Fenomeni di Risonanza Il circuito RLC serie Il circuito RLC serie Il

Transcript

Caso elettrico
Fenomeni di Risonanza
• Già conosciuti in meccanica.
• Quando c’è un sistema che ha una frequenza
propria di oscillazione ωΝ, stimolandolo con una
piccola forza oscillante con frequenza ωF molto
vicina a ωΝ si può aumentare moltissimo l’
ampiezza del moto.
• Equazione dell’ oscillatore forzato:
• Soluzione:
• Esempi pratici: l’ altalena, il diapason, il
bicchiere che suona, le corde “simpatiche” nella
nella chitarra a 12 corde …
• L’ oscillatore è un sistema in cui si converte l’
energia da una forma a un’ altra, e viceversa,
alternativamente.
• Nel pendolo, da potenziale (all’ estremo) l’ energia
diventa cinetica (nel punto più basso della traiettoria)
e poi di nuovo potenziale (all’ altro estremo) … e
così via.
• Nel caso elettrico se si connettono tra loro un
induttore e un condensatore l’ energia si trasforma
U
alternativamente da elettrica (quando il
condensatore è completamente carico, e non scorre
corrente) a magnetica (quando scorre massima
corrente nell’ induttore e il condensatore è scarico) e
di nuovo a elettrica quando il condensatore è di
nuovo carico … e così via.
• Il circuito avrà una sua frequenza di risonanza
(come il pendolo ha la sua frequenza di
oscillazione), e si potrà forzare il trasferimento di
corrente collegando il circuito ad un generatore di
corrente alternata.
• L’ analogo della viscosità è la resistenza elettrica,
che impedisce il libero trasferimento di cariche (e di
energia).
Il circuito RLC serie
• Se si aggiunge un
L
induttore al circuito RC si
ottiene un circuito RLC
serie.
• Sia L l’ induttanza
(coefficiente di
autoinduzione) dell’
induttore
• Proviamo a risolvere il
circuito (cioe’ a trovare la
corrente che lo attraversa)
quando e’ eccitato da una
sorgente sinusoidale. V = Vo cos(ωt + ϕV )
dV
d 2I
dI I
=L 2 +R +
dt
dt
dt C
• Per la seconda legge di
Kirkhoff:
C
d 2I
dI I
+R + =0
dt 2
dt C
Omogenea associata
• Fisicamente la soluzione dell’ omogenea
corrisponde al comportamento transitorio
iniziale; a regime vale l’ integrale particolare.
L
dI
Q
V = L + RI +
C
dt
R
• E’ una eq. differenziale lineare del secondo
ordine non omogenea. La soluzione e’ la
somma dell’ integrale generale dell’
omogenea piu’ un integrale particolare della
disomogenea.
L
U
K
R
• Per l’ induttanza abbiamo
considerato la forza
elettromotrice autoindotta
–LdI/dt e l’ abbiamo
spostata a secondo
membro cambiandola di
segno.
• Derivando rispetto a t:
L
d 2I
dI I
+R + =0
2
dt
dt C
C
dV
d 2I
dI I
=L 2 +R +
dt
dt
dt C
• La soluzione dell’ omogenea e’ del tipo
I (t ) = I1e k1t + I 2 e k2t
• Con I1 e I2 costanti da determinare dalle
condizioni iniziali e k1 e k2 soluzioni dell’
equazione caratteristica:
1
Lk 2 + Rk + = 0
C
• quindi
R
R2
1
±
−
k1, 2 = −
2
2L
4 L LC
ponendo
R2
1
b=
−
4 L2 LC
R
a=
2L
si trova
a=
1
R2
−
4 L2 LC
I (t ) = I1e −( a −b ) t + I 2 e −( a +b ) t
la quantita' b puo' essere reale, nulla o immaginaria
a seconda che sia
1
R2
gli esponenti sono ambedue negativi.
>
4 L2 LC
caso sovrasmorzato :
se
Caso 1, b reale
I
Caso 2, b nullo
Caso 3, b immaginario
t
Imponendo le condizioni iniziali :
I ( 0) = 0 ⇒
Quindi nel caso sovrasmorzato si
ottiene il seguente andamento
0 = I (0) = I (t ) = I1e −( a −b ) 0 + I 2 e −( a +b ) 0 = I1 + I 2 ⇒ I1 = − I 2
e
b=
e
I (t ) = I1e −( a −b ) t + I 2 e −( a + b ) t
⎧ R2
1
⎪ 2 >
L
LC
4
⎪ 2
1
⎪R
⎨ 2 =
⎪ 4 L2 LC
⎪R < 1
⎪⎩ 4 L2 LC
R
2L
q ( 0) = qo ⇒
RI (0) + L
dI
q
dI
+ =0⇒ L
dt o C
dt
=−
o
I (t ) = −
si trova quindi
q
I1 = − o
2 LCb
e ponendo
ωo =
1
LC
qoωo −at bt −bt
e {e − e }
2b
2
qo
C
I
si arriva a
qoωo − at bt
e {e − e −bt }
2b
2
I (t ) = −
t
Caso criticamente smorzato
R
R2
1
a=
b=
−
2L
4 L2 LC
1
R2
se 2 =
(caso criticamente smorzato) b = 0
4L
LC
la soluzione e' del tipo I (t ) = ( I1 + I 2t )e − at
q
→ I2 = − o
LC
⇒ I (t ) = −qoωo te −at
2
t
b=
1
R2
−
4 L2 LC
I (t ) = I1e −( a −b ) t + I 2 e −( a +b ) t
I (0) = 0 → I1 = 0
I
R
2L
e
Di nuovo, imponendo le condizioni iniziali si trovano I1 e I 2
dI
q
=− o
dt 0
LC
a=
1
R2
se 2 <
la soluzione e'
4L
LC
− (α − j β ) t
I (t ) = I1e
+ I 2 e −(α + jβ ) t
α=
R
2L
I (t ) = − j
caso oscillatorio smorzato :
I (t ) =
I
β=
qoω o2 jβ t
e − e − jβ t e −αt
2β
qoω o2
β
1
R2
− 2
LC 4 L
(
)
e −α t sen ( β t )
t
• L’ ampiezza delle oscillazioni diminuisce perche’
l’ energia inizialmente disponibile come campo
elettrico nel condensatore viene via via dissipata
per effetto joule nella resistenza.
• Le oscillazioni dipendono dal fatto che l’ energia
viene rimbalzata continuamente tra condensatore
(campo elettrico) e induttore (campo magnetico)
L
• Consideriamo il caso oscillatorio smorzato.
• Se R fosse nulla avremmo α=R/2L=0 e quindi
I (t ) =
q oω o2
e −αt sen ( βt ) ⇒
I (t ) =
q oω o2
sen ( βt )
β
β
C
• Le oscillazioni in tal caso non sono smorzate
I
I
t
t
I (t ) =
• In assenza di fenomeni dissipativi, e
trascurando l’ energia irraggiata, l’ energia
immagazzinata nel circuito dovrebbe
rimanere costante. Vediamo se e’ vero.
E = E (0) =
q oω o2
β
sen β t = I o sen ω o t
dI
dI
+ VC = 0 ⇒ − L
= VC ⇒ − LI oω o cos ω o t = VC
dt
dt
2
2
2
2
2
E C = 12 CV c = 12 CL I o ω o cos ω o t = 12 LI o2 cos 2 ω o t
RI + L
E L = 12 LI 2 = 12 LI o2 sin 2 ω o t
1 q o2
2 C
E C + E L = 12 LI o2
Costante !
1
1
E (t ) = E L (t ) + E C (t ) = CV C2 + LI L2 = E (0 ) ?
2
2
I
B
L
C
L
C
t
Massima corrente
dV
d 2I
dI I
=L 2 +R +
dt
dt
dt C
• Cosa succede a regime (se V e’ sinusoidale)?
• Si cerca un integrale particolare:
V = Vo e j (ωt +ϕV )
I = I o e j (ωt +ϕ I )
1⎤
⎡
jωVo e j (ωt +ϕV ) = ⎢− ω 2 L + jωR + ⎥ I o e j (ωt +ϕ I )
C⎦
⎣
⎡
1 ⎞⎤
⎛
Vo e j (ϕV −ϕ I ) = ⎢ R + j ⎜ ω L −
⎟ Io
ωC ⎠⎥⎦
⎝
⎣
A questa equazione
si poteva arrivare
subito dalla legge
di Ohm generalizzata.
Massima tensione
L’ induttanza
• Legge di Ohm generalizzata:
r rr
V =ZI
• Per un induttore ideale l’ impedenza
e’ricavabile direttamente dalla legge di
Lenz:
dI
VL = L L
dt
• Nel caso sinusoidale prendiamo
dI
I L = ioe jωt ⇒ VL = L L = Lio jωe jωt = LjωI L
dt
⇒ Z L = jωL
E
⎡
1
⎛
V o e j (ϕ V −ϕ I ) = ⎢ R + j ⎜ ω L −
ωC
⎝
⎣
ponendo
ϕ = (ϕ V − ϕ I )
Impedenza del condensatore
dalla lezione 5
• La corrente che scorre nel condensatore e’
(
⎡
1
⎛
Z = ⎢ R + j⎜ω L −
ωC
⎝
⎣
si ottiene
)
dq
dV C
d
i=
=C
=C
V oC e j ( ω t + ϕ ) = CV oC j ω e j ( ω t + ϕ )
dt
dt
dt
Legge di Ohm Generalizzata:
iC = i = ( j ω C ) V C
basta pensare ad una “impedenza“
del condensatore pari a 1/jωC
V o e jϕ
ZC =
Vo e j ϕ
1
j
=−
jωC
ωC
Vo
Vo
⎧
⎪Io = Z =
2
1 ⎞
⎛
⎪
R 2 + ⎜ω L −
⎟
⎪⎪
ωC ⎠
⎝
= ZI o ⇒ ⎨
1 ⎤
⎡
⎪
⎢ ω L − ωC ⎥
⎪
ϕ = arctan ⎢
⎥
R
⎪
⎢
⎥
⎪⎩
⎣
⎦
si definisce il fattore di qualita' del circuito
Qo = ω o L / R e si puo' riscrivere :
Io =
Vo
=
Z
⇒
Io =
Io =
Vo
=
Z
Vo
1 ⎞
⎛
R 2 + ⎜ω L −
⎟
ωC ⎠
⎝
Vo / R
2
Io =
I
L
=
e' il fattore di qualita'
Vo
=
Z
R
C
ωo =
2
⎛ ω 2 − ω o2 ⎞
⎟⎟
1 + Qo2 ⎜⎜
⎝ ωω o ⎠
dove
Qo = ω o L / R
1 ⎞
⎛
R 2 + ⎜ω L −
⎟
ωC ⎠
⎝
Vo / R
2
2
Vo e
Vo
⎛ ω 2 − ω o2 ⎞
⎟⎟
1 + Qo2 ⎜⎜
⎝ ωω o ⎠
(e pari a R) e lo sfasamento va a 0.
condizione di risonanza.
⎡
1 ⎞⎤
⎛
= ⎢ R + j⎜ω L −
⎟ Io
C ⎠⎥⎦
ω
⎝
⎣
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
Vo
Vo
⎧
⎪Io = Z =
2
1 ⎞
⎛
⎪
R 2 + ⎜ω L −
⎟
⎪
ω
C
⎝
⎠
⎪
= ZI o ⇒ ⎨
1 ⎤
⎡
−
ω
L
⎪
⎢
ωC ⎥
⎪
ϕ = arctan ⎢
⎥
R
⎪
⎢
⎥
⎪⎩
⎣
⎦
se ω = ω o = 1 / LC l' impedenza diventa reale
j (ϕV −ϕ I )
⎞⎤
⎟⎥ I o
⎠⎦
0
1
1
LC
ω/ωo
Vo / R
⎛ ω 2 − ω o2
1 + Qo2 ⎜⎜
⎝ ωω o
⎞
⎟⎟
⎠
2
• Il circuito
presenta un
massimo di
risposta
(corrente
massima) per
ω=ωo.
V
Io = o =
Z
I
ωo =
⎛ ω 2 − ω o2
1 + Qo2 ⎜⎜
⎝ ωω o
1
LC
Qo = ω o L / R
Qo basso
Qo alto
ω/ωo
1
0
⎞
⎟⎟
⎠
L
2
C
• A seconda di
Qo (fattore di
qualita’) la
curva di
risposta e’
piu’ o meno
piccata.
Vgen
R
I
ωo =
1
0.707
1
LC
Qo = ω o L / R
Δω
• La larghezza di
banda del filtro
Δω e’ la
distanza tra i
due punti della
risposta in
frequenza in
cui la risposta
e’ 1/sqrt(2) del
massimo.
• E’ strettamente
legata a Qo.
Q o ω m ωω o − Q o ω = 0
2
2
o
la soluzione e'
ω=
m ω o ± ω o2 + 4 Q o2ω o2
2Q o
e le due soluzioni positive sono
+
=
ω1,2
m ω o + ω o2 + 4 Q o2ω o2
2Q o
da cui
Δ ω = ω 2+ − ω 1+ =
Io
=
V gen / R
1
⎛ ω 2 − ω o2
1 + Qo2 ⎜⎜
⎝ ωω o
⎞
⎟⎟
⎠
2
vale 1 / 2 quando
2
⎛ ω 2 − ω o2 ⎞
⎟⎟ = 1
Qo2 ⎜⎜
⎝ ωω o ⎠
ω 2 − ω o2
1
=±
⇒
Qo
ωω o
ω2 m
ωω o
Qo
− ω o2 = 0
ω/ωo
1
0
• In questa
configurazione il
circuito agisce come
un filtro passa banda.
• Solo le frequenze
intorno ad ωo
producono un segnale
in uscita.
Vout=RI • Il filtro e’ tanto piu’
selettivo quanto piu’
alto e’ Qo.
• Viene utilizzato ad es.
per sintonizzare una
radio su una frequenza
ben precisa,
eliminando le altre.
Vo / R
ωo
Qo
=
R
L
ωo =
Qo = ω o
1
LC
L
1
=
R
R
L
C
La larghezza di banda
e’ inversamente
proporzionale al
fattore di qualita’ Qo . Il
filtro e’ tanto piu’
selettivo quanto piu’ alto
e’ Qo.
• La resistenza minima
del circuito e’ quella
dell’ avvolgimento
con cui si realizza l’
induttanza.
• Con induttanze di
ottima qualita’ si
ottengono fattori di
qualita’ dell’ ordine di
100, e quindi bande
passanti dell’ ordine di
1/100 della frequenza
centrale.
ωo =
1
LC
Qo = ω o
L
1
=
R
R
Δω = ω2+ − ω1− =
L
C
ωo
Qo
=
R
L
L ω
f
Qo = ωo = o = o
R Δω Δf
Nota: Misura di Qo
• Il Qo che abbiamo definito si riferisce all’
espressione della corrente nel circuito.
• La R che compare nell’ espressione di Qo e’ la
somma di
Vgen
Vout=RI
V gen
Vout
= Io =
R
1 ⎞
⎛
RG + R L + R + j ⎜ ω L −
⎟
ωC ⎠
⎝
R
=
1 ⎞
⎛
RL + R + j⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
L
Lo sfasamento
⎡
1
⎛
V o e jω t = ⎢ R + j ⎜ ω L −
C
ω
⎝
⎣
j (ω
⎞⎤
⎟⎥ I oe
⎠⎦
• Vediamo le tensioni ai capi di
ciascun componente:
• I tre termini nell’ equazione
sopra sono delle tensioni, la cui
parte reale e’ la proiezione del
fasore rappresentativo sull’ asse
reale del piano complesso.
• I tre vettori sono lunghi
rispettivamente
• IoR, IoωL, Io/ωC
• In un circuito reale solo Vin e Vout sono
misurabili, Vgen non lo e’(almeno non
direttamente).
• Dalle misure di I si valuta Qo=fo/Δf e da questo
la somma di RL+RG+R, da cui per sottrazione
RL (sapendo le altre due)
• Oppure, meglio
• Dalle misure di Vout/Vin alla risonanza:
C
Vin
Vout
Vin
Vout=RI
Nota2: se si vuole misurare RL
GENERATORE
non da questa !
Vin
R
R
Qo si valuta
da questa
L
C
L
INDUTTORE
RL
Vgen
• La corrente che scorre nel circuito puo’ essere
valutata misurando V ai capi della resistenza reale e
dividendo per il valore della resistenza reale.
• Da una curva di I in funzione della frequenza si
valuta Qo=fo/Δf
RL
INDUTTORE
RG
– Resistenza interna del generatore
– Resistenza interna dell’ induttore
– Resistenza reale
RG
Nota: Misura di Qo
GENERATORE
t +ϕ I )
C
ωLIo
to=-φΙ/ω
RIo
−(1/ωC)Io
=
RIS
R
R + RL
⎡V
⇒ RL = R ⎢ in
⎢⎣Vout
RIS
⎤
− 1⎥
⎥⎦
L
R
Im
Vout
Vin
Re
⎡
1
⎛
V o e jω t = ⎢ R + j ⎜ ω L −
C
ω
⎝
⎣
j (ω
⎞⎤
⎟⎥ I oe
⎠⎦
t +ϕ I )
• Vediamo le tensioni ai capi di
ciascun componente:
• I tre termini nell’ equazione
sopra sono delle tensioni, la cui
parte reale e’ la proiezione del
fasore rappresentativo sull’ asse
reale del piano complesso.
ωLIo
• I tre vettori sono lunghi
rispettivamente
• IoR,
IoωL, Io/ωC
• Al passare del tempo ruotano
mantenendo le stesse fasi
relative
R
C
Im
t generico
RIo
(ω t + ϕ I )
Re
−(1/ωC)Io
L
⎡
1
⎛
V o e jω t = ⎢ R + j ⎜ ω L −
ωC
⎝
⎣
j (ω
⎞⎤
⎟⎥ I oe
⎠⎦
t +ϕ I )
⎡
1
⎛
V o e jω t = ⎢ R + j ⎜ ω L −
ωC
⎝
⎣
R
C
• La composizione dei vettori
si puo’ fare sommando
prima i contributi di L e C:
Im
t generico
RIo
ωLIo−(1/ωC)Io
L
j (ω
⎞⎤
⎟⎥ I oe
⎠⎦
t +ϕ I )
• E poi trovando la risultante,
che deve essere proprio la
tensione (complessa) del
generatore.
• Se ωL>(1/ωC) , la corrente e’ in
R
C
Im
Vo , (ω t + ϕ V )
RIo
ritardo rispetto alla tensione del
generatore
ωLIo−(1/ωC)Io
(ω t + ϕ I )
(ω t + ϕ I )
Re
L
⎡
1 ⎞⎤
j (ω
⎛
V o e jω t = ⎢ R + j ⎜ ω L −
⎟ Ioe
ω C ⎠ ⎥⎦
⎝
⎣
Re
t +ϕ I )
circuito RLC serie
R
ω < ωo ⇒ ω L −
I
C
• E poi trovando la risultante,
cioe’ la tensione (complessa)
del generatore.
• Se ωL<(1/ωC) , la corrente e’ in
1 ⎤
⎡
⎢ω L − ωC ⎥
⎥
R
⎢
⎥
⎣
⎦
ϕ V − ϕ I = arctan ⎢
1
ωC
< 0 ⇒ ϕV − ϕ I < 0
corrente in anticipo rispetto alla tensione
ω > ωo ⇒ ω L −
1
ωC
> 0 ⇒ ϕV − ϕ I > 0
corrente in ritardo rispetto alla tensione
Im
RIo (ω t + ϕ I )
V,o(ω t + ϕ V )
anticipo rispetto alla tensione
Re
ωLIo−(1/ωC)Io
0
1
φV-φI +π/2
0
ω/ωo
1
−π/2
L
extratensioni
⎡
1
⎛
V o e jω t = ⎢ R + j ⎜ ω L −
C
ω
⎝
⎣
j (ω
⎞⎤
⎟⎥ I oe
⎠⎦
t +ϕ I )
R
• Vediamo i moduli delle tensioni
ai capi di ciascun componente
reattivo:
1
r
Vo
jω C
1
⎛
R + j⎜ω L −
ωC
⎝
r
r
r r
jω L V o
VL = Z LI =
1
⎛
R + j⎜ ω L −
ωC
⎝
r
r r
VC = Z C I =
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
VL
=
Vo
R
1 ⎞
⎛
R 2 + ⎜ω L −
⎟
ωC ⎠
⎝
2
C
ω L
VL
=
Vo
1
ωC
1 ⎞
⎛
R + ⎜ω L −
⎟
ωC ⎠
⎝
1
ωC
VC
=
Vo
C
VC
=
Vo
L
1 ⎞
⎛
R 2 + ⎜ω L −
⎟
ωC ⎠
⎝
VC/Vo
2
Q2>1/2
2
Q2<1/2
2
1
VL/Vo
ω L
1 ⎞
⎛
R 2 + ⎜ω L −
⎟
ωC ⎠
⎝
1
VC/Vo
2
0
0
1
ω/ωo
VL/Vo
0
0
1
ω/ωo
L
EXTRATENSIONI:
Se Q e’ molto alto possono
Rovinare i componenti
Il circuito RLC parallelo
R
L
C
R
C
VC/Vo
Q2>1/2
1
VL/Vo
⎡1
1
1
1
1 ⎤⎤
⎡
r =
+
+ j ω C = ⎢ + j ⎢ω C −
R
jω L
ω L ⎥⎦ ⎥⎦
Z
⎣
⎣R
r
r 1
r⎡ 1
1 ⎤⎤
⎡
I = V r = V ⎢ + j ⎢ω C −
R
L ⎥⎦ ⎥⎦
ω
Z
⎣
⎣
Q2<1/2
1
VC/Vo
VL/Vo
I o = Vo
0
0
ω/ωo
1
0
0
ω/ωo
1
1
1 ⎤
⎡
+ ωC −
R 2 ⎢⎣
ω L ⎥⎦
2
Il circuito RLC
parallelo
Il circuito RLC parallelo
Io
L
V
I
L
C
R
RI
1
1 ⎤
⎡
+ ωC −
R 2 ⎢⎣
ω L ⎥⎦
2
ω/ωo
ω/ωo
1
0
+π/2
1
+π/2
1
ω/ωo
0
−π/2
Come costruire un RLC con
un buon Qo (esperienza RLC)
• Il filtro RLC serve a
selezionare una banda di
frequenze intorno a una
particolare frequenza di
risonanza, dove
normalmente c’e’ il segnale
che interessa, mentre alle
altre frequenze c’e’ solo
rumore.
• Se Qo e’ alto, la banda
selezionata e’ stretta, e si
elimina piu’ rumore.
ω/ωo
1
−π/2
L
un buon Qo
• Per ottenere un Qo alto
per una data fo, RT deve
essere piccola.
• RT e’ la somma di tutte
le R in serie nel circuito:
C
Vin
R
Vout
– La RG interna del
generatore
– La R da cui si preleva il
segnale in uscita
– La RL interna all’
induttore.
• RT=RG+RL+R
generatore
0
R
Io
Vo =
V/R
0
C
fo =
1
2π LC
Qo =
1
RT
L
C
induttore
L
RG
RL
C
Vin
R
Vout
fo =
1
2π LC
Qo =
1
RT
Come costruire un RLC con un buon Qo
• RG e’ normalmente di 50Ω, quindi non e’ trascurabile
rispetto alle altre. Un buon trucco consiste nell’ inserire
una resistenza di shunt RS = 10 Ω in parallelo al
generatore.
L
C
induttore
induttore
RL
L
RG
generatore
• R non puo’ essere troppo
piccola, altrimenti il
segnale in uscita Vout=RI
e’ piccolo. Un buon
compromesso si ha per
R=10Ω
• RL dipende dalla qualita’
dell’ induttore. Valori
ragionevoli sono
RL=10Ω per L=10mH. Il
valore di RL puo’ essere
misurato con un ohmetro
in continua.
generatore
un buon Qo
C
Vin
R
RG' =
RS
RG RS
50 × 10
=
≅ 8. 3 Ω
RG + RS 50 + 10
L
RG
RL
Vin
R
RG RS
50 × 10
=
≅ 8. 3 Ω
RG + RS 50 + 10
induttore
RL
RG
C
RS
Vin
Vout
R
• La prima cosa da fare sara’ collegare il generatore alla resistenza
di shunt e misurare la resistenza interna equivalente.
• Si usa l’oscilloscopio e si misura l’ ampiezza della tensione tra A e
B al variare del carico Rc che connettiamo tra A e B. Si parte dall’
ampiezza in assenza di carico R c = ∞ e si varia poi Rc tra 20Ω e
1Ω. RG si ottiene facendo la media pesata delle stime ottenute con
diversi Rc.
• In totale otteniamo una RT=RG+RL+R
dell’ ordine di 30Ω.
• Per avere un buon Qo conviene scegliere
una fo abbastanza alta:
L
1 L
= ωo
RT C
RT
Qo =
VAB ( Rc ) = VAB (∞)
RG
Rc
VAB
Rc
Rc + RG'
⎡ V (∞ ) ⎤
− 1⎥
RG' = Rc ⎢ AB
⎣VAB ( Rc ) ⎦
generatore
induttore
A
L
RG
RL
C
RS
Vin
R
B
Vout
B
Verifica dell’ impedenza d’ uscita del generatore
generatore
RG' =
L
B
RS
Vout
• La Vin sara’ inferiore a
quella che avremmo in
assenza di Rs, ma questo
si puo’ rimediare agendo
sul potenziometro di
ampiezza del generatore.
A
C
RS
Vin
R
generatore
generatore
C
induttore
A
RL
Vout
• Secondo il teorema di
Thevenin il nuovo generatore
(ottenuto tra i punti A e B del
circuito, riquadro verde) ha
una resistenza interna pari al
parallelo tra RG e RS .
L
RG
Vout
• Con C=47nF e L=1mH si ottiene
fo =
1
2π LC
1
Qo =
RT
=
1
2π 10 − 3 47 ⋅10 − 9
1
L
=
C 30
• La risposta si calcola con le solite formule: f o =
Hz ≅ 23kHz
generatore
induttore
L
RG
Io
=
I o , MAX
RL
C
RS
V gen / R T
V out
= Io =
R
10 −3
≅ 4 .9
47 ⋅10 −9
⎛ω −ω
1 + Q o2 ⎜⎜
⎝ ωω o
1
2
⎛ ω 2 − ω o2
1 + Q o2 ⎜⎜
⎝ ωω o
⎡
Vin
R
Con un induttore di buona qualita’ (L=1mH, RL=10Ω) :
Vout
⎞
⎟⎟
⎠
2
o
⎞
⎟⎟
⎠
Qo =
2
1
RT
L
C
2
⎛ ω 2 − ω o2 ⎞ ⎤
⎟⎟ ⎥
⎝ ωω o ⎠ ⎦
ϕ = arctan ⎢ Q o ⎜⎜
⎣
0.4
1.0
R T =30 Ω
L=1mH
C=47nF
0.2
0.1
RT=30Ω
I/Imax=Vout/Vout,max
R=10 Ω
0.3
V out/V in
1
2π LC
R=10Ω
L=1mH
C=47nF
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1
10
100
0.0
frequenza (kHz)
1
10
100
Con un induttore di cattiva qualita’ (L=1mH, RL=100Ω) :
0.4
1.0
R T =120 Ω
L=1mH
C=47nF
0.2
0.1
RT=120Ω
R=10 Ω
0.3
V out/V in
1000
frequenza (kHz)
R=10Ω
0.8
L=1mH
C=47nF
0.6
0.4
0.2
0.0
1
10
frequenza (kHz)
100
0.0
1
10
100
frequenza (kHz)
1000
90
R T =30 Ω
60
R=10 Ω
sfasamento (gradi)
sfasamento (gradi)
90
L=1mH
30
C=47nF
0
-30
-60
R T =120 Ω
60
R=10 Ω
L=1mH
30
C=47nF
0
-30
-60
-90
-90
1
10
100
1
10
frequenza (kHz)
• Realizzazione del circuito: scelta dei componenti, misure
sui componenti con l’ ohmetro e il capacimetro, stima
teorica di fo e Qo
• Verifica della impedenza di uscita del generature con
shunt.
• Misura delle risposte Vout (f)/Vout,MAX e φ(f)
• Da queste si valutano la frequenza di risonanza fo e la
larghezza a meta’ altezza della curva di risposta Δf; da
queste si stima Qo.
• Studio delle extratensioni (su C): e’ Vout/Vin(f) > 1 ?
• Ripetizione delle stesse misure togliendo la resistenza di
shunt. Quanto varia Qo ?
• Conservate i componenti. Servono per la successiva
esperienza.
fo
Qo = fo / Δf
R=10Ω
Δf
L=1mH
C=47nF
0.6
0.4
RT=30Ω
1
10
100
frequenza (kHz)
R=10Ω
L=1mH
C=47nF
0.8
Δf
Qo = fo / Δf
0.6
0.4
0.2
0.0
1
10
100
1000
frequenza (kHz)
Circuiti integratori e derivatori
V =
0.2
0.0
1.0
• Sono circuiti che producono all’ uscita un
segnale di tensione proporzionale all’
integrale (o alla derivata) del segnale in
ingresso.
• Che si possano costruire e’ evidente dalle
t
relazioni
dI
1
RT=120Ω
0.8
fo
Misure : RLC in regime sinusoidale
1.0
100
frequenza (kHz)
1000
C
I = C
∫ Idt
;
V = L
0
dV
;
dt
I =
1
L
t
dt
∫ Vdt
0
Vin = VL + VR
Circuiti integratori: RC
Vin = VC + VR
se
VR (t ) << VL (t )
R
VC (t ) << VR (t )
Vin
Vin (t ) ≈ VR (t ) = RI (t )
I (t ) ≅
Vout
C
1
Vin (t )
R
τ
d
i (t )
dt
t
1
1 1
i (t ' )dt ' = ∫ Vin (t ' )dt '
C t∫o
C to R
t
Vout (t ) = VR (t ) = Ri (t ) =
in
(t ' )dt '
Vout (t ) =
to
Vin = VC + VR
VR (t ) << VC (t )
se
t
1
i (t ' )dt '
C t∫o
C
Vin
• Abbiamo quindi delle
“approssimazioni” di
circuiti integratori e
derivatori.
τ
t
∫ V (t ' )dt '+ Ri(t )
o
to
R
Vin = VL + VR
R
Vout
VL (t ) << VR (t )
Vin
Vin (t ) ≈ VR (t ) = Ri (t )
Vin
Vin
1
Vin (t )
R
d
L d
Vout (t ) = L i (t ) =
Vin (t )
dt
R dt
d
Vout (t ) = τ Vin (t )
dt
• I filtri “passa basso” RC
e LR forniscono gli
integratori;
Vin
• I filtri “passa alto” CR e
RL forniscono i
derivatori.
Vin
R
Vout
C
L
C
Vout
L
i (t ) =
d
d
1
Vin (t ) ≈ VC (t ) = i (t )
dt
C
dt
d
d
Vout (t ) = Ri (t ) = RC Vin (t ) = τ Vin (t )
dt
dt
Circuiti integratori
e derivatori
1
R
V (t ' )dt '+ Ri (to )
L t∫o
Circuiti derivatori
RL
Circuiti derivatori: CR
Vin (t ) ≈ VC (t ) =
Vout
1
V (t ' )dt '+i (to )
L t∫o
t
∫V
Vin
Ldi (t ) ≅ Vin (t )dt
t
t
1
Vin (t ) ≈ VL (t ) = L
i (t ) =
Vout (t ) = VC (t ) =
Vout (t ) =
Circuiti integratori:
LR
se
Vout
R
R
Vout
R
L
Vout
Circuiti integratori e derivatori
VoC
• Le approssimazioni sono
tanto migliori quanto piu’ Vo
Vo / 2
il segnale in uscita e’
piccolo rispetto a quello
0
0
in ingresso.
φ
• Per i circuiti derivatori
questa approssimazione
0 0
e’ rispettata tanto meglio −π/4
quanto piu’ f < fo=1/2πτ; −π/2
• Per i circuiti integratori
questa approssimazione
e’ rispettata tanto meglio
quanto piu’ f > fo=1/2πτ;
1
2
3
4
5
6
ωRC
1
2
3
4
5
6
ωRC
A questa frequenza
il passa basso e’ un
buon integratore.
Ma il segnale in uscita
e’ ridotto di 1/τ !
Risposta Impulsiva
• Supponiamo di applicare ad un circuito integratore o
ad un derivatore un segnale ad onda quadra:
• Supponiamo di applicare ad un circuito integratore o
ad un derivatore un segnale ad onda quadra:
Vin
Vin
Vout INT
t
Vout DER
t
Alla fine dell’esperienza RC e CR avete provato ad
ottenere queste forme d’ onda, come visto con il picoscope in classe
RLC con
onda quadra
Carichiamo il condensatore fino a Q
e chiudiamo il circuito al tempo t = 0
• Ovvero scarica di un
condensatore in un
circuito RLC, quando
il periodo dell’ onda
quadra e’ molto piu’
lungo dello
pseudoperiodo dell’
oscillazione smorzata.
• E’ una situazione che
capita spesso in
elettronica digitale.
dQ
d 2Q
Q
+R
+L 2 =0
C
dt
dt
d 2Q
dQ
+γ
+ ω o2Q = 0
dt 2
dt
dove
Vin
Vout
R
α + γα + ω = 0
Vin
C
Vout
γ
⎛γ ⎞
α = − ± ⎜ ⎟ − ω o2
2
Vout (t ) =
R
Vin
2
soluzione sovrasmorz ata
se l' integrando e' nullo, soluzione a smorzament o
C
⎝2⎠
Vout
2
critico
se l' integrando e' negativo, soluzioni complesse
coniugate :
ω1
L
2
o
Q = Qo e
⎛γ ⎞
con ω12 = ω o2 - ⎜ ⎟
2
⎝2⎠
e' detto pseudoperi odo;
α1, 2 = −
t
l' equazione caratteristica e'
2
Vout
Fase di scarica
Vin
Fase di carica
γ = R/L e ω o = 1 / LC
L
⎛γ ⎞
± ⎜ ⎟ − ω o2
2
⎝2⎠
se l' integrando e' positivo, la soluzione
e' la somma di due esponenzia li decrescent i :
α =−
γ
Alla fine dell’esperienza RC CR avete provato ad
ottenere queste forme d’ onda come visto in classe col
pico-scope
γ
± jω 1
la soluzione e'
Q = Qo e
γ
− t
2
cos ω1t
2
γ
− t
2
Fase di carica
Fase di scarica
cos ω1t
Qo − γ2 t
e cos ω1t
C
Vout
Vin
t
Nell’esperienza
sull’RLC
visualizzerete
questa forma
d’ onda e
misurerete lo
pseudoperiodo
L
R
Vin
C
Vout
Esempio sui fasori:
Generatori Monofase e Trifase
Esempio sui fasori:
Generatori
Monofase e Trifase
Generatore trifase (a stella) : insieme di tre generatori
A
A
Generatore monofase :
monofase, con un estremo in comune, stessa ampiezza, e
sfastati 120° uno dall’ altro:
V (t ) = VA − VN = Vo e jωt
N
Generatore trifase (a stella) : insieme di tre generatori
monofase, con un estremo in comune, stessa ampiezza, e
sfasati 120° uno dall’ altro:
A
N
C
B
jωt
⎧ V AN (t ) = VA − VN = Vo e
⎪
j ( ωt − 2 π / 3 )
⎨VBN (t ) = VB − VN = Vo e
⎪V (t ) = V − V = V e j (ωt − 4π / 3)
C
N
o
⎩ CN
N
C
B
Che tensione c’è, istante
per istante, tra A e B, tra B
e C, tra C ed A ?
Esempio sui fasori:
Generatori
Monofase e Trifase
A
⎧ VAN (t ) = VA − VN = Vo e jωt
⎪
j ( ω t − 2π / 3 )
⎪V (t ) = V − V = V e j (ωt − 4π / 3)
C
N
o
⎩ CN
VAB
N
C
Che tensione c’è, istante per istante, tra
A e B, tra B e C, tra C ed A ?
B
VAB = VAN − VBN = Vo [e jωt − e j (ωt −2π / 3) ] = Voe jωt (1 − e−2π / 3 j ) =
VAB è 3 volte
maggiore di
quella dei
generatori, ed
è sfasata di π/6
rispetto a VAN
Analogamente
per VBC e VCA
⎡ 1
3⎤
= Voe jωt [1 − cos(−2π / 3) − j sin(−2π / 3)] = Voe jωt ⎢1 + − j ⎥ =
2⎦
⎣ 2
⎡3
⎡ 3
3⎤
1⎤
= Voe jωt ⎢ − j ⎥ = 3Voe jωt ⎢ − j ⎥ = 3 Voe jωt e− jπ / 6 =
2⎦
2⎦
⎣2
⎣2
= 3 Voe j (ωt −π / 6)
⎧ V AN (t ) = V A − VN = Vo e jωt
⎪
j ( ωt − 2 π / 3 )
⎪V (t ) = V − V = V e j (ωt − 4π / 3)
C
N
o
⎩ CN
Esempio sui fasori:
• In Italia oggi VAN= VBN= VCN= 2230V e
VAB=VBC=VCA= 2 400V
• Per lungo tempo avevamo avuto
VAN= VBN= VCN= 2 220V e
VAB=VBC=VCA= 2 380V
Presa trifase standard: 5 contatti :
• 3 fasi (A,B,C),
• il neutro (N),
• la terra
Esempio sui fasori:
Esempio sui fasori:
A
A
Supponiamo ora di collegare 3 carichi
uguali al generatore trifase:
Supponiamo ora di collegare 3 carichi
uguali al generatore trifase:
N
C
C
B
A
Che corrente scorre nel conduttore N ???
(N sta per neutro..)
N
B
C
A
B
C
A
R
N
B
C
R
i N = i A + iB + iC
B
A
B
C
R
R
N
iN
iC
R
iB
R
iA
Vantaggi della distribuzione trifase rispetto
alla monofase
Esempio sui fasori:
A
i N = i A + iB + iC
iN =
A
Vo jωt j (ωt −2π / 3) j (ωt −4π / 3) Vo jωt
[e + e
+e
] = e (1 + e−2π / 3 j + e−4π / 3 j ) =
R
R
R
Vo jωt
e (1 + cos(−2π / 3) + j sin(−2π / 3) + cos(−4π / 3) + j sin(−4π / 3)) =
R
Vo jωt
= e (1 + (−1/ 2) + j(− 3 / 2) + (−1/ 2) + j( 3 / 2)) = 0!!!
R
=
A
N
A
B
C
B
C
A
C
R
R
N
iN
iB
iC
N
V=
0
i
R
R
i
i
Con un generatore trifase
scorrerà una corrente i in
ciascuno dei tre cavi
A,B,C. Quindi si devono
usare 3 cavi al posto di 2,
ma possono avere una
sezione 3 volte più
piccola, a parità di
resistenza dei cavi e
quindi di perdite ohmiche
Potenza elettrica in AC
• La potenza dissipata istante
per istante in un
componente e’
• W(t)=i(t)V(t)
• Se usiamo tensioni
alternate, W varia
continuamente nel tempo, e
potrebbe anche essere
negativa (!)
• Esempio:
I
jωC
i(t)
I = jωCV
V(t) C
I = ωC V
π
⎛ ωCV ⎞
⎟ = arctan(∞ ) =
2
⎝ 0 ⎠
V = Vo sin(ωt )
ϕ = arctan⎜
π
I = ωCVo sin(ωt + )
2
• Anticipo di 90o della corrente
rispetto alla tensione.
V(t)
i(t)
+
-
i(t)
V(t) C
⇒
Con un generatore
monofase scorrerà una
corrente 3i sia nel filo A
che nel filo N
i
A
B
C
R
iA
R
R
i
i
R
• Ecco perché la
distribuzione dell’
energia elettrica,
con linee lunghe
centinaia di
chilometri e quindi
con perdite
ohmiche non
trascurabili, viene
sempre fatta con
linee trifase.
V = ZI
B
3i
Supponiamo di dover far
scorrere una corrente i in
3 carichi R. (i carichi nella
grande distribuzione sono
molti di più, ma si possono
riunire sempre in 3 gruppi
equivalenti.)
+
-
• Durante gli intervalli A e C
il condensatore viene
caricato dal generatore, e
quindi aumenta la sua
energia, e quindi gli viene
fornita potenza.
• Durante gli intervalli B e D
il condensatore si scarica
sul generatore, e quindi
perde energia, fornendo
potenza al generatore: la
potenza a lui fornita e’
negativa.
i(t)
V(t) C
A
B
V(t)
C
D
-
+
-
i(t)
+
• La potenza media fornita al
condensatore e’ la media di
W(t) su un ciclo lungo
T=2π/ω.
T
W =
=
=
V0 I 0
ωT
V0 I 0
2π
i(t)
T
W =
VI
1
I (t )V (t ) dt = 0 0 ∫ sin(ωt ) cos(ωt ) dt =
T ∫0
T 0
ωT
∫ sin(ωt ) cos(ωt )dωt =
0
2π T
∫ sin( x)d sin( x) =
0
V0 I 0
2π
∫ sin( x) cos( x)dx =
0
2
V0 I 0 sin x 0
2π
2
2π
=0
i(t)
Im( Z )
Re( Z )
V(t)
Z
• cos(φ) e’ detto Fattore di Potenza.
• In circuiti puramente reattivi (come il condensatore da solo)
Re(Z)=0 e lo sfasamento tra tensione e corrente e’ di 90o, e
il fattore di potenza e’ 0; la potenza media dissipata e’ nulla.
• Ma nel componente scorre corrente. Quindi, ad esempio la
potenza dissipata nel generatore (nella sua resistenza
interna) non e’ nulla !
• Nelle apparecchiature industriali con carichi induttivi, come
i motori elettrici, sono necessari grandi condensatori, in
modo da riportare il fattore di potenza vicino ad 1.
Z
T
T
=
V0 I 0
[ cos(ωt ) cos(φ ) cos(ωt ) dt + ∫ sin(ωt ) sin(φ ) cos(ωt ) dt ] =
T ∫0
0
=
V0 I 0
VI
cos(φ ) ∫ cos 2 (ωt ) dt = 0 0 cos(φ ) ∫ cos 2 ( x ) dx ⇒
T
ωT
0
0
T
W =
W = Veff I eff cos(φ )
V(t)
1
VI
I (t )V (t ) dt = 0 0 ∫ cos(ωt + ϕ ) cos(ωt ) dt =
T ∫0
T 0
T
2πT
ϕ = arctan
• In generale :
V(t) C
T
i(t)
ωT
V0 I 0
V I
cos(φ ) = 0 0 cos(φ ) ⇒ W = Veff I eff cos(φ )
2
2 2

Fenomeni di Risonanza Il circuito RLC serie Il circuito RLC serie Il

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