Decomposizione in frazioni semplici e applicazioni all`integrazione

Decomposizione in frazioni semplici e applicazioni
all’integrazione delle funzioni razionali fratte
A cura di Simone Secchi
13 gennaio 2005
Sommario
Questa dispensa vuole fornire un supporto scritto ad alcuni argomenti trattati durante le esercitazioni. In particolare, enunciamo i teoremi che vengono
tacitamente usati nella pratica. Ciò non significa, in alcun modo, che lo studente debba saper ripetere tali enunciati in sede d’esame. Tuttavia, è richiesta
la capacità di mettere in pratica la teoria, com’è ovvio. Ogni riferimento bibliografico è stato volutamente evitato, e pertanto gli eventuali errori
tipografici o sviste vanno addebitati esclusivamente all’autore della dispensa.
1
Decomposizione di una funzione razionale fratta
Definizione 1. Una funzione reale f , di variabile reale, è detta funzione razionale
fratta quando si può scrivere nella forma
f (x) =
P (x)
,
Q(x)
(1)
dove P e Q sono due polinomi nella variabile x, di gradi rispettivamente deg P e
deg Q. Se Q−1 (0) = {x ∈ R | Q(x) = 0} è l’insieme degli zeri del polinomio Q,
allora f : R \ Q−1 (0) → R.
Esempio 1. Le seguenti funzioni sono razionali fratte:
1. f (x) =
1
x
2. f (x) =
1−x
1+x2
3. f (x) =
x5 −7x9
1+πx4
Per i nostri scopi, conviene osservare che ci si può ricondurre al caso di una
funzione razionale in cui il grado del numeratore sia strettamente minore del grado
del denominatore. È il contenuto del seguente teorema; la dimostrazione si basa sulla
cosiddetta proprietà del minimo per l’insieme N dei numeri naturali, ed è pertinenza
di studi algebrici più approfonditi.
1
Teorema 1 (Divisione euclidea). Siano P e Q due polinomi, di gradi rispettivi
deg P e deg Q, con deg P ≥ deg Q. Esistono due polinomi S e R, tali che il grado
di R sia minore di deg Q, e inoltre
P (x) = S(x)Q(x) + R(x).
Tali polinomi sono univocamente determinati. Si usa chiamare S il quoziente di P
e Q, mentre R si chiama resto della divisione fra P e Q.
Non cercheremo in questa dispensa di spiegare l’algoritmo con cui si effettua in
pratica la divisione fra polinomi. Essendo una tecnica tipicamente insegnata nel
biennio delle scuole superiori, la supponiamo senz’altro nota allo studente.
Useremo poi, più o meno eplicitamente, il seguente risultato, noto come teorema
fondamentale dell’algebra. Naturalmente, la dimostrazione è omessa.
Teorema 2. Ogni polinomio P a coefficienti reali, di grado n, possiede esattamente
n radici, ciascuna contata con la propria molteplicità.
Osservazione 1. Una precisazione sull’enunciato. È necessario contare le radici
tenendo conto della molteplicità. Ad esempio, x2 − 1 è un polinomio di grado due,
dotato di due radici (±1, ovviamente). Anche x2 − 2x + 1 è un polinomio di grado
due, dotato di una radice doppia x = 1, giacché x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 . In altri
termini, x = 1 è una radice del nostro polinomio, e la sua molteplicità è due.
Corollario 1. Se due polinomi
P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an
Q(x) = b0 xn + b1 xn−1 + . . . + bn
dello stesso grando n coincidono in ogni punto:
per ogni x ∈ R,
P (x) = Q(x)
allora
aj = b j ,
j = 0, 1, . . . , n.
Sulla scorta del Teorema 1, possiamo restringere d’ora in avanti la nostra attenzione a quelle funzioni razionali fratte che si presentano come rapporto fra un
numeratore di un certo grado, ed un denominatore di grado strettamente minore di
quello del numeratore. Infatti, se f = P/Q, allora
f =S+
R
,
Q
dove S e R sono determinati come nel teorema euclideo. Ma sappiamo dalla tesi
di tale teorema, che il grado di R è minore del grado di Q, sicché R si può sempre
scrivere come somma di un polinomio S e di una funzione razionale fratta del tipo
R/Q.
2
Esempio 2. Consideriamo la funzione razione fratta:
R(x) =
x2
1
.
−1
Si tratta di una funzione razionale fratta in cui il denominatore è un polinomio di
grado deg Q = 2. Sarebbe comodo, per certi versi, poter riscrivere R come somma
di funzioni razionali “più banali”, ad esempio aventi a denominatore dei polinomi di
grado uno. Nel caso specifico, se osserviamo che x2 − 1 = (x − 1)(x + 2) e cerchiamo
due numeri A e B reali tali che
x2
A
B
1
=
+
,
−1
x−1 x+1
(2)
facendo il denominatore comune e semplificando i denominatori, arriviamo alla
relazione
A(x + 1) + B(x − 1) = 1
che deve vale per ogni x. Più esplicitamente,
(A + B)x + A − B = 1.
Siccome questa relazione deve valere per ogni x, il coefficiente della x deve essere
nullo, mentre il termine noto deve essere 1. In breve, abbiamo il sistema, nelle
incognite A e B:
(
A+B =0
A−B =1
L’unica soluzione di tale sistema è A = 1/2, B = −1/2. Infine,
R(x) =
1 1
1 1
−
.
2x−1 2x+1
Ricapitoliamo schematicamente:
• Abbiamo trovato le radici del polinomio a denominatore;
• abbiamo congetturato che si potesse scrivere una identità come (2);
• abbiamo determinato le costanti A e B uguagliando i coefficienti e risolvendo
un sistema lineare di due equazioni in due incognite.
Questo approccio, in realtà, ha portata piuttosto generale, potendosi applicare
in una quantità di casi molto ampia. A puro scopo di curiosità, riportiamo senza dimostrazione l’enunciato dei teoremi che giustificano gli escamotages utilizzati
nella pratica. Le dimostrazioni, qui omesse, richiederebbero ragionamenti piuttosto
astratti di algebra dei polinomi. Sarebbe possibile – e forse preferibile – ambientare
questa teoria nella cosiddetta Analisi Complessa, sebbene gli strumenti necessari
diventino molto raffinati.
3
Teorema 3. Sia Q un polinomio di grado n ≥ 1. Si possono determinare in modo
unico r + 2s numeri reali a1 , . . . , ar , p1 , . . . , ps , q1 , . . . , qs , tali che p2j − 4qj < 0 per
j = 1, . . . , s, e r + s numeri interi positivi m1 , . . . , mr , n1 , . . . , ns , e una costante
reale c tali che:
Q(x) = c(x − a1 )m1 · · · (x − ar )mr (x2 + p1 x + q1 )n1 · · · (x2 + ps x + qs )ns .
(3)
Lo studente rifletta brevemente sul significato del teorema precedente: nei fatti,
il polinomio Q si fattorizza come prodotto di polinomi lineari elevati a opportune
potenze, e in prodotti di polinomi di secondo grado privi di radici reali, anch’essi
elevati a opportune potenze.
Esempio 3. Come abbiamo visto, x2 − 1 = 1(x − 1)1 (x + 1)1 . Similmente x3 + x =
1 · x(x2 + 1)1 .
Teorema 4 (Decomposizione in frazioni semplici). Siano P e Q due polinomi,
con il grado di Q maggiore o uguale a uno, e supponiamo che Q ammetta la fattorizzazione (3). Si possono univocamente determinare costanti reali Kjii , Lh`n , M`hn ,
(i = 1, . . . , r; ji = 1, . . . , mi ; h = 1, . . . , s; `h = 1, . . . , nh ) e un polinomio S tali che
n
mi
s X
r X
h
X
X
Lh`h x + M`hh
Kji1
P (x)
+
.
= S(x) +
Q(x)
(x − ai )mi −ji +1 h=1 ` =1 (x2 + ph + qh )nh −`h +1
i=1 j =1
i
2
h
Il caso del denominatore di grado 2
Il teorema di decomposizione in frazioni semplici, sebbene “algebricamente elegante”, richiede in genere molti calcoli per la determinazione di tutte le costanti. Discutiamo qui, in maggior dettaglio, il caso in cui il denominatore ha grado due. Per
quanto detto, ci interessa solo il caso in cui il grado del numeratore è al più uno.
Altrimenti facciamo la divisione e ci riportiamo a questa situazione.
Sia allora Q(x) = ax2 + bx + c il denominatore della nostra funzione razionale
fratta R. È naturale, visto il teorema sopra, distinguere tre casi. Per semplificare
la trattazione, ci concentriamo su esempi espliciti, ma facilmente estendibili al caso
generale.
1. Due radici reali distinte
. Il polinomio a
Si tratta del caso ∆ = b2 − 4ac > 0. Sia R(x) = x2x+7
−x−2
denominatore possiede le due radici x1 = −1, x2 = 2. Dunque x2 − x − 2 =
(x + 1)(x − 2). Scomponiamo R secondo la formula
x2
x+7
A
B
=
+
.
−x−2
x+1 x−2
4
Sviluppando il secondo membro, abbiamo
A
B
Ax − 2A + Bx + B
(A + B)x − 2A + B
+
=
=
.
x+1 x−2
(x + 1)(x − 2)
x2 − x − 2
Affinché valga l’uguaglianza, deve risultare
(
A+B =1
−2A + B = 7
Risolvendo questo sistema, troviamo A = −2, B = 3. Infine, la decomposizione
cercata è
−2
3
x+7
=
+
.
2
x −x−2
x+1 x−2
2. Due radici reali coincidenti
x
Si tratta del caso ∆ = b2 − 4ac = 0. Sia R(x) = x2 +2x+1
. Guidati dalla “morale”
del teorema astratto, cerchiamo una decomposizione del tipo
A
B
x
=
+
.
2
x + 2x + 1
x + 1 (x + 1)2
Facendo ancora il denominatore comune e semplificando, arriviamo all’identità
A(x + 1) + B = x,
cioè
Ax + A + B = x.
Dunque A = 1, A + B = 0, cioè A = 1, B = −1. La decomposizione è infine
1
−1
x
=
+
.
x2 + 2x + 1
x + 1 (x + 1)2
3. Radici complesse coniugate
È il caso in cui ∆ = b2 −4ac < 0. In effetti, questo è un caso alquanto “degenere”,
visto che il teorema astratto si limita a dirci che.... non si può fare niente! Insomma,
1 − 2x
1 − 2x
=
,
x2 + 2x + 5
x2 + 2x + 5
dato che la nostra funzione è già ridotta all’osso, secondo il teorema. Siccome però
a noi interessa innanzitutto la possibilità di integrare una funzione razionale fratta,
possiamo tentare di mettere in evidenza al numeratore la derivata del denominatore:
1 − 2x
A(2x + 2)
B
= 2
+ 2
.
2
x + 2x + 5
x + 2x + 5 x + 2x + 5
che ci porta al sistema
(
2A = −2
2A + B = 1
e infine alla soluzione A = −1, B = 3.
5
3
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Il problema che discutiamo in questa sezione è quello della determinazione delle
primitive di una data funzione razionale fratta:
Z
P (x)
dx
(4)
Q(x)
Ripartiamo dunque dalla tesi del teorema di decomposizione:
n
mi
r X
s X
h
X
X
Lh`h x + M`hh
Kji1
P (x)
= S(x) +
+
.
mi −ji +1
2 + p + q )nh −`h +1
Q(x)
(x
−
a
)
(x
i
h
h
i=1 j =1
h=1 ` =1
i
h
Se non ci sono problemi per l’integrazione del polinomio S, giacché siamo capaci
di trovare le primitive di quasiasi polinomio, meno ovvia è la determinazione delle
primitive delle restanti somme di frazioni. Più precisamente, bisogna capire come
integrare il generico termine
Lh`h x + M`hh
.
(x2 + ph + qh )nh −`h +1
L’analisi del caso generale è rimandato al prossimo paragrafo, e qui ci limiteremo
a trattare i casi di un denominatore di grado due o riconducibile al prodotto di
polinomi di grado non superiore a due. A tale scopo, ripercorriamo gli esempi della
sezione precedente.
Z
Z
Z
−2
3
x+7
dx =
dx +
dx = −2 log |x + 1| + 3 log |x − 2| + c.
2
x −x−2
x+1
x−2
Z
Z
Z
1
x
dx
dx
dx =
−
= log |x + 1| +
+ c.
2
2
x + 2x + 1
x+1
(x + 1)
x+1
Z
Z
Z
1 − 2x
2x + 2
dx
=−
+3
.
2
2
2
x + 2x + 5
x + 2x + 5
x + 2x + 5
Ci soffermiamo su quest’ultimo caso, essendo il meno semplice. Come lo studente
avrà notato, abbiamo operato algebricamente per far comparire a numeratore la
derivata del denominatore, e questo “trucco” ci consente di concludere subito che
Z
2x + 2
dx = log |x2 + 2x + 5| + c.
x2 + 2x + 5
R
dx
. Ricordiamo che
Per concludere, occorre risolvere x2 +2x+5
Z
dx
= arctan x + c,
x1 + 1
6
e questa formula sarà la risposta alle nostre domande. Infatti, x2 + 2x + 5 =
(x + 1)2 + 4, sicché
Z
Z
dx
dx
=
2
x + 2x + 5
(x + 1)2 + 4
Z
dx
1
=
4
((x + 1)/2)2 + 1
x+1
1
+c
= arctan
2
2
Che cosa abbiamo fatto, in sostanza? Lo capiamo meglio nel caso generale:
b
c
2
2
ax + bx + c = a x + x +
a
a
!
!
2
2
b
b2
b
c
4ac − b2
=a
x+
=a
x+
.
+ −
+
2a
a 4a
2a
4a2
Infine, abbiamo messo in evidenza il fattore positivo (4ac − b2 )/4a2 . Invitiamo lo
studente ad effettuare personalmente, volta per volta, questo genere di manipolazioni. Imparare a memoria le formule è faticoso, e in quest’ambito si corre il rischio
di dimenticare qualche costante numerica.
Esempio 4. Vogliamo calcolare
Z
x2
x
dx.
+x+1
Seguiamo la strada segnata: facciamo innanzitutto “apparire” a denominatore la
derivata del denominatore, mediante qualche passaggio algebrico:
Z
Z
Z
x
1
2x + 1
1
dx
dx =
dx −
.
2
2
2
x +x+1
2
x +x+1
2
x +x+1
R
Il primo termine a destra è 21 x22x+1
dx = 12 log |x2 + x + 1|. Calcoliamo a parte il
+x+1
secondo integrale.
Z
Z
dx
dx
=
2
x +x+1
(x + 1/2)2 + 3/4
Z
4
dx
=
2
3
1
√2
x+ 2
+1
3
√ Z
√
4 3
2/ 3 dx
=
2
3 2
√2 x + √1
+1
3
3
√
2 3
2
1
=
arctan √ x + √
+ c.
3
3
3
7
Nella penultima uguaglianza, abbiamo preferito ricondurci a un integrale immediato,
ma la sostituzione y = √23 (x − 1/2) porta esattamente allo stesso risultato.
Infine, possiamo scrivere
√
Z
3
1
2
1
x
2
+ c.
dx = log |x + x + 1| −
arctan √ x + √
x2 + x + 1
2
3
3
3
Ci auguriamo che gli esempi precedenti abbiano mostrato allo studente quali
tecniche sono usate per il calcolo delle primitive delle più semplici funzioni razionali
fratte. Brevemente, ci si riconduce sempre a:
1. integrali di polinomi;
2. integrali di potenze ad esponente negativo di polinomi lineari in x;
R
.
3. integrali riconducibili alla forma x2dx
+β 2
Concludiamo con un esempio atto ad estendere le precedenti considerazioni a
denominatori di grado superiore a due, a patto che sia possibile scomporli elementarmente.
Esempio 5.
x5 − x + 1
dx.
x4 + x2
Poiché il numeratore ha grado 5, mentre il denominatore ha grado 4, è necessario
effettuare prima la divisione esplicita: senza grandi difficoltà si trova
Z
x5 − x + 1
x3 + x − 1
=x−
.
x4 + x2
x4 + x2
Poiché x4 + x2 = x2 (x2 + 1), tentiamo la decomposizione
x3 + x − 1
A B
C + Dx
= + 2+ 2
.
4
2
x +x
x x
x +1
Mettendo a denominatore comune e semplificando, troviamo dopo pochi calcoli che
A = C = 1, B = −1, D = 0. Ma allora
Z 5
x −x+1
x2
1
dx
=
− log |x| − − arctan x + c.
4
2
x +x
2
x
4
Il caso generale e una formula ricorrente
In quest’ultimo paragrafo, tentiamo di rendere “algoritmico” tutto quanto visto
precedentemente. Siccome repetita juvant, ripeteremo alcune cose già scritte nei
paragrafi precedenti. Per comodità, cambiamo leggermente alcune notazioni.
8
Siano
P (x) = p0 xm + p1 xm−1 + · · · + pm
Q(x) = q0 xn + q1 xn−1 + · · · + qn
(p0 6= 0)
(q0 6= 0)
due polinomi, di gradi rispettivi m ed n. Il nostro scopo è quello di trovare una
primitiva della funzione
P (x)
,
f (x) =
Q(x)
definita ovviamente sull’insieme {x ∈ R | Q(x) 6= 0}.
Passo 1: se n = 0 la funzione f è un polinomio di grado m, ed una sua primitiva
si ottiene immediatamente. Se invece n ≥ 1, ci si riduce al caso m < n eseguendo
la divisione di P per Q: si ottiene
R(x)
P (x)
= S(x) +
.
Q(x)
Q(x)
Passo 2: si calcolano ora le radici complesse del polinomio Q, che in totale, se
contate ciascuna con la suamolteplicità, sono n. Tenuto conto che Q è un polinomio
a coefficienti reali, si ha che se z = α + iβ è una radice complessa di Q anche
z̄ = α − iβ è una radice, avente la stessa molteplicità di z. Inoltre
(x − (α + iβ)) (x − (α − iβ)) = (x − α)2 + β 2 .
Indichiamo con xj (j = 1, . . . , r) le radici reali di Q e con kj le rispettive molteplicità,
e con zj = αj +iβj , z̄j = αj −iβj (j = 1, . . . , s) le coppie di radici complesse coniugate
(non reali) di Q, con rispettive molteplicità hj .
Passo 3: supponendo b0 = 1, come si può sempre ottenere dividendo numeratore e
denominatore per b0 6= 0, scriviamo il polinomio Q nella forma
h
hs
Q(x) = (x − xq )k1 . . . (x − xr )kr (x − α1 )2 + β12 1 . . . (x − αs )2 + βs2 ,
dove k1 + · · · + kr + 2h1 + · · · + 2hs = n. La funzione razionale f si può allora scrivere
nella forma
a11
a1k1
P (x)
=
+ ··· +
Q(x)
x − x1
(x − x1 )k1
..
.
ar1
arkr
+
+ ··· +
x − xr
(x − xr )kr
b11 x + c11
b1h1 x + c1h1
+
+ ··· +
2
2
(x − α1 ) + β1
((x − α1 )2 + β12 )h1
..
.
bs1 x + cs1
bshs x + cshs
+
+ ··· +
,
2
2
(x − αs ) + βs
((x − α1 )2 + β12 )hs
9
dove i coefficienti aij , bij , cij sono numeri reali da determinare. Per la loro determinazione (unica, come ci dice il teorema di decomposizione), si moltiplicano primo
e secondo membro dell’identità precedente per Q(x) ottenendo cosı̀ un’identità fra
polinomi. Uguagliando i coefficienti dei monomi (nella variabile x) di grado uguale
si arriva a un sistema lineare che è sempre risolubile. Le soluzioni di tale sistema
sono i coefficienti cercati.
Passo 4: a questo punto, per calcolare una primitiva di f , basta saper determinare
perogni intero r ≥ 1 ed ogni a, p, q, x0 , α, β ∈ R le primitive
Z
Z
px + q
a
dx.
dx e
r
(x − x0 )
((x − α)2 + β 2 )r
Il primo integrale è elementare, e
Z
a
dx =
(x − x0 )r
(
a log |x − x0 | + c
se r = 1
a
1−r
(x − x0 )
+ c se r > 1.
1−r
Per il calcolo del secondo integrale indefinito abbiamo
Z
Z
p(α + βt) + q
px + q
β dr
r dx =
2
2
((x − α) + β )
β 2r (1 + t2 )r
[avendo posto x = α + βt]
Z
Z
p
t dt
pα + q
dt
+ 2r−1
.
=
2r−2
2
r
β
(1 + t )
β
(1 + t2 )r
R
L’integrale indefinito (t/(1 + t2 )r ) dt si calcola facilmente, e si ha
(
Z
1
log(1 + t2 ) + c
se r = 1
t dt
2
=
1
2
1−r
(1 + t2 )r
(1 + t )
+ c se r > 1.
2(1−r)
(5)
(6)
L’ultimo integrale da calcolare, si trova – in generale – solo per ricorrenza. Se
poniamo
Z
dt
Ir (t) =
,
(1 + t2 )r
abbiamo la “regola” per calcolare Ir noto Ir−1 :
I1 (t) = arctan t + c
2r − 3
t
Ir (t) =
Ir−1 (t) +
.
2r − 2
2(r − 1)(1 + t2 )r−1
(7)
(8)
In definitiva, sostituendo all’indietro x = α + βt e ricordando le equazioni (5), (6),
(7) e (8), abbiamo calcolato esplicitamente l’integrale indefinito
Z
px + q
dx.
((x − α)2 + β 2 )r
10
Per completezza, e anche perché il procedimento è interessante,
R dt dimostriamo la
validità di (7) e (8). Innanzitutto, (7) è evidente, in quanto t2 +1 = arctan t + c.
Sia r ≥ 2. Dall’uguaglianza
1
1 + t2 − t2
1
t2
=
=
−
(1 + t2 )r
(t2 + 1)r
(1 + t2 )r−1 (1 + t2 )r
e dalla linearità dell’integrale indefinito, deduciamo che
Z
t2
dt.
Ir (t) = Ir−1 (t) −
(1 + t2 )r
Integriamo per parti l’ultimo integrale della formula precedente, derivando t e integrando t/(t2 + 1)r . Infatti – ricordiamo che r > 1 per ipotesi:
Z
Z
dy
1
t dt
=
2
r
(t + 1)
2
(1 + y)r
1
= −
+c
2(r − 1)(1 + y)r−1
1
= −
+c
2(r − 1)(1 + t2 )r−1
con l’ovvia sostituzione t2 = y e t dt = 21 dy. Quindi
Z
Z
t2
t
1
dt = −
+
dt
2
r
2
r−1
(t + 1)
2(r − 1)(1 + t )
2(r − 1)(1 + t2 )r−1
t
1
= −
+
Ir−1 (t).
2
r−1
2(r − 1)(1 + t )
2(r − 1)
In definitiva,
Ir (t) =
2r − 3
t
Ir−1 (t) +
,
2r − 2
2(r − 1)(1 + t2 )r−1
(9)
che è la formula cercata. Ad esempio,
I1 (t) = arctan t + c
1
t
I2 (t) =
arctan t +
+c
2
2(1 + t2 )
3
3
t
1
t
I3 (t) =
arctan t +
+
+ c.
2
8
8 (1 + t ) 4 (1 + t2 )2
Osservazione 2. Un’ovvia avvertenza per gli studenti più curiosi: il teorema di
decomposizione è del tutto generale, senza vincoli sulla grandezza degli ordini dei
polinomi in gioco. D’altra parte, come l’ultimo paragrafo suggerisce, ciò che conta
davvero è la possibilità di identificare tutte le radici (reali e complesse coniugate)
del polinomio al denominatore. E questa è la nota dolente. Ad esempio, chi saprebbe determinare esattamente tutte le radici un generico polinomio di quindicesimo
11
grado? Esiste un profondo teorema, dovuto a Evariste Galois, che asserisce l’impossibilità di risolvere tutte le equazioni algebriche di grado superiore al quinto,
mediante l’uso dei radicali. In sostanza, per le equazioni di grado maggiore o uguale
a cinque, non esistono formule risolutive generali, e anche per quelle di grado tre e
quattro tali formule – note ma poco “pubblicizzate” – sono di scarsa utilità pratica.
Di riflesso, anche l’integrazione delle funzioni razionali fratte, non potrà essere
eseguita indiscriminatamente. È questo uno degli aspetti più evidenti della disparità
fra derivazione e integrazione: di tutte le funzioni “elementari” sappiamo calcolare la
derivata, mentre di moltissime funzioni elementari non abbiamo speranza di trovare
una primitiva in forma elementare.
5
Esercizi
Invitiamo lo studente a verificare le seguenti identità, usando il metodo di integrazione per le funzioni razionali, ed eventualmente qualche sostituzione elementare.
x2 + 2x + 3
dx
x(1 + x2 )
Z 5
x + 3x3 + x
dx
(1 + x2 )2
Z 2
x + 2x + 3
dx
(x − 1)3
Z x
e −2
dx
ex + 2
Z
dx
2 sin x + sin x cos x
Z
= 2 arctan x + log
|x|3
x2 + 1
+c
x2 1
1
+ log(1 + x2 ) +
+c
2
2
2(1 + x2 )
4
3
= log |x − 1| −
−
+c
x − 1 (x − 1)2
=
= log(ex + 2)2 − x + c
√
√
3
2 + cos x 6 1 − cos x
√
= log
+c
1 + cos x
12
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)