CURRICULUM DELL`ATTIVITA` SCIENTIFICA E DIDATTICA svolta

CURRICULUM DELL’ATTIVITA’ SCIENTIFICA E DIDATTICA
svolta dal prof. Diego Averna
nato a Palermo il 12 maggio 1957
Il prof. Diego Averna ha conseguito la laurea in Matematica, con voti 110/110 e
lode, il 22 novembre 1979 presso la Facoltà di Scienze MM.FF.NN. dell’Università di
Perugia.
Ha collaborato con il Prof. B.Pettineo, titolare della cattedra di Analisi
Matematica dell’Università di Palermo, dal quale ha ricevuto l’invito a svolgere negli
anni accademici 1979/80, 1980/81 e 1981/82 le esercitazioni per l’insegnamento di
Istituzioni di Analisi Superiore per il corso di laurea in Matematica.
Inoltre, negli anni accademici 1980/81 e 1981/82 ha svolto esercitazioni per
l’insegnamento di Istituzioni di Matematiche per il corso di laurea in Scienze Naturali
su invito del Prof. A.Mannino, titolare del corso medesimo.
Nell’aprile del 1983 è stato nominato ricercatore universitario presso la Facoltà di
Ingegneria dell’Università di Palermo, gruppo n.90, sottosettore Analisi Matematica,
avendo vinto un concorso libero.
Dall’aprile del 1986 è stato ricercatore universitario confermato a tempo pieno
presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università di Palermo per il settore scientifico
disciplinare A02A (Analisi Matematica).
Ha partecipato a tre precedenti concorsi nazionali per professore associato, banditi
nel 1990 per i gruppi di discipline A021 (Analisi Matematica) e A023 (Istituzioni
di Matematiche) e nel 1997 per il gruppo di discipline A02A (Analisi Matematica),
risultando in tutti e tre i casi ammesso alle prove orali.
Il 14 febbraio del 2003 è stato dichiarato idoneo nella procedura di valutazione comparativa per la copertura di un posto di professore associato per il S.S.D. MAT/05
presso la Facoltà di Scienze MM.FF.NN. dell’Univesità di Palermo (II sessione 2002),
l’11 aprile del 2003, e successivamente il 21 maggio del 2003, è stato chiamato dalla
Facoltà di Scienze MM.FF.NN. dell’Università di Palermo a ricoprire il ruolo di professore associato per il C.L. in Matematica. A seguito di delibera del Senato Accademico di Palermo (19/12/2003) è stato nominato professore associato di Analisi
Matematica (S.S.D. MAT/05) il 20 dicembre 2003 ed ha preso servizio presso la Facoltà di Scienze MM.FF.NN. dell’Università di Palermo per il C.L. in Matematica il
22 dicembre 2003.
Egli afferisce al Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Università di Palermo.
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ATTIVITA’ SCIENTIFICA
Il Prof. Diego Averna fa parte del gruppo di ricerca nazionale Analisi Reale, nonché
dei gruppi locali dell’Università di Palermo.
Ha partecipato a corsi estivi di Matematica organizzati dal C.N.R. ed a numerosi
seminari e convegni, presentando anche diverse comunicazioni. Egli ha tenuto, su
invito, alcune conferenze su argomenti della sua ricerca.
In particolare, negli ultimi anni, ha partecipato ai seguenti convegni:
1) 24th Workshop: Minimax Theory and Applications, organizzato a Erice nei giorni
30 settembre - 6 ottobre 1996.
2) Second School of Nonlinear Functional Analysis and Applications to Differential
Equations, svoltasi presso il Centro I.C.T.P. di Trieste nei giorni 21 aprile - 9 maggio
1997.
3) International Workshop on Operator Theory, Cefalù 14-19 luglio 1997, nell’ambito
del quale ha tenuto una comunicazione dal titolo Mixed existence theorems for first
and second order differential inclusions.
4) Differential Inclusions and Optimal Control, organizzato a Varsavia nei giorni 22
settembre - 3 ottobre 1997, nell’ambito del quale è stato invitato a tenere una conferenza dal titolo Existence of solutions for operator inclusions: a unified approach.
5) Variational, Topological and Set-valued Methods for Nonlinear Differential Problems, organizzato a Messina nei giorni 14-16 aprile 2010.
6) Workshop on Nonlinear Partial Differential Equations (on the occasion of the
sixtieth birthday of Patrizia Pucci), organizzato a Perugia nei giorni 28 Maggio-1
Giugno 2012.
7) Weekend su Metodi Variazionali ed Equazioni Differenziali, organizzato da Univesità di Catania nei giorni 05-06/10/2012.
8) 2◦ Weekend su Metodi Variazionali ed Equazioni Differenziali, organizzato da
Univesità Mediterranea di Reggio Calabria, nei giorni 04-05/10/2013.
9) 63rd Workshop: Variational Analysis and Applications, organizzato a Erice nei
giorni 28 agosto - 5 settembre 2015.
Ha inoltre tenuto, su invito, diversi seminari presso le Università di Catania, Messina,
Perugia, Reggio Calabria, su argomenti della sua ricerca.
Svolge attività di referee per riviste nazionali ed internazionali.
L’attività scientifica del Prof. Diego Averna si è articolata, sinora, in cinque temi
di ricerca:
1) Esistenza e rappresentazione dell’integrale di Burkill-Cesari.
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2)
3)
4)
5)
Teoria delle funzioni.
Teoria delle multifunzioni e sue applicazioni.
Inclusioni operatoriali ed applicazioni.
Metodi variazionali.
Tale attività si è espressa nella realizzazione delle seguenti 24 pubblicazioni:
1. D.AVERNA, La almost quasi additività weak debole, Atti Accad. Sc. Lett. Arti
Palermo, IV, XL, Parte I (1980-81), p.5-24.
2. D.AVERNA, Una relazione tra (I)-integrabilità e (S)-integrabilità, Atti Accad.
Sc. Lett. Arti Palermo, V, II, Parte I (1981-82), p.89-100.
3. D.AVERNA, Sulla misurabilità delle funzioni di più variabili, Rend. Circ. Mat.
Palermo, II, XXXV (1986), p.22-31.
4. D.AVERNA - A.FIACCA, Alcuni risultati sui teoremi di G.Scorza Dragoni e
L.Tibaldo in spazi astratti, Riv. Mat. Univ. Parma, 4, 12 (1986), p.217-225.
5. D.AVERNA - A.FIACCA, Sulla proprietà di Scorza-Dragoni, Atti Sem. Mat.
Fis. Univ. Modena, XXXIII (1984), p.313-318.
6. L.ARDIZZONE - D.AVERNA, Misurabilità delle funzioni astratte di più
variabili, Atti Accad. Sc. Lett. Arti Palermo, V, VI, Parte I (1985-86), p.25-37.
7. D.AVERNA - T.CARDINALI, Sulla frontiera di una multifunzione a valori
compatti e convessi, Atti Accad. Sc. Lett. Arti Palermo, V, VI, Parte I (1985-86),
p.73-86.
8. D.AVERNA, Separation properties in X and 2X . Upper semicontinuous and
measurable multifunctions, Rend. Circ. Mat. Palermo, II, XXXVIII (1989),
p.140-151.
——————–, Corrigenda to the paper ..., Rend. Circ. Mat. Palermo, II, XLIII
(1994), p.447-448.
9. D.AVERNA, Separation properties in X and 2X . Measurable multifunctions and
graphs, Math. Slovaca, 41 (1991), No. 1, p.51-60.
10. D.AVERNA, Lusin type theorems for multifunctions, Scorza Dragoni’s property
and Carathéodory selections, Boll. U.M.I., (7) (8-A) (1994), p.193-201.
11. D.AVERNA, Regularization of closed-valued multifunctions in a non-metric
setting, Math. Slovaca, 44 (1994), No. 4, p.413-425.
———————, Errata to the paper ..., Math. Slovaca, 45 (1995), No. 1, p.105.
12. D.AVERNA, Weakly Pareto-optimal alternatives for a vector maximization
problem: existence and connectedness, preprint.
13. D.AVERNA - G.BONANNO, Existence of solutions for a multivalued boundary value problem with nonconvex and unbounded right-hand side, Annales Polonici
Mathematici, LXXI (1999), No. 3, p.253-271.
14. D.AVERNA - S.A.MARANO, Existence of solutions for operator inclusions: a
unified approach, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 102 (1999), p.285-303.
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15. D.AVERNA, Mixed existence theorems for first and second order differential
inclusions, Proceedings of the International Workshop ”On Operator Theory”, Cefalù
(Italy) July 14-19, 1997, Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo, II, 56 (1998), p.191-198.
16. D.AVERNA - S.A.MARANO, Existence theorems for inclusions of the type
Ψ(u)(t) ∈ F (t, Φ(u)(t)), Applicable Analysis, 72 (1999), p.449-458.
17. D.AVERNA - G.BONANNO, A three critical points theorem and its applications to the ordinary Dirichlet problem, Topol. Methods Nonlinear Anal., 22 (2003),
p. 93-104.
18. D.AVERNA - G.BONANNO, Three solutions for a quasilinear two point boundary value problem involving the one-dimensional p-Laplacian, Proc. Edinburgh Math.
Soc., 47 (2004), p. 257-270.
19. D.AVERNA - R.SALVATI, Three solutions for a mixed boundary value problem
involving the one-dimensional p-Laplacian, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 298 (2004), p. 245-260.
20. D.AVERNA - G.BONANNO, Three solutions for a Neumann boundary value
problem involving the p-Laplacian, Le Matematiche, 60 (2005), Fasc. I, p.81-91.
21. D.AVERNA - G.BONANNO, A mountain pass theorem for a suitable class of
functions, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 39 (2009), No. 3, p.707-727.
22. D.AVERNA - S.A.MARANO - D.MOTREANU, Multiple solutions for a Dirichlet problem with p-Laplacian and set-valued nonlinearity, Bull. Austral. Math. Soc.,
77 (2008), p.285-303.
23. D.AVERNA - N.GIOVANNELLI - E.TORNATORE, Existence of three solutions for a mixed boundary value problem with the Sturm-Liouville equation, Bull.
Korean Math. Soc., 49 (2012), No. 6, p.1213-1222.
24. D.AVERNA - S.M.BUCCELLATO - E.TORNATORE, On a mixed boundary
value problem involving the p-Laplacian, Le Matematiche, 66 (2011), Fasc. I, p.93104.
25. D.AVERNA - E.TORNATORE, Multiple solutions for a Sturm-Liouville problem with periodic boundary conditions, Boll. di mat. Pura ed appl., Vol. VI (2013),
p.45-53.
26. D.AVERNA - E.TORNATORE, Infinitely many weak solutions for a mixed
boundary value system with (p1 , ..., pm )-Laplacian, Electron. J. Qual. Theory Differ.
Equ., No. 57 (2014), p.1-8.
Attualmente svolge la sua attività di ricerca in collaborazione con il Prof.
G.Bonanno, dell’Università di Messina, con oggetto teoremi di esistenza di punti
critici multipli e applicazioni all’esistenza di soluzioni multiple per problemi differenziali, mediante l’approccio variazionale.
Vengono qui di seguito dati alcuni cenni sui risultati ottenuti nelle suddette
note.
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1. D.AVERNA, La almost quasi additività weak debole, Atti Accad. Sc. Lett. Arti
Palermo, IV, XL, Parte I (1980-81), p.5-24.
Nella prima parte di questa nota viene introdotto il concetto di funzione
vettoriale d’insieme almost quasi additiva weak debole.
Questo concetto
generalizza quello di funzione quasi additiva, introdotto da L.Cesari, nonché tutti
i concetti migliorativi della quasi additività introdotti fino alla data di stesura, pur
mantenendo la prerogativa di condizione sufficiente per l’integrabilità alla
Burkill-Cesari.
Nella seconda parte vengono proposte due definizioni di uniforme quasi additività
e sono caratterizzate le funzioni che godono di ciascuna di queste proprietà mediante
una rappresentazione del loro integrale.
2. D.AVERNA, Una relazione tra (I)-integrabilità e (S)-integrabilità, Atti Accad.
Sc. Lett. Arti Palermo, V, II, Parte I (1981-82), p.89-100.
In questa nota si esamina la questione relativa al rapporto esistente tra le due
definizioni di integrabilità in senso stretto e integrabilità in senso intermedio per
funzioni vettoriali di rettangolo, proposte rispettivamente da J.C.Burkill e C.Vinti.
Si stabilisce, a questo scopo, una condizione necessaria e sufficiente affinché una
funzione integrabile in senso intermedio sia integrabile in senso stretto.
3. D.AVERNA, Sulla misurabilità delle funzioni di più variabili, Rend. Circ. Mat.
Palermo, II, XXXV (1986), p.22-31.
In questa nota viene preso in esame il problema della misurabilità delle funzioni
definite in insiemi misurabili di uno spazio euclideo ed a valori in uno spazio metrico
Y.
Il Teorema 1 è una estensione di un risultato di J.H.Michael e B.C.Rennie per
funzioni in tale contesto.
Dal Teorema 1 viene dedotto che la quasi-separata continuità di una f : E→Y ,
E (misurabile) ⊂ IRp+q , è condizione necessaria e sufficiente perché essa sia
quasi-continua.
Infine, nel Teorema 2 viene fornita un’altra caratterizzazione per la misurabilità
globale di una f : IRp+q →Y , ove, oltre all’ipotesi necessaria di misurabilità di quasi
tutte le sezioni f (., x), figura una condizione su opportuni insiemi chiusi X(t) di IRq ,
relativamente ai quali la sezione f (t, .) è continua.
4. D.AVERNA - A.FIACCA, Alcuni risultati sui teoremi di G.Scorza Dragoni e
L.Tibaldo in spazi astratti, Riv. Mat. Univ. Parma, 4, 12 (1986), p.217-225.
Questa nota contiene alcune considerazioni su un teorema di L.Tibaldo e la
proprietà di Scorza Dragoni. In particolare, dopo avere osservato che la tesi del
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teorema di Tibaldo è più stringente della proprietà di Scorza Dragoni ed avere fornito
una estensione del teorema di Tibaldo, si dà una caratterizzazione della proprietà di
Scorza Dragoni in un contesto astratto, in cui le ben note condizioni di Carathéodory
non implicano la proprietà di Scorza Dragoni.
Seguono alcune considerazioni a proposito di un analogo risultato conseguito
precedentemente da B.Ricceri.
5. D.AVERNA - A.FIACCA, Sulla proprietà di Scorza-Dragoni, Atti Sem. Mat.
Fis. Univ. Modena, XXXIII (1984), p.313-318.
Assegnati uno spazio topologico di Hausdorff T munito di una misura di Radon, uno
spazio topologico X, uno spazio metrico Y ed una funzione f : T ×X→Y , si dimostra
che è sufficiente richiedere che X sia a base numerabile perché le
condizioni di Carathéodory implichino la proprietà di Scorza Dragoni, estendendo
cosı̀ un precedente risultato di B.Ricceri, in cui X è metrico separabile.
A tale scopo vengono utilizzati alcuni risultati del lavoro n.4.
Viene infine riportato un esempio che mostra che l’ipotesi che X sia a base
numerabile non può essere sostituita con quella di separabilità, nemmeno nel caso
in cui X sia di Lindelöff, T4 e soddisfi al primo assioma di numerabilità.
6. L.ARDIZZONE - D.AVERNA, Misurabilità delle funzioni astratte di più
variabili, Atti Accad. Sc. Lett. Arti Palermo, V, VI, Parte I (1985-86), p.25-37.
In questa nota viene ripreso il concetto di P-sistema, introdotto da J.Dravecky e
T.Neubrunn.
Tale concetto è utilizzato per formulare un teorema di misurabilità per funzioni
di più variabili, definite in un prodotto di spazi astratti, che contiene come casi
particolari il Teorema 1 del lavoro n.3 ed alcuni risultati di R.O.Davies e J.Dravecky.
Viene, inoltre, proseguito lo studio degli spazi misurabili muniti di P-sistema,
esaminando in particolare la possibilità di definire su tali spazi una opportuna
topologia a base numerabile, dall’esistenza della quale si deduce una
caratterizzazione degli spazi misurabili topologici che ammettono un P-sistema
regolare, a completamento dei risultati di J.Dravecky e T.Neubrunn.
7. D.AVERNA - T.CARDINALI, Sulla frontiera di una multifunzione a valori
compatti e convessi, Atti Accad. Sc. Lett. Arti Palermo, V, VI, Parte I (1985-86),
p.73-86.
In questa nota vengono studiate proprietà di multifunzioni F definite in uno spazio
topologico T ed a valori in una famiglia non vuota di sottoinsiemi compatti e convessi
di IRn (n ≤ 3) e aventi interno non vuoto.
7
Il risultato principale, conseguito per n = 2 e n = 3, è il seguente: F è continua in
t0 ∈ T ⇔∂F è semicontinua inferiormente in t0 ∈ T .
Questo risultato ne estende uno analogo ottenuto da M.D.P.Monteiro Marques, nel
caso n = 1.
8. D.AVERNA, Separation properties in X and 2X . Upper semicontinuous and
measurable multifunctions, Rend. Circ. Mat. Palermo, II, XXXVIII (1989),
p.140-151.
——————–, Corrigenda to the paper ..., Rend. Circ. Mat. Palermo, II, XLIII
(1994), p.447-448.
In questa nota vengono studiate le relazioni esistenti tra alcune proprietà di
separazione (numerabile separazione) in uno spazio topologico (X, τX ), le condizioni
corrispondenti nello spazio 2X di tutti i sottoinsiemi chiusi e non vuoti di X, munito
della topologia finita (della σ-algebra σ(U+ ) generata dalla famiglia U+ = { < U >:
U ∈τX }, ove < U > denota la classe di tutti i sottoinsiemi chiusi e non vuoti di U ),
e le proprietà di chiusura (misurabilità) del grafico delle multifunzioni semicontinue
(misurabili) a valori in X.
L’esempio 2.1 non corretto. Nella nota Corrigenda to the paper ... viene rettificato
l’errore e si stabilisce, utilizzando risultati della nota principale, che la regolarità di X
è equivalente all’assioma di Hausdorff per 2X , ottenendo cosı̀ nella massima generalità
il classico risultato di E.Michael nella sua celebre nota Topologies on spaces of subset,
Trans. Amer. Math. Soc., 71 (1951), p.152-182, ove si richiedeva che lo spazio X
fosse T1 .
9. D.AVERNA, Separation properties in X and 2X . Measurable multifunctions and
graphs, Math. Slovaca, 41 (1991), No. 1, p.51-60.
Si studiano, in un contesto generale, le relazioni tra alcune proprietà di numerabile
separazione di uno spazio X per mezzo di una famiglia U di insiemi misurabili, la
numerabile separazione dello spazio 2X , munito di una opportuna σ-algebra costruita
per mezzo di U, e la misurabilità del grafico delle multifunzioni U-misurabili. Possono
essere dedotti diversi risultati particolari notevoli, che fanno riferimento a proprietà
di separazione e di misurabilità di vario tipo.
Viene inoltre stabilita una connessione con il problema della misurabilità delle
funzioni di più variabili (lavoro n.6), facendo vedere che la proprietà di numerabile
separazione di X per mezzo di tutti gli insiemi misurabili è equivalente all’esistenza
su X di un P-sistema regolare.
10. D.AVERNA, Lusin type theorems for multifunctions, Scorza Dragoni’s property
and Carathéodory selections, Boll. U.M.I., (7) (8-A) (1994), p.193-201.
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Dopo avere provato due teoremi di tipo Lusin per multifunzioni, si conseguono
alcuni teoremi sulla proprietà di Scorza Dragoni.
La caratteristica principale di tali teoremi consiste nel fatto che le multifunzioni
in esame sono definite e, salvo alcuni casi, hanno valori in un contesto in cui non è
definita alcuna metrica. Per dimostrare questi teoremi viene introdotta ed utilizzata
una funzione δ, in sostituzione della funzione distanza punto-insieme generalmente
utilizzata in contesti metrici. Tale funzione δ assume due soli valori e segnala quando
due opportuni insiemi, uno proveniente da una base della topologia dello spazio di
arrivo della multifunzione in esame, l’altro dall’insieme dei valori della multifunzione,
si intersecano o meno.
Come applicazione viene fornito un teorema di esistenza di selezioni di
Carathéodory.
Alcuni dei risultati conseguiti sono nuovi, altri estendono risultati precedenti di
C.Castaing, Z.Artstein & K.Prikry, G.Bonanno.
11. D.AVERNA, Regularization of closed-valued multifunctions in a non-metric
setting, Math. Slovaca, 44 (1994), No. 4, p.413-425.
———————, Errata to the paper ..., Math. Slovaca, 45 (1995), No. 1, p.105.
Utilizzando la funzione δ introdotta nel lavoro n.10 ed anche alcuni risultati del
lavoro n.10, si studia il problema della regolarizzazione di multifunzioni di una o più
variabili, fornendo teoremi di esistenza di regolarizzazioni per multifunzioni Φ : T →
Z e F : T × X → Y , ove T è uno spazio topologico misurabile e X, Y e Z sono spazi
topologici a base numerabile. Utilizzando il Teorema di selezione di Sainte-Beuve, si
forniscono anche teoremi di unicità.
I risultati conseguiti estendono quelli di un precedente lavoro di T.Rzeżuchowki,
in cui gli spazi X, Y e Z sono metrici separabili.
A causa di un disguido postale la nota è andata in stampa senza tenere conto della
correzione delle bozze. L’Errata riporta le modifiche da apportare.
12. D.AVERNA, Weakly Pareto-optimal alternatives for a vector maximization
problem: existence and connectedness, preprint.
Viene studiata l’esistenza di punti debolmente Pareto-ottimali per funzioni definite
in uno spazio topologico vettoriale a valori vettoriali e la connessione dell’insieme di
tali punti. I risultati conseguiti generalizzano quelli precedenti di A.R.Warburton.
Si studia, inoltre, l’esistenza di punti debolmente Pareto-ottimali uniformi rispetto
ad un parametro. Alcuni dei risultati ottenuti estendono un teorema di esistenza di
B.Ricceri, dal quale era stata proposto lo studio del problema.
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13. D.AVERNA - G.BONANNO, Existence of solutions for a multivalued boundary value problem with nonconvex and unbounded right-hand side, Annales Polonici
Mathematici, LXXI (1999), No. 3, p.253-271.
n
Sia F : [a, b] × IRn × IRn → 2IR una multifunzione a valori non vuoti e chiusi e si
consideri il problema ai limiti
(
u00 ∈ F (t, u, u0 )
u(a) = u(b) = 0.
(PF )
Il risultato principale di questa nota afferma che, se F (t, x, z) è (globalmente)
misurabile, semicontinua inferiormente rispetto a (x, z) e la funzione d(0, F (., x, z))
soddisfa una condizione di crescita, allora il problema (PF ) può essere sostituito con
un altro (PG ), il cui secondo membro è una opportuna multifunzione G a valori
convessi, in quanto ogni soluzione generalizzata del problema (PG ) è anche una
soluzione generalizzata del problema (PF ).
Nel corso della dimostrazione, si fa uso delle selezioni direzionalmente continue
di A.Bressan, che vengono utilizzate per multifunzioni a valori non necessariamente
equilimitati.
Ne consegue facilmente un Teorema di esistenza per il problema (PF ).
In applicazione dei risultati conseguiti, si dà un teorema di esistenza di soluzioni
generalizzate per un problema ai limiti relativo ad una equazione ordinaria non lineare
in forma implicita f (t, u, u0 , u00 ) = 0, in cui, rispetto ad un recente analogo risultato
di S.A.Marano, non è richiesto che u00 sia limitata né che f sia continua.
14. D.AVERNA - S.A.MARANO, Existence of solutions for operator inclusions: a
unified approach, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 102 (1999), p.285-303.
In questo lavoro si studiano inclusioni del tipo
(
u∈U
Ψ(u)(t) ∈ F (t, Φ(u)(t)) q.o. in [a, b],
(P)
dove, detti X e Y due spazi di Banach separabili e U un insieme non vuoto,
Φ : U → M ([a, b], X) e Ψ : U → Ls ([a, b], X), s ∈ [1, +∞], sono due operatori
verificanti opportune condizioni di compatibilità.
Particolarizzando gli operatori Φ e Ψ, si ottengono diverse concrete situazioni
tipiche. Ad esempio, se X = Y = IRn , (t0 , x0 ) ∈ [a, b]×IRn , U = {u ∈ W 1,s ([a, b], IRn ) :
u(t0 ) = x0 }, posto Φ(u) = u e Ψ(u) = u0 , si ottiene il problema di Cauchy
(
u0 ∈ F (t, u)
u(t0 ) = x0 .
10
Oppure, se X = IRn × IRn , Y = IRn , U = {u ∈ W 2,s ([a, b], IRn ) : u(a) = u(b) = 0},
posto Φ(u) = (u, u0 ) e Ψ(u) = u00 , si ottiene il problema ai limiti
(
u00 ∈ F (t, u, u0 )
u(a) = u(b) = 0.
E’ affrontato il problema dell’esistenza di soluzioni per il problema (P), utilizzando
sulla multifunzione F ipotesi miste di regolarità.
Nel caso particolare del primo esempio, il Teorema di esistenza conseguito migliora
precedenti risultati di C.Olech (1975), S.Lojasiewicz jr. (1985) e C.J.Himmelberg
- F.S.Van Vleck (1986) e risolve un problema posto da K.Deimling nel suo libro
Multivalued Differential equations del 1993.
Nel caso particolare di un problema ai limiti per inclusioni differenziali del II ordine, il Teorema di esistenza conseguito contiene come caso particolare il Teorema di
esistenza ottenuto nel lavoro n.13.
15. D.AVERNA, Mixed existence theorems for first and second order differential
inclusions, Proceedings of the International Workshop ”On Operator Theory”, Cefalù
(Italy) July 14-19, 1997, Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo, II, 56 (1998), p.191-198.
In questa nota vengono trattate in dettaglio due applicazioni particolarmente rilevanti del Teorema di esistenza per inclusioni operatoriali conseguito nel lavoro n.14:
il problema di Cauchy
(
u0 ∈ F (t, u)
u(t0 ) = x0
per inclusioni differenziali del primo ordine, ed il problema ai limiti
(
u00 ∈ F (t, u, u0 )
u(a) = u(b) = 0
per inclusioni differenziali del secondo ordine.
16. D.AVERNA - S.A.MARANO, Existence theorems for inclusions of the type
Ψ(u)(t) ∈ F (t, Φ(u)(t)), Applicable Analysis, 72 (1999), p.449-458.
Siano (T, F, µ) uno spazio mensurale σ-finito, X e Y due spazi di Banach separabili, F una multifunzione da T × X in Y a valori convessi e chiusi. Si denoti
con M (T, X) (rispettivamente, L1 (T, Y )) lo spazio di tutte le classi di equivalenza
delle funzioni µ-misurabili (rispettivamente, µ-integrabili secondo Bochner) da T in
X (rispettivamente, Y ).
11
Assegnati un insieme non vuoto U e due operatori Φ : U → M (T, X), Ψ : U →
L1 (T, Y ), consideriamo il problema
(
u∈U
Ψ(u)(t) ∈ F (t, Φ(u)(t)) in T .
(P)
Si dice che u ∈ U è una soluzione di (P) quando Ψ(u)(t) ∈ F (t, Φ(u)(t)) per µ-quasi
ogni t ∈ T .
Supponendo µ(T ) < +∞, lo spazio Y finito-dimensionale e Φ, Ψ soddisfacenti
opportune condizioni di compatibilità, O. Naselli Ricceri e B. Ricceri, nel 1990, hanno
provato che il problema (P) ha almeno una soluzione. Grazie alla generalità dei dati,
tale risultato può essere utilizzato in numerose situazioni concrete. Ad esempio,
esso si è rivelato molto utile per studiare diverse questioni concernenti equazioni o
inclusioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali in domini limitati. Tuttavia
il teorema non può evidentemente essere applicato alle equazioni in domini illimitati
o negli spazi di Banach.
Partendo da questa osservazione e proseguendo l’indagine iniziata nel lavoro n.14,
nella presente nota si generalizza il risultato suddetto permettendo µ(T ) ≤ +∞, Y
infinito-dimensionale (ma riflessivo) e assumendo una condizione di compatibilità fra
Φ e Ψ meno restrittiva di quella introdotta da O. Naselli Ricceri e B. Ricceri. Vengono
poi presentate alcune applicazioni nell’ambito delle equazioni ellittiche semilineari in
tutto IRn , delle equazioni integrali in spazi di Banach e delle equazioni differenziali
ordinarie con argomento traslato.
17. D.AVERNA - G.BONANNO, A three critical points theorem and its applications to the ordinary Dirichlet problem, Topol. Methods Nonlinear Anal., 22 (2003),
p. 93-104.
Lo scopo del presente lavoro è duplice: da un punto di vista teorico stabilire
un nuovo teorema di esistenza di tre punti critici per funzionali dipendenti da un
parametro reale, diverso da quello fornito recentemente da B.Ricceri (Arch. Math.
75 (2000), p.220-226), nel senso che esso permette di stabilire un limite inferiore per
l’intervallo in cui varia il parametro, consentendo pertanto l’individuazione di concreti valori del parametro stesso; dal punto di vista applicativo fornire teoremi di
esistenza per il problema di Dirichlet dipendente da un parametro che assicurino un
limite inferiore per l’intervallo dei parametri e, in particolare, un teorema di esistenza
di tre soluzioni classiche per il problema di Dirichlet con parametro λ = 1, distinto da
quello fornito da J.Henderson e H.B.Thompson (J.Differential Equations 166 (2000),
p.443-454), e pertanto utilizzabile in situazioni in cui non può essere applicato il
risultato dei predetti Autori. Una di tali situazioni è riportata come esempio.
12
18. D.AVERNA - G.BONANNO, Three solutions for a quasilinear two point boundary value problem involving the one-dimensional p-Laplacian, Proc. Edinburgh Math.
Soc., 47 (2004), p. 257-270.
In questo lavoro, mediante l’uso del teorema di esistenza di tre punti critici ottenuto
nel lavoro n.17, si studia il seguente problema quasilineare:
(
0
− (|u0 |p−2 u0 ) = λf (t, u)h(u0 )
u(0) = u(1) = 0,
ove f : [0, 1] × IR → IR è una funzione continua, h : IR → IR è una funzione continua
e limitata tale che 0 < inf h, p > 1, e λ è un parametro positivo.
Il problema in questione generalizza al caso non autonomo, dipendente dalla derivata prima e riguardante il p-Laplaciano ordinario, quello già studiato nel lavoro n.17.
Per esso viene fornito un teorema di esistenza di tre soluzioni classiche quando il
parametro λ si trova in un opportuno intervallo. La dipendenza dalla derivata prima
rende non immediato l’approccio variazionale, che è qui studiato in dettaglio.
19. D.AVERNA - R.SALVATI, Three solutions for a mixed boundary value problem
involving the one-dimensional p-Laplacian, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 298 (2004), p.245-260.
In questo lavoro, mediante l’uso del teorema di esistenza di tre punti critici ottenuto
nel lavoro n.17, si studiano i seguenti problemi misti:
(
e
(
0
− (|u0 |p−2 u0 ) = λf (t, u)
u(a) = u0 (b) = 0,
0
− (|u0 |p−2 u0 ) + |u|p−2 u = λf (t, u)
u(a) = u0 (b) = 0,
ove f : [0, 1] × IR → IR è una funzione L1 -Carathéodory, p > 1, e λ è un parametro
positivo.
Per ciascuno dei suddetti problemi si individua un concreto intervallo di valori
di λ per cui il problema ha almeno tre soluzioni generalizzate. Viene poi messa in
luce l’importanza dell’individuazione concreta di tale intervallo attraverso numerose
conseguenze e si osserva che il risultato di esistenza relativo al secondo problema può
anche essere ottenuto per mezzo dei risultati ottenuti per il primo problema.
20. D.AVERNA - G.BONANNO, Three solutions for a Neumann boundary value
problem involving the p-Laplacian, Le Matematiche, 60 (2005), Fasc. I, p.81-91.
In questa nota viene fornita un’ulteriore applicazione del teorema di esistenza di
tre punti critici ottenuto nel lavoro n.17 al seguente problema di Neumann
(
−∆p u + a(t)|u|p−2 u = λf (t, u) in Ω
∂u
=0
su ∂Ω,
∂ν
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ove, dato un sottoinsieme aperto non vuoto Ω di IRn , con frontiera di classe C 1 ,
∆p = div(|∇u|p−2 ∇u), (p > n), è il p-Laplaciano, a ∈ L∞ con essinf Ω a > 0, λ è un
parametro reale positivo, f : Ω × IR → IR è una funzione continua, e ν è il versore
normale esterno a ∂Ω.
21. D.AVERNA - G.BONANNO, A mountain pass theorem for a suitable class of
functions, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 39 (2009), No. 3, p.707-727.
Scopo principale di questo lavoro è stabilire un risultato dei tre punti critici senza
assumere la coercività dei funzionali coinvolti. A questo fine, un teorema del mountainpass è presentato, dove l’usuale condizione di Palais-Smale non è richiesta. Questi
risultati sono applicati a provare l’esistenza di tre soluzioni per un problema di Dirichlet con condizioni non asintotiche.
22. D.AVERNA - S.A.MARANO - D.MOTREANU, Multiple solutions for a Dirichlet problem with p-Laplacian and set-valued nonlinearity, Bull. Austral. Math. Soc.,
77 (2008), p.285-303.
Siano Ω un dominio limitato di RN , N ≥ 3, con frontiera ∂Ω sufficientemente regolare,
p ∈]1, +∞[, (x, t) 7→ g(x, t) una funzione reale definita in Ω × R, misurabile rispetto
a ciascuna variabile separatamente e limitata sugli insiemi limitati, nonché
G(x, ξ) :=
Z ξ
0
g(x, t)dt,
(x, ξ) ∈ Ω × R.
Nella presente nota viene studiato il problema di Dirichlet omogeneo
(
−∆p u ∈ λ|u|p−2 u − ∂G(x, u)
u=0
in Ω,
su ∂Ω,
(D)
dove ∆p u := div(|∇u|p−2 ∇u) è il cosiddetto p-laplaciano, λ ∈ R, mentre ∂G(x, u(x))
denota il gradiente generalizzato (secondo Clarke) di ξ 7→ G(x, ξ) nel punto u(x). La
funzione u ∈ W01,p (Ω) è detta una soluzione di (D) se esiste η ∈ Lp/(p−1) (Ω) tale che
η(x) ∈ ∂G(x, u(x)) q.o. in Ω e, inoltre,
Z
Ω
|∇u|p−2 ∇u · ∇ϕ dx +
Z
Ω
(η − λ|u|p−2 u) ϕ dx = 0 ∀ ϕ ∈ W01,p (Ω).
Il risultato principale (Teorema 4.1) del lavoro assicura l’esistenza di almeno tre
soluzioni non banali u− , u+ , u0 ∈ C01 (Ω) del problema (D) tali che u− < 0 < u+ in
Ω, mentre u0 cambia di segno in Ω, purché λ sia maggiore del secondo autovalore
dell’operatore −∆p in W01,p (Ω).
Per p = 2 e (x, t) 7→ g(x, t) indipendente da x e continua rispetto a t, ci si riconduce
al problema
−∆u = λu − g(u) in Ω, u = 0 su ∂Ω,
precedentemente studiato da vari Autori, fra cui Ambrosetti - Mancini (1979), Ambrosetti - Lupo (1984) e Struwe (1982; 1996).
14
23. D.AVERNA - N.GIOVANNELLI - E.TORNATORE, Existence of three solutions for a mixed boundary value problem with the Sturm-Liouville equation, Bull.
Korean Math. Soc., 49 (2012), No. 6, p.1213-1222.
Lo scopo di questo lavoro è quello di stabilire l’esistenza di tre soluzioni per un
problema di Sturm-Liouville con condizioni al contorno miste. L’approccio si basa
su più teoremi di punti critici multipli.
24. D.AVERNA - S.M.BUCCELLATO - E.TORNATORE, On a mixed boundary
value problem involving the p-Laplacian, Le Matematiche, 66 (2011), Fasc. I, p.93104.
Usando metodi variazionali e recenti teoremi di punto critico (Ricceri, Bonanno
e Molica Bisci, Bonanno e Marano) si esamina seguente problema che coinvolge il
p-laplaciano e con condizioni miste al bordo
(
−(r|u0 |p−2 u0 )0 + s|u|p−2 u = λf (t, u) in I =]a, b[
u(a) = u0 (b) = 0
(RDλ )
dove p > 1, λ parametro positivo, f : [a, b] × R → R è una funzione L2 -Carathéodory
e r, s ∈ L∞ ([a, b]) tali che
r0 = ess inf r(t) > 0, s0 = ess inf s(t) ≥ 0.
t∈[a,b]
t∈[a,b]
In questo lavoro, sotto opportune ipotesi di oscillazione del termine non lineare,
si è provata l’esistenza di infinite soluzioni del problema con λ appartenente ad un
appropriato intervallo. Inoltre si è provata l’esistenza di almeno tre soluzioni del
problema, per λ appartenente ad un appropriato intervallo, sotto opportune ipotesi
sul termine non lineare f che conducono a condizioni di coercività.
25. D.AVERNA - E.TORNATORE, Multiple solutions for a Sturm-Liouville problem with periodic boundary conditions, Boll. di mat. Pura ed appl., Vol. VI (2013),
p.45-53.
26. D.AVERNA - E.TORNATORE, Infinitely many weak solutions for a mixed
boundary value system with (p1 , ..., pm )-Laplacian, Electron. J. Qual. Theory Differ.
Equ., No. 57 (2014), p.1-8.
15
ATTIVITA’ DIDATTICA
Il Prof. Diego Averna ha fatto parte nel passato dei Consigli di Corso di Studi in
Ingegneria Civile, in Ingegneria Edile e in Ingegneria per L’Ambiente ed il Territorio
dell’Università di Palermo. Attualmente egli fa parte del Consiglio di Corso di Studi
in Matematica dell’Università di Palermo.
Egli ha svolto, a partire dall’anno accademico 1983/84, i seguenti corsi di
esercitazioni:
1983/84 : Analisi Matematica I
Analisi Matematica I
1984/85 : Analisi Matematica II
Analisi Matematica II
1985/86
1986/87
1987/88
1988/89
1989/90
1990/91
1991/92
:
:
:
:
:
:
:
Analisi
Analisi
Analisi
Analisi
Analisi
Analisi
Analisi
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
Matematica
I
II
I
II
I
II
I
1992/93 : Analisi Matematica II
1993/94 : Analisi Matematica II
(corso di Ingegneria civile)
(corso di Ingegneria elettronica
ed elettrotecnica)
(corso di Ingegneria civile)
(corso di Ingegneria meccanica,
chimica, aeronautica, nucleare)
(corso di Ingegneria civile)
(corso di Ingegneria civile)
(corso di Ingegneria civile)
(corso di Ingegneria civile)
(corso di Ingegneria civile)
(corso di Ingegneria civile)
(corso di Ingegneria civile (A-P)
ed edile (A-P))
(corso di Ingegneria civile
ed edile)
(corso di Ingegneria civile
ed edile)
16
Inoltre, a partire dall’anno 1991/92, egli ha tenuto per supplenza i seguenti Corsi
di lezioni:
1991/92 : Analisi Matematica I
1992/93 :
1993/94 :
1994/95 :
1995/96 :
1996/97 :
1997/98 :
1998/99 :
1999/00 :
2000/01
2001/02
2002/03
(corso di Ingegneria civile (P-Z),
edile (P-Z), elettrica e nucleare)
Analisi Matematica I
(corso di Ingegneria civile (A-M)
ed edile (A-M))
Analisi Matematica I
(corso di Ingegneria civile (A-M)
ed edile (A-M))
Analisi Matematica I
(corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio (A-I), civile (A-I),
edile (A-I))
Analisi Matematica II
(corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio, civile)
Analisi Matematica I
(corso di Ingegneria civile)
Analisi Matematica II
(corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio, civile, edile)
Analisi Matematica I
(corso di Ingegneria civile)
Analisi Matematica II
(corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio, civile)
Analisi Matematica I
(corso di laurea in Matematica)
Analisi Matematica I
(corso di Ingegneria aerospaziale,
civile)
Corso di recupero
Facoltà di Ingegneria
Matematica A (N.O.)
(corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio)
Matematica B (N.O.)
(corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio)
Matematica A (N.O.)
(corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio)
Matematica B (N.O.)
(corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio)
Analisi Matematica 1 (N.O.) (corso di laurea in Matematica)
17
Inoltre, a partire dall’anno 2003/04, egli ha tenuto per carico didattico i seguenti
Corsi di lezioni:
2003/04 Analisi 1 (N.O.) (supplenza) (corso di Ingegneria per l’ambiente
ed il territorio)
Analisi Matematica I (N.O.) (corsi di laurea in Matematica e M.I.F.)
2005/06 Analisi Funzionale (L.S.)
(corso di laurea Specialistica in
Matematica)
2006/07 Analisi Funzionale (L.S.)
(corso di laurea Specialistica in
Matematica)
2007/08 Analisi Funzionale (L.S.)
(corso di laurea Specialistica in
Matematica)
2008/09 Analisi Funzionale (L.S.)
(corso di laurea Specialistica in
Matematica)
2009/10 Analisi Funzionale (L.S.)
(corso di laurea Specialistica in
Matematica)
2010/11 Analisi Funzionale (L.M.)
(corso di laurea Magistrale in
Matematica)
2011/12 Analisi Funzionale (L.M.)
(corso di laurea Magistrale in
Matematica)
2012/13 Analisi Funzionale (L.M.)
(corso di laurea Magistrale in
Matematica)
2013/14 Analisi Funzionale (L.M.)
(corso di laurea Magistrale in
Matematica)
2014/15 Analisi Funzionale (L.M.)
(corso di laurea Magistrale in
Matematica)
Egli ha inoltre partecipato costantemente alle commissioni di esami ed ha prestato
assistenza didattica agli studenti dei corsi suddetti, curando anche un sito web
(www.unipa.it/averna/) contenente tutto il materiale didattico e le schede degli esercizi di esami dei corsi da lui fin qui tenuti.
04/12/2014
Diego Averna