Esercizi di Calcolo delle Probabilitá

Esercizi di Calcolo delle Probabilitá
Docente: I. Oliva - a.a. 2013/2014
Probabilitá e variabili aleatorie
1. In un primo turno elettorale il polo A ha avuto il 45% dei voti e il polo B ha
vinto con il 55% dei suragi. Si ripetono le elezioni con i medesimi votanti, e
dagli exit-poll risulta che:
(a) il 10% di colori che avevano votato A hanno spostato il voto su B;
(b) il 20% dei vecchi elettori di B hanno votato A.
Chi ha vinto (secondo gli exit-poll) il secondo turno?
[A con il 51.5%]
2. Sul tavolo ci sono due mazzi di carte. Il mazzo A é completo ed ha 52 carte
(ossia tredici per ognuno dei quattro semi). Dal mazzo B sono state tolte tutte
le gure. Si estrae una carta a caso da uno dei due mazzi, ed é un asso. Qual
é la probabilitá che l'asso sia stato estratto dal mazzo B ?
[≈ 0.5652]
3. Si utilizza un prodotto fornito in percentuali uguali da due ditte A e B. É stato
calcolato che, scelto a caso un esemplare difettoso, la probabilitá che esso sia
stato fornito dalla ditta A vale 0.25. Se la produzione del prodotto da parte
della ditta A ha un difetto di qualitá del 5%, qual é il difetto di qualitá nella
produzione della ditta B ?
[15%]
4. Un segnale binario X, (cioé, un segnale che puó assumere solo i valori 0 e 1),
emesso nella forma 1 con probabilitá P (X1 ) = 0.75, é inviato su un canale di
trasmissione, nel quale la probabilitá di errore nella trasmissione di X1 vale p =
0.08. Il segnale X é ricevuto nella forma Y = 1 con probabilitá P (Y1 ) = 0, 70.
Calcolare:
1
(a) la probabilitá P (Y1 |X0 ) che il segnale 0 sia ricevuto nella forma 1;
(b) la probabilitá totale di errore nella ricezione del segnale.
[0.04
e
0.07]
5. Una squadra di calcio schiera ad ogni partita 1 portiere, 5 difensori e 5 attaccanti. La società Aleas sceglie in modo casuale ciascun gruppo di giocatori tra
2 portieri, 8 difensori e 12 attaccanti disponibili.
(a) Quante sono le formazioni possibili?
(b) Se Roberto e Ronaldo sono due attaccanti, quante sono le formazioni in
cui giocano entrambi?
(c) Se Franco é un difensore, quante sono le formazioni in cui gioca con
l'attaccante Roberto?
[a) 88704;
b)
13440;
c)
23100]
6. Un'urna contiene sei palline numerate da 1 a 6. Ne vengono estratte 3 senza
reinserimento.
(a) Si dica quante sono le possibili terne ordinate;
(b) si dica quante sono le terne ordinate che contengono il 2 in seconda posizione;
(c) si dica quante sono le possibili terne ordinate che contengono il 2;
(d) Rispondere ai quesiti a) b) c) se l'estrazione avviene con reimmissione.
(e) Rispondere ai quesiti a) c) se l'estrazione avviene senza reimmissione e
non interessa l'ordine.
[a) 120;
b)
20;
c)
60;
d)216,
36, 91;
e)20,
10.]
7. Da un mazzo di 52 carte si estraggono con reinserimento due carte. Determinare:
(a) la probabilitá di estrarre due re;
2
(b) la probabilitá di estrarre due re, sapendo che sono uscite due gure.
[a) 1/169;
b)
1/9]
8. Il giocatore A lancia un dado non truccato per 4 volte, e vince se esce almeno
una volta il 6. Il giocatore B lo lancia 8 volte, e vince se il 6 esce almeno due
volte. Chi ha maggiore prababilitá di vincere e perché ?
[P (B) ≈ 0.3936]
9. Dieci simboli binari sono trasmessi su un canale avente probabilitá di errore
p = 0.01. Calcolare la probabilitá di ricevere almeno un simbolo errato.
[≈ 0.0956]
10. Al giocatore di basket Joe é attribuita una percentuale di realizzazione di
canestri del 60% e al giocatore Nick del 45%. Joe deve eettuare 5 tiri al canestro, e Nick ne eettua 3. Supera la prova chi fallisce non piú di un canestro.
Chi fra i due ha la piú alta probabilitá di vincere?
[Nick ]
11. La ricezione casuale di un numero k di telefonate nell'intervallo di tempo [0; t0 ]
ha legge di Poisson con parametro λ = t0 . Calcolare la probabilitá di ricevere
da due a quattro telefonate entro l'istante t0 = 1.
[≈ 0.26]
12. Da una recente indagine della polizia stradale risulta che il 45% degli automobilisti guida ancora in cittá senza allacciare le cinture di sicurezza. Se un
agente controlla a caso 10 vetture in circolazione, qual é la probabilitá che egli
riscontri questa infrazione almeno 8 volte ?
[≈ 0.0274]
13. La quantità P in grammi di farina erogati in ogni confezione da una macchina
si distribuisce normalmente con media 500 g e scarto quadratico medio 10 g.
Calcolare:
3
(a) la probabilitá che vengano erogati meno di 485 g
(b) la probabilitá che la quantitá erogata sia compresa fra 490 g e 512 g
(c) Stabilire il peso P0 per il quale la probabilitá che la macchina eroghi una
quantità di farina maggiore di P0 sia pari a 0.14.
[a)6.7%;
b)
72.7%;
c)
0.14]
14. Si osserva il tempo di attesa Y delle auto al casello autostradale in un'ora di
punta e si vede che per il 95% delle auto tale tempo é almeno 3 minuti, mentre
solo il 2% aspetta piú di 14 minuti. Supponendo che Y abbia una distribuzione
normale, calcolare
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
il tempo medio di attesa e la varianza
la probabilitá che il tempo di attesa sia al massimo di 3 minuti
la probabilitá che il tempo di attesa sia tra 3 e 7 minuti
la probabilitá che il tempo di attesa sia tra 7 e 10 minuti
la probabilitá che il tempo di attesa sia piú di 10 minuti
[a) µ = 7.87, σ = 2.96
minuti; b)
0.05;
4
c)
0.336;
d)
0.378;
e)
0.236]