Lezione 20 Caratteristica e sottocampo fondamentale di un campo.
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Lezione 20 Caratteristica e sottocampo fondamentale di un campo.
Lezione 20 Prerequisiti: Definizione di campo. Campi » p . Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 5.9; [H] Sezione 3.2; [PC] Sezione 4.10 Caratteristica e sottocampo fondamentale di un campo. In questa sezione, K indicherà sempre un campo. Definizione 20.1 Si dice che il campo K ha caratteristica zero se non esiste un intero positivo n tale che n ⋅1K = 0 K . Altrimenti si dice che K ha caratteristica finita, e si pone la sua caratteristica uguale al minimo n siffatto. Osservazione 20.2 Se K ha caratteristica finita, la sua caratteristica n è pari al periodo di 1 nel gruppo additivo di K, ossia l’ordine del sottogruppo: 1 = {h ⋅1 h ∈ »} Si noti che questo è anche un sottoanello di K ed è isomorfo all’anello » n . Poiché ogni sottoanello di un campo è integro, segue che n è necessariamente un numero primo. In effetti, un campo di caratteristica finita si dice anche di caratteristica prima. Esempio 20.3 Sono campi di caratteristica zero: », », ». Per ogni primo p, il campo » p ha caratteristica (prima) p. Definizione 20.4 Si dice sottocampo fondamentale di K il più piccolo sottocampo contenuto in K: è l’intersezione di tutti i sottocampi di K. Osservazione 20.5 Il sottocampo fondamentale di K contiene 0 e 1, e, insieme con 1, anche tutti i suoi multipli interi, gli inversi di quei multipli interi che sono diversi da zero, e tutti i prodotti che è possibile formare con questi elementi. Dunque il sottocampo fondamentale di K è {( n ⋅1) (m ⋅1) −1 » se K ha caratteristica zero n, m ∈ », m ⋅1 ≠ 0 ≅ » p se K ha caratteristica p } Esempio 20.6 Il campo » 3 [ x] /( x 2 + 1) ha caratteristica 3, il suo sottocampo fondamentale è » 3 .