Una metodologia collaborativa per l`insegnamento della matematica

Una metodologia collaborativa per l’insegnamento della
matematica in ambiente elearning
Adriana Gnudi, Università degli Studi di Bergamo
Sommario
In questo lavoro si descrive una proposta metodologica relativa
all’utilizzo dell’elearning per la didattica della Matematica. La
proposta nasce dall’idea di strutturare i contenuti secondo uno
schema che permette di integrare gli aspetti teorico-formali con quelli
applicativi. I materiali che il docente propone possono essere
organizzati dallo studente secondo il proprio stile. Lo studente,
attraverso la modifica dei materiali proposti e l’interazione con il
docente, si impadronisce dei concetti matematici facendo qualcosa di
molto diverso dal semplice “fare esercizio”.
Nel lavoro si presenta inoltre una prima sperimentazione della
metodologia in un corso di Matematica del secondo anno della
Facoltà di Economia di Bergamo e un’ipotesi di integrazione di una
funzionalità collaborativa per il trattamento di testi matematici
facilmente utilizzabile per la didattica.
1. Introduzione
La didattica della matematica in tutti gli ordini di istruzione deve affrontare
problematiche sempre più accentuate relativamente alla scarsa accettazione
della materia da parte degli studenti e un conseguente abbassamento della
qualità delle conoscenze e abilità.
Sempre più frequentemente il docente si trova a lavorare con studenti poco
interessati agli aspetti teorici delle discipline matematiche. Nei curricula di
Economia i corsi di matematica vengono visti come propedeutici alle discipline
economiche e statistiche e la dimensione più propriamente teorica dei concetti
è spesso considerata dagli studenti come una sovrastruttura difficilmente
memorizzabile e assimilabile. Il docente si trova a dover motivare gli argomenti
proposti più sulla base delle loro applicazioni che della loro valenza
concettuale; questo, di fatto, ne riduce le potenzialità formative portando a una
comprensione superficiale dei concetti.
Tutto ciò contrasta con la profonda convinzione, che tutti noi docenti di
matematica abbiamo, che la nostra disciplina è da valorizzare non solo per gli
aspetti applicativi e strumentali ma anche, e soprattutto, per la sua dimensione
estetica fondante, per la sua capacità di descrivere i concetti, di fornire un
linguaggio preciso, di esplicitare i processi logici e di formare alla ricerca.
E’ inoltre da sottolineare l’importanza di una formazione universitaria che non
sia separata dalla ricerca ma che veda l’atteggiamento alla ricerca come
elemento essenziale sia per una reale comprensione sia per una crescita dei
talenti, obiettivo, questo, specifico degli studi universitari.
Queste ed altre riflessioni ci hanno portato a percorrere nuove strade lungo le
quali la didattica in aula si è incrociata con esperienze molto significative di
didattica in rete [1].
In alcuni corsi elearning associati alla didattica in aula è già presente l’utilizzo
del forum per proporre un quesito invitando gli studenti a partecipare dando
una loro risposta argomentata [2]. Gli studenti hanno un lasso di tempo per
rispondere al quesito e dibattere le diverse proposte. Questo processo porta lo
studente ad essere attivo nella ricerca della soluzione di un problema
facendogli apprendere gli strumenti matematici necessari e, nello stesso
tempo, lo lascia libero di lavorare secondo i tempi e i modi che gli sono più
congeniali. Inoltre il processo è assolutamente indipendente, per un certo
tempo, dall’attività in aula e quindi si ha una gradualità nella maturazione della
soluzione. Un percorso di questo tipo, difficilmente realizzabile con un’attività
tradizionale, porta gli studenti a maturare la comprensione di concetti in modo
graduale permettendo una migliore assimilazione dei contenuti anche
attraverso una interazione meno formale [3, 4, 5].
Si è osservato come, in questo tipo di attività, i processi siano assolutamente
personali e quindi difficilmente si prestino ad una condivisione. In particolare, è
stato possibile osservare come la ricerca della risposta ad un quesito porti a
uno scambio fra studente e docente senza che gli altri studenti si intromettano.
Si può dire che, nel momento in cui lo studente costruisce una risposta con
aggiustamenti e correzioni, non sente l’esigenza di una collaborazione in
quanto il gusto è nella conquista di una soluzione che rispecchi il proprio
personale approccio al problema.
Riteniamo d’altro canto che, proprio in un’ottica di educazione alla ricerca, sia
importante anche proporre nell’ambito dell’elearning un tipo di attività che
promuova una dimensione collaborativa nell’apprendimento della matematica.
Negli ultimi tempi il concetto di costruzione dinamica di contenuti si sta
rapidamente diffondendo grazie alla presenza in rete di siti “wiki” che non solo
rispondono alle esigenze di informazione ma sembrano rispondere bene anche
a quelle di formazione [6]. Si sta verificando un processo di “simmetrizzazione
di autori e consumatori di contenuti” [7] per cui i contenuti sono dinamicamente
modificati in funzione dell’utilizzo che ne viene fatto e delle esigenze dei
“consumatori”. Nella Sezione 2 proporremo una metodologia che si può dire
un’applicazione della “filosofia” wiki per la didattica, nella Sezione 3 la
descrizione della sperimentazione, nella Sezione 4 alcuni aspetti implementativi
e nella Sezione 5 le conclusioni.
2. La metodologia didattica
Come già detto l’obiettivo che ci si pone è una armonizzazione nella didattica
della matematica degli aspetti teorico-formali con quelli applicativi. Nella pratica
didattica spesso si ritiene che ci sia una sorta di primato o dell’uno o dell’altro
aspetto, questo porta gli studenti a ritenere che la comprensione di un concetto
matematico sia un fatto “magico”. Non si vuole qui approfondire questa
problematica da un punto di vista epistemologico, si vuole solo porre l’accento
sull’esigenza di esplicitare come la comprensione di un concetto sia legata alla
sua rappresentazione anche se tale rappresentazione esula dall’ambito
strettamente matematico. Punto di partenza per la metodologia è stata la
riflessione che l’applicazione dei concetti matematici alla risoluzione di un
problema è essenziale non solo per aiutare lo studente a collocare lo strumento
matematico nei vari contesti disciplinari ma anche per il processo di
assimilazione che è alla base di una comprensione reale.
In particolare si è osservato che nello studio delle materie economiche,
statistiche e finanziarie gli studenti utilizzano i concetti matematici già
contestualizzati senza poterne apprezzare pienamente la specificità. Si può
verificare quindi una situazione paradossale per cui lo stesso concetto viene
applicato più volte in diversi contesti senza che lo studente si renda conto di
ciò. E’ evidente la difficoltà alla comprensione che ne deriva; tale difficoltà può
portare lo studente a ritenere superflua una trattazione teorica dei concetti
matematici e quindi a studiare in modo mnemonico e poco attivo.
La metodologica che qui si propone è basata su uno schema per la
presentazione dei contenuti che permette di integrare gli aspetti teorici con
quelli applicativi. Lo schema, tenendo distinti i due aspetti, descrive un possibile
percorso di comprensione. In questo contesto non si intende entrare nel
dettaglio dei contenuti proposti nelle diverse fasi, si propone solamente una
metodologia con qualche esempio esplicativo.
Lo schema si basa su cinque fasi o passaggi:
1. Presentazione di un problema rispetto al quale il concetto ha una rilevanza
applicativa.
Il problema da cui si parte deve essere scelto in modo che sia
sufficientemente generale da richiedere uno strumento innovativo che può
essere applicato a problemi simili.
2. Enunciazione di definizioni e/o proprietà relative ai concetti che sono
oggetto dell’azione didattica.
3. Presentazione di esempi di applicazione dei concetti e/o attività nelle quali,
anche utilizzando strumenti di calcolo automatico come Excel, Derive, ecc.,
si propone agli studenti di “giocare” con i concetti per capire di cosa si sta
parlando. In questa fase si pongono le basi per una comprensione reale e si
favorisce l’approccio personale al concetto.
4. Trattazione da un punto di vista logico-formale attraverso la dimostrazione
dei teoremi e l’introduzione di corollari che siano rilevanti rispetto alla
risoluzione del problema.
In questa fase lo studente viene portato a riflettere sul significato logicoformale della dimostrazione e sulla sua necessità per un valore generale
delle proprietà enunciate al punto 2.
La scelta delle dimostrazioni da presentare deve ispirarsi allo scopo di
favorire la comprensione del concetto e delle sue proprietà, vanno evitate
dimostrazioni troppo tecniche che non abbiano particolare valore formativo.
5. Applicazione dei concetti matematici e delle loro proprietà al problema
proposto al passo 1. Nel momento in cui si propone la soluzione del
problema si “chiude il cerchio” ma si possono aprire nuovi problemi di cui
ricercare la soluzione.
I contenuti, organizzati secondo lo schema descritto, vengono pubblicati
nell’ambiente elearning e, per permetterne una più agile lettura, le diverse fasi
sono evidenziate graficamente in modo che queste siano ben individuate in 5
blocchi di testo. Il formato dei testi è editabile in modo da consentirne una
riorganizzazione da parte degli studenti, per esempio per tipologia di
argomento: Problema-Applicazione, Enunciati-Logica, Realizzazione.
Successivamente gli studenti intervengono sui testi; in questo modo i contenuti
vengono personalizzati e lo studente può costruirsi i propri appunti, metterli in
comune e intavolare una discussione con il docente o con i compagni.
3. La sperimentazione
Lo schema proposto, Problema-Enunciati-Realizzazione-Logica-Applicazione,
che in seguito chiameremo P.E.R.L.A., è stato sperimentato in un corso su
Algebra Lineare e Funzioni a più variabili del secondo anno di alcuni corsi di
laurea della facoltà di Economia. Il corso si è svolto in modalità mista con una
forte componente di lezioni in presenza e una parte di attività in elearning.
La sperimentazione è consistita nel mettere a disposizione degli studenti in
ambiente elearning, man mano che il corso si sviluppava in aula, i materiali
strutturati secondo lo schema P.E.R.L.A. I documenti sono stati pubblicati in
formato .doc per permettere agli studenti di lavorare sui testi riorganizzandoli
e/o introducendo gli appunti presi durante le lezioni.
Qui di seguito riportiamo un esempio di testo con i diversi blocchi evidenziati
graficamente.
Problema (in blu)
Si considera un'impresa che produce un certo bene impiegando n fattori produttivi, si vuole
rappresentare la funzione di produzione che assegna ad ogni combinazione di fattori di
produzione il massimo prodotto.
In generale si dice funzione una corrispondenza univoca fra X detto dominio e Y detto
codominio si indica così:
f : X →Y
• Funzioni da R a R
n
In particolare se si sceglie come dominio un insieme X ⊆ R e come codominio
l'insieme R, si avrà una funzione reale a più variabili reali che si indica così:
n
f : X ⊆ R n → R ossia f ( x) ∈ R con x ∈ R n
Esempio (in rosso)
f ( x ) = x12 x 2 x3 è una funzione reale f : R 3 → R per cui
f ( x1 ,3,4 ) = 6 x12 , f (3, x 2 ,4 ) = 18 x 2 , f (2,3, x3 ) = 12 x3 .
Facendo variare una sola variabile, per esempio x1 e tenendo costanti le altre (n-1)
*
*
componenti con valore x 2 , K , x n , la funzione diventa una funzione reale di una sola
variabile reale:
Applicazione (in blu)
Le quantità degli n
x1 a f ( x1 , x2* K, xn* )
fattori
produttivi
impiegati
dall’azienda,
qi ≥ 0, i = 1,K, n e costituiscono un vettore q = [qi ]∈ R .
sono
indicate
con
n
Si possono avere più combinazioni di fattori xi per ognuna delle quali la funzione di
produzione è y = P ( q1 ,K, qn ) = f ( q ) ∈ R .
La funzione di produzione è quindi una funzione reale a più variabili reali.
Facendo variare un solo fattore, per esempio x1 e tenendo fissi gli altri (n-1) fattori q 2 , K , q n ,
*
*
la funzione di produzione diventa una funzione di una sola variabile: q1 a P (q1 , q 2 K , q n ) .
Questa rappresentazione viene utilizzata nello studio delle decisioni di BREVE PERIODO
mentre, se tutti i fattori possono variare si parla di decisioni di LUNGO PERIODO.
La pubblicazione dei contenuti in formato editabile risponde allo scopo di
attivare una dimensione realmente collaborativa mediante la condivisione del
lavoro personale sui testi.
E’ qui importante sottolineare come questo aspetto collaborativo sia
particolarmente interessante nell’ambito dello studio della matematica dove,
come si è già osservato, i processi sono assolutamente personali e quindi
difficilmente si prestano ad una condivisione. In questo caso, invece, la
dimensione collaborativa si è manifestata in modo molto esplicito. Gli studenti
hanno potuto utilizzare i materiali pubblicati per organizzare in modo personale
i contenuti delle lezioni introducendo le loro integrazioni elaborate partendo
dagli stimoli e dalle discussioni svoltesi in aula.
Man mano che proseguiva il corso alcuni studenti, seguendo il consiglio del
docente, hanno inserito le integrazioni e le hanno pubblicate nel forum. In
questo modo è stato possibile tenere traccia del contenuto delle lezioni
realmente svolte in aula e si è permesso agli altri studenti di controllare i loro
appunti o, se assenti alle lezioni, di avere un ulteriore aiuto per lo studio
individuale.
Il docente si è limitato a controllare i materiali pubblicati dagli studenti facendo
le osservazioni necessarie. A volte è successo che questa revisione abbia
suggerito al docente di fare alcune precisazioni in aula e/o nel forum.
Il risultato della sperimentazione è stato incoraggiante perché gli studenti
hanno apprezzato sia l’idea che la qualità dei contributi e si è venuta creando
una reale dimensione collaborativa.
Per esempio una studentessa ha inserito gli appunti presi a lezione
differenziandoli con colore diverso (verde) dal testo pubblicato dal docente. In
questo modo ha inserito un livello di presentazione dei contenuti rispondente
alle esigenze di una lettura più informale. Riportiamo due
esempi di
integrazioni che rispecchiano il carattere informale ma particolarmente
espressivo delle note inserite dagli studenti.
Definizione 4.1
Siano A, B : matrici quadrate di ordine n (cioè una matrice nxn)
Se ∃S n×n , det S ≠ 0 : A = SBS −1 si dice che A è simile a B (A~B).
non singolare,cioè esiste S-1
Esempio 4.1
⎡1 1 ⎤
⎡ − 1 0⎤
⎡ 0 1⎤
A=⎢
e B=⎢
sono simili; infatti, data la matrice S = ⎢
⎥
⎥
⎥ , la sua
⎣0 − 1⎦
⎣− 1 1⎦
⎣ − 1 0⎦
⎡0 − 1⎤
SB
matrice inversa è S −1 = ⎢
⎥ e si ha:
1
0
⎣
⎦
⎡ 0 1⎤ ⎡− 1 0⎤ ⎡0 − 1⎤ ⎡− 1 1⎤ ⎡0 − 1⎤ ⎡1 1 ⎤
SBS −1 = ⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥=⎢
⎥⎢
⎥=⎢
⎥ = A ⇒ A e B sono
⎣− 1 0⎦ ⎣− 1 1⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣0 − 1⎦
simili, A~B
Esempio 1
(x1 − x2 )(x1 + x2 ) > 0
metto insieme i grafici e
moltiplico i segni trovati!
Esempio 2
Questo tipo di integrazione dei contenuti è risultata molto utile anche agli
studenti non frequentanti perché, come espresso da alcuni studenti nel forum, li
ha aiutati ad affrontare i contenuti più ostici.
Nel corso delle quattro settimane di lezione è stato inoltre rilevato un aumento
della capacità degli studenti di utilizzare strumenti informatici per editare testi
matematici, obiettivo che, pur non essendo specifico del corso in esame, si può
considerare tra i fondamentali in un corso di laurea in Economia.
4. Aspetti implementativi
Per la sperimentazione è stato utilizzato il sistema QuickPlace. Si tratta di un
sistema per attività collaborative in rete che, pur non essendo una vera e
propria piattaforma per l’elearning, offre notevoli possibilità proprio per la
realizzazione di una didattica basata sulla collaborazione. In un ambiente
collaborativi di questo tipo si può creare una situazione tra pari per docente e
studenti nella quale i contenuti sono un comune oggetto su cui intervenire.
Nella sperimentazione il docente ha inserito i documenti come allegati a pagine
Quickplace, gli studenti hanno scaricato gli allegati e, dopo averli modificati sul
proprio PC, le hanno inserite in nuove pagine del forum. E’ tuttavia possibile
strutturare le caratteristiche di ambiente collaborativo di Quickplace in modo
che lo studente possa editare direttamente i testi in formato doc. Per esempio è
possibile importare il file doc contenente il testo dell’esempio (Figura 1).
Figura 1
Una volta pubblicata, la pagina compare come in Figura 2.
Figura 2
Dando agli studenti una adeguata policy di accesso al corso, gli si può
consentire di editare il testo inserendo la propria versione nel flusso di lavoro
con revisori multipli o con flusso con percorso predefinito.
Questa soluzione richiede di dare agli studenti un livello più alto di accesso,
cosa fattibile con piccoli numeri di studenti.
5. Conclusioni
La sperimentazione del metodo è stata molto soddisfacente e ha fatto nascere
l’esigenza di potenziare l’ambiente elearning configurandolo come strumento
che permetta di realizzare la fase di modifica e riorganizzazione dei contenuti in
modo integrato.
Questo potrebbe consentire allo studente di editare i diversi blocchi di testo
relativi allo schema P.E.R.L.A. direttamente in QuickPlace intervenendo sulla
struttura del testo in modo più flessibile e immediato.
C’è infine da segnalare come la metodologia proposta sia nata nell’ambito di
una ricerca condotta con la collaborazione di alcuni studenti che, avendo
partecipato a sperimentazioni precedenti, hanno potuto avere un ruolo
propositivo nella progettazione e nella realizzazione dei materiali didattici.
Questo aspetto, oltre a costituire un elemento essenziale del progetto nell’ottica
di una formazione alla ricerca e di una valorizzazione dei talenti, ha anche
permesso di adeguare i contenuti alle conoscenze reali degli studenti.
6. Bibliografia
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