Statistica 1 A.A. 2015/2016

Corso di Laurea in
“Economia e Finanza”
Statistica 1
A.A. 2015/2016
(8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione)
Prof. Luigi Augugliaro
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Numeri indici e rapporti statistici
In molti casi è interessante studiare l’evoluzione di un fenomeno nel tempo. Per
esempio è di grande interesse per il governo di un paese tenere sotto controllo
l’andamento delle principali variabili macro-economiche (tasso di disoccupazione,
inflazione, consumi, etc).
L’osservazione sistematica nel tempo di un fenomeno permette di costruire una serie
storica.
Definizione
Si definisce serie storica una sequenza di osservazioni x1 , x2 , . . . , xt , . . . , xT di un
generico fenomeno X in T istanti temporali.
Le osservazioni possono succedere di mese in mese, come accade nelle rilevazioni
dei salari mensili, o di anno in anno, come nelle rilevazioni del PIL di una nazione.
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Esempio. Di seguito è riportata la serie storica del PIL relativo agli anni 2000/2007.
Anno
PIL
2000
1187
2001
1259
2002
1297
2003
1346
2004
1387
2005
1423
2006
1481
2007
1561
Un primo modo per valutare la variazione della serie storica osservata è tramite le
differenze xt+1 − xt , ovvero
∆PIL
72
38
49
41
36
58
80
Note: occorre osservare che le variazioni calcolate in precedenza risultato di difficile
interpretazione poiché le differenze dipendono dall’unità di misura dei dati.
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La variazione da un periodo all’altro può essere misurata rapportando il valore
xt+1 con il valore immediatamente precedente, ovvero xt . Si definisce tasso di
variazione percentuale il rapporto:
xt+1
· 100,
xt
mentre di definisce variazione relativa percentuale la quantità:
xt+1 − xt
xt+1
· 100 =
− 1 · 100.
xt
xt
Con riferimento alla serie storica del PIL si ricava:
106.07
103.02
6.07
3.02
Tasso di variazione percentuale
103.78 103.05 102.60 104.08
Variazione relativa percentuale
3.78
3.05
2.60
4.08
105.40
5.40
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2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
0.050
0.045
0.040
0.025
0.030
0.035
Variazione relativa percentuale
0.055
0.060
1500
PIL (ml di euro)
1400
1300
1200
2000
2001/2000
2002/2001
2003/2002
2004/2003
2005/2004
2006/2005
2007/2006
Anni
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In generale, quando si è interessati a misurare l’entità dei mutamenti in una serie
storica, si possono effettuare dei rapporti tra due o più valori della serie. Le quantità
cosı̀ ottenute prendono il nome di numeri indici. Si distinguono due tipologie di
numeri indici:
i. numero indice semplice: deriva dal rapporto di due o più valori della serie;
ii. numero indice complesso (o sintetico): consente di sintetizzare con un
unico indice statistico le variazioni subite contemporaneamente da più serie.
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Numeri indici semplici
Le serie dei numeri indici semplici possono essere costruite in due modi diversi: a base
fissa o a base mobile.
Definizione
Una serie di numeri indici a base fissa esprime l’intensità o frequenza di un fenomeno in ogni
periodo di tempo come una quota dell’intensità o frequenza in un periodo di riferimento
chiamato base. Formalmente, il numero indice al tempo t con base s è definito dal
seguente rapporto:
xt
It/s = .
xs
Se la quantità precedente è moltiplicata per 100 si ottengono degli indici percentuali.
Particolare rilevanza ha l’andamento dei prezzi dei beni e dei servizi nel valutare molte
grandezze economiche. Per esempio, la spesa media annua per il consumo di beni alimentari potrebbe aumentare o diminuire, anche tenendo costanti le quantità di beni consumate
di anno in anno, per il solo effetto della variazione dei prezzi dei beni. Per tale motivo
risulta rilevante lo studio delle variazioni avvenute nella serie storica del prezzo unitario del
bene o servizio, evidenziate in particolare dalla serie percentuale dei numeri indici dei
prezzi a base fissa.
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Esempio. Nella seguente tabella è riportato il prezzo unitario di un certo bene dal
2001 al 2004.
Anno
Prezzo unitario
2001
2002
2003
2004
40
66
80
92
Numero indice %
(base 2001)
100
165
200
230
Numero indice %
(base 2003)
50.0
82.5
100.0
115.0
La terza e quarta colonna riportano gli indici a base fissa per l’anno base 2001 e
per l’anno base 2003. Il numero indice per l’anno 2002 nella serie con base il 2001
è pari a: (66/40) = 165. Questo vuol dire che il prezzo del 2002 è il 65% in più
del prezzo del 2001. Dalla serie a base fissa 2003, si trova che il prezzo per l’anno
2001 è, invece, il 50% in meno di quello del 2003.
Note. Osserviamo che non esiste differenza sostanziale tra il numero indice, per
esempio, I2002/01 = x2002 /x2001 × 100 = 165 e la corrispondente variazione relativa
percentuale dei prezzi, (x2002 /x2001 − 1) × 100 = I2002/01 − 100 = 65.
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L’esempio precedente solleva la questione relativa alla scelta dell’anno da utilizzare come base per la definizione dei numeri indici a base fissa. Di seguito si
riportano alcune indicazioni di carattere pratico:
i. il periodo di tempo preso come base di riferimento della serie dei numeri indici
deve, quanto può possibile, rappresentare una situazione di normalità caratterizzata dall’assanza di eventi esterni che possano aver influito in modo rilevante
ed anomalo sull’andamento del fenomeno;
ii. è conveniente scegliere come base uno tra i periodi centrali della serie in maniera
che sia rappresentativo sia per le prime sia per le ultime osservazioni della serie.
Per questo motivo, passato un certo periodo di anni, è necessario calcolare la
serie dei numeri indici rispetto ad una base più aggiornata. Il cambiamento di
base si rende necessario anche quando si vogliono confrontare due serie con
basi diverse.
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Un altro modo di analizzare l’andamento di un fenomeno è quello di confrontare
l’intensità o la frequenza di un certo periodo con l’intensità o la frequenza del
periodo immediatamente precedente.
Definizione
Una serie di numeri indici a base mobile esprime l’intensità o frequenza di un
fenomeno in ogni periodo di tempo come rapporto con l’intensità o frequenza nel
periodo di tempo immediatamente precedente.
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Esempio. Considerando la serie storica del numero di divorzi in Italia dal 1997 al
2001, possiamo costruire la corrispondente serie percentuale a base mobile:
Anno
Numero divorzi
Numero indice
1997
33342
1998
33510
100.5
1999
34341
102.5
2000
37573
109.4
2001
40051
106.6
Come possiamo osservare, il numero di divorzi nel 2000 è cresciuto del 9.4% rispetto
a quello dell’anno precedente. Il numero assoluto di divorzi è sempre aumentato
in tutti gli anni considerati. L’esempio mostra che non è possibile determinare il
numero indice per l’anno 1997 dato che dalla serie non è disponibile il numero di
divorzi dell’anno 1996.
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Passaggio da una base fissa ad un’altra base fissa
Per passare da una serie percentuale di numeri indici a base fissa ad una serie
percentuale con una nuova base fissa, è sufficiente dividere ogni numero indice per
il numero indice del periodo preso come nuova base e moltiplicare per 100.
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Esempio. Si consideri la serie percentuale dei numeri indici a base fissa 1999,
relativamente ai divorzi in Italia dal 1997 al 2001:
Serie dei numeri indici % (base 1999)
1997 1998 1999 2000
2001
97.1 97.6
100 109.4 116.6
Si determini la serie dei numeri indici con base 2000.
Sulla base della precedente proprietà è sufficiente dividere tutti gli indici con base
1999 per 109.4 e moltiplicarlo per cento.
Serie dei numeri indici % (base 2000)
97.1
1997
109.4 100 ≈ 88.8
1998
1999
2000
2001
97.6
109.4 100 ≈ 89.2
100
109.4 100 ≈ 91.4
109.4
109.4 100 = 100.0
116.6
109.4 100 ≈ 106.6
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Passaggio da una base fissa ad una base mobile
Dividendo ogni numero indice della serie a base fissa per quello precedente è moltiplicando per cento si ottiene la corrispondente serie percentuale dei numeri indici
a base mobile.
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Esempio. Si consideri la seguente serie percentuale di numeri indici dei prezzi di
un certo bene a base fissa (base uguale al periodo 4).
Periodo
Numero indice
1
59.05
2
72.38
3
80.95
4
100.00
5
116.67
6
142.86
Determinare la corrispondente serie percentuale a base mobile.
Serie dei numeri indici percentuali (base mobile)
1
2
3
4
5
6
72.38
59.05 100 ≈ 122.57
80.95
72.38 100 ≈ 111.84
100.00
80.95 100 ≈ 123.53
116.67
100.00 100 ≈ 116.67
142.86
116.67 100 ≈ 122.45
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Passaggio da una base mobile ad una base fissa
1. si pone uguale ad 1 il numero indice della serie a base mobile relativo al periodo
t scelto come base;
2. il numero indice a base fissa corrispondente a un periodo k precedente a t
(k < t) si ottiene calcolando l’inverso del prodotto dei numeri indici a base
mobile dal tempo k + 1 fino al t incluso;
3. il numero indice a base fissa corrispondente ad un periodo h successivo a t
(t < h) si ottiene moltiplicando il corrispondente numero indice a base mobile
per tutti quelli che lo precedono fino al periodo t + 1.
Moltiplicando per cento ogni numero indice si ottiene la serie percentuale dei numeri
indici a base fissa.
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Esempio. Consideriamo la seguente serie percentuale di numeri indici dei prezzi di
un certo bene a base mobile.
Periodo
1
2
122.57
3
111.84
4
123.53
5
116.67
6
122.45
7
120.32
Calcolare la serie dei numeri indici a base fissa con base il periodo 4.
Numeri indici percentuali a base fissa (base 4)
Periodo
1
(1.2353 × 1.1184 × 1.2257)−1 = 0.5905
2
(1.2353 × 1.1184)−1 = 0.7238
3
1.2353−1 = 0.8995
4
1
5
1.1667
6
1.1667 × 1.2245 = 1.4286
7
1.1667 × 1.2245 × 1.2032 = 1.7189
59.05
72.38
89.95
100
116.67
142.86
171.89
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Numeri indici complessi
In molti casi il fenomeno di cui si vuole osservare l’andamento nel tempo è troppo
complesso perché possa bastare l’analisi di una sola variabile. Ad esempio, quando si
considera una serie storica relativa al prezzo di una classe di beni, come la carne, per
i prodotto tessili, per i prodotti in gomma e plastica etc., è necessario determinare
una sintesi dell’andamento dei prezzi dei singoli beni che costituiscono tale classe.
Per esempio, l’andamento del prezzo delle bevande può essere ottenuto rilevando
congiuntamente l’andamento dei prezzi dell’alcol etilico di fermentazione, dei vini e
bevande a base di vino, dei prodotti di birreria, etc.
In tutti questi casi si devono utilizzare i numeri indici complessi che sintetizzano
in un unico indice le variazioni subite dai diversi fenomeni. Per costruire tali indici
si possono due possibili metodi:
i. si calcola il numero indice delle somme ponderate delle intensità o frequenze
dei singoli fenomeni;
ii. si calcola una media ponderata dei numeri indici semplici dei singoli fenomeni.
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Supponiamo di aver rilevato M beni ed indichiamo con
p1t , p2t , . . . , pmt , . . . , pMt
i prezzi unitari degli m beni rilevati al tempo t. La quantità del bene m-esimo
mediamente o tipicamente consumata nei periodi di tempo considerati è indicata
con qma , dove con l’indice a si indica un periodo di tempo medio o un periodo
di tempo rappresentativo.
Utilizzando la notazione introdotta in precedenza si ricava che la somma complessiva
per gli M beni nel periodo t è data da
p1t q1a + p2t q2a + . . . , pmt qma + . . . , pMt qMa =
M
X
pmt qma
m=1
Se indichiamo con pm0 il prezzo del bene m-esimo nel periodo di tempo preso
come base che indicheremo con 0, la spessa complessiva per gli M beni nel periodo
base è:
M
X
pm0 qma .
m=1
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Il numero indice dei prezzi per il periodo t con il metodo delle somme ponderate
dei prezzi dei singoli beni è dato dal rapporto dei due costi complessivi moltiplicato
per 100.
Definizione
Indicando con 0 il periodo base, il numero indice percentuale dei prezzi per il periodo
t con il metodo delle somme ponderate dei prezzi dei singoli beni è dato da:
PM
m=1 pmt qma
It = PM
× 100
m=1 pm0 qma
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Esempio. Supponiamo che un’impresa di pulizie voglia costruire un indice dei prezzi
complesso relativo al prezzo unitario in euro dei prodotti casalinghi utilizzati negli
anni 2005/2007 per svolgere la propria attività. Nella seguente tabella si riportano
i prezzi dei prodotti più rappresentativi e le quantità mediamente consumate.
Prodotti
Detergenti per vetri
Cera per pavimento
Scopa
Straccio
Detersivo A
Detersivo B
Quantità
qma
200
160
40
150
90
250
Prezzo unitario
2005 2006 2007
pm0
pm1
pm2
2.5
2.7
3
5.3
5.8
6.0
10.5 11.5
12
0.6
0.65 0.68
3.2
3.4
4.0
4.4
4.5
4.8
Calcolare la serie dei numeri indici con il metodo delle somme ponderate e utilizzando come base 2005.
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Per calcolare la serie dei numeri indici con il metodo delle somme ponderate si deve prima
determinare la spesa nei prodotti nei tre anni considerati:
pm0 qma
500
848
420
90
288
1100
3246
pm1 qma
540.0
928.0
460.0
97.5
306.0
1125.0
3456.5
pm2 qma
600
960
480
102
360
1200
3702
La tabella riporta il costo totale per ogni anno e da questo si può ricavare facilmente la
serie percentuale dei numeri indici complessi con base 2005:
3246
3456.5
3702
× 100 = 100 I2006 =
× 100 = 106.5 I2007 =
× 100 = 114.1
3246
3246
3246
Note. L’esempio mostra che nella costruzione dei numeri indici si sono mantenuti costanti
di anno in anno sia i prodotti considerati che le quantità consumate; ne consegue che le
variazioni ottenute sono dovute esclusivamente al prezzo dei prodotti.
I2005 =
Il numero indice del 2006 (I2006 = 106.5) indica che il prezzo pagato dalla ditta di pulizie
per l’aggregato di prodotti è aumentato del 6.5% rispetto al 2005 a parità di quantità.
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In merito alla scelta della quantità di riferimento qma , in letteratura trovano particolare rilievo gli approcci dovuti a Laspeyres e Paasche.
Definizione
Il numero indice dei prezzi di Laspeyres è definito utilizzando come quantità di
riferimento quelle relative al periodo di base (qma = qm0 ), da cui si ricava
PM
m=1 pmt qm0
× 100.
ItL = PM
m=1 pm0 qm0
Definizione
Il numero indice dei prezzi di Paasche è definito utilizzando come quantità di riferimento le quantità relative a ogni dato periodo di riferimento (qma = qmt ), da cui
si ricava
PM
P
m=1 pmt qmt
It = PM
× 100.
m=1 pm0 qmt
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Gli indici dei prezzi di Laspeyres e Paasche si differenziano oltre che per le formule
di sintesi anche per il modo di descrivere l’andamento della variazione dei prezzi.
L’indice di Laspeyres tende a essere superiore all’indice di Paasche quando i prezzi
aumentano, mentre tende ad essere inferiore quando i prezzi diminuiscono.
Un numero indice complesso che consente di considerare contemporaneamente l’informazione fornita dai due indici dei prezzi è quello che si ottiene dalla formula
ideale di Fisher:
q
ItF = ItL × ItP
Il valore di tale indice, essendo una media, è sempre intermedio ai valori degli indici
di Laspeyres e Paasche.
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Il secondo metodo per la costruzione dei numeri indici complessi è il metodo della
media ponderata dei numeri indici semplici a base fissa dei singoli beni.
Questo metodo considera una media ponderata dei numeri indici semplici a base
fissa con dei pesi che non corrispondono alle semplici quantità in quanto devono
essere espressi tutti nella stessa unità di misura. Come pesi vengono normalmente presi dei valori monetari come, per esempio, il prodotto tra la quantità media
qma e un presso medio pma . In generale tali pesi vengono denotati con i simboli:
s1a , s2a , . . . , sma , . . . , sMa .
Definizione
Il numero indice dei prezzi per il periodo t con il metodo della media ponderata
dei numeri indici a basa fissa dei singoli beni è dato da
PM pmt
×
100
sma
m=1 pm0
I¯t =
PM
m=1 sma
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Esempio. Consideriamo nuovamente l’esempio relativo all’impresa di pulizie e calcoliamo il numero indice dei prezzi con il metodo della media ponderata. Come peso
del generico m-esimo bene consideriamo il prodotto tra il prezzo dell’anno 2005 e
la quantità media consumata: sma = pm0 · qma .
Prodotti
Detergenti per vetri
Cera per pavimento
Scopa
Straccio
Detersivo A
Detersivo B
Totale
Peso
sma
500
848
420
90
288
1100
3246
2005
(pm0 /pm0 )100
100
100
100
100
100
100
Prezzo unitario
2006
2007
(pm1 /pm0 )100 (pm2 /pm0 )100
108.0
120.0
109.4
113.2
109.5
114.3
108.3
113.3
106.3
125.0
102.3
109.1
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Prodotti
Detergenti per vetri
Cera per pavimento
Scopa
Straccio
Detersivo A
Detersivo B
Totale
2005
sma (pm0 /pm0 )100
50000
84800
42000
9000
28800
110000
324600
Prezzo unitario
2006
sma (pm1 /pm0 )100
54000.0
92771.2
45900.0
9747.0
30614.4
112530.0
345652.6
2007
sma (pm2 /pm0 )100
60000.0
95993.6
48006.0
10197.0
36000.0
120010.0
370206.06
da cui segue la seguente serie di numeri indici complessi:
345652.6
324600
I¯05 =
= 100 I¯06 =
= 106.5
3246
3246
370206.06
I¯06 =
= 114.1
3246
Note: come si può notare i numeri indici ottenuti assumono lo stesso valore di
quelli trovati nell’esempio precedente con il metodo delle somme ponderate. Ciò
deriva dal fatto che i pesi sma sono riferiti al periodo base. Se si fossero utilizzati i
prezzi di un altro periodo di tempo si sarebbero ottenuti valori diversi.
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