  0

Ae st s 2  2  s  02  0
s 2  2  s  02  0
d 2i
di
2

2




0 i  0
2
dt
dt
i  Ae
st
s 2  2  s  02  0
Le radici sono:
s1     2  02
s2     2  02
e quindi si hanno due soluzioni possibili: i1  A1e
s1t
e
i2  A2 e s2t
Poiché l’equazione differenziale è lineare, qualunque combinazione
di i1 e i2 è anch’essa una soluzione:
i  A1e s1t  A2 e s2t
d 2i
di
2

2




0 i  0
2
dt
dt
s1     2  02
s2     2  02
Tre diversi casi:
1. se a > w0 si ha il caso sovrasmorzato
2. se a = w0 si ha il caso di smorzamento critico
3. se a < w0 si ha il caso sottosmorzato
Caso sovrasmorzato (a > w0)
s1     2  02
1
0.8
i1(t)
radici reali
e negative
s2     2  02
0.6
i(t)
0.4
0.2
1
-0.2
i2(t)
-0.4
2
3
4
5
6
Andamento tipico di i(t)
(A1 = 1, A2 = –0.5, a = 2, w0 = 1.5)
Caso a smorzamento critico (a = w0)
s1     2  02  
s2     2  02  
radici reali
negative e
coincidenti
i  A1e  t  A2 e  t  A3e  t
Non possono essere soddisfatte contemporaneamente le due
condizioni iniziali con la scelta della sola costante A3
d 2i
di
2

2




i  0
2
dt
dt
di
 i  f
dt
d  di

 di

  i    i  0
dt  dt

 dt

df
  f  0
dt
df
  f  0
dt
di
 i  f
dt
f  C1e  t
t
e
di  t
 e   i  C1
dt
d t
e i  C1
dt
 
La soluzione è e t i  C1t  C2 da cui:
i  (C2  C1t ) e  t
1
i  (C2  C1t ) e  t
0.8
C2e–at
0.6
0.4
0.2
i(t)
1
2
3
4
5
6
-0.2
-0.4
(C1 = –1, C2 = 1, a = 1)
C1t e–at
Caso sottosmorzato (a < w0)
s1     2  02    jd
s2     2  02    jd
radici
complesse
e coniugate

d  02   2
i  A1e  t  jd t  A2 e  t  jd t  e  t A1e  jd t  A2 e  jd t

Ricordando che e+jdt = cos dt + j sin dt e e–jdt = cos dt – j sin dt
si ha:
i  e  t  A1cos d t  jA1sin d t  A2 cos d t  jA2sin d t 
 e  t ( A1  A2 )cos d t  j ( A1  A2 )sin d t 
i  e  t B1cos d t  B2sin d t 
1
i  e  t B1cos d t  B2sin d t 
0.75
B2e–at
0.5
0.25
i(t)
1
2
3
4
5
6
-0.25
-0.5
–B2e–at
-0.75
(B1 = 0, B2 = 1, a = 1, d = 5)
-1
Circuito RLC parallelo autonomo
Ipotesi:
i
R
L
v(0)  V0
+
v
C
–
1 0
i (0)   v  dt  I 0
L 
v(t) = ?
i(t) = ?
(per t > 0)
v 1 t
dv
  v  dt  C   0
R L 
dt
i
R
L
+
v
C
–
Derivando rispetto al tempo e riordinando
si ha:
d 2 v 1 dv v

 
0
2
dt
RC dt LC
v(0)  V0
Condizioni iniziali:
v(0) 1 0
dv(0)
  v  dt  C 
0


R
L
dt


dv(0)
V0  R  I 0

dt
RC
I0
d 2 v 1 dv v

 
0
2
dt
RC dt LC
1
Ponendo  
, 0 
2 RC
1
LC
si ha:
d 2v
dv
2

2




0 v  0
2
dt
dt
Caso sovrasmorzato (a > w0)
s1     2  02
1
0.8
v1(t)
radici reali
e negative
s2     2  02
v  A1e s1t  A2 e s2t
0.6
v(t)
0.4
0.2
1
-0.2
v2(t)
-0.4
2
3
4
5
6
Andamento tipico di v(t)
(A1 = 1, A2 = –0.5, a = 2, w0 = 1.5)
1
v  (C2  C1t ) e  t
0.8
C2e–at
0.6
0.4
0.2
v(t)
1
2
3
4
5
6
-0.2
-0.4
(C1 = –1, C2 = 1, a = 1)
C1t e–at
1
v  e  t B1cos d t  B2sin d t 
0.75
B2e–at
0.5
0.25
v(t)
1
2
3
4
5
6
-0.25
-0.5
–B2e–at
-0.75
(B1 = 0, B2 = 1, a = 1, d = 5)
-1
Risposta al gradino di un circuito RLC serie
Ipotesi:
R
VS
+
–
i (0)  I 0
L
t 0
i
+
v
C
–
1 0
v(0)   i  dt  V0
C 
i(t) = ?
v(t) = ?
(per t > 0)
R
Per t > 0
di
L   R  i  v  VS
dt
VS
dv
Poiché i  C 
si ha:
dt
d 2 v R dv
v
VS
  

2
dt
L dt LC LC
R

2L
0 
1
LC
+
–
L
i
+
v
C
–
d 2 (v  VS ) R d (v  VS ) v  VS
 

0
2
dt
L
dt
LC
d 2 (v  VS )
d (v  VS )
2

2




0  (v  VS )  0
2
dt
dt
d 2 (v  VS )
d (v  VS )
2

2




0  (v  VS )  0
2
dt
dt
VS
R
+
–
a > w0: caso sovrasmorzato
v  VS  A1e
(    2 02 ) t
 A2 e
i
L +
v
C
–
(    2 02 ) t
a = w0: caso di smorzamento critico
v  VS  (C2  C1t )e  t
a < w0: caso sottosmorzato
v  VS  e  t B1cos d t  B2sin d t 

d
 02   2

Risposta al gradino di un RLC parallelo
Ipotesi:
t 0
i
IS
R
L
v(0)  V0
+
v
C
–
1 0
i (0)   v  dt  I 0
L 
v(t) = ?
i(t) = ?
(per t > 0)
Per t > 0
dv v
C    i  IS
dt R
i
IS
1

2 RC
0 
1
LC
L
v
C
–
di
Poiché v  L 
si ha:
dt
d 2i
1 di
i
IS

 

2
dt
RC dt LC LC
R
+
d 2 (i  I S ) 1 d (i  I S ) i  I S



0
2
dt
RC
dt
LC
d 2 (i  I S )
d (i  I S )
2

2




0  (i  I S )  0
2
dt
dt
d 2 (i  I S )
d (i  I S )
2

2




0  (i  I S )  0
2
dt
dt
a > w0: caso sovrasmorzato
i  I S  A1e
(    2 02 ) t
 A2 e
(    2 02 ) t
a = w0: caso di smorzamento critico
i  I S  (C 2  C1t )e  t
a < w0: caso sottosmorzato
i  I S  e  t B1cos d t  B2sin d t 

d
 02   2

Risposta completa di circuiti del II ordine/1
La risposta completa di un circuito del secondo ordine è
sempre del tipo:
 x(t0 )
t  t0
x(t )  
 x (  )  x n (t ) t  t 0
dove x rappresenta indifferentemente la tensione o la
corrente sul condensatore o sull’induttanza e t0 è l’istante
in cui commuta l’interruttore. Si richiede:
• la determinazione della risposta naturale xn del circuito;
• i valori iniziali x(t0–), x(t0+) e dx(t0+)/dt;
• il valore a regime x();
La risposta naturale xn si calcola considerando il circuito
per t > t0, spegnendo tutti i generatori indipendenti e
scrivendo l’equazione del II ordine per xn:
2
d xn
dxn
2
 2 
  0  xn  0
2
dt
dt
a > w0 (sovrasmorzato):
xn  A1e
a = w0 (smorzamento critico):
a < w0 (sottosmorzato):

d
 02   2

(    2 02 )( t  t0 )
 A2 e
(    2 02 )( t t 0 )
xn  ( A1  A2t )e  (t t0 )
xn  e  (t t0 )  A1cos d (t  t0 )  A2sin d (t  t0 ) 
per t < t0:
x(t )  x(t0 )
per t > t0:
 x()  A e (    2 02 )( t t0 )  A e (    2 02 )(t t0 )
  0
1
2

 ( t  t0 )
x(t )   x()  ( A1  A2t )e
  0
 x()  e  ( t t0 )  A cos  (t  t )  A sin  (t  t )    
1
d
0
2
d
0
0

Utilizzando i valori di x(t0+) e dx(t0+)/dt si calcolano le
costanti A1 e A2.

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