Energia potenziale elettrica

Energia potenziale elettrica
Simone Alghisi
Liceo Scientifico Luzzago
Novembre 2013
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago)
Energia potenziale elettrica
Novembre 2013
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Ripasso
Quando spingiamo un corpo di massa m, oppure lo solleviamo da
terra, trasferiamo energia immagazzinata nel nostro corpo all’oggetto.
Per fare ciò, dobbiamo utilizzare una forza e compiere con essa ciò
che in Fisica è chiamato lavoro.
Definizione
Chiamiamo lavoro di una forza costante F~ il prodotto scalare della
forza per lo spostamento ~s:
L = F~ · ~s = F s cos ϑ ,
cioè: il lavoro è il prodotto dell’intensità della forza F~ per la
componente dello spostamento nella direzione della forza.
L’unità di misura del lavoro è il joule (simbolo J).
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Forza conservativa
Definizione
Una forza F~ è detta conservativa se il lavoro LA→B per portare un
corpo da un punto A ad un punto B non dipende dal cammino
percorso ma solo dalla posizione iniziale A e da quella finale B.
Dal fatto che la forza elettrica è centrale, segue che essa è
conservativa. Di conseguenza, il lavoro compiuto per trasportare una
carica da A a B è uguale e opposto al lavoro compiuto per trasportarla
da B ad A, qualunque sia il cammino seguito. Ciò significa che
il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica lungo un qualsiasi cammino
chiuso è nullo.
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Energia potenziale elettrica
Dato che le forze elettriche sono conservative, è possibile introdurre
un’energia potenziale elettrostatica.
Mediante il calcolo integrale, è possibile verificare che il lavoro
necessario per portare una carica q0 da un punto A ad un punto B del
campo elettrico generato da una carica q lungo un cammino qualsiasi è
q0 q
1
1
LA→B =
−
,
(1)
4πε0 rA rB
essendo rA e rB rispettivamente le distanze di A e di B dal punto in
cui è collocata la carica generatrice q.
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In particolare, se la carica q0 viene trasportata da un punto posto a
distanza r all’infinito, il lavoro vale
L =
1 q0 q
,
4πε0 r
(2)
come si ottiene immediatamente dalla (1) ponendo rA = r e
1
ricordando che lim
= 0.
rB →+∞ rB
Assumiamo, per convenzione, che l’energia potenziale delle due
cariche q e q0 sia nulla quando tali cariche sono a distanza infinita
l’una dall’altra (in pratica, quando si trovano a distanza abbastanza
grande da rendere trascurabile la forza con cui interagiscono).
Definizione
Chiamiamo energia potenziale U associato al sistema di cariche q0 e q
poste a distanza r il lavoro dato dalla (2), cioè
U=
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1 q0 q
.
4πε0 r
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(3)
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Grazie alla definizione precedente possiamo affermare che
LA→B = −∆U = UA − UB ,
essendo UA e UB rispettivamente l’energia potenziale elettrica
associata alla carica q0 quando si trova a distanza rA dalla carica q e
l’energia potenziale elettrica associata alla carica q0 quando si trova a
distanza rB dalla carica q.
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Energia potenziale elettrica di più cariche
E se il campo elettrico fosse generato da più cariche q1 , q2 , . . . , qn ?
L’energia di una carica q0 posta in un certo punto P del campo è data
dalla somma delle energie dovute a ciascuna carica elettrica:
q0
U=
4πε0
q1 q2
qn
+
+ ··· +
r1 r2
rn
n
q0 X qi
=
.
4πε0
ri
(4)
i=1
essendo ri la distanza della carica qi dal punto P .
Osservazione
Nella relazione (4) ogni carica va presa con il suo segno: cariche di
segno opposto daranno pertanto all’energia di q0 contributi di segno
opposto.
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Il potenziale elettrico
L’energia potenziale di q0 è proporzionale a q0 stessa. Vogliamo
introdurre una grandezza fisica indipendente da q0 .
Definizione
Chiamiamo potenziale elettrostatico o, più brevemente, potenziale del
punto in cui si trova la carica q0 la quantità scalare
V =
U
.
q0
(5)
Per rendere più semplice il concetto di potenziale, si considerino due
recipienti contenenti acqua collegati tra loro. La quantità di acqua
contenuta nel serbatoio rappresenta la quantità di carica, mentre il
livello h dell’acqua rappresenta il potenziale. All’equilibrio, il livello di
entrambi i recipienti sarà identico, così pure in elettrostatica:
all’equilibrio, il potenziale di due corpi conduttori collegati tra loro
risulterà uguale.
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Ricapitolando.
~ ad ogni punto dello spazio si può associare
Dato un campo elettrico E,
un certo numero, il potenziale, che è dato dal rapporto tra il lavoro
compiuto per trasportare una carica q0 da quel punto ai confini del
campo elettrico e la carica q0 stessa.
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Unità di misura del potenziale elettrico
Osservando la definizione del potenziale, si nota che la sua unità di
misura è joule/coulomb. Tale unità, in onore di Alessandro Volta, è
detta volt (indicato con V).
In particolare, per un punto P posto a distanza r da una carica
puntiforme q si ha
1 q
VP =
,
4πε0 r
come si ricava dalla (3) e dalla (5).
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Potenziale associato a più cariche elettriche
E se il campo elettrico è prodotto da più cariche elettriche q1 , q2 , . . . ,
qn ? Il potenziale elettrico nel punto P si ottiene sommando i singoli
potenziali dovuti a ciascuna carica:
1
VP =
4πε0
qn
q1 q2
+
+ ··· +
r1 r2
rn
n
1 X qi
.
=
4πε0
ri
i=1
Nella precedente relazione le cariche vanno prese con i segni.
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Relazione utile
Dalla definizione di potenziale, si ricava una relazione importante. Dati
due punti A e B di un certo campo elettrico e i rispettivi potenziali VA e
VB , il lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico per spostare una
q0 da A a B può essere rivisitato utilizzando l’energia potenziale e, di
conseguenza, si può introdurre il potenziale elettrico:
LA→B = −∆U = −q0 ∆V = −q0 (VB − VA ) = q0 (VA − VB ) ,
(6)
dove la carica q0 va presa con il suo segno.
La relazione (6) dice che se q0 > 0 e VA > VB il lavoro è positivo: ciò
significa che una carica elettrica positiva accelera da un punto avente
potenziale elettrico maggiore verso un punto a potenziale elettrico
minore. Viceversa, una carica elettrica negativa accelera da punti a
potenziale minore a punti aventi potenziale maggiore.
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Concludendo
Il potenziale elettrico rappresenta per il campo elettrico ciò che la
quota rappresenta per il campo gravitazionale: come il lavoro che si
può ottenere dalla caduta di un grave è proporzionale alla differenza di
quota, così il lavoro che si può ottenere dal movimento di una carica è
proporzionale alla differenza di potenziale. Tale differenza,
solitamente, viene abbreviata con d.d.p.
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Esempio
Una carica elettrica q = 400 nC è posta fissa nel punto P . Una
seconda carica puntiforme q0 del valore di −20.000 pC viene spostata
dal punto A distante dal punto P 10 cm al punto B distante dal punto P
20 cm. Determinare il lavoro che occorre fornire al sistema discutendo
il risultato.
Il lavoro compiuto dall’esterno per muovere la carica da A a B è
uguale, ma opposto, al lavoro compiuto dalle forze del campo. Il lavoro
compiuto dalle forze del campo (poichè la forza elettrostatica è
conservativa) può essere ricavato mediante la relazione
LA→B = −∆U = −(UB − UA ) .
Dal fatto che le cariche sono puntiformi si ha
1 qq0
1 qq0
−
= −3, 6 × 10−4 J .
LA→B = −
4πε0 rB
4πε0 rA
Quindi il lavoro compiuto dalle forze esterne vale Lext = 3, 6 × 10−4 J.
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