Circuito risonante RLC - "E. Fermi"

Circuito risonante RLC
By A.C. Neve – Circuito risonante RLC
1
Si consideri il circuito proposto nella figura seguente noto come circuito risonante serie:
Questo semplice circuito è composto da tre componenti lineari disposti
in serie Rs, L, C e alimentati da un generatore sinusoidale di tensione Vi.
L’impedenza complessiva offerta dai tre componenti in serie risulta:
Z (ω ) = Rs + J (ωL −
1
)
ωC
al variare di ω l’impedenza complessiva varia come esposto in figura:
come si può notare, l’impedenza complessiva presenta un minimo in corrispondenza di un
particolare valore di frequenza ωo che determinerà un massimo nel valore Ii della corrente.
Il valore della corrente nel circuito è dato dalla relazione:
Ii (ω ) =
V i (ω )
V i(ω )
=
Z (ω ) Rs + J (ωL − 1 )
ωC
Ii (ω ) =
V i (ω )
1 2
Rs + (ωL −
)
ωC
che, espresso in modulo e fase risulterà:
Fase(ω ) = −arctg (
1
ωC )
Rs
ωL −
2
la corrente assumerà il suo valore massimo quando il termine ωL −
soddisfatta per un valore di frequenza pari a ω 0 =
In queste condizioni la corrente varrà Iio =
Vi
Rs
1
LC
1
= 0 , questa relazione sarà
ωC
detta frequenza di risonanza.
con Fase = 0 o ed il circuito risulterà puramente
ohmmico.
By A.C. Neve – Circuito risonante RLC
2
Nella figura seguente è riportato il grafico che ne descrive il comportamento in frequenza.
In condizioni di risonanza
vettoriale risulta il seguente:
VLo
VRso
il
diagramma
ωo
Ii
VCo
V Rs = Rs Ii
V L = JωL Ii
Per ω < ω0
Per ω > ω0
il circuito risulterà ohmmico-capacitivo
il circuito risulterà ohmmico-induttivo
V C = −J
Ii
ωC
Per i motivi fin ora esposti, il circuito risonante serie è anche detto risonante di corrente.
In condizioni di risonanza (ω = ω0) si ha che Ii (ω o ) = Iio =
Vi
da cui:
Rs
ωo L
ω L
⋅ V i = o ⋅ V i con Fase = +90°
Rs
Rs
1
1
= −J
⋅Vi =
V i con Fase = −90°
ω o RsC
ω 0 RsC
V Lo = J
V Co
Si definisce coefficiente di sovratensione del circuito la quantità:
Q=
V Lo
Vi
=
V Co
Vi
=
ωo L
1
=
Rs ω o RsC
⇒
V Lo = Q ⋅ V i e V Co = Q ⋅ Vi
dalla quale si deduce che, in risonanza, la tensione sul condensatore è uguale ed opposta a quella
sull’induttore ed entrambe possono anche essere molto più grandi di Vi.
Dall’andamento della risposta in frequenza, si può notare che il circuito si comporta come un filtro
passa banda (detto anche selettivo).
Si rammenta che si definisce frequenza di taglio quel particolare valore di frequenza per la quale la
risposta si riduce di 1/ 2 del suo valore massimo (o equivalentemente di –3dB).
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3
Come si può notare, in questo
circuito esistono due valori di
frequenza (ω1 e ω2) per i quali la
corrente si riduce a 1/ 2 del suo
valore massimo.
Prima di procedere oltre sarà brevemente esaminato il problema della simmetria della curva.
Si consideri un qualsiasi valore di corrente Ii’ minore di Io, ad esso corrisponderanno due distinti
valori di frequenza ω’ e ω’’ tali che ω’ < ωo < ω’’
Dato che per questi due valori di frequenza si ha lo stesso valore di corrente Ii’, dovrà risultare che:
Z (ω ' ) = Z (ω ' ' )
da cui, non considerando il termine Rs, si ha che:
1
1
) = − (ω ' ' L −
)⇒
ω 'C
ω ''C
1 1
1
L (ω '+ω ' ' ) = ( +
)⇒
C ω ' ω ''
1 (ω '+ω ' ' )
1
(ω '+ω ' ' ) =
⋅
⇒
= ω o2 = ω ' ω ' '
LC ω 'ω ' '
LC
(ω ' L −
il segno meno del secondo termine è dovuto al
fatto che per ω’ il circuito è ohmmico
capacitivo mentre per ω’’ è ohmmico
induttivo.
Si rammenta che in risonanza 1/LC = ωo2
Si evince così che la frequenza di risonanza risulta pari alla media geometrica tra i due valori di
frequenza che generano lo stesso valore di corrente. Si può così affermare che la curva non è
simmetrica rispetto all’asse passante per ωo in quanto, ad un certo intervallo di frequenza [ω’,ωo] a
sinistra di ωo ne corrisponde uno a destra [ωo, ω’’] tale che:
(ωo-ω’) < (ω’’-ωo) e da cui si deduce che la curva è asimmetrica.
Si ritorni ora ad esaminare le frequenze di taglio.
Indicando con ω1 la frequenza di taglio inferiore si ha che:
Ii =
I MAX
2
Vi
=
1 2
)
ω 1C
essendo IMAX=Vi/Rs si ha che:
Rs 2 + (ω1 L −
Rs 2 + (ω 1 L −
2=
Rs
1 2
)
ω 1C
1 2
1
ω1 L −
)
ω 1C
ω 1C
⇒
= ±1
2
Rs
Rs
(ω1 L −
⇒ 2 = 1+
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il segno da considerarsi è quello negativo in quanto essendo ω1 < ωo, il circuito è ohmmico
capacitivo ottenendo così:
L
1
(ω 1 −
) = −1
Rs
ω 1 LC
dato che
I
1
= ω 2 = ω 1ω 2 nella quale ω2 è l’altra frequenza per la quale Ii = MAX si ha quindi che:
LC
2
ωω
L
L
Rs
Rs
(ω 1 − 1 2 ) = −1 ⇒
(ω 2 − ω 1 ) = +1 ⇒ (ω 2 − ω1 ) =
=
⋅ωo
Rs
ω1
Rs
L ωo L
ricordando che Q = ωoL/Rs e indicando con B il valore della banda passante, si ha che:
ω 2 − ω1 = B =
ωo
Q
da cui
B=
ωo
Q
I valori delle due frequenze di taglio si ottengono risolvendo il sistema:
ω1 ⋅ ω 2 = ω o 2
dal quale si ricava che:

−
=
B
ω
ω
1
 2
2
ω1 = −
B
B
2
+   + ωo
2
2
2
ω2 = +
B
B
2
+   + ωo
2
2
se il circuito è molto selettivo, e cioè B << ωo, la curva sarà
sufficientemente simmetrica e si otterrà che:
B
2
B
ω2 ≅ ωo +
2
ω1 ≅ ω o −
Si fa notare che:
ωo
ω
Rs
= o =
Q ωo L
L
Rs
ω
ωo
1
Rs
2
B= 0 =
= ω o RsC =
⋅ RsC =
1
L
Q
LC
ω o RsC
per cui, nei circuiti risonanti serie, il valore della selettività (B) dipende solo dai valori di Rs ed L ed
è per questo motivo che nei circuiti risonanti serie con frequenza di risonanza variabili (selettivi) si
usano solo dei condensatori variabili tali che al variare della frequenza di risonanza la banda
passante rimanga inalterata (mantenendo cioè la stessa selettività).
(Viceversa per i circuiti risonanti parallelo nei quali B = 1/RpC).
B=
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In un circuito risonante reale è spesso necessario tenere conto di effetti resistivi parassiti che in certe
condizioni non possono essere trascurati.
Il circuito seguente ne evidenzia la presenza:
Ri = resistenza interna del generatore
Rsl = resistenza del filo dell’induttore
Rcp = resistenza
condensatore
dell’isolante
del
In queste condizioni il coefficiente di sovratensione sarà pari a:
Q =
ωo L
1
=
ω o RT C
RT
dove RT rappresenta l’effetto complessivo delle resistenze Ri, Rs, Rsl e Rcp.
=================================================
=================================================
Lo studio di un circuito RLC può anche essere esaminato dal punto di vista della sua funzione di
trasferimento definita come:
T (ω ) =
V o(ω )
V i (ω )
espressa poi in Modulo e Fase
La tensione di uscita Vo può essere prelevata sia su Rs che su L ed anche su C per cui verranno in
seguito esaminati questi tre casi.
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Rs
T (ω ) =
Rs + J (ωL −
Rs
1 2
Rs 2 + (ωL −
)
ωC
1
)
ωC
Rs + J (ωL −
1
ωC )
Rs
ωL −
Fase (−arctg (
JωL
T (ω ) =
=
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ωL
1 2
Rs + (ωL −
)
ωC
2
1
)
ωC
−J
=
T (ω ) =
1
ωC ))
Rs
ωL −
Fase (90 − arctg (
1
ωC
=
1
)
Rs + J (ωL −
ωC
1
1
ωL −
ωC
ωC ))
Fase (−90 − arctg (
Rs
1 2
)
Rs 2 + (ωL −
ωC
7
Si può notare che:
Uscita su R
Uscita su L
Uscita su C
Si tratta di un filtro passa banda con pendenza di
+20dB/dec prima di ωo e –20dB/dec dopo ωo
la fase varia da +90° a –90°
Si tratta di un filtro passa banda con pendenza di
+40dB/dec prima di ωo e 0dB/dec dopo ωo
la fase varia da +180° a 0°
Si tratta di un filtro passa banda con pendenza di
0 dB/dec prima di ωo e –40dB/dec dopo ωo
la fase varia da 0° a –180°
Un altro modo di osservare questi comportamenti è possibile facendo uso di un diagramma polare
proposto nella figura seguente:
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Sarà ora preso in considerazione il circuito risonante parallelo esposto in figura.
Questo semplice circuito è composto da tre
componenti lineari disposti in parallelo Rp, L, C e
alimentati da un generatore sinusoidale di corrente Ii.
L’ammettenza complessiva offerta dai tre componenti in parallelo risulta:
Y (ω ) =
1
1
1
=
+ J (ωC −
)
ωL
Z (ω ) Rp
al variare di ω, l’ammettenza complessiva offerta dai tre componenti varia come esposto in figura:
Si noti che una ammettenza
minima corrisponde ad una
impedenza massima.
L’ammettenza complessiva presenta un minimo in corrispondenza di un particolare valore di
frequenza ωo che determinerà un massimo nel valore della tensione Vo.
Il valore della tensione Vo è dato dalla relazione:
V o(ω ) = Ii (ω ) ⋅ Z (ω ) =
Ii (ω )
2
Ii (ω )
Ii (ω )
=
1
1
Y
)
+ J (ωC −
Rp
ωL
Fase(ω ) = − arctg (
 1 
1 2

 + (ωC −
)
ωL
 Rp 
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che, espresso in modulo e fase risulterà:
ωC −
1
ωL )
1
Rp
9
la tensione sul parallelo assumerà il suo valore massimo quando il termine ωC −
1
condizione sarà soddisfatta per un valore di frequenza pari a ω o =
LC
1
ωL
= 0 , questa
detta frequenza di
risonanza. In queste condizioni la tensione varrà V o = Ii ⋅ Rp con Fase = 0°
ed il circuito
risulterà puramente ohmmico.
Nella figura seguente è riportato il grafico che ne descrive il comportamento in frequenza.
In condizioni di risonanza
vettoriale risulta il seguente:
il
diagramma
ωo
ICo
IRpo
Vo
ILo
Per ω > ω0
Per ω < ω0
I Rp =
il circuito risulterà ohmmico-capacitivo
il circuito risulterà ohmmico-induttivo
Vo
Rp
Vo
ωL
I C = JωCV o
I L = −J
Per i motivi fin ore esposti, il circuito risonante parallelo è anche detto risonante di tensione.
Si definisce coefficiente di sovracorrente del circuito la quantità:
Q=
I Co
Ii
=
I Lo
Ii
= ω o CRp =
Rp
ωo L
⇒
I Co = Q ⋅ Ii
e
I Lo = Q ⋅ Ii
dalla quale si deduce che, in risonanza, la corrente nel condensatore è uguale ed opposta a quella
nell’induttore ed entrambe possono anche essere molto più grandi di Ii.
Anche per il circuito risonante parallelo si ha che:
B=
2
ωo
Q
ω o = ω1 ⋅ ω 2
B
2
B
ω2 ≅ ωo +
2
ω1 ≅ ω o −
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In questo caso si può notare che:
B=
B=
ωo
ωo
1
=
=
Q ω o CRp CRp
ω0
ω
1 L
1
2 L
= o = ωo
=
⋅
=
Rp
Q
Rp LC Rp CRp
ωo L
per cui, nei circuiti risonanti parallelo, il valore della selettività (B) dipende solo dai valori di Rp ed
C ed è per questo motivo che nei circuiti risonanti parallelo con frequenza di risonanza variabili
(selettivi) si usano solo degli induttori variabili tali che al variare della frequenza di risonanza la
banda passante rimanga inalterata (mantenendo cioè la stessa selettività).
Volendo trasformare un circuito risonante serie in uno equivalente parallelo (cioè con gli stessi
valori di L, C, e Q) si ha che:
Q=
Q=
ωo L
Rp
=
Rs ω o L
2
1
= ω o RpC
ω o RsC
ricordando che ω 0 =
1
LC
Rp ⋅ Rs =
si ha che
L
C
tramite questa relazione è possibile passare da una configurazione serie ad una parallelo e viceversa
pur di usare gli stessi valore di L e C.
Curva di risonanza universale
Per un circuito risonante serie si è già visto che:
Ii (ω ) =
V i (ω )
Rs + J (ωL −
1
)
ωC
e che in risonanza risulta: Iio =
Vi
Rs
effettuando il rapporto tra le due espressioni si ha che:
1
Ii (ω )
Rs
=
=
1
1
ωL
Iio
) 1+ J(
)
Rs + J (ωL −
−
Rs ωRsC
ωC
mettendo in evidenza nella parentesi la quantità ωoL/Rs si ottiene:
Ii (ω )
1
1
=
=
ω L ω
ω L ω ωo
1
Iio
−
−
1+ J ⋅ o (
) 1+ J ⋅ o (
)
Rs ω o LCωω o
Rs ω o ω
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dato che
1
2
= ωo
LC
11
ω ωo
−
) è detto dissonanza χ ed è tanto più grande (in valore assoluto) quanto più ω si
ωo ω
discosta da ωo.
Il temine (
Pertanto:
Ii( χ )
1
=
1 + JQχ
Iio
e analogamente per il circuito risonante
parallelo si ha:
V i( χ )
1
=
1 + JQ ⋅ χ
Vo
esprimendo i risultati in modulo e fase si ottiene:
Ii( χ ) V i( χ )
1
=
=
Iio
Vo
1 + Q2χ 2
Fase( χ ) = −arctg (Q ⋅ χ )
E’ quindi possibile definire una curva di
risonanza universale valida per tutti i
circuiti RLC sia serie che parallelo e che
risulti simmetrica rispetto alla frequenza
di risonanza.
Si noti che i due grafici riportano in
ascissa il prodotto Qχ mentre in
ordinata riportano i rapporti Ii/Io o
Vi/Vo e la fase
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Problemi di misure (dalla teoria alla pratica)
Si consideri il progetto di un circuito risonante serie così composto:
R1 = R2 = 5 ohm
L1 = L2 = 20 µH
C1 = C2 = 50 pF
V1 = V2 = 1 volt
Co = 10 pF
Ro= 1 Mohm
Questo circuito sarà caratterizzato da una frequenza di risonanza fo e da un coefficiente di
sovratensione Q aventi valori:
fo =
1
2π L1C1
= 5.03 MHz e
Q=
ωo L
= 126
R1
al fine di verificare le specifiche di progetto, si collega sull’uscita un oscilloscopio caratterizzato da
una impedenza di ingresso di 1 Mohm con in parallelo 10 pF.
Il calcolo teorico e la misura sperimentale conducono però ai seguenti risultati:
come si può notare i due risultati non coincidono a causa dell’inserzione nel circuito
dell’oscilloscopio.
É opportuno, a questo punto, provare a semplificare il circuito.
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La prima cosa che si evidenzia è il parallelo tra i due condensatori Co e C2 i quali potranno essere
sostituiti con uno di valore pari alla loro somma: CT = C2 + Co.
Si trasformerà ora il gruppo parallelo CT // Ro in uno equivalente serie.
L’impedenza complessiva del gruppo CT // Ro risulta:
1
JωCT
Zp =
1
Ro +
JωCT
Ro ⋅
Zp =
che con semplici passaggi algebrici diventa:
Ro
1 + ω Ro CT
2
2
2
1
+
JωCT ⋅ (
1 + ω 2 Ro 2 CT
ω 2 Ro 2 CT
2
2
)
Da questa espressione è possibile separare le due componenti ohmmica e capacitiva ottenendo:
Req =
Ro
1 + ω 2 Ro 2 CT
2
e poi
C eq = CT ⋅ (
1 + ω 2 Ro 2 CT
ω 2 Ro 2 CT
2
2
)
si osserva però che questi due componenti presentano una dipendenza dalla frequenza così definita:
per quel che riguarda il valore di Ceq si nota che per valori di frequenza sufficientemente alti
(maggiori di 10 KHZ) la capacità Ceq è costante e pari a 60pF e cioè ancora uguale a CT.
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pertanto la nuova frequenza di risonanza risulterà: fo =
1
2π L2 CT
= 4.58 MHz
a questa frequenza la resistenza Req presenterà un valore calcolabile per mezzo della relazione
precedente e dalla quale di ottiene Req = 0.333 ohm.
Con questo valore si ottiene un coefficiente di sovratensione Q pari a:
Q=
ωo L
= 108
R2 + Req
Il circuito equivalente risulta il seguente:
Si noti che la tensione di uscita non
coincide con quella sul condensatore Ceq
ma risulta modificata dalla caduta sulla
resistenza Req. In risonanza però il valore
di tale caduta di tensione è pari a 0.57 mV
ed è quindi certamente trascurabile.
Questi risultati ora coincidono con quelli sperimentali e si evidenziano i seguenti errori dovuti
all’inserzione dell’oscilloscopio:
fo
Q
Vout
Valore atteso
5.03 MHz
126
126 volt
Valore misurato
4.58 MHz
108
108 volt
Errore %
8.94%
14.2%.
14.2%
Si evidenzia così il classico problema dell’interazione tra il sistema di misura (oscilloscopio) ed il
sistema sotto misura (circuito risonante).
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15
Per analogia si consideri invece il progetto di un circuito risonante parallelo così composto:
R1 = R2 = 200 Kohm
L1 = L2 = 20 µH
C1 = C2 = 50 pF
I1 = I2 = 1 mA
C3 = 10 pF
R3 = 1 Mohm
Questo circuito sarà caratterizzato da una frequenza di risonanza fo e da un coefficiente di
sovratensione Q aventi valori:
fo =
1
2π L1C1
= 5.03 MHz e
Q = ω o C1 R1 = 316
al fine di verificare le specifiche di progetto, si collega sull’uscita un oscilloscopio caratterizzato da
una impedenza di ingresso di 1 Mohm con in parallelo 10 pF.
Il calcolo teorico e la misura sperimentale conducono però ai seguenti risultati:
come si può notare i due risultati non coincidono a causa dell’inserzione nel circuito
dell’oscilloscopio il quale determina i seguenti errori:
fo
Q
Vout
Valore atteso
5.03 MHz
316
200 volt
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Valore misurato
4.59 MHz
287
166 volt
Errore %
8.74%
9.1%.
17%
16
Si evidenzia anche ora il classico problema dell’interazione tra il sistema di misura (oscilloscopio)
ed il sistema sotto misura (circuito risonante).
I risultati sperimentalmente ottenuti potevano essere previsti da una più attenta analisi del sistema
complessivo infatti:
osservando il circuito si può subito notare che la capacità di ingresso dell’oscilloscopio C3 risulta in
parallelo a quella C2 del circuito sotto misura per cui la capacità complessiva sarà data da
CT = C3 + C2 = 60 pF
Analogamente, la resistenza R3 dell’oscilloscopio risulta in parallelo alla R2 del circuito sotto misura
per cui la resistenza complessiva sarà data da:
Req =
R3 ⋅ R2
= 166 Kohm
R3 ⋅ R2
In queste condizioni si ha quindi che:
fo 2 =
1
2π ⋅ L2 CT
= 4.59 MHz e Q = 2πfo 2 ⋅ CT ⋅ Req = 287 e infine Vout 2 = I 2
Q
= 166 volt
ω 02 ⋅ CT
Come si può notare, questi risultati coincidono apprezzabilmente con quelli rilevati
sperimentalmente.
Vale quindi forse il detto “non vi è miglior pratica di una buona teoria?”.
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APPENDICE
Si è visto in precedenza che in un circuito risonante serie la massima tensione sul condensatore (o
sull’induttanza) risulta legata al coefficiente di sovratensione dalla relazione:
VC = Q⋅Vi
in realtà questa relazione risulta approssimata in quanto la massima tensione sul condensatore
risulta in effetti essere:
V C = 1+ Q2 ⋅ V i
Verifica
Nel circuito risonante serie precedentemente esaminato si ha che:
V C = X C ⋅ Ii =
=
1 

Rs +  ωL −

ωC 

2
=
2
Vi
2L
1 
 2
+ 2 2
ω C ⋅  Rs + ω 2 L2 −
C ω C 

Vi
2
=
Vi
1
⋅
ωC
=
2
(
)
2
ω 2 C 2 ⋅ Rs + ω 2 L2 − 2ω 2 LC + 1
Si consideri ora la tensione Vc come una funzione di C e verrà ricercato quel valore di C per il quale
la funzione assume il suo valore massimo.
Questo valore sarà determinato ricercando il minimo valore assunto dal denominatore.
(
)
2
f (C ) = ω 2 C 2 ⋅ Rs + ω 2 L2 − 2ω 2 LC + 1
Il minimo valore di questa funzione si determina imponendo l’annullamento della derivata prima:
d
2
f (C ) = 2ω 2 C ( Rs + ω 2 L2 ) − 2ω 2 L = 0
dC
da cui il valore di C che massimizza la tensione di uscita risulta:
Co =
2 Lω 2
2
2ω ⋅ ( Rs + ω L )
2
2
2
=
L
2
Rs + ω 2 L2
Il minimo valore assunto dalla funzione f(C) risulta:
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L2
f (Co) = ω 2
2
L
2
( Rs + ω L )
2
2 2
⋅ ( Rs + ω 2 L2 ) − 2ω 2 L
2
Rs + ω 2 L2
+1
semplificando il tutto si ottiene:
f (Co) =
Rs
2
2
Rs + ω 2 L2
Sostituendo questo valore nell’espressione di Vc si ottiene il suo valore massimo:
Vi
V C max =
Rs
2
2
= Vi ⋅
Rs + ω 2 L2
Rs
2
= V i ⋅ 1+
ω 2 L2
Rs
2
= V i ⋅ 1+ Q2
2
Rs + ω 2 L2
Il motivo di questa discordanza risiede nel fatto che, tenendo costanti f , L e Vi e variando C, si ha
che il massimo valore di Vc non si ha in corrispondenza del valore di C che soddisfa la condizione
di risonanza ω2LC = 1 ma per un valore Co leggermente più piccolo.
Esempio numerico:
si consideri un circuito risonante serie così caratterizzato:
L = 10-6 H
R = 10 ohm f = 10+7 Hz
In queste condizioni si ha che:
C=
1
ω L
2
= 2.533 ⋅ 10 −10 F frequenza di risonanza e Q =
ωL
= 6.283 coefficiente di sovratensione
R
dallo studio grafico della funzione f(C) si ottiene il seguente risultato:
Si può notare che la funzione f(C)
presente in effetti un minimo in
corrispondenza del valore
Co = 2.470 10-10 Farad
e di conseguenza un massimo nel
picco di risonanza.
Come predetto, questo massimo si ha
in corrispondenza di un valore ci C
leggermente inferiore a rispetto a
quello che determina la risonanza.
Si ha quindi che:
Capacità che determina il valore massimo = 2.470 10-10 Farad
Capacità che determina la frequenza di risonanza = 2.533 10-10 Farad
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