Rappresentare i nessi logici con gli insiemi

Rappresentare i nessi logici con gli insiemi
È un’operazione molto utile in quesiti come quello nell’Esempio 1, in cui gruppi di persone o cose
vengono distinti in base a delle loro proprietà. Un elemento appartiene ad un insieme se soddisfa la
proprietà che definisce quell’insieme.
Per capire come trarre vantaggio da questa operazione, prima rivediamo brevemente le proprietà di
base degli insiemi, successivamente come queste risultino utili negli esercizi.
Proprietà fondamentali
Esempio A:
In un ufficio alcuni impiegati utilizzano il computer.
Alcuni impiegati che usano il computer soffrono di emicrania.
La frase “alcuni impiegati utilizzano il computer” ci informa che c’è un gruppo di elementi, gli
impiegati, e ci obbliga a distinguerli, almeno mentalmente, in due gruppi (perché guardando le
informazioni che seguono, intuiamo che il fatto che un impiegato usi il computer sia una
informazione rilevante). Rappresentiamo questa informazione con una linea chiusa che divide gli
impiegati che usano il computer dagli altri.
Impiegati che NON
utilizzano il computer
Impiegati che
utilizzano il computer
Intersezione
La seconda frase, “alcuni impiegati che usano il computer soffrono di emicrania”, introduce una
nuova proprietà che alcuni impiegati possiedono e altri no: questo vuol dire che dobbiamo disegnare
un altro insieme, cioè una linea chiusa che separa chi soffre di emicrania da chi non ne soffre.
Poiché vi sono impiegati che hanno sia la proprietà “computer” che la proprietà “emicrania” i due
insiemi si intersecano (cioè hanno una parte in comune). Inoltre gli insiemi così rappresentati
indicano, come è sottointeso nel testo, che tutte le combinazioni sono possibili: un impiegato può
avere “computer” e non “emicrania” (verde acqua), “emicrania” e non “computer” (fucsia),
entrambi (indaco), o nessuna delle due proprietà (bianco).
“computer” ed “emicrania”
“computer”
“emicrania”
Né “computer” né “emicrania”
Esempio Abis:
Se la frase fosse stata “chi soffre di emicrania non utilizza il computer” i due insiemi “emicrania” e
“computer” sarebbero stati disgiunti, cioè l’intersezione sarebbe stata vuota.
“computer”
“emicrania”
Né “computer” né “emicrania”
Differenza
In esempi come questo, potremmo essere interessati all’insieme degli elementi che godono di una
proprietà e non godono di un’altra, cioè all’insieme differenza; ad esempio, l’insieme degli
impiegati che usano il computer e non soffrono di emicrania è l’insieme differenza fra l’insieme
“computer” e quello “emicrania”. Questo lo rappresentiamo come l’insieme “computer” privato
della sua intersezione con l’insieme “emicrania”. Notiamo come l’operazione opposta, la differenza
fra “emicrania” e “computer” individua un insieme diverso.
“computer”
meno
“emicrania”
“emicrania”
“emicrania”
meno
“computer”
Nell’Esempio 1bis, in cui “computer” ed “emicrania” sono disgiunti, la differenza fra “computer”
ed “emicrania” ci restituisce l’insieme “computer” invariato (poiché non vi abbiamo sottratto nulla),
e vale anche il viceversa.
Esempio B:
In un ufficio alcuni impiegati utilizzano il computer.
Tutti gli impiegati che usano il computer hanno la divisa gialla.
Giuseppe ha la divisa gialla, si può dunque dire con certezza che utilizza il computer per il suo
lavoro?
Se tutti gli elementi che sono caratterizzati da una certa proprietà, sono caratterizzati anche da
un'altra, si tratta di un’inclusione (gli impiegati che usano il computer sono un sottoinsieme di
quelli con la divisa gialla). In tal caso non è possibile che un impiegato utilizzi il computer senza
divisa gialla, mentre se un impiegato ha la divisa gialla non sappiamo se utilizza il computer oppure
no; il testo non ci dice nulla in proposito, pertanto non lo possiamo affermare con certezza (la
risposta è NO).
Impiegati che indossano
la divisa gialla
Impiegati che
utilizzano il
computer
Domanda: come è fatto l’insieme differenza fra “divisa gialla” e “computer”? E l’insieme
differenza fra “computer” e “divisa gialla”?
Esempio C:
In un ufficio alcuni impiegati utilizzano il computer.
Possono usufruire del servizio mensa sia gli impiegati che utilizzano il PC, sia quelli che hanno
l’ufficio al settimo piano.
Se Pablo lavora al computer nel suo ufficio, che si trova in fondo al corridoio del settimo piano,
può usufruire del servizio mensa?
L’insieme degli impiegati che possono mangiare a mensa è composto dall’unione di due insiemi:
- l’insieme degli impiegati che usano il PC (fucsia)
- l’insieme degli impiegati del settimo piano (verde limone)
In altre parole fanno parte dell’insieme unione (rappresentato dalle linee diagonali) tutti coloro che
hanno una delle due caratteristiche (PC \ settimo piano) o entrambe (dunque la risposta è SI).
Impiegati che
utilizzano il
computer
Impiegati
del settimo
piano
A cosa stare attenti negli esercizi.
ESERCIZIO
Il signor Brown ha un podere, al centro del quale vi è un ameno laghetto guarnito da una grande
varietà di fiori. Parlando di tale podere, il signor Brown afferma: “ci sono quattro tipi di animali
nel mio podere: pesci, anfibi, uccelli e mammiferi. Nel podere un animale verde sicuramente è un
pesce o un anfibio. Nel mio podere i mammiferi e gli anfibi non verdi sono gli unici che rovinano i
fiori. Non ci sono mammiferi nella zona del lago, dove ci sono invece degli anfibi.”.
Se quel che dice il signor Brown è vero, è possibile affermare con certezza che:
a) Non c’e nessuno che rovina i fiori nella zona del lago.
b) Nella zona del lago gli anfibi sono tutti verdi.
c) Se sparissero tutti gli anfibi nessuno rovinerebbe i fiori nella zona del lago.
d) Se sparissero tutti gli anfibi verdi nessuno rovinerebbe i fiori nella zona del lago.
e) Ci sono uccelli nella zona del lago.
Come procediamo
La frase “ci sono quattro tipi di animali nel mio podere: pesci, anfibi, uccelli e mammiferi”, ci
informa che un insieme, quello degli animali nel podere, ha quattro sottoinsiemi.
In quale di questi due modi li rappresentereste?
A
B
Pesci
Anfibi
Uccelli
Mammiferi
Pesci
Anfibi
Animali nel podere
Uccelli
Mammiferi
Animali nel podere
Sono in effetti “giusti” entrambi; però possono essere resi più semplici, eliminando le regioni in cui
non vi sono elementi. Ad esempio, la parte di piano con la stellina, quella degli animali del podere
che non sono né pesci, né anfibi, né uccelli, né mammiferi, è comunque vuota, perché l’unione dei
quattro tipi forma la totalità degli animali. Inoltre, poiché non esistono animali che siano sia
mammiferi che uccelli ecc…, è superfluo rappresentare le intersezioni (vuote) come è stato fatto nel
caso B. Sottoinsiemi tutti disgiunti la cui unione forma l’insieme totale costituisce una partizione,
che è utile rappresentare così:
Pesci
Uccelli
Anfibi
Mammiferi
Nel podere un animale verde sicuramente è un pesce o un anfibio.
Come disegnare l’insieme degli animali verdi? Prendiamo l’unione di pesci e anfibi (linea rossa),
Pesci
Uccelli
Anfibi
Mammiferi
e disegniamoci dentro l’insieme degli animali verdi (linea verde), in modo che, volendoci inserire
un animale, esso sia costretto a stare nell’unione pesci – anfibi:
Pesci
Uccelli
Anfibi
Mammiferi
Nel mio podere i mammiferi e gli anfibi non verdi sono gli unici che rovinano i fiori.
Per rappresentare l’insieme degli animali che rovinano i fiori, non è necessario aggiungere
divisioni, ma solo evidenziare l’unione fra mammiferi e anfibi non verdi, perché la frase dice che
tutti i mammiferi e tutti gli anfibi non verdi rovinano i fiori e nessun altro. Per semplificare la
notazione inseriamo un pallino rosa in ogni sottoinsieme che soddisfa la proprietà di rovinare i fiori.
Pesci
Uccelli
Anfibi
Mammiferi
Non ci sono mammiferi nella zona del lago, dove ci sono invece degli anfibi.
Ora dobbiamo nuovamente suddividere l’insieme degli animali in quelli che vivono nella zona del
lago (linea azzurra) e gli altri. Come lo fareste?
A
B
Pesci
Uccelli
Pesci
Uccelli
Anfibi
Mammiferi
Anfibi
Mammiferi
C
D
Pesci
Uccelli
Pesci
Uccelli
Anfibi
Mammiferi
Anfibi
Mammiferi
Insieme vuoto
Le opzioni giuste sono quelle che rappresentano tutte le possibili intersezioni (escluse quelle
certamente vuote), cioè C e D. In pratica, quando disegniamo un nuovo sottoinsieme è buona norma
che la matita attraversi tutte le regioni già presenti nel diagramma. Questa operazione dà vita a
nuove regioni, se si è deciso di segnare con un pallino le regioni in cui una determinata proprietà è
soddisfatta, per non perdere informazioni utili è necessario inserire altri pallini nelle regioni appena
formate che soddisfano la suddetta proprietà.
…perciò occhio a non negare il diritto all’esistenza degli anfibi verdi e non verdi, dentro e fuori
dalla zona del lago!!
Che fatica… ma una volta disegnato il diagramma rispondere alle domande è molto più
immediato!! Analizziamo una alla volta le risposte..
Pesci
Uccelli
Anfibi
Mammiferi
Insieme vuoto
a) Non c’e nessuno che rovina i fiori nella zona del lago.
Si può immediatamente constatare che è falsa, c’è un pallino rosa (chi rovina i fiori) nella zona del
lago (linea azzurra).
b) Nella zona del lago gli anfibi sono tutti verdi.
Falso, la linea verde interseca quella blu, ad indicare appunto che nella zona ci sono sia animali
verdi che non.
c) Se sparissero tutti gli anfibi nessuno rovinerebbe i fiori nella zona del lago.
Vero, infatti se si eliminassero tutti gli anfibi, non rimarrebbe nessun pallino rosa (chi rovina i fiori)
nella linea azzurra (zona del lago).
d) Se sparissero tutti gli anfibi verdi nessuno rovinerebbe i fiori nella zona del lago.
Falso, infatti eliminando solo gli anfibi verdi rimarrebbe un pallino rosa (chi rovina i fiori) nella
linea azzurra (zona del lago)
e) Ci sono uccelli nella zona del lago.
Falso, infatti la linea azzurra interseca quella degli uccelli ma, avendo deciso di rappresentare tutte
le possibili intersezioni (tranne quelle certamente vuote) quando si disegna un nuovo sottoinsieme,
non sappiamo se l’intersezione tra uccelli e zona del lago è vuota o meno, pertanto non possiamo
affermare con certezza che non lo sia.
Ciò significa che dobbiamo anche fare attenzione a come viene posta la domanda!