Elettrostatica - Fabio Panozzo

Istituto di formazione professionale Don Bosco
Settore elettrico
ELETTROTECNICA – Eserciziario
A.S. 2014–2015
CIRCUITI ELETTRICI, CAMPI ELETTRICI E
MAGNETICI e MACCHINE ELETTRICHE
Fabio PANOZZO
Capitolo 2
Elettrostatica
2.1
Grandezze utilizzate
Simbolo
Definizione
Unità di misura
Simbolo unità di misura
Q
Carica elettrica
coulomb
C
t
Tempo
secondi
s
E
Campo elettrico
newton
coulomb
N
C
F
Forza
newton
N
d
Distanza
metro
m
k
Costante di Coulomb
newton metri quadrati
coulomb quadrati
Nm2
C2
C
Capacità
farad
F
V
Tensione
volt
V
S
Superficie
metri quadrati
m2
ε
Costante dielettrica (permittività)
farad
metro
F
m
τ
Costante di tempo
secondi
s
R
Resistenza
ohm
Ω
I
Corrente
ampere
A
T
Tempo di carica / scarica
secondi
s
4
2.2. FORMULARIO
2.2
5
Formulario
Campo elettrico
I=
Q
t
t=
Q
I
(2.1)
Q=I ·t
1 coulomb è all’incirca 6, 24 · 1018 volte la carica di un elettrone
(2.2)
E=
F
q
q=
F
E
F =E·q
(2.3)
E=
V
d
d=
V
E
V =E·d
(2.4)
F =k
|q1 | · |q2 |
d2
k = 8, 99 · 109
(2.5)
Condensatore
C=
Q
V
C=ε
V =
S
d
Q
C
d=ε
ε0 = 8, 858 · 10−12
S
C
ε
ε0
Ceq =
Collegamento in parallelo
(2.7)
ε = εr · ε0
(2.8)
1
(2.9)
Ceq =
C1 · C2
C1 + C2
Ceq = C1 + C2 + · · · + CN
R=
T =5·τ
C ·d
ε
1
1
1
+
+ ··· +
C1 C2
CN
Collegamento in serie con 2 condensatori
τ =R·C
(2.6)
S=
εr =
Collegamento in serie
Q=C ·V
τ
C
C=
τ=
T
5
τ
R
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
6
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
Equivalenze tra grandezze
Nome
Mega
Chilo
Grandezza
Milli
Micro
Nano
Pico
Simbolo
MF
kF
F (Farad)
mF
µF
nF
pF
Esponenziale
106
103
100
10−3
10−6
10−9
10−12
1.000.000
1.000
1
0, 001
0, 000001
0, 000000001
0, 000000000001
Decimale
2.3
Esercizi
Esercizio 2.1
Si vuole calcolare l’intensità di corrente elettrica che scorre in un filo. Da una osservazione di 30 s
si è misurato un passaggio di carica elettrica di 6 mC.
[I = 0, 2 mA]
Dati
t = 30 s
Q = 6 mC
I=?
Risoluzione
Innanzitutto occorre trasformare la carica elettrica da mC a C:
6 mC = 6 · 10−3 C
I=
Q
6 · 10−3
=
= 0, 2 · 10−3 A
t
30
0, 2 · 10−3 A = 0, 2 mA
Esercizio 2.2
Si vuole calcolare la carica elettrica passata in un filo in 3 minuti sapendo che nel filo scorre una
corrente elettrica di 5 mA.
[Q = 900 mC]
Dati
t = 3 minuti
I = 5 mA
Q=?
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
3 minuti = 180 s
5 mA = 5 · 10−3 A
2.3. ESERCIZI
7
Q = I · t = 5 · 10−3 · 180 = 900 · 10−3 C
900 · 10−3 C = 900 mC
Esercizio 2.3
Una carica di 3 mC è immersa in un campo elettrico e subisce una forza di 6 N. Quanto vale il
!
"
N
campo elettrico?
E=2
C
Dati
q = 3 mC
F =6N
E=?
Risoluzione
Innanzitutto occorre trasformare la carica elettrica da mC a C:
3 mC = 3 · 10−3 C
E=
F
6
N
=
= 2 · 103
−3
q
3 · 10
C
2 · 103
Esercizio 2.4
In un campo elettrico di 3
dal campo sulla carica?
N
kN
=2
C
C
N
viene immersa una carica di 8 mC. Quanto vale la forza esercitata
C
[F = 24 mN]
Dati
N
C
q = 8 mC
E=3
F =?
Risoluzione
Innanzitutto occorre trasformare la carica elettrica da mC a C:
8 mC = 8 · 10−3 C
F = E · q = 3 · 8 · 10−3 = 24 · 10−3 N
24 · 10−3 N = 24 mN
Esercizio 2.5
Calcolare la forza di interazione di due cariche elettriche positive di 2 C e 6 C poste ad una distanza
di 3 m. La forza è attrattiva o repulsiva?
Dati
q1 = 2 C
q2 = 6 C
[F = 11, 97 · 109 N; repulsiva]
8
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
d=6m
F =?
Risoluzione
F =k
|q1 | · |q2 |
2·6
= 8, 99 · 109 · 2 = 11, 97 · 109 N
2
d
3
Esercizio 2.6
Un condensatore a facce piane utilizza come dielettrico la gomma sintetica e presenta le superfici
di 3, 5 m2 poste alla distanza di 215 µm. Calcolare la capacità del condensatore.
[C = 0, 43 µF]
Costante dielettrica assoluta dell’aria ε0 = 8, 86 · 10−12 .
Dati
S = 3, 5 m2
d = 215 µm
C=?
Risoluzione
Innanzitutto bisogna trasformare la distanza da µm a m:
215 µm = 215 · 10−6 m
Dalle tabelle conosciamo che la costante dielettrica relativa della gomma sintetica è εr = 3, da cui
possiamo ricavare la costante dielettrica assoluta
ε = εr · ε0 = 3 · 8, 86 · 10−12 = 26, 58 · 10−12
F
m
Ora è possibile calcolare la capacità del condensatore
C=ε
S
3, 5
= 26, 58 · 10−12
= 0, 43 · 10−6 F
d
215 · 10−6
0, 43 · 10−6 F = 0, 43 µF
Esercizio 2.7
Determinare la distanza a cui sono poste le armature di un condensatore che misurano 6, 25 dm2
sapendo che tra loro vi è dell’aria e la capacità del condensatore è di 2.550 pF.
[d = 217 µm]
Costante dielettrica assoluta dell’aria ε = 8, 86 · 10−12 .
Dati
S = 6, 25 dm2
C = 2.550 pF
d=?
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
6, 25 dm2 = 6, 25 · 10−2 m2
2.3. ESERCIZI
9
2550 pF = 2.550 · 10−12 F
d=ε
S
6, 25 · 10−2
= 8, 86 · 10−12
= 0, 0217 · 10−2 m
C
2.550 · 10−12
0, 0217 · 10−2 m = 217 µm
Esercizio 2.8
Data la rete capacitiva in figura, calcolare la capacità equivalente tra i morsetti A e B.
a
[Ceq = 1 µF]
C1 = 2 µF
C2 = 3 µF
C3 = 6 µF
Ceq = ?
Risoluzione
I tre condensatori sono posti in serie, quindi per calcolare l’equivalente è necessario usare la seguente
formula:
Ceq =
1
1
1
1
=
=
= = 1 µF
1
1
1
1 1 1
3+2+1
6
+
+
+ +
C1 C 2 C 3
2 3 6
6
6
Esercizio 2.9
Data la rete capacitiva in figura, calcolare la capacità equivalente tra i morsetti A e B.
a
[Ceq = 10 µF]
C1 = 4 µF
C2 = 1 µF
C3 = 5 µF
Ceq = ?
Risoluzione
I tre condensatori sono posti in parallelo, quindi per calcolare l’equivalente è necessario usare la
seguente formula:
Ceq = C1 + C2 + C3 = 4 + 1 + 5 = 10 µF
Esercizio 2.10
Data la rete capacitiva in figura, calcolare la capacità equivalente tra i morsetti A e B.
a
C1 = 6 mF
C2 = 5 mF
C3 = 7 mF
C4 = 4 mF
Ceq = ?
[Ceq = mF ]
10
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
Risoluzione
I condensatori C2 e C3 sono posti in parallelo:
C2,3 = C2 + C3 = 5 + 7 = 12 mF
I tre condensatori rimanenti, C1 , C2,3 e C4 , sono in serie:
Ceq =
1
1
=
= 2 mF
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
C1 C2,3 C4
6 12 4
Esercizio 2.11
Data la rete capacitiva in figura, calcolare la capacità equivalente tra i morsetti A e B.
a
[Ceq = 2 µF]
C1 = 2 µF
C2 = 15 µF
C3 = 12 µF
C4 = 4 µF
C5 = 9 µF
C6 = 9 µF
C7 = 4 µF
C8 = 12 µF
C9 = 12 µF
C10 = 12 µF
C11 = 4 µF
Ceq = ?
Risoluzione
I condensatori C1 e C4 sono in parallelo:
C1,4 = C1 + C4 = 2 + 4 = 6 µF
I condensatori C2 e C5 sono in parallelo:
C2,5 = C2 + C5 = 15 + 9 = 24 µF
I condensatori C3 e C7 sono in serie:
C3,7 =
C 3 · C7
12 · 4
48
=
=
= 3 µF
C 3 + C7
12 + 4
16
I condensatori C8 , C9 e C10 sono in serie:
C8,9,10 =
1
1
=
= 4 µF
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
C8 C9 C10
12 12 12
2.3. ESERCIZI
11
I condensatori C3,7 e C6 sono in parallelo:
C3,6,7 = C3,7 + C6 = 3 + 9 = 12 µF
I condensatori C2,5 e C3,6,7 sono in serie:
C2,3,5,6,7 =
C2,5 · C3,6,7
24 · 12
=
= 8 µF
C2,5 + C3,6,7
24 + 12
I condensatori C2,3,5,6,7 e C8,9,10 sono in parallelo:
C2,3,5,6,7,8,9,10 = C2,3,5,6,7 + C8,9,10 = 8 + 4 = 12 µF
I condensatori C1,4 , C2,3,5,6,7,8,9,10 e C11 sono in serie:
Ceq =
1
1
1
1
+
+
C1,4 C2,3,5,6,7,8,9,10 C11
=
1
= 2 µF
1
1
1
+
+
6 12 4
Esercizio 2.12
Le facce piane e parallele di un condensatore hanno una superficie di 4, 5 m2 e sono poste ad una
distanza di 8 mm. Tra le due armature, come dielettrico, è utilizzata l’aria. Tra le due armature
viene posto uno strato di 2 mm di porcellana. Si calcoli la capacità del condensatore. [C = 6, 3 nF]
Costante dielettrica assoluta dell’aria ε0 = 8, 86 · 10−12 .
Dati
S = 4, 5 m2
d = 8 mm
dporcellana = 2 mm
C=?
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
8 mm = 8 · 10−3 m
2 mm = 2 · 10−3 m
L’inserimento dello strato di porcellana, porta a dividere la distanza d in due parti:
d = daria + dporcellana
Quindi
daria = d − dporcellana = 8 · 10−3 − 2 · 10−3 = 6 · 10−3 m
Ora calcoliamo la capacità dello strato dell’aria Caria .
Caria = ε0
S
daria
= 8, 86 · 10−12
4, 5
= 6, 645 · 10−9 F
6 · 10−3
12
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
Dalle tabelle conosciamo che la costante dielettrica relativa della porcellana è εr = 6, da cui
possiamo ricavare la costante dielettrica assoluta
ε = εr · ε0 = 6 · 8, 86 · 10−12 = 53, 16 · 10−12
F
m
Ora calcoliamo la capacità dello strato di porcellana Cporcellana .
Cporcellana = ε
S
daria
= 53, 16 · 10−12
4, 5
= 119, 61 · 10−9 F
2 · 10−3
I due strati sono posti in modo da costituire una serie di due condensatori, quindi la capacità
totale C sarà calcolabile come:
C=
Caria · Cporcellana
6, 645 · 10−9 · 119, 61 · 10−9
794, 81 · 10−18
=
=
= 6, 3 · 10−9 F
Caria + Cporcellana
6, 645 · 10−9 + 119, 61 · 10−9
126, 255 · 10−9
6, 3 · 10−9 F = 6, 3 nF
Esercizio 2.13
Sia dato il circuito in figura. Calcolare la carica totale accumulata dai condensatori. [Qt = 324 mC]
V = 18 kV
C1 = 4 µF
C2 = 6 µF
C3 = 8 µF
Qt = ?
Risoluzione
I tre condensatori sono posti in parallelo, quindi per calcolare l’equivalente è necessario usare la
seguente formula:
Ceq = C1 + C2 + C3 = 4 + 6 + 8 = 18 µF
Ora trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
18 µF = 18 · 10−6 F
18 kV = 18 · 103 V
Ora possiamo calcolare la carica totale accumulata nel circuito:
Qt = Ceq · V = 18 · 10−6 · 18 · 103 = 324 · 10−3 C
324 · 10−3 C = 324 mC
2.3. ESERCIZI
13
Esercizio 2.14
Sia dato il circuito in figura. Calcolare la carica totale accumulata dai condensatori. [Qt = 72 µC]
V = 36 V
C1 = 6 µF
C2 = 2 µF
C3 = 4 µF
C4 = 6 µF
Qt = ?
Risoluzione
I condensatori C2 e C3 sono posti in parallelo:
C2,3 = C2 + C3 = 2 + 4 = 6 mF
I tre condensatori rimanenti, C1 , C2,3 e C4 , sono in serie:
Ceq =
1
1
=
= 2 mF
1
1
1
1 1 1
+
+
+ +
C1 C2,3 C4
6 6 6
Ora trasformiamo la capacità da µF a F:
2 µF = 2 · 10−6 F
Ora possiamo calcolare la carica totale accumulata nel circuito:
Qt = Ceq · V = 2 · 10−6 · 36 = 72 · 10−6 C
72 · 10−6 C = 72 µC
Esercizio 2.15
Un condensatore da 250 pF viene caricato con una tensione costante di 15 V. Tra il condensatore
ed il generatore è posta un resistore di 20 kΩ. Si calcoli il valore della corrente all’istante in cui il
generatore viene attivato e la costante di tempo del circuito.
Dati
C = 250 pF
V = 15 V
R = 20 kΩ
I=?
τ=?
[I = 750 µA; τ = 5 µs]
14
CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA
Risoluzione
Innanzitutto trasformiamo le grandezze in unità di misura del Sistema Internazionale:
250 pF = 250 · 10−12 F
20 kΩ = 20 · 103 Ω
La corrente I può essere calcolata come:
I=
V
15
=
= 0, 75 · 10−3 A
R
20 · 103
0, 75 · 10−3 A = 750 µA
La costante di tempo τ è uguale a:
τ = R · C = 20 · 103 · 250 · 10−12 = 5.000 · 10−9 s
5.000 · 10−9 s = 5 µs
Esercizio 2.16
Un condensatore da 0, 28 µF deve essere sottoposto alla d.d.p. di 1.300 V e per evitare un forte
assorbimento iniziale di corrente si prevede l’inserzione di un resistore. Determinare la resistenza di
quest’ultimo se si desidera che il fenomeno transitorio di inserzione risulti praticamente esaurito in
0, 22 s. Calcolare anche la corrente generata alla chiusura del circuito. [R = 157 kΩ; I = 8, 3 mA]
Dati
C = 0, 28 µF
V = 1.300 V
T = 0, 22 s
R=?
I=?
Risoluzione
Innanzitutto occorre trasformare la capacità da µF a F:
0, 28 µF = 0, 28 · 10−6 F
Conosciamo che il tempo T = 5 · τ , quindi:
T =5·τ =5·R·C ⇔R=
T
0, 22
=
= 0, 157 · 106 Ω
5·C
5 · 0, 28 · 10−6
0, 157 · 106 Ω = 157.000 Ω = 157 kΩ
La corrente sarà quindi uguale a:
I=
V
1.300
=
= 0, 0083 A
R
157.000
0, 0083 A = 8, 3 mA