Matematica e Fisica: un amore senza tempo

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Matematica e Fisica: il pensiero comune (ahimè)
La Matematica e la Fisica sono:
Andrea Tirelli
• difficili
London School of Geometry and Number Theory
University College London
• noiose
8 Aprile 2016
• causa degli esami a Settembre
• inutili
Andrea Tirelli
London School of Geometry and Number Theory University College London
Andrea Tirelli
Matematica e Fisica: dove sono?
Quindi...
Questa chiaccherata potrebbe avvenire senza Matematica e Fisica?
Abbiamo bisogno di:
La Matematica e la Fisica sono importanti e sono OVUNQUE!
• elettricità: equazioni di Maxwell;
• computer: macchina di Turing;
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
Non solo puro raziocinio
Uno sguardo più attento
“[. . . ] ho detto per lungo tempo che possiamo arrivare alle nostre
ipotesi in tutti i modi. Possiamo pervenirvi senz’altro direttamente,
oppure sognandole, o bevendo caffè o whisky (io non faccio cosı̀).
E possiamo anche arrivare ad esse “per induzione”, se con ciò
intendiamo il vedere molte ripetizioni di taluni eventi.”
Mettiamo a confronto:
K. Popper, Congetture e confutazioni, Il Mulino, Bologna 1972.
• il metodo sperimentale.
Andrea Tirelli
• il metodo assiomatico della Matematica,
Andrea Tirelli
Il metodo assiomatico
Un esempio concreto
Il gioco della briscola come sistema assiomatico:
Gli ingredienti fondamentali del metodo assiomatico sono:
• concetti primitivi: “seme” e “valore” di una carta (e.g. asso di
coppe);
• i concetti primitivi,
• assiomi: le regole del gioco, che precisano l’uso dei concetti
primitivi (e.g. la carta di briscola prende qualsiasi carta di un altro
seme).
• gli assiomi,
• la logica, con la quale deduciamo i teoremi.
Andrea Tirelli
NB: gli assiomi non devono essere necessariamente “veri” ma solo
condivisi.
Andrea Tirelli
Un esempio astratto
Un esempio astratto: i numeri naturali
Domanda: cosa è un numero?
Giuseppe Peano, in Formulaire de mathmatiques, assiomatizza i
numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, . . . }:
Riusciamo a pensare ad esempi di numeri.
• concetti primitivi: “numero”, “zero”, “successivo”.
• assiomi:
Possibile risposta: “numero” è un concetto primitivo di un
qualche sistema assiomatico.
1. Zero è un numero;
2. Se a è un numero, anche il suo successivo è un numero;
3. . . .
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
Altri esempi
Il metodo sperimentale
Il metodo sperimentale si compone di due fasi:
David Hilbert, I fondamenti della geometria
1. fase induttiva;
Le geometrie non euclidee, Lobachevsky, Bolyai, Gauss.
NB: induttivo = dal particolare al generale, deduttivo = dal
generale al particolare.
Ogni teoria matematica!
Andrea Tirelli
2. fase deduttiva.
Andrea Tirelli
Il metodo sperimentale
Un esempio: Galileo e la caduta dei gravi
Fase induttiva:
1. Osservazione del fenomeno
2. Formulazione dell’ipotesi
Fase deduttiva:
3. Verifica dell’ipotesi
“[. . . ] Ma io, signor Simplicio, che n’ho fatto prova, vi assicuro che
una palla di artiglieria, che pesi cento, dugento e anco pi libbre,
non anticiper d’un palmo solamente l’arrivo in terra della palla
d’un moschetto, che ne pesi una mezza, venendo anco dall’altezza
di dugento braccia... Ia maggiore anticipa due dita la minore, cio
che quando la grande percuote la terra, I’altra ne lontana due
dita. [. . . ]”
Galileo Galilei, Discorsi e Dimostrazioni matematiche attorno a due
nuove scienze attinenti alla Meccanica e i Movimenti Locali, 1638.
4. Formulazione della teoria
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
Un esempio: Galileo e la caduta dei gravi
Due metodi a confronto
Applichiamo il paradigma del metodo scientifico:
1. osserviamo che due corpi di peso diverso fatti cadere dalla
stessa altezza toccano il suolo quasi nello stesso momento;
2. ipotizziamo: il tempo che un corpo impiega per toccare il
suolonon dipende dal peso (nel vuoto);
Una teoria fisica è vera fintanto che non troviamo un
controesempio.
Una teoria matematica non necessita di “esperimenti”.
Una teoria fisica riguarda la realtà che ci circonda.
Una teoria matematica è pura astrazione.
3. verifica: saliamo sulla torre di Pisa e ripetiamo l’esperimento;
4. formuliamo la teoria.
Gli strumenti del mestiere del fisico sono: laboratori, acceleratori di
particelle, etc.
Gli strumenti del mestiere del matematico sono: carta e penna.
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
È davvero amore?
È amore!
Abbiamo troppi testimoni per affermare il contrario:
La matematica vista da un fisico: è solo uno strumento.
1. la cinemtatica ed il calcolo differenziale
2. la Relatività generale e la geometria riemanniana
La fisica vista da un matematico: è solo un’applicazione.
3. la teoria delle stringhe e le geometria enumerativa
NB: questa lista potrebbe essere interminabilmente lunga!
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
Perchè?
Dalla teoria alla pratica
• Per formulare una teoria serve un modello matematico: ci sono
gli strumenti per costruirlo?
• La teoria matematica come linguaggio per capire l’esperimento e
formulare una congettura fisica
• L’approccio e le argomentazioni fisiche come spunto creativo per
risolvere un problema matematico
Andrea Tirelli
Cerchiamo di vedere negli esempi 1., 2. e 3. sopracitati come
queste interazioni di manifestano.
Disclaimer: 1., 2. e 3. sono in ordine crescente di difficoltà.
Andrea Tirelli
La cinematica ed il calcolo differenziale
Vogliamo studiare il moto di un punto materiale su una linea retta
Vogliamo sapere, in funzione del tempo t, quanto valgono lo
spostamento s(t) e la velocità v (t)
So misurare tempo e spostamento, ma come faccio con la velocità?
Problema: in che relazione stanno s(t) e v (t)?
Andrea Tirelli
Che cosa è la velocità?
Nell’intervallo di tempo ∆t = t1 − t0 che va dal tempo t0 e t1
misuro uno spostamento ∆s = s(t1 ) − s(t0 )
Tentativo: il rapporto tra lo spazio percorso ed il tempo
impiegato a percorrerlo
∆s
vm =
∆t
In realtà questa è la velocità media!
Andrea Tirelli
Un nuovo strumento: la derivata
Il problema della gravitazione e la geometria di Riemann
Idea: se t0 e t1 sono abbastanza vicini, ottengo un’informazione
più precisa
Tengo t0 fissato e considero t1 sempre più vicino a t0 .
In gergo matematico, faccio tendere t1 a t0 , t1 → t0
Ottengo la velocità istantanea:
v (t0 ) = lim
∆s(t1 )
− t0
t1 →t0 t1
“[In 1912] I suddenly realized that Gauss’s theory of surfaces holds
the key for unlocking this mystery. I realized that Gauss’s surface
coordinates had a profound significance. [. . . ] I realized that the
foundations of geometry have physical significance. [. . . ] So I
asked my friend whether my problem could be solved by Riemann’s
theory, namely, whether the invariants of the line element could
completely determine the quantities I had been looking for.”
Abraham Pais, Subtle is the Lord.
Parole chiave: calcolo differenziale, derivate, analisi matematica
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
Dal moto rettilineo allo spazio-tempo
La Relatività Generale in un’immagine
L’universo è quadridimensionale: tre dimensioni per lo spazio, una
per il tempo
Il tempo non è più una grandezza indipendente dallo spazio!
Einstein immaginò lo spazio-tempo come un’oggetto geometrico,
la cui curvatura è determinata dalla massa e dall’energia
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
La matematica risolve il mistero
Quante dimensioni ha l’Universo?
Einstein non formulò la sua teoria sulla base di dati sperimentali
Quando diciamo che lo spazio ha tre dimensioni, cosa intendiamo?
Dovette studiare i concetti della geometria Riemanniana: i tensori,
le metriche, la curvatura, il trasporto parallelo, le geodetiche...
Il umero di dimensioni è dato da quanti numeri dobbiamo usare per
descrivere completamente un oggetto nello spazio
Anche il tempo è una dimensione! (Einstiein e lo spazio-tempo)
Il fondamento teorico, l’idea, provenivano dalla matematica!
Spazio e tempo sono parte di un unico lenzuolo che si piega e si
curva in base alla distribuzione della materia e dell’energia.
Parole chiave: geometria differenziale, metriche riemanniane,
tensore di Ricci
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
Perchè avere più dimensioni?
Lo spazio-tempo 10-D in un’immagine
Obiettivo: una singola teoria che spieghi tutte le quattro forze
fondamentali come casi particolari
Una possible proposta: teoria delle Stringhe
1. le particelle elementari non sono puntiformi ma delle stringhe
(elastici)
2. spazio-tempo composto da 10 dimensioni
Quattro le sappiamo. Le altre sono talmente piccole che non le
possaimo percepire
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli
Lo spazio-tempo 10-D in formule
Una varietà di Calabi-Yau
Un possibile modello dell’universo è dato da
R3,1 × X
dove X è una varietà di Calabi-Yau compatta di dimensione 6
le stringhe sono curve C in X e sapere quante sono e come si
deformano è fondalmentale
contare curve è uno degli argomenti centrali della geometria
enumerativa
fisici che fanno dimostrazioni matematiche!
Grazie per l’attenzione!
Lettura interessante: The shape of the inner space, Shing-Tung
Yau.
Andrea Tirelli
Andrea Tirelli

Matematica e Fisica: un amore senza tempo

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