MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA

MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
a.a. 2008-09
Docente: Ana Millán Gasca
LEZIONE 1
LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
SOMMARIO: 1.1 Le origini della matematica. 1.2 La parola matematica: “ciò che si insegna, ciò che
si impara”. 1.3 Il calcolo utile: algoritmi e problemi. 1.4 Imparare la matematica: scopo utilitario e
scopo formativo nella tradizione europea. 1.5 La matematica sui banchi di scuola: dalle scuole
d’abaco alla scuola primaria. 1.6 L’insegnamento della matematica elementare nella scuola
primaria.
Lettura. L’insegnamento della matematica ai fanciulli. Esercizi
1.1 Le origini della matematica
Il Signore parlò a Mosè nel deserto del Sinai, nella tenda del
convegno, il primo del secondo mese, nel secondo anno dalla loro
uscita dalla terra d’Egitto, e disse: “Fate il censimento dell’intera
comunità dei figli di Israele secondo le loro famiglie, secondo la
loro casa paterna, numerando le persone, tutti i maschi, testa per
testa. Dai venti anni in su, tutti quelli che in Israele sono abili per
l’esercito, tu ed Aronne li censirete per il loro arruolamento”.
Numeri (Arithmòi) 1, 1-3
I conteggi di oggetti e di quantità e le registrazioni scritte dei risultati di tali conteggi
costituiscono la prima manifestazione storica del concetto di numero. Nelle testimonianze scritte di
tutte le civiltà antiche si ritrovano parole per contare (i numerali) e una piccola collezione di segni
grafici che rendono possibile registrare le quantità (i simboli numerici o cifre), organizzati seguendo
diversi sistemi di numerazione.
Nei reperti più antichi, le tavolette di argilla ritrovate nella città di Uruk, in Mesopotamia,
risalenti alla fine del IV millennio a. C., le quantità registrate riguardano questioni amministrative e
tecniche (tasse, pagamenti, magazzini, edilizia); i segni utilizzati cambiano a seconda di ciò che si
conta. In Cina, i primi segni numerici si ritrovano in iscrizioni su ossa di animali o gusci di tartaruga
risalenti alla seconda metà del II millennio a.C. riguardanti la divinazione (ad esempio, sul risultato
della caccia). In India, i reperti più antichi che contengono cifre sono gli editti emessi
dall’imperatore Ashoka (III secolo a.C.) in sanscrito incisi su rocce o colonne in scrittura alfabetica.
In America centrale, in una stele situata nel sito archeologico di Pestac si trova la più antica
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
testimonianza (risalente all’anno 665 d. C.) del sistema di numerazione posizionale in base 20 usato
dai maya per contare i giorni del calendario.
L’evoluzione organizzativa delle società umane nel mondo antico è stata accompagnata da
un’incessante attività di calcolo: conteggi, misurazioni, conti. Per il lavoro come per la guerra, si
contavano le persone, i giorni, gli animali, si misuravano (grazie ai vari sistemi di unità di misura)
le quantità di grano, di birra, di metallo, le lunghezze e le aree. Attorno all’inizio del II millennio a.
C. vi sono in Mesopotamia e in Egitto testimonianze di una ricca tradizione di risoluzione di
problemi pratici, e tradizioni analoghe maturarono in tempi successivi in altre aree geografiche
(attorno al III secolo a.C. in Cina, nel V secolo d.C. in India). Queste tradizioni pratiche
svilupparono algoritmi per eseguire addizioni e moltiplicazioni (diversi a seconda del sistema di
numerazione adoperato), procedure di calcolo di aree e perimetri di figure geometriche, metodi per
risolvere problemi basati sull’idea di proporzionalità, tavole di quadrati o reciproci dei numeri e – in
Egitto – una notazione per le frazioni dell’unità.
La notazione simbolica di quantità è una parte delle convenzioni di ogni sistema di scrittura;
anzi, secondo alcune ipotesi, la registrazione numerica potrebbe essere stata all’origine
dell’invenzione stessa della scrittura nel IV millennio a. C. nel Vicino Oriente antico. Nel mondo
antico, il calcolo – come la scrittura – rappresentò innanzitutto uno strumento tecnico sviluppato
nelle società in cui emerse un’autorità e un’organizzazione burocratica e, nel contempo, si sviluppò
la divisione del lavoro. Infatti, l’addestramento nella scrittura e il calcolo – utili per i censimenti e le
attività amministrative, così come per la costruzione e per organizzare i cantieri e altre attività – era
la specializzazione della prima “professione intellettuale” nella storia, quella degli scribi in
Mesopotamia ed Egitto.
E tuttavia, né la scrittura né il calcolo rientravano strettamente nella sfera della tecnica.
L’umanità antica non ha registrato soltanto attività, amministrazione e lavoro. Le lunghe liste di
parole compilate dagli scribi sumeri come sussidio alla scrittura furono la prima manifestazione del
pensiero contemplativo sulle cose del cielo e della terra; seguirono dopo i poemi cosmologici, le
cronologie, i manuali tecnici e i grandi testi della divinazione mesopotamica. Nel corso dei secoli, la
scrittura è stata la base dello sviluppo della letteratura, delle grandi concezioni cosmologiche e
religiose e della nascita della filosofia greca. Non a caso i testi della tradizione religiosa giudaicocristiana sono note come “le scritture”, oppure “i libri” (“biblia”). Allo stesso modo, i numeri
acquisirono già nel mondo antico un valore astratto, indipendente dal loro uso come numeri
concreti, ossia come “numeri di” (di persone, di merci, di giorni). Furono i Greci i primi a
considerare il concetto astratto di numero: «un numero è» – si legge nell’opera di Euclide, gli
Elementi – «una pluralità composta da unità».
Lo studio teorico (vale a dire, indipendente da qualsiasi uso pratico) delle proprietà dei
numeri, intesi come entità autonome, è l’oggetto di una disciplina creata dalla cultura greca,
l’aritmetica. I primi a studiare le proprietà dei numeri pari e dispari, dei numeri primi e della
proporzionalità numerica furono i pitagorici, i quali, oltretutto, ricercarono in tali proprietà la chiave
per la comprensione dell’universo.
Le misure e i calcoli eseguiti nei lavori di edilizia e di agrimensura comportano l’uso dei
numeri, ma presuppongono anche l’individuazione di alcune figure piane e solide (segmenti, cerchi
e circonferenze, triangoli, quadrilateri e poligoni) e delle grandezze relative a tale forme
(lunghezza, area e volume), ossia quelle proprietà che sono esprimibili attraverso un numero una
volta fissata una unità di misura. Figure e grandezze sono, insieme al numero, idee matematiche di
cui vi sono testimonianze storiche fin dal mondo antico nelle attività tecniche. Inoltre, le figure,
insieme a idee come quella di proporzione fra segmenti e di simmetria, costituiscono un aspetto
centrale dell’elaborazione culturale attorno alla visualizzazione, sia riguardo alle forme naturali
presenti nel mondo fisico, sia in relazione al lavoro sulla forma nelle arte plastiche e alla
progettazione dello spazio nell’architettura. Tuttavia, anche in questo caso furono i Greci a studiare
le figure e la proporzione fra grandezze, da un punto di vista astratto, ossia indipendentemente dalla
loro realizzazione o visualizzazione in forme naturali o artificiali concrete: «linea è lunghezza senza
4
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
larghezza», «figure rettilinee sono quelle comprese da rette», «una grandezza è parte di una
grandezza, la minore della maggiore, se misura la maggiore», «un rapporto [in greco lógos] è una
certa relazione, rispetto a quanto sono grandi, fra due grandezze omogenee», scrive Euclide negli
Elementi.
Lo studio teorico di queste idee è l’oggetto di una seconda disciplina sviluppata nel mondo
greco, la geometria. I Greci studiarono per primi le figure geometriche, le loro proprietà e i rapporti
fra di loro, indipendentemente da qualsiasi utilità pratica di tali conoscenze; e il loro discorso su
rette, figure, angoli o proporzioni, pur condotto con l’ausilio di rappresentazioni grafiche o disegni,
faceva riferimento a tali elementi in senso del tutto astratto, indipendentemente dalla loro
“presenza” concreta nella realtà fisica.
1. 2. La parola «matematica»: “ciò che si insegna, ciò che si impara”
L’aritmetica e la geometria erano due delle discipline considerate sorelle, le mathemata, che
significa, in greco, “ciò che si impara e che si insegna”. Il filosofo Platone, nel dialogo Repubblica,
scriveva:
«– Stabiliremo che per un guerriero sia dottrina necessaria quella del computare e del
noverare? – Più di qualsiasi altra, se vuol riuscire intenditore di ordinamenti militari, anzi se
vuole essere uomo.»
E precisava più avanti:
«È dunque opportuno, o Glaucone, prescrivere per legge questa dottrina, e persuadere
coloro che dovranno occuparsi delle faccende più importanti dello Stato di dedicarsi alla
scienza dei conti, non però alla volgare maniera, ma fino a tal punto che l’intelligenza loro
possa contemplare la natura dei numeri, non già occupandosene a scopo di compra e vendita,
come mercanti e rivenditori, bensì in servizio della guerra e della tranquillità dell’anima, sì da
condurla dal generato alla verità e all’essere».
Quindi, tutte le civiltà hanno escogitato sistemi per scrivere i numeri e procedure per risolvere
dei problemi pratici attraverso calcoli con numeri: ciò mostra una conoscenza implicita di certe
proprietà generali dei numeri e quindi del concetto astratto di numero. Questi calcoli riguardavano
anche lunghezze, superfici e volumi di figure geometriche piane e di solidi geometrici. Tuttavia, nei
documenti della Mesopotamia o dell’Egitto, come più tardi in quelli della Cina e dell’India, non si
parla in generale di numero, di punto, di proporzionalità o di triangolo, e non si espone mai una
procedura di valore generale, bensì si risolvono soltanto problemi con valori numerici concreti:
furono i Greci a concepire lo studio teorico delle proprietà generali dei numeri e delle figure,
attraverso il metodo della dimostrazione, creando così un nuovo campo del sapere umano, la
matematica.
1.3 Il calcolo utile: algoritmi e problemi
La scrittura e il calcolo, in Mesopotamia e in Egitto, erano abilità che richiedevano un lungo
addestramento, a causa dei complicati sistemi di registrazione scritta in uso prima dell’introduzione
dell’alfabeto e anche degli strumenti a disposizione; entrambe queste tecniche erano riservate a un
casta di funzionari dello stato, gli scribi. L’addestramento degli scribi avveniva in vere e proprie
scuole nell’ambito del palazzo, nelle quali venivano tramandati le “ricette” o metodi pratici per
risolvere i problemi di tipo amministrativo o di edilizia che erano di loro competenza (pagamenti di
tasse e salari, misurazioni).
5
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
Un ricco insieme di documenti risalenti all’inizio del II millennio a.C. dell’area dell’antica
Babilonia (nella bassa Mesopotamia, dove oggi si trova la città di Baghdad) mostra la ricchezza
delle conoscenze accumulate per quanto riguarda questo calcolo o “matematica pratica”. Non si
tratta però di registrazioni amministrative riguardanti casi reali, bensì proprio di raccolte di
problemi destinati ad uso scolastico, sotto la forma caratteristica che ci è familiare: un enunciato
con dati numerici specifici relativi a un compito pratico, e la descrizione di una serie di passi, che
includono varie operazioni aritmetiche, fino ad arrivare alla soluzione. Alcuni sono facili di
interpretare, in altri casi la procedura è stata oggi tradotta in forma algebrica, ma non è dato sapere
in che modo si era arrivati ad individuare la procedura.
Anche i pochi documenti egizi a contenuto matematico che ci sono pervenuti, scritti su papiro
e risalenti allo stesso periodo, consistono in elenchi di problemi. Fra gli esempi raccolti, destinati
all’esercizio degli scribi, non mancano alcuni con dati lontani dalla realtà o complicati
artificiosamente, oppure enunciati scherzosi, come il famoso problema 79 del papiro Rhind
(conservato presso il British Museum a Londra): «Inventario di una proprietà. 7 case. 49 gatti. 343
topi. 2401 chicchi di frumento. 16807 hekat (un’unità di capacità). Totale 19607» … un
“indovinello” che scherza sugli errori di uno scolaro disattento, che sa eseguire benissimo
un’addizione ma non esita a sommare gatti a topi e a chicchi di frumento!
La tradizione del calcolo e la geometria pratica è proseguita nel mondo antico, nel Medioevo
e fino all’Età moderna. Vi sono anche le tradizioni della Cina e dell’India, oltre a quella che ebbe
origine nel Vicino Oriente antico e in Egitto. Come per tutte le conoscenze pratico-tecniche, le sue
vie di trasmissione furono soprattutto orali, da padre a figlio, nei cantieri e nelle botteghe, e
attraversarono anche aree culturali diverse, viaggiando con le carovane dei mercanti (come quelle
sulla via della Seta) e con i tecnici e artigiani ingaggiati presso terre lontane per poter usufruire di
conoscenze tecniche forestiere. Vi è stata anche una tradizione di libri su questo argomento,
ancorati sempre all’esposizione basata sugli elenchi di problemi: dal Jiuzhang suanshu (Nove
capitoli sui procedimenti matematici) compilato in Cina nel periodo classico dopo l’unificazione
imperiale (epoca Han, 206 a-C.-220 a.C.) ai trattati degli agrimensori romani, al capitolo di
matematica presente nei siddhanta, opere indiane medievali di astronomia, scritte in sanscrito in
versi, come quella di Aryabhata (scritta attorno al 500 d.C.).
Nel mondo islamico medievale fu introdotta un’innovazione tecnica fondamentale nel calcolo
pratico: il sistema di numerazione decimale posizionale di derivazione indiana basato sui nove segni
grafici oggi usati in tutto il mondo per i numeri dal 1 al 9 e sull’introduzione del numero zero con il
simbolo 0, e insieme ad esso gli algoritmi per effettuare le quattro operazioni elementari grazie a
tale sistema. Su questa scia si colloca il lavoro del matematico persiano di cultura arabo-islamica
Muhammad ibn Musa al-Huwarizmi, uno dei grandi studiosi della Casa della Sapienza di Bagdad
all’epoca del califfato di al-Ma’mum (813-833), che si interessò in particolare alla risoluzione dei
problemi di ripartizione delle eredità (regolati da prescrizioni religiose). Al-Huwarizmi trovò il
modo di introdurre la metodologia teorica della matematica greca, sulla quale era versato,
considerando grandi gruppi di problemi che potevano essere ricondotti a una stessa formulazione
generale: si individuava una quantità incognita; e si scriveva una certa condizione che essa
verificava, sotto forma di uguaglianza (ciò che oggi chiamiamo equazione algebrica). Per ognuno
dei tipi di equazioni ottenuto si poteva allora cercare una soluzione anch’essa generale, una formula
che forniva la soluzione. Egli esprimeva questa sua teoria a parole; nel seguito, alcuni matematici
europei introdussero la notazione simbolica algebrica usata oggi Così nacque una nuova branca
della matematica, l’algebra, la teoria della risoluzione delle equazioni e il calcolo delle espressioni
algebriche. La parola «algoritmo» deriva dal nome di al-Huwarizmi, mentre la parola «algebra»
deriva dal titolo, in arabo, del libro nel quale egli presentò il suo metodo.
6
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
1.4 Imparare la matematica: scopo utilitario e scopo formativo nella tradizione
europea
«Quando, per esempio, si discute dei fini dell’insegnamento,
contrapponendo uno scopo utilitario a uno scopo formativo,
ovvero quando si tratta del valore delle Matematiche come
mezzo ad educare l’intuizione o la logica, mi pare che la veduta
dinamica dello spirito non sia sempre presente davanti agli
occhi.»
Federico Enriques, Insegnamento dinamico (1921)
La matematica pratica accompagnò il risveglio dell’Europa e delle sue città, la ripresa dei
commerci, delle botteghe e della produzione nel corso del Medioevo, soprattutto a partire dall’anno
Mille. Nelle terre che erano state parte dell’Impero romano di Occidente si ebbe una felice
commistione fra l’antica tradizione pratica e le nuove tecniche di calcolo e l’algebra dei matematici
delle terre dell’Islam. Agli inizi del IX secolo, su consiglio di Alcuino di York, Carlomagno decretò
l’istituzione, presso conventi e cattedrali, di scuole in cui si insegnava ai fanciulli a leggere, la
grammatica e il far di conto (che allora seguiva le procedure in uso in epoca romana e faceva uso
dell’abaco), incluso il computo (il calcolo della data della Pasqua, che era allora un vero e proprio
problema della matematica pratica). Alcuino compilò una raccolta di problemi sotto il titolo
Propositiones ad acuendo juvenes (Problemi per rendere acuta la mente dei giovani), fra cui molti
problemi ricreativi. In greco fu scritta invece la compilazione di problemi nota come Antologia
palatina, preparata da Costantino Cefala nel X secolo.
Il calcolo e l’algebra arabe furono presentate in latino nel libro Liber abaci (1202) scritto da
Leonardo Pisano. Fra i secoli XIII e XIV, prima in alcune città italiane e nel seguito anche nell’area
dei lingua tedesca, furono fondate – sia dai comuni sia da singoli maestri – le scuole d’abaco, dove
si insegnava ai fanciulli il calcolo (facilitato dalle procedure arabe, quindi sulla carta e senza più
adoperare l’abaco, nonostante il nome delle scuole) e la risoluzione dei problemi utili per le attività
commerciali. L’insegnamento si svolgeva in lingua volgare, seguendo dei manuali per
l’insegnamento, i libri d’abaco scritti dai maestri. La scrittura dei numeri e gli algoritmi di calcolo
erano nuovi, ma i problemi risolti si collegavano all’antichissima tradizione pratica (calcolo di aree,
suddivisione di rettangoli, suddivisione di vettovaglie in parti uguali o proporzionali, testamenti,
riempimento di vasche), insieme a temi allora di attualità come il calcolo degli interessi oppure le
tecniche di contabilità in partita doppia o a doppia entrata.
Tuttavia, l’Europa medievale era anche erede della concezione pedagogica greco-latina, i cui
scopi erano ben diversi dall’addestramento tecnico. L’ideale di educazione era legato alla
formazione religiosa cristiana e allo studio delle sette arti liberali, il trivium (grammatica, retorica e
logica) e il quadrivium (aritmetica, geometria, astronomia e musica). Con la fondazione delle
università a partire dal XII secolo, questi argomenti diventarono la formazione di base per lo studio
nelle facoltà. Le arti liberali erano quelle che formavano il pensiero preparandolo alla speculazione
filosofica e teologica, in opposizione quindi alle arti meccaniche, ossia il sapere utile nelle attività;
esse erano studiate nella facoltà minore di arti, che era propedeutica alle facoltà di teologia, di
diritto canonico, di diritto civile o giurisprudenza e di medicina.
Il quadrivium corrispondeva alle quattro discipline della matematica greca, così com’erano
erano state riassunte in alcuni manuali scritti in latino nel periodo tardo antico (attorno al V secolo).
La fine del mondo antico aveva però fortemente danneggiato lo studio della matematica: i pochi
manoscritti dei testi greci giacevano nei monasteri senza che vi fossero studiosi in grado di studiarli
e di trasmettere le conoscenze. Quindi nelle scuole delle cattedrali e persino nelle università, si
leggeva poco più delle prime pagine del Libro I degli Elementi di Euclide, e i temi teorici venivano
sostituiti proprio dall’aritmetica e dalla geometria pratica. Così molti confondevano le ricette
7
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
pratiche degli agrimensori romani con le costruzioni e dimostrazioni della geometria greca: tale
confusione illustra la convivenza di due tradizioni diverse per scopi e contenuti, eppure legate fra di
loro.
Nell’Europa moderna l’eredità della matematica greca fu recuperata compiutamente e portò
agli straordinari sviluppi della Rivoluzione scientifica. Sui tredici libri degli Elementi di Euclide fu
condotto un accurato recupero filologico, e furono prodotte edizioni e commenti in latino e nelle
lingue volgari, oltre a versioni moderne dei libri principali che adoperavano il linguaggio algebrico
per parlare di punti, rette e piani (la cosiddetta geometria analitica), come i popolarissimi Elementi
di geometria del matematico francese Adrien Marie Legendre (1752-1833), che ebbero
innumerevoli edizioni ed erano ancora un caposaldo dell’insegnamento negli Stati Uniti alla fine
dell’Ottocento. L’opera di Euclide recuperò così pienamente il suo posto come base dell’educazione
matematica, e non più soltanto in Europa: si pensi che la traduzione in cinese fu un pilastro
dell’introduzione della matematica occidentale in Cina e portò all’abbandono della matematica
cinese (il calcolo tradizionale fu abolito definitivamente nelle scuole cinesi nel 1911). Alla
matematica greca, sulla scia della tradizione del quadrivium, fu attribuito un ruolo fondamentale
nella formazione intellettuale di base dei giovani: educazione alla logica e al rigore nel pensiero. Lo
studio della geometria euclidea diventò, insieme allo studio del greco e del latino, un perno
dell’insegnamento secondario, creato nell’Ottocento come erede degli studi della facoltà di arti, ma
separato dall’università.
1. 5. La matematica sui banchi di scuola: dalle scuole d’abaco alla scuola primaria
«Uno vende una sua merchatantja 14 lire più quella noì gli
chostò e truovaxj ghuadangnato a ragione di 25 per centjnaio,
vo’ xapere che fu il chosto. Fa’ choxj e di’: ongni 100 vale 25
lire di pro’, per 14 lire di pro’ quante n’arà? Multjpricha 14 via
100, fa 1400, e partj in 25, che ne viene 56 lire, e 56 lire fu il
primo chosto, delle qualj 56 lire ghuadangnò 14 lire. Ed è fatta e
chxj fa’ le ximjlj.»
Paolo dell’Abbaco, Trattato d’Aritmetica, Firenze, XIV secolo
Abbiamo visto come esigenze pratiche legate al lavoro di capomastri, geometri, commercianti
e amministratori abbiano portato la matematica pratica sui banchi di scuola fin da tempi
antichissimi. La continuità di questa tradizione si manifesta anche nei problemi ricreativi che –
sorprendentemente – si ritrovano spesso con poche varianti nelle antiche raccolte orientali, nei testi
in cinese, in greco in latino o in arabo. Su questa scia si collocavano i libri d’abaco italiani e
tedeschi, i quali inaugurarono una tradizione europea di manuali di matematica rivolti ai fanciulli e
dedicati al far di conto. Questa tradizione si è mantenuta ininterrottamente e ha mostrato una
notevole stabilità, fino ad arrivare ai sussidiari per le scuole elementari della prima metà del
Novecento. La tradizione europea di insegnamento del far di conto ai fanciulli includeva:
–
–
–
–
principi del sistema di numerazione posizionale decimale,
algoritmi delle operazioni elementari e dell’estrazione di radice
calcolo di aree e perimetri di figure
risoluzione di problemi basati essenzialmente sulla proporzionalità diretta e inversa e sulle
equazioni di primo e secondo grado.
La tradizione di addestramento al far di conto costituiva nell’Ottocento la componente
fondamentale della scuola dell’obbligo nei paesi europei o di cultura europea, anche perché la loro
8
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
economia industriale poggiava sullo sviluppo tecnico ed era agevolata dal miglioramento della
cultura matematica di base della popolazione. Quindi, era compito della scuola primaria o
elementare – che le democrazie liberali dell’Ottocento concepivano come un’istituzione capace di
garantire l’uguaglianza delle opportunità ai cittadini – l’“alfabetizzazione numerica”, insieme
all’alfabetizzazione linguistica. Eppure, già autori come Johann Heinrich Pestalozzi (1746-1827) e
Friedrich Fröbel (1782-1852) proposero un ruolo più ambizioso per la matematica anche
nell’insegnamento elementare: non più soltanto un “far di conto” come strumento nella vita pratica,
ma anche una riflessione consapevole sul numero, sulla misura e sulla simmetria e sul ragionamento
logico come elemento fondamentale dello sviluppo intellettuale dei bambini. Tale punto di vista si è
affermato nella seconda metà del Novecento.
Nel mondo contemporaneo, la scuola si trova di fronte alla richiesta di un duplice impegno
per quanto riguarda la matematica: come formazione tecnica di base nella nostra civiltà scientificotecnologica e come elemento della crescita intellettuale dei bambini e dei giovani. Questa
ambivalenza è alla radice di molte delle difficoltà incontrate dai maestri nella pratica quotidiana con
i loro studenti, e attorno ad essa hanno ruotato molte delle discussioni sulla riforma
dell’insegnamento della matematica in tempi recenti.
1. 6 L’insegnamento della matematica elementare nella scuola primaria
«Esiste la matematica elementare? C’è un inizio per la
matematica?»
(Stella Baruk, Dizionario di matematica elementare, p. 1)
Le linee direttrici e i grandi settori della matematica come materia scolastica sono oggi giorno
generalmente condivise a livello internazionale. Al contenuto della materia scolastica di
matematica si fa riferimento spesso con l’espressione matematica elementare (in opposizione ai
capitoli di matematica avanzata insegnati all’università, per la quale si riservava un tempo
l’espressione matematica superiore). L’aggettivo «elementare» (che evoca anche l’opera di Euclide,
gli Elementi) sta a indicare che si tratta delle conoscenze di base, imprescindibili per esplorare oltre
le varie branche della matematica superiore, quali analisi matematica, algebra o probabilità.
Dell’esperienza matematica del bambino prima della scuola dell’obbligo e del ruolo a questo
riguardo della scuola dell’infanzia ci occuperemo nella lezione 2.
Il triplice scopo dell’insegnamento della matematica elementare nella scuola primaria
La matematica elementare della scuola primaria comprende, ma non si esaurisce nelle
semplici abilità di calcolo numerico volte alle applicazioni nella vita pratica riassunte con
l’espressione «far di conto». Nella scuola primaria, infatti, lo studio della matematica ha un triplice
scopo:
1) la padronanza del calcolo numerico e della risoluzione dei problemi volti alla vita pratica
e alle applicazioni
2) lo sviluppo di alcuni strumenti intellettuali quali astrazione, rigore, precisione, uso
univoco del linguaggio, induzione, deduzione;
3) l’introduzione alla matematica come disciplina: la matematica elementare come “inizio”
della matematica.
9
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
La matematica elementare deve combinare la matematica pratica sia con il valore formativo
della matematica (scopo centrale nella scuola primaria) e l’introduzione alla matematica come
disciplina (scopo che deve diventare prevalente a partire dalla scuola secondaria di primo grado).
La via maestra è illustrata efficacemente in un lavoro sul calcolo nella scuola primaria scritto
dal matematico francese, medaglia Fields per la matematica, Laurent Lafforgue, che presentiamo in
traduzione italiana in appendice. Per avviare la riflessione e compiere un primo passo avanti
individuando alcuni nodi didattici centrali (riguardanti sia l’insegnamento sia l’apprendimento)
partiamo dalla prima sezione di questo lavoro, che presenta gli obiettivi e limiti dell’apprendimento
del calcolo nella scuola primaria e illustra fin da principio le “tre facce” della matematica
elementare nella scuola primaria: utilità, valore formativo, inizio della matematica (e delle scienze
della natura).
“L’obiettivo è quello di far acquisire agli alunni la conoscenza dei numeri interi naturali
(0, 1, 2 , 3, …), de la loro scrittura decimale e delle loro relazioni elementari (ordine e quattro
operazioni), al contempo astrattamente e nei loro utilizzi concreti legati al conteggio e alla
misura: lunghezze, superfici, volumi, masse, tempi, angoli. Alla fine del corso di studi della
scuola primaria, gli alunni devono possedere una padronanza agevole, esatta e sicura delle
operazioni elementari dei numeri e delle grandezze e della manipolazione delle unità; devono
saper redigere in modo conciso e rigoroso la soluzione di problemi di calcolo formulati nella
lingua corrente, tratti dalla vita pratica, dalle scienze della natura o dalla meccanica, e che
richiedano un ragionamento di natura discorsiva.
Queste conoscenze – le quali sono per la maggior parte molto utili – hanno un grande
valore matematico e una potenza formatrice considerabile.
Esse permettono di costruire una relazione di intimità con i numeri, secondo
l’espressione di René Thom, e portano al loro uso concreto. Esse non soltanto contribuiscono
a strutturare la mente nel corso del suo sviluppo, ma costituiscono anche la base
indispensabile di un apprendimento più spinto della matematica e delle scienze della natura,
nella scuola secondaria e molto oltre. Nella matematica esistono molti tipi di numeri, di
addizioni e di moltiplicazioni, e in fisica esistono molti tipi di misure. Tutte hanno la loro
comune radice e si sviluppano su questo terriccio che è la conoscenza dei numeri interi
naturali e delle loro operazioni elementari, conoscenza che deve diventare una seconda natura.
Nella scuola primaria la disciplina del calcolo poggia sull’uso delle quattro operazioni
con i numeri interi. Essa si estende alla conoscenza e a calcolo dei numeri decimali e delle
frazioni, limitandosi ai numeri positivi che sono i soli a poter rappresentare misure effettive di
lunghezze, di masse e così via. Il calcolo approssimato è più sottile del calcolo esatto e
richiede la padronanza preliminare di quest’ultimo: il calcolo degli intervalli di errore non ha
un suo luogo nella scuola primaria, mentre invece si insegna – in particolare per la risoluzione
dei problemi – la stima mentale degli ordini di grandezza dei numeri tondi e la nozione di
valore approssimato di un quoziente ai decimi oppure ai centesimi dell’unità scelta.
Il calcolo si esegue su dei numeri, non su delle incognite astratte. Le verifiche si
riferiscono a esempi e figure, coinvolgendo ragionamenti sufficienti a ottenere il
convincimento, anche se essi non possono essere qualificati come dimostrazioni formali. Alla
fine della scuola primaria il maestro può eventualmente andare un po’ oltre nel senso
dell’astrazione, per coloro fra gli alunni che riconosce come abbastanza maturi e già sicuri
nelle loro conoscenze.”
Laurent Lafforgue, Le calcul à l’école primaire,
§1 Obiettivi e limiti dell’apprendimento del calcolo nella scuola primaria
10
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Lafforgue propone un’idea conduttrice dell’intera attività didattica tratta dal grande
matematico francese, anch’egli medaglia Fields, René Thom (1923-2002), la quale che è in grado di
mettere assieme i tre grandi scopi ai quali il maestro deve mirare nel suo lavoro quotidiano: la
costruzione di una relazione di intimità con i numeri (alla quale si fa alle volte riferimento con
l’espressione “il senso dei numeri”). Questa “relazione di intimità con i numeri” ci servirà da punto
di riferimento quando ci occuperemo della matematica nella scuola dell’infanzia e del suo raccordo
(forse è questo l’unico ambito nel quale vi è una questione didattica di raccordo o “continuità”) con
la matematica in classe prima.
Inoltre, Lafforgue suggerisce l’orizzonte del lavoro matematico nella scuola primaria: il
passaggio dai “ragionamenti convincenti basati su esempi e figure” all’idea di dimostrazione,
indicando così la transizione intellettuale verso la matematica elementare nella scuola secondaria di
primo grado, nella quale lo scopo di introduzione alla disciplina matematica diventerà ancora più
importante.
In questo corso ci occuperemo di fornire la preparazione matematica, didattica e storicoepistemologica per fare fronte a questo compito molto impegnativo. Nel seguito di questa sezione
proponiamo alcune riflessioni al riguardo, che converrà riconsiderare alla fine del corso dopo aver
studiato approfonditamente, da un punto di vista superiore, i contenuti della matematica elementare
nella scuola primaria. Partiamo proprio da una descrizione sommaria di questi contenuti; nel seguito
discutiamo i tre scopi della matematica elementare nella scuola primaria, nell’ordine in cui li
abbiamo introdotto.
I capitoli della matematica elementare nella scuola primaria, i collegamenti interni fra di essi e il
ruolo centrale dell’aritmetica
I contenuti della matematica elementare corrispondenti alla scuola primaria si articolano
attorno ai grandi blocchi della aritmetica elementare, della geometria elementare e della misura di
grandezze.
A questi tre blocchi si è aggiunto un quarto che possiamo chiamare seguendo la
terminologia più usata, dati e previsioni, che punta a far intravedere ai bambini il ruolo della
matematica nell’elaborazione, rappresentazione e interpretazioni dell’informazione quantitativa. Si
tratta quindi di introdurre all’idea di funzione, alla statistica descrittiva e alla probabilità.
NUMERI E OPERAZIONI (significati, strategie e simbolismo)
MISURA (stima e calcolo di grandezze)
GEOMETRIA (forme e relazioni nelle figure geometriche, rappresentazione
e organizzazione dello spazio, simmetria e trasformazioni geometriche)
DATI E PREVISIONI (trattamento dell’informazione quantitativa e probabilità)
Vi sono molti collegamenti interni fra questi tre ambiti della matematica elementare, che
girano attorno al ruolo centrale dell’aritmetica, ossia dei numeri e delle operazioni.
La padronanza dell’aritmetica e della geometria sono alla base della padronanza della
misura delle grandezze:
–
aver assimilato le idee elementari di divisibilità è essenziale a una buona comprensione
dei sistemi di misura
–
la misura di perimetri, aree, volumi è legata alla conoscenza delle figure geometriche di
cui si misurano delle grandezze
–
le operazioni con le grandezze richiedono la padronanza delle operazioni sui numeri.
11
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
È di fondamentale importanza non “far scomparire” il blocco della geometria, includendolo
in quella della misura, il che equivarrebbe a ridurre la geometria elementare a una classificazione
delle figure con le loro “formule” (aree e perimetro delle figure piane, area laterale e volume delle
figure solide). Ecco, a titolo indicativo, alcuni aspetti importanti della geometria elementare
indipendenti dalla misura delle grandezze geometriche:
–
disegno e costruzione geometrica (semplici costruzioni con riga e compasso, riproduzione
in scala con la carta a quadretti)
–
verifiche di formule e operazioni con grandezze geometriche basate sul taglia e incolla
–
identificazione, descrizione e classificazione delle figure geometriche, inclusi i punti e
rette significativi e gli assi di simmetria
–
uso del piano cartesiano per localizzare punti
–
riconoscimento di figure trasformate (ruotate, traslate, riflesse)
L’aritmetica elementare è la base di partenza del blocco dati e previsioni, il quale a sua volta
ha molti collegamenti con la misura; per esempio,
–
l’idea elementare di proporzionalità numerica (con costante di proporzionalità un numero
intero naturale) fornirà un primo fondamentale esempio di dipendenza funzionale;
–
la probabilità permette di mettere all’opera le conoscenze sulle frazioni, ed è collegata
alla disciplina matematica che studia i conteggi più complicati, la combinatoria
–
i dati che vengono presi in considerazioni sono spesso misure di grandezze.
La matematica pratica: dal “far di conto” alla “matematica del cittadino”
Il primo scopo:
la padronanza del calcolo numerico e della risoluzione dei problemi volti alla vita pratica e alle
applicazioni
Nella seconda metà del Novecento si è registrata in diversi paesi una tendenza ad allungare il
periodo dell’obbligo e ad eliminare le barriere tra le varie tappe del percorso scolastico (il governo
laburista che governò la Gran Bretagna dopo la fine della Seconda Guerra Mondiale introdusse
l’idea di una comprehensive school). Dopo l’estensione dell’obbligo fino a otto anni totali (fino ai
14 anni), lo scopo attuale è l’estensione ai 16 anni. Alla radice di questa tendenza vi è l’influsso
dell’ideale egualitario di stampo illuministico, oltre a quello delle ricerche della psicologia dello
sviluppo e dell’educazione, sviluppate in parte sulla scia del lavoro con i bambini con disabilità e
sotto l’influsso del pragmatismo.
I conseguenti cambiamenti nella scuola hanno avuto importanti ripercussioni sulla matematica
elementare della scuola dell’obbligo. In primo luogo, i contenuti assegnati ad ogni classe e ad ogni
livello scolastico sono diminuiti, rallentando quindi il ritmo dello studio della matematica allo
scopo di riuscire a far arrivare tutti in più anni al livello al quale arrivavano meno fanciulli in circa
cinque anni. In secondo luogo, si è tentato di modificare gli scopi della matematica elementare nella
scuola primaria per evitare il suo ruolo di barriera nel passaggio da un livello scolastico a quello
successivo. In terzo luogo, si è tentato di modificare la metodologia dell’insegnamento della
12
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
matematica che vantava una lunga e consolidata tradizione, poiché questa metodologia tradizionale
è stata ritenuta inadatta allo spirito dell’infanzia in quanto non attiva e in quanto legata
all’automatismo più che al significato e alla consapevolezza. Fra gli studiosi che hanno ispirato
questa tendenza vi sono Maria Montessori (1870-1952) e Ovide Decroly (1871-1932).
Ad esempio, nei programmi didatttici per la scuola primaria italiana del 1955 si afferma
quanto segue:
«Dopo il rinnovamento operato dai programmi del 1923 e da quelli del 1945, la
formulazione di questi nuovi programmi è stata sollecitata più direttamente da due esigenze:
far aderire maggiormente il piano didattico alla struttura psicologica del fanciullo e tenere
conto che per precetto della Costituzione l’istruzione inferiore obbligatoria ha per tutti la
durata di almeno otto anni.
Per rendere questi intenti praticamente attuabili, è stato alleggerito il carico delle nozioni
rispetto ai programmi quinquennali precedenti ed sono stati elaborati programmi graduati per
cicli didattici. Tali cicli rispettano per la loro durata le fasi dello sviluppo dell’alunno e
rendono meglio possibile un insegnamento individualizzato in relazione alle capacità di
ciascuno, così che in un periodo di tempo a più largo respiro ogni alunno possa giungere,
maturando secondo le proprie possibilità, al comune traguardo.
D’altra parte, ciò consente che vengano adottati quei procedimenti saggiamente attivi
che spronano il fanciullo nell’operosa ricerca e nell’approfondimento della consapevolezza di
quanto viene imparando.»
E quindi si propone una ridefinizione del significato del far di conto della scuola primaria in
questi termini:
«Quanto a far di conto, nel nostro secolo, che è il secolo dell’organizzazione e delle
statistiche, è chiaro che una persona e tanto più libera quanto più sa misurare e commisurarsi.»
(Decreto del Presidente della Repubblica del 14 giugno 1955, n. 503)
Questa ridefinizione tratta dalla legislazione italiana è un esempio dell’emergere, come
evoluzione della tradizione del “far di conto”, della cosiddetta matematica del cittadino, intesa come
la conoscenza e le abilità che sono esenziali per la partecipazione piena nella società. Tale
concezione ispira il programma per la valutazione internazionale degli studenti condotto dalla
Organizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico noto come PISA, che non a caso si
pone come scopo la valutazione degli studenti alla fine della scuola dell’obbligo allungata. Tuttavia,
abbiamo visto che la tradizione del far di conto non è l’unica componente della tradizione europea
di insegnamento della matematica elementare, la quale è caratterizzata da un triplice scopo. Ridurre
la matematica elementare a “matematica del cittadino” rischia di appiattirla sulla sola matematica
utile (utile per il cittadino informato e partecipe, per il consumatore, o per il professionista).
Oltre la matematica del cittadino
È possibile ed è auspicabile puntare nella scuola primaria non soltanto al primo scopo pratico
della matematica, erede del “far di conto”? Conviene considerare due fondamentali obiezioni che
sono state poste negli ultimi decenni. In primo luogo, il fatto che oltre la matematica pratica si
troverebbe una disciplina scollegata dalla “vita reale” o dalle “applicazioni”; in secondo luogo, la
convinzione secondo la quale la natura astratta della matematica contrasterebbe con il rapporto con
il concreto come base dell’apprendimento dei bambini.
Per rispondere alla prima obiezione è importante ricordare due aspetti della matematica come
disciplina:
13
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
1) matematica utile/matematica teorica.
La vecchia matematica pratica di tradizione millenaria e precedente la nascita della
matematica greca ha confluito nell’odierna matematica scolastica ed è senza dubbio una sua
componente importante: basti pensare ai problemi elementari classici che sono un’eredità della
tradizione pratica. Tuttavia, far sì che il calcolo utile invada il terreno dell’introduzione delle idee
astratte della matematica e del ragionamento matematico sarebbe fare un salto indietro alle scuole
d’abaco medievali europee: la tradizione europea di insegnamento della matematica si è imposta
globalmente perché ha mostrato che la diffusione della matematica teorica elementare ha
aumentato la preparazione dei tecnici di livello intermedio e ha favorito lo sviluppo delle
professioni scientifica e degli ingegneri.
2) matematica utile/matematica applicata
È un’illusione voler credere che la matematica pratica che ha la sua spina dorsale nella
risoluzione di problemi a partire da quelli classici di proporzionalità sia un anticipo della moderna
matematica applicata: applicare le quattro operazioni ad alcuni calcoli in euro, saper guardare una
tabella di dati economici o sul riscaldamento globale, oppure comprendere l’informazione espressa
in percentuali non è propedeutico alla costruzione di un modello matematico in biologia o allo
studio di un sistema dinamico, poiché vi è in mezzo un salto concettuale radicale che dipende
proprio dall’abisso che separa la matematica pratica (quella ancora oggi adoperata da ragionieri e
geometri) dalla matematica di matrice greca. Questo abisso si inizia a esplorare nella secondaria
superiore, e si può pensare di farlo solo su una buona padronanza dell’aritmetica e della geometria
elementare.
Per rispondere alla seconda obiezione, consideriamo due aspetti che riguardano i bambini e il
loro atteggiamento nei confronti del sapere matematico. L’appiattimento sulla matematica del
cittadino o sull’utilità della matematica è dannosa nella scuola primaria, e improponibile nella
scuola dell’infanzia, anche per due motivi che riguardano specificamente i bambini. In primo luogo,
nei bambini piccoli la concezione dell’utile segue strade completamente diverse da quelle di un
“cittadino” o “futuro cittadino”, tranne che per alcune questioni relativi il suo essere “consumatori”
(acquisti di figurine o di gelati).
ESEMPIO 1.1 I bambini delle classi prima e seconda della scuola primaria pensano ed elaborano
internamente attorno a numeri grandi, anche perché questi sono strettamente legati alla scoperta della
“magia dell’aggiungere uno” (successore) e all’idea di infinito. Nel contempo, essi hanno difficoltà a
considerare grandi numeri “utili” (sia misure di grandezza, sia denaro), mentre si incuriosiscono di
numeri grandi se esprimono record nei confronti (la montagna più alta dell’Europa) assolutamente
“inutili”. Quindi, se si pretende collegare ogni quesito numerico in seconda elementare a un contesto
“utile”, sarà inevitabile usare numeri piccoli (meno di 20 o di 35), i quali però non rendono affatto conto
del senso del numero raggiunto dai bambini in collegamento sia al sistema di numerazione decimale
posizionale, sia all’idea di successore e all’idea di ricorrenza (induzione matematica) che è alla base
delle operazioni dell’addizione e moltiplicazione e le loro proprietà algebriche.
Limitarsi ai numeri piccoli impedisce di lavorare sulla padronanza dell’addizione in colonna e
sulla capacità di calcolo mentale (due tradizionale elementi della matematica pratica), ma anche
sull’assimilazione del concetto astratto di addizione (l’addizione “si può sempre eseguire”, l’addizione
ha la proprietà commutativa).
In secondo luogo, i bambini piccoli mostrano notevoli interessi verso le idee astratte. Questo
non è in contraddizione con il fatto che la padronanza delle idee matematiche, che sono di natura
generale, si manifesta quando si è in grado di adoperarle nel caso particolare.
14
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
ESEMPIO 1.2 È chiaro che la padronanza della relazione d’ordine “maggiore o uguale” si rivela
attraverso le “frasi numeriche” precise con l’uso dei simboli >, < quali le seguenti:
1
(a sette anni)
2
1 1
> (in classe quinta)
3 5
1>
3<6 (a cinque anni)
35>30 (a sei anni)
!
ma ciò non implica che ci sia bisogno di riferire sempre questi confronti a contesti reali o concreti
(figurine, o euro, o pezzi di torta).
!
Approfondiremo il problema del rapporto fra il concreto e l’astratto nell’insegnamento della matematica
ai bambini nell’ultima lezione del corso.
Il valore formativo della matematica
Il secondo scopo:
lo sviluppo di alcuni strumenti intellettuali quali astrazione, rigore, precisione, uso univoco del
linguaggio, induzione, deduzione
L’attività didattica in matematica ha un ruolo di base nella formazione intellettuale dei bambini
e dei giovani, riconosciuto unanimemente nella nostra tradizione culturale, per la “potenza che essa
reca allo spirito” (Enriques). Questo non vuol dire che matematica sia sinonimo di “pensiero
razionale” o di “razionalità”: anche lo studio della grammatica, della storia o della geografia
struttura l’intelligenza (la ragione) del bambino. La scuola si occupa della formazione o educazione
attraverso diverse materie che considerano la persona umana sia sul piano intellettuale (l’ambito
tradizionale della scuola, l’istruzione), su quello fisico, su quello emotivo, sia su quello estetico e
della sensibilità artistica, anche se sono estremamente collegati fra di loro (l’educazione motoria ad
esempio, per quanto riguarda il piano fisico, oppure la musica e il disegno per quanto riguarda la
sensibilità artistica). Ma la matematica (e la scienza) non hanno l’esclusiva dell’istruzione o
formazione sul piano intellettuale: molte materie scolastiche si esprimono le varie vie di accesso
alla conoscenza dell’umanità.
La matematica è considerata tuttavia, insieme allo studio della lingua materna, la base della
formazione intellettuale dei bambini nella scuola primaria. Elenchiamo gli aspetti
dell’insegnamento e dell’apprendimento della matematica che hanno un valore più ampio
riguardante la formazione intellettuale del bambino:
1) uso del linguaggio matematico: i bambini vengono a contatto in matematica con il primo
esempio di un linguaggio tecnico, con una terminologia specifica, un simbolismo e alcune
formule linguistiche normalizzate, che ha il vantaggio di essere sintetico e di evitare le
ambiguità. Nell’attività didattica bisogna quindi curare il rapporto fra l’uso comune e l’uso
tecnico delle parole. In questo corso condurremo alcune riflessioni su questo rapporto, nel
caso di parole come: “uguale”, “diverso”, “equivalente”, “problema”, “relazione”,
“corrispondenza”, “proprietà”, “criterio”.
2) risoluzione di problemi: le conoscenze matematiche mostrano la loro potenzialità nella
risoluzione di problemi. Come si è visto, la matematica pratica si è manifestata storicamente
come raccolta di problemi; la geometria è una fonte classica di problemi nella matematica
teorica. Tuttavia, è rischioso ridurre la conoscenza matematica a mero “problem solving”. Ci
occuperemo dei problemi nella lezione 6.
15
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
3) uso della memoria e degli automatismi di calcolo: bisogna acquisire alcuni automatismi nel
calcolo, a partire dalle “tabelline”.
4) introduzione al ragionamento rigoroso e alla deduzione logica
5) errore, verifica o prove, stima dei risultati
6) i concetti astratti come via di conoscenza della realtà concreta
7) la disciplina dell’intuizione e l’uso della logica
8) la sequenzialità delle conoscenze (i contenuti della matematica più di quelli di altre
discipline poggiano gli uni sugli altri)
9) la creazione dei una rete di collegamenti tra concetti.
Osserviamo che proprio questi aspetti formativi di base rendono la matematica faticosa e
impegnativa. Essi rappresentano sfide intellettuali per gli alunni e aspetti che il docente deve curare
per migliorare l’insegnamento. La via maestra per coltivare questo aspetto della formazione del
docente è quella dello studio della matematica, misurandosi in prima persona con questi aspetti.
L’introduzione alla matematica come disciplina
Il terzo scopo
l’introduzione alla matematica come disciplina: la matematica elementare come “inizio” della
matematica.
Nella scuola primaria lo studio dei numeri e delle figure e dei rapporti fra di loro parte dalle
concezioni numeriche ingenue precedenti e le reindirizza secondo la sistematizzazione delle
conoscenze e il metodo della matematica di matrice greca. Nel passato, questo scopo era riservato
prevalentemente alla scuola secondaria, ed era raggiunto soprattutto grazie allo studio della
geometria euclidea. Oggigiorno anche la scuola primaria punta verso l’orizzonte più ampio della
matematica come disciplina prendendo spunto soprattutto dall’aritmetica: il concetto astratto di
numero, i concetti astratti della geometria, l’idea di proprietà matematica e la procedura della
dimostrazione matematica. Nel momento in cui spieghiamo ai bambini la differenza fra numero pari
e dispari entriamo nell’ambito della matematica astratta; idealmente iniziamo con loro la lettura
delle prime righe dei libri di aritmetica di Euclide. Indichiamo a modo di esempi alcune questioni di
questo genere cui il maestro deve dedicare attenzione per non disperdere le potenzialità dei
bambini:
-
l’estensione del sistema numerico oltre i numeri naturali verso numeri “convenzionali”
-
la definizione matematica (come quella di multiplo, di numero primo, di triangolo
equilatero)
-
le proprietà generali (le leggi dell’aritmetica, i teorema di Pitagora)
-
le regolarità e relazioni: numeri triangolari, numeri quadrati e altre successioni, “operatori” o
regole di trasformazione (il successore di un numero naturale; il triplo di un numero
decimale; oppure la regola prima moltiplicare per tre e poi togliere uno applicata ai numeri
naturali)
16
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
-
la notazione matematica (+, –, >, =)
-
l’argomentazione matematica, attraverso ad esempio risposte ragionate (perché 18 è
multiplo di 3?), ragionamenti convincenti su esempi, ragionamenti su controesempi,
ragionamenti convincenti su figure disegnate o ritagliate.
Inoltre, l’aritmetica è l’ambito dove esplorare la differenza tra il calcolo pratico (che include la
scelta ragionata tra calcolo mentale, algoritmi in colonna manuali e calcolatrice) e le proprietà
1 1
1
“sorprendenti” della matematica (i numeri primi, la successione ,
,
,... verso
1 1+ 1 1+ 1+ 1
l’infinitamente piccolo e altre “diavolerie”)
La matematica nella scuola primaria come introduzione alle scienze della natura: la misura.
!
Come scrive anche Lafforgue, il calcolo della scuola primaria non solo è l’inizio della
matematica ma rappresenta la base indispensabile dello studio successivo delle scienze della natura
(fisica, chimica, biologia, geologia). In particolare ciò riguarda il blocco della misura. La misura
delle grandezze geometriche è alla base di molti sviluppi della matematica: dall’estensione del
sistema numerico al calcolo integrale, fino ad arrivare, nella matematica del Novecento, alla teoria
della misura che è alla base del concetto moderno di integrale ma anche della moderna teoria della
probabilità. Tuttavia, nella scuola primaria si introduce il tema generale della misura delle
grandezze, che è basata sulla matematica ma è applicata nelle attività di misura che sono
fondamentali nell’osservazione e nella sperimentazione scientifica. Sulla base della conoscenza dei
numeri e le operazioni, si considerano quindi:
–
–
–
–
le grandezze (grandezze geometriche e altre grandezze scientifiche come la massa o il
tempo)
gli strumenti di misura delle varie grandezze
i sistemi di unità di misura
i risultati della misurazione di una grandezza (un numero dimensionato, ossia un numero
accompagnato dall’unità di misura)
i calcoli con le grandezze
–
–
Questi aspetti del blocco della misura, che nella scuola primaria è considerato parte della
matematica, sono sviluppati nella scuola secondaria di primo grado nelle materie di fisica e chimica
e di tecnologia.
Il blocco Dati e previsioni relativo all’organizzazione ed elaborazione dell’informazione
quantitativa (data display/analysis), invece, introduce al rapporto fra la matematica e le scienze,
ossia all’uso degli strumenti matematici nelle scienze, un argomento che però troverà il suo luogo in
modo naturale nella scuola secondaria.
17
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
Alcune piste per riuscire a lavorare sui tre scopi della matematica
Quali sono le capacità che dobbiamo coltivare nei bambini?
1) le abilità di calcolo mentale, anche derivate dall’uso delle proprietà associativa,
commutativa e distributiva
2) la capacità di discernere quali strumenti matematici per risolvere un problema attraverso la
riflessione
3) la capacità di discernere fra varie possibilità nell’eseguire un’operazione (calcolo mentale,
algoritmi manuali in colonna, calcolatrice)
4) la capacità di autoverifica dei risultati delle operazioni aritmetiche, attraverso stime mentali
preliminare dei risultati delle operazioni e sfruttando il rapporto fra addizione/sottrazione e
moltiplicazione/divisione.
5) le strategie di visualizzazione attraverso disegni e diagrammi, ad esempio per le frazioni
6) la visione d’insieme della matematica, l’intuizione dei collegamenti interni (fra aritmetica e
geometria, fra proprietà aritmetica e sistemi di unità di misura, fra proporzionalità numerica
e geometrica) e la consapevolezza del valore culturale della matematica.
Alcune questioni critiche della matematica elementare nella scuola primaria
1) Interpretare la funzione che svolgono i numeri in situazioni diverse (cardinale, ordinale,
misura, codice di identificazione)
2) Comporre e scomporre numeri secondo il valore posizionale delle cifre
3) Leggere, scrivere numeri nel sistema di numerazione decimale
4) Leggere e scrivere numeri nel sistema di numerazione romano e riconoscere che non è
posizionale.
5) Trasformare le situazioni di addizione in sottrazione e viceversa
6) Divisione e ripartizione
7) Divisione e partizione (numeri decimali)
8) Frazioni
9) Identificazione, descrizione e classificazione delle figure geometriche, inclusi i punti e rette
significativi e gli assi di simmetria
10) Uso del piano cartesiano per localizzare punti
11) Riconoscimento di figure trasformate (ruotate, traslate, riflesse)
12) Regolarità (completare una successione)
13) Applicazione di operatori
14) Proporzionalità numerica
15) Ampliamento e riduzione di figure a scala
18
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
Lettura
L’insegnamento della matematica ai fanciulli
«Abbiamo rilevato il valore delle matematiche in tutti i rami dell’attività scientifica e pratica,
nonché la potenza che esse recano allo spirito. Da ciò sorge l’interesse della società a diffondere
largamente il possesso della cultura matematica e ad educare con questa larghi ordini di cittadini.
Qui si affaccia di solito la domanda se all’insegnamento debba darsi piuttosto lo scopo
formativo o informativo. Ma il dilemma è mal posto. Se coll’insegnamento informativo si intende
di porgere all’allieve una serie di nozioni da accogliere passivamente come un dono, questo non ha
ragion d’essere in alcun ordine di scuole, perché il dono di cosa estrinseca non arricchisce il povero
che ne ignora l’uso: il maestro dona soltanto se stesso quando trascina e commuove e comunica
qualcosa della propria vita al suo figlio spirituale.
L’acquisto della cultura suppone sempre l’apprendimento dell’uso che possa farsene; il quale
esige la partecipazione attiva dell’educato, ed ha un valore formativo. Ma si può convenientemente
distinguere usi diversi: così nella scuola classica giova educare i giovani facendo loro rilevare il
significato estetico e filosofico delle verità matematiche, e promovendo in essi – fin dove è
possibile – l’interessa per la ricerca teorica, per esempio, col proporre la risoluzione di semplici
problemi geometrici; laddove nella scuola tecnica si richiamerà opportunamente l’attenzione
coll’esercitarli in compiti più vicini agli scopi che essi si propongono di raggiungere. […]
Il valore formativo delle matematiche si palesa, non soltanto nell’elevamento e nel
potenziamento delle intelligenze che, traverso l’istruzione classica, vogliono abilitarsi ai più alti
studi, sì anche nei primi gradi dell’educazione dell’infanzia e nelle classi popolari; perché
l’intelligenza matematica è assai precoce. Due pedagogisti soprattutto hanno lavorato a portare le
conoscenze matematiche nell’educazione del fanciullo,come elemento del suo sviluppo
intellettuale: Pestalozzi e Fröbel. Il primo ammaestra “come Geltrude insegna ai suoi bambini”,
indicando lor di buon’ora la consapevolezza dei rapporti di numero e misura, che essi debbono
apprendere presto e con chiarezza. Il secondo, già nei suoi primi doni, nei giuochi e negli esercizi
dei suoi giardini, offre ai fanciulli la visione delle figure geometriche e delle loro simmetrie, e li
interessa ad osservazioni via via più difficili, con una progressione metodica che risponde ad un
preciso disegno educativo. Per le scuole infantili come per le popolari, è soprattutto vero ciò che si
osservava innanzi, che l’indirizzo formativo non si disgiunge dall’utilitario, che crea coll’interesse
l’accoglimento delle cose insegnate.»
[Tratto da: Federico Enriques (1871-1946), Le matematiche nella storia e nella cultura
(1938), p. 184-186].
Esercizi
1) Quale è l’idea matematica che è possibile rintracciare nei reperti archeologici più antichi?
2) Tema: “L’evoluzione delle società umane è stata accompagnata da un’incessante attività di
calcolo”.
Spieghi il significato di questa frase, collegandola alle sue conoscenze sul mondo antico.
3) Costruisca un asse cronologico in un foglio A3 a quadretti (a partire dell’anno 1000 a.C.,
scegliendo opportunamente la lunghezza di un segmento corrispondente a un secolo). Inserire i dati
presentati nel paragrafo §1 sui più antichi reperti che includono simboli numerici nel Vicino
Oriente, in Cina, in India e nelle terre dei maya in America Centrale. Personalizzarlo,
completandolo con altri riferimenti storici utili tratti anche dal manuale di storia del liceo o istituto
tecnico.
19
LEZIONE 1 LA MATEMATICA E IL SUO INSEGNAMENTO
Ana Millán Gasca
4) Risponda alle domande seguenti:
i) scriva un anno del XIX secolo a.C.; a quale millennio appartiene l’anno 1650 a.C.?
ii) a quale secolo appartiene l’anno 287 a.C.?
iii) a quale secolo appartengono gli anni 476, 1492, 1789, 1850?
iv) in quale millennio viviamo?
5) Quali date segnano convenzionalmente la fine dell’Antichità, l’inizio dell’Età moderna, l’inizio
dell’Età contemporanea, l’egira o inizio del calendario nell’Islam? Collochi queste date nell’asse
temporale dell’esercizio 3. Inserisca ora i dati cronologici (autori, date, opere) dei §§2 e 3.
6) Qual è l’opera più nota di Euclide? Quali sono i due argomenti principali trattati in tale opera? A
che data si fa risalire? In che lingua è scritta? Citi un adattamento di quest’opera in una lingua
europea moderna.
7) Tema: La matematica e il quantitativo: quantità, misure e concetto astratto di numero.
Prenda spunto dal testo seguente:
«Come i punti, le rette e i piani in geometria, i numeri sono enti ideali. Tre, due sono numeri nel
senso della matematica. Ma quando nel parlare comune si cita un numero, esso è normalmente
seguito da ciò che esso conta o misura: “la distanza tra Roma e Firenze è di 286 kilometri, l’ho
percorsa a una media di 120 kilometri all’ora, ho pagato un pedaggio di 20 euro”; o quando si dice
“partimmo in cinquecento” (sottinteso “persone”). Si tratta quindi di numeri di qualcosa.
Per esprimere la diversità fra un numero di qualcosa e un numero senza altra specificazione, si
osservi che se ne parla differentemente. In questo dizionario si distingue allora fra numeri e
numeri-di. Allora “3 metri”, “tre mele”, “tre euro” non sono numeri, ma numeri-di; mentre 3 è un
numero (nella sua scrittura corrente, o numerale, tre, in quella numerica, 3).
I numeri sono matematica; i numeri-di correntemente usati fanno un uso particolare dei numeri, di
solito limitato ai decimali, e formano quello che qui chiamiamo il quantitativo.»
(Stella Baruk, Dizionario di matematica elementare, voce NUMERO, p. 353)
8) Indichi qualche esempio di attività di “matematica pratica” nel mondo preindustriale; indicare
qualche esempio di attività di “matematica pratica” del mondo contemporaneo.
9) In italiano, la parola “geometra” può indicare due attività professionali molto diverse: illustri con
questo esempio la differenza fra lo scopo della matematica e quello della “matematica pratica”.
10) Trascriva il testo dell’enunciato del problema di matematica presentato nel box “Un problema
matematico in Mesopotamia” (All’inizio fu lo scriba, pp. 12-13). Lo traduca in un linguaggio adatto
a un bambino. Proponga una strategia di soluzione, anche in vista dello svolgimento in classe.
11) Riscriva il problema di Paolo dell’Abbaco in epigrafe al §1.5 distinguendo: enunciato,
svolgimento e soluzione. Faccia un disegno per illustrare il problema e il ragionamento che porta
alla soluzione. Provi a usare l’algebra elementare per risolverlo. Lo traduca in un linguaggio adatto
a un bambino. Proponga una strategia di soluzione, anche in vista dello svolgimento in classe
12) Inserisca nel suo asse cronologico i dati storici forniti nei §§4 e 5, e aggiunga altre date della
storia d’Europa utile tratte dal suo manuale di storia.
13) Quale è l’origine della tradizione europea di manuali per il far di conto?
20
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
14) Nella scuola primaria, la matematica ha oggi un doppio ruolo strumentale e formativo. Spieghi
le origini storiche di questa convinzione e proponga alcuni esempi relativi di attività o di aspetti che
rientrino in ognuno dei due ruoli.
15) Che cos’è un algoritmo? Provi a scrivere l’algoritmo dell’addizione come una sequenza di
istruzioni con l’aiuto di un diagramma di flusso.
16) Spieghi la dicotomia arti liberali/arti meccaniche (legga prima la voce “tecnica” del glossario).
17) La matematica della scuola secondaria è matematica elementare? (Ricordi quale era la
matematica insegnata nella scuola secondaria nell’Ottocento).
18) Esamini un libro de testo di matematica oppure un sussidiario della scuola primaria e costruisca
una tabella indicando il numero di pagine dedicati ad ognuno dei settori della matematica
elementare elencati nel §1.6 (in valori assoluti e in percentuale). Per ogni settori, elenchi gli
argomenti specifici trattati nel testo.
19) Sulla base dell’elenco di aspetti formativi della matematica, descriva in 5 righe il ricordo della
sua esperienza scolastica, cercando di individuare punti forti e punti deboli del proprio percorso.
20) Quali sono i tre scopi dell’apprendimento della matematica elementare nella scuola primaria?
21) Spieghi ciò che ha imparato in questa lezione sulla dicotomia astratto/concreto sia nella
matematica come disciplina, sia nell’insegnamento della matematica ai bambini.
21) Un documento che riepiloga la visione oggi condivisa è stato elaborato dall’organizzazione
professionale dei docenti di matematica degli Stati Uniti, il National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM), sotto il titolo Principles and standars of school mathematics (2000). Potete
consultarlo all’indirizzo: http://standards.nctm.org/document/index.htm
22) In Italia, l’ordinamento attuale della scuola dell’infanzia e della scuola primaria (oltre che della
scuola secondaria di primo grado alla quale si avviano gli studenti dopo la quinta elementare) è
regolato da:
–
la legge n. 53 del 28 di marzo 2003 (Delega al Governo per la definizione delle norme
generali sull'istruzione e dei livelli essenziali delle prestazioni in materia di istruzione e
formazione professionale)
reperibile presso l’indirizzo:
http://www.pubblica.istruzione.it/normativa/2004/legge53.shtml
–
il decreto legislativo n. 59 del 19 febbraio 2004 (Definizione delle norme generali relative
alla scuola dell'infanzia e al primo ciclo dell'istruzione, a norma dell'articolo 1 della
legge 28 marzo 2003, n. 53): lo studio della matematica è descritto all’interno dei tre
allegati, uno per ognuno dei tre livelli
reperibile presso l’indirizzo:
http://www.pubblica.istruzione.it/normativa/2004/dec190204.shtml
21